第04讲 随机事件、频率与概率（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦随机事件、频率与概率核心考点，按集合视角梳理事件关系、概率性质及运算，通过考情分析、知识归纳、重难突破、分层集训四环节，帮助学生构建从概念到应用的知识体系，突破互斥对立判断、频率估计概率等高考高频难点。 讲义以数学眼光观察生活实例（如掷硬币频率稳定性），用数学思维训练逻辑推理（如事件关系的集合运算），设计基础演练、能力进阶、真题实战分层练习，结合典例精讲（如互斥事件概率加法公式应用），培养数据观念与应用意识，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生解题能力。

第04讲 随机事件、频率与概率 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 频率与概率 知识2 随机事件 知识3 随机事件的关系与概率 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测） 考点01 随机事件与样本空间 考点02 随机事件的关系与运算 考点03 互斥事件与对立事件的判断 方法技巧 互斥事件与对立事件的判断 考点04 互斥事件与对立事件的概率 方法技巧 互斥事件与对立事件的概率 考点05 频率与概率 考点06 频率估计概率 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系；了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算；理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 随机事件、频率与概率 全国二卷第15题、上海卷第6题 全国一卷第15题、全国二卷第12题 新课标Ⅱ第12题 考情解读 本讲是概率部分的基础概念板块，高考直接考查频率较低，但相关知识是后续古典概型、条件概率等内容的理论根基。命题常见形式为：结合实际问题考查互斥事件、对立事件的概率加法公式；或以频率估计概率的思想融入解答题中。新课标强调“样本空间”与“随机事件”的关系理解，要求学生会用集合观点描述事件。近年考题中，本讲内容常以小题形式考查基本概念辨析，难度为容易题。 备考策略 复习应引导学生从集合的视角理解随机事件的关系与运算（并、交、互斥、对立），强化概率基本性质（非负性、规范性、可加性）的掌握。建议结合生活实例帮助学生建立频率与概率的联系，理解概率的统计定义与公理化定义的关系。 知识・归纳梳理 知识1 频率与概率 1．频率与概率的区别 频率 本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率也可能会不同. 概率 本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变. 举例 辨析 例如，在相同条件下掷一枚质地均匀的硬币1000次，出现正面向上的次数是521，则正面向上的频率f1000（正面向上），而正面向上的概率P（正面向上），它是一个客观常数， 2．频率的稳定性(用频率估计概率) 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 知识2 随机事件 1．事件 (1)随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. (2)必然事件 A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件. (3)不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件. 2．事件的关系和运算 (1)两个事件的关系和运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示 包含 A发生导致B发生 并事件 （和事件） A与B至少一个发生 或 交事件 （积事件） A与B同时发生 或 互斥 （互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， (2)多个事件的和事件、积事件 类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，…，A∪B∪C∪… (或A+B+C+…)发生当且仅当A，B，C，…中至少一个发生，A∩B∩C∩… (或ABC…)发生当且仅当A，B，C，…同时发生. 知识3 随机事件的关系与概率 1．互斥事件、对立事件的判断 判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件. 2．互斥事件的概率求法 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法： 一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算； 二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)=1-P(A)求出所求概率，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法比较简便. 【方法技巧与总结】 1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件 (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集. (2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 2．概率加法公式的推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即 . 重难・核心突破 考点01 随机事件的样本空间 典例1．（25-26高三下·福建温州·期末）下列事件中，是随机事件的是（    ） ①明天本市会下雨 ②投掷2颗质地均匀的骰子，点数之和为14 ③抛掷一枚质地均匀的硬币，字朝上 ④13个人中至少有2个人的生日在同一个月 A．①③ B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断事件是否是随机事件、随机现象 【分析】由随机事件，不可能事件和必然事件的定义判断. 【详解】由题可知，①③可能发生，也可能不发生，是随机事件； ②不可能发生，是不可能事件； ④一定发生，是必然事件. 故选：A 典例2．（2026·云南·一模）下列事件是必然事件的是(　　) A．某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军 B．一个三角形的大边对的角小，小边对的角大 C．如果a＞b，那么b＜a D．某人购买福利彩票中奖 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据事件的分类理解判断． 【详解】选项A为随机事件，选项B为不可能事件，选项C为必然事件，选项D为随机事件． 故选：C． 【考法预测1】（25-26高二上·海南·阶段练习）盒子中有四个小球，分别写有“知”“行”“合”“一”四个字，从盒子中有放回抽取小球，直到取到“知”“行”二字就停止.用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率：利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“知”“行”“合”“一”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 323 231 320 032 132 031 123 330 110 321 120 122 321 221 230 132 322 130 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】整数值随机模拟问题、计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典概型的概率公式即可求解. 【详解】由于0，1代表“知”“行”，恰好第三次就停止的情况有：031，110，120，130 共有4种情况，故概率为， 故选：D 【考法预测2】（2026·辽宁锦州·模拟预测）（多选题）现有分别标有2024，2021，2028，2023，2020，2022数字的6张卡片，下列说法正确的是（    ） A．卡片数字的第80百分位数为2024 B．从中随机抽取两张，共有30种不同的组合 C．从中随机抽取一张，抽到偶数的概率比奇数大 D．从中随机抽取一张，抽到质数是等可能事件 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、判断事件是否是随机事件、总体百分位数的估计 【分析】求出第80百分位数判断A；利用组合计数判断B；求出概率判断C；确定质数个数判断D. 【详解】对于A，由，得数据2020，2021，2022，2023，2024，2028的第80百分位数为2024，A正确； 对于B，从中随机抽取两张，共有种不同的组合，B错误； 对于C，从中随机抽取一张，抽到偶数的概率是，抽到奇数的概率是，C正确； 对于D，6张卡片上的数都是合数，抽到质数是不可能事件，D错误. 故选：AC 考点02 随机事件的关系与运算 典例1．（2026·湖北武汉·三模）现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出2只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚”.则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、互斥事件的概率加法公式、确定所给事件的包含关系 【分析】A写出事件包含的基本事件；B根据古典概型的概率公式求出；C事件是不可能事件；D利用概率的加法公式. 【详解】假设运动鞋的左脚为，右脚为，凉鞋的左脚为，右脚为， 则选出两只鞋包含了6种， 其中事件包含了4种， 事件包含了2种，事件包含了2种， 故，则A错误； ，，，，故BC错误； ，故D正确. 故选：D 典例2．（2026·吉林·二模）已知随机事件A和B，下列表述中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若互斥，则 D．若互斥，则 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】互斥事件的概率加法公式、确定所给事件的包含关系 【分析】根据根据事件的包含关系即概率的性质，可判断AB的真假；根据事件的互斥关系即互斥事件的概率特征可判断CD的真假. 【详解】若，则，，故AB选项的内容都是正确的； 若互斥，则，，所以C选项的内容是错误的，D选项的内容是正确的. 故选：C 【考法预测1】（2026·江西·三模）A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率、事件的运算及其含义、利用对立事件的概率公式求概率、条件概率性质的应用 【分析】由可得，由可得，再结合可求出，再利用条件概率公式求解即可. 【详解】，， 又，，故C错误； ，，，故A正确； ，，故B正确； ，故D正确. 故选：C. 【考法预测2】（25-26高二下·广东惠州·阶段练习）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（   ） A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的判断、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】利用列举法与古典概型的概率公式求得各事件的概率，由，，即可判断A；由即可判断B；由即可判断C，由即可判断D. 【详解】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，样本空间如下： ，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，共36个. 则事件包括，，，，，，共6个，， 事件包括，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18个，， 事件包括，，，，，共5个，， 事件包括，，，，，，共6个，. 对于A，，，所以与不为对立事件，故A错误； 对于B，事件且包括，则，又，， 所以，即与不相互独立，故B错误； 对于C，事件且包括，，，则，又，， 所以，即与相互独立，故C正确； 对于D，事件且包括，，，则，即与不为互斥事件，故D错误. 故选：C. 考点03 互斥事件与对立事件的判断 典例1．（2026·广东东莞·二模）某小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加歌咏比赛，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（    ） A．至少有1名男生和至少有1名女生 B．至少有1名男生和全是男生 C．至少有1名男生和全是女生 D．恰有1名男生和恰有2名男生 【答案】D 【详解】A. 当选到一男一女时，至少有1名男生和至少有1名女生同时发生，既不互斥也不对立，A错误 B. 两名都是男生时，至少有1名男生和全是男生同时发生，既不互斥也不对立，B错误 C. 至少有1名男生和全是女生，是对立事件，C错误 D. 恰有1名男生和恰有2名男生，互斥而不对立，D正确. 故选：D 典例2．（2026·广东深圳·三模）投掷两枚质地均匀的骰子，记事件A为两枚骰子朝上的点数均为偶数，事件B为两枚骰子朝上的点数均为奇数，则（    ） A．A为必然事件 B．B为不可能事件 C．A与B为互斥但不对立事件 D．A与B互为对立事件 【答案】C 【详解】显然A与B都是随机事件，且A与B不能同时发生，但可能同时不发生，故A与B为互斥但不对立事件. 故选：C. 方法技巧 互斥事件与对立事件的判断 1、准确把握互斥事件与对立事件的概念：①互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，既有且仅有一个发生． 2、判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件． 【考法预测1】（25-26高二下·广东深圳·阶段练习）从装有除颜色外其他完全相同的个红球（编号为、）和个白球（编号为、）的口袋内任取个球，则互斥且不对立的两个随机事件是（   ） A．至少有个白球，都是白球 B．至少有个白球，至少有个红球 C．恰有个白球，恰有个白球 D．至少有个白球，都是红球 【答案】C 【详解】从口袋中任取个球，所有的情况有：个红球、个红球个白球、个白球， 对于A选项，至少有个白球包含：个红球个白球、个白球， A选项中的两个事件不是互斥事件； 对于B选项，至少有个红球包含：个红球、个红球个白球， B选项中的两个事件的交事件为：个红球个白球， 故B选项中的两个事件不是互斥事件； 对于C选项，恰有个白球，恰有个白球，这两个事件是互斥且不对立； 对于D选项，至少有个白球，都是红球，这两个事件为对立事件. 故选：C. 【考法预测2】（多选）（2026·广东湛江·二模）从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都是白球”互斥而非对立的事件是以下事件中的哪几个（    ） A．事件“两球都不是白球” B．事件“两球恰有一白球” C．事件“两球至少有一个白球” D．事件“两球不都是白球” 【答案】AB 【详解】从口袋内一次取出2个球，这个试验的样本空间 (白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)，包含6个基本事件， 当事件“两球都为白球”发生时，事件“两球都不是白球”和事件“两球恰有一白球”不可能发生，满足互斥事件的定义， 且“两球都为白球”不发生时，事件“两球都不是白球”不一定发生，事件“两球恰有一白球”不一定发生，故非对立事件，故A、B正确； “两球都为白球”发生时，事件“两球至少有一个白球”可以发生，故不是互斥事件，故C错误； 事件“两球不都是白球”意思是“两球至少有一个不是白球”与事件“两球都是白球”是对立事件， 故D错误. 故选：AB 考点04 互斥事件与对立事件的概率 典例1．（2026·广东肇庆·二模）小王数学期末考试考了分，受到爸爸表扬的概率为，受到妈妈表扬的概率也为，假设小王受爸爸表扬和受妈妈表扬独立，则小王被表扬的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】相互独立事件的概率，采用乘法公式，正面分类复杂，求对立事件（小王不被表扬）的概率可得解. 【详解】记小王受到爸爸表扬为事件，小王受到妈妈表扬为事件，小王受到表扬为事件， 小王同学受爸爸表扬和受妈妈表扬相互独立，则. 故选：C. 典例2．（2026·广东广州·三模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．现在已知甲选择了号箱，用表示号箱有奖品（），用表示主持人打开号箱子（），则 ，若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为 ． 【答案】 /0.375 【难度】0.4 【知识点】决策中的概率思想、利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】根据主持人可打开的箱子号码可确定；分别考虑奖品在号箱、不在号箱的情况，根据此时更改选择，结合全概率公式求解即可. 【详解】奖品在号箱，甲选择了号箱，主持人可打开号箱，则； 若奖品在号箱，其概率为，抽奖人更改了选择，则其选中奖品所在箱子的概率为； 若奖品不在号箱，其概率为，主持人随机打开不含奖品的两个箱子中的个， 若此时抽奖人更改选择，其选中奖品所在箱子的概率为； 若抽奖人更改选择，其中奖的概率为. 故答案为：；. 方法技巧 互斥事件与对立事件的概率 求复杂的互斥事件的概率的两种方法 （1）直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算． （2）间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维（正难则反）．特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解就显得较简便． 【考法预测1】（25-26高二下·广东茂名·阶段练习）已知某同学参加了当地相关部门举办的数学奥林匹克竞赛的预赛，该预赛共有3道解答题，3道全部答对即可获得满分，已知该同学答对这3道解答题的概率依次为0.8，，则该同学按题号顺序连续正确解答出2道解答题但没获得满分的概率为（    ） A．0.408 B．0.384 C．0.246 D．0.532 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】应用互斥事件概率及独立事件乘法公式计算即可. 【详解】由题意可得所求事件的概率为． 故选：A． 【考法预测2】（2026·甘肃甘南·模拟预测）乒乓球比赛现采用五局三胜制，即最多打五局，谁先赢三局谁胜．甲、乙两人进行乒乓球比赛，甲在每局比赛中获胜的概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．已知前两局比赛中，甲、乙各胜1局，则最终乙获胜的概率为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【分析】讨论{第3局乙负，第4，5局乙胜}、{第3局乙胜，第4局乙负，第5局乙胜}、{第3，4局乙胜}三种情况，应用独立事件乘法、互斥事件加法求概率即可. 【详解】乙最后的胜利包含三种情况： 一是第3局乙负，第4，5局乙胜，此时乙胜的概率为； 二是第3局乙胜，第4局乙负，第5局乙胜，此时乙胜的概率为； 三是第3，4局乙胜，此时乙胜的概率为 乙获胜的概率为． 故答案为： 考点05 频率与概率 典例1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）某学校高三教研组为调查高三学生的学习情况，分别从高三年级中的20个班一共抽取40个人进行询问，其中各班人数均为50人，则某个班级中某个学生被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率、用频率估计概率 【分析】计算全校的人数或计算各班抽取的人数后可求学生被选中的概率. 【详解】法一：全校总人数为人，一共抽取40人， 则被抽到的概率为； 法二：一个班抽取的人数为， 则被抽到的概率为.     故选：B. 典例2．（25-26高一上·湖南衡阳·阶段练习）（多选题）某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个选项得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正确的是（   ） A．甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为 B．乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为 C．丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高 D．丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】A选项，列举得到共有4种情况，有3种情况满足要求，故能得2分的概率为；B选项，列举得到共有6种情况，有3种情况满足要求，能得4分的概率为；C选项，列举得到共有11种情况，有4种情况满足要求，故得分的概率为，由于，C错误；D选项，列举得到共有15种情况，能得2分的情况为A，B，D，能得4分的情况为AB，AD，BD，故得2分的概率与得4分的概率相同，D正确. 【详解】A选项，甲同学仅仅随机选择一个选项，共有4种情况，分别为A，B，C，D， 其中有3种情况满足要求，分别为A，B，D，故能得2分的概率为，A错误； B选项，乙同学仅随机选择两个选项，共有6种情况， 分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD，其中能得4分的情况有3种，为AB，AD，BD， 故乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为，B正确； C选项，丙同学可以选择两个选项，三个选项和四个选项，共有11种情况， 分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD， 其中得分的情况有4种，为AB，AD，BD，ABD，故得分的概率为， 由B可知，乙同学仅随机选择两个选项，能得分的概率为， ，故丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率低，C错误； D选项，丁同学选择至少一个选项，共有15种情况， 分别为A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD， 能得2分的情况为A，B，D，故能得2分的概率为， 能得4分的情况为AB，AD，BD，故能得4分的概率为， 丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同，D正确. 故选：BD 【考法预测1】（2025·福建泉州·模拟预测）某系统通过摄像头识别手势，准确率为．若连续识别3次手势，至少有一次识别错误的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据概率的乘法公式及对立事件即可求解． 【详解】若连续识别3次手势，至少有一次识别错误的对立事件为三次都识别正确， 所以至少有一次识别错误的概率为， 故选：A． 【考法预测2】（2026·河北邯郸·模拟预测）某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B．估计这批产品该项质量指标的众数为45 C．估计这批产品该项质量指标的中位数为60 D．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据频率分布直方图计算众数、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、用频率估计概率 【分析】利用各组的频率之和为1，求得的值，判定A；根据众数和中位数的概念判定BC；根据频率估计概率值，从而判定D. 【详解】，解得，故A正确； 频率最大的一组为第二组，中间值为，所以众数为45，故B正确； 质量指标大于等于60的有两组，频率之和为，所以60不是中位数，故C错误； 由于质量指标在[50,70)之间的频率之和为，可以近似认为从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5，故D正确. 故选: 考点06 频率估计概率 典例1．（25-26高二上·贵州遵义·期末）我市某高校共有学生30000人，其中女生18000人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：h）. (1)应收集多少个男生样本数据? (2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图，其中样本数据分布区间为：，，，，，，在该校学生中任选一人，试估计该生每周平均体育运动时间不超过7h的概率. 【答案】(1)120 (2) 【解题思路】（1）根据分层抽样比公式进行求解即可； （2）根据频率分布直方图，利用样本频率估计概率得解. 【解答过程】（1）根据分层抽样的方法， 所以男生样本数据个数为； （2）学生每周平均体育运动时间不超过7个小时的概率为：， 所以该校学生每周平均体育运动时间不超过7个小时的概率. 典例2．（25-26高一下·全国·课后作业）某市统计近几年婴儿出生数及其中男婴数（单位：人）如下： 出生婴儿数 21840 23070 20094 19982 出生男婴数 11453 12031 10297 10242 (1)试计算这几年男婴出生的频率（精确到0.001）； (2)估计该市男婴出生的概率（精确到0.1）． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）根据表中数据计算即可； （2）对（1）中的四组数据取平均值. 【解答过程】（1）男婴出生的频率分别为； （2）由题意知， 所以该市男婴出生的概率约为. 【考法预测1】（25-26高一下·江苏苏州·开学考试）为推动文明城市创建，提升城市整体形象，2018年12月30日盐城市人民政府出台了《盐城市停车管理办法》，2019年3月1日起施行.这项工作有利于市民养成良好的停车习惯，帮助他们树立绿色出行的意识，受到了广大市民的一致好评.现从某单位随机抽取80名职工，统计了他们一周内路边停车的时间t（单位：小时），整理得到数据分组及频率分布直方图如下： 组号 分组 频数 1 6 2 8 3 22 4 28 5 12 6 4    (1)从该单位随机选取一名职工，试估计这名职工一周内路边停车的时间少于8小时的概率； (2)求频率分布直方图中的值. 【答案】(1) (2)，. 【解题思路】（1）先求出样本中一周内路边停车的时间少于8小时的频率，再利用频率估计所选职工一周内路边停车的时间少于8小时的概率即可； （2）估计频率分布直方图的性质求. 【解答过程】（1）由已知，所选的名职工中有名职工一周内路边停车的时间少于8小时， 所以样本中一周内路边停车的时间少于8小时的频率为， 记 “从该单位随机选取一名职工，这名职工该周路边停车的时间少于8小时”为事件A， 则， 所以从该单位随机选取一名职工，所选职工一周内路边停车的时间少于8小时的概率为； （2）由频率分布直方图的性质可得， 所以，. 【考法预测2】（25-26高一下·广东广州·阶段练习）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下： (1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率； (2)根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较． 【答案】(1) (2)新养殖法更加优于旧养殖法. 【解题思路】（1）通过计算旧养殖法的箱产量低于50kg的频率来估计其概率； （2）利用平均数进行比较判断即可. 【解答过程】（1）由频率分布直方图可知，旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为 ， 所以事件A的概率估计值为； （2）由频率分布直方图可得 旧养殖法100个网箱的箱产量的平均数为 ， 新养殖法100个网箱的箱产量的平均数为 ， 因为， 所以新养殖法更加优于旧养殖法. 拔高・分层集训 基础演练 1．（2026·福建福州·模拟预测）已知事件A，B为随机事件，则“A，B为对立事件”是“A，B为互斥事件”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据定义分析：互斥事件：满足，即两事件不能同时发生，对立事件：满足且（样本空间），不仅互斥，还“非此即彼”。 【解答过程】充分性：若是对立事件，必然满足互斥，即“对立事件”可推出“互斥事件”，充分条件成立， 必要性：互斥事件未必是对立事件，即“互斥事件”推不出“对立事件”，必要条件不成立， 综上，“ A, B  为对立事件”是“ A, B 为互斥事件”的充分不必要条件. 故选： A. 2．（25-26高一下·全国·单元测试）某工厂生产的产品合格率是，这说明（   ） A．该工厂生产的10000件产品中不合格的产品一定有1件 B．该工厂生产的10000件产品中合格的产品一定有9999件 C．合格率是，很高，说明该工厂生产的10000件产品中没有不合格产品 D．该工厂生产的产品合格的可能性是 【答案】D 【解题思路】由概率的定义分析即可. 【解答过程】合格率是，是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小，该工厂生产的产品合格的可能性是. 故选:D． 3．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖. B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率. C．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈. D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水. 【答案】B 【解题思路】由概率、频率的概念逐个判断即可. 【解答过程】对于A，中奖概率为是指买一次彩票，可能中奖的概率为， 不是指1000张这种彩票一定能中奖，故A错误； 对于B，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故B正确； 对于C，某医院治疗一种疾病的治愈率为，是指一位病人被治愈的概率为， 不是说每10名患者就一定有一人被治愈，故C错误. 对于D，“明天本市降水概率为”指下雨的可能性为0.7，故D错. 故选：B. 4．（2026·四川绵阳·模拟预测）某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了下列结论，其中正确的是（    ）    A．估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天 B．估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3 C．估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625小时 D．估计该学生每日完成作业时间的众数为2.3小时 【答案】C 【解题思路】利用频率分别直方图、频数、频率、中位数、众数直接求解. 【解答过程】对于A，该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的天数为：天，故A错误； 对于B，估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为，故B错误； 对于C，的频率为，的频率为， 则该学生每日完成作业时间的中位数为，故C正确； 对于D，估计该学生每日完成作业时间的众数为，故D错误； 故选：C. 5．（25-26高一上·河北·开学考试）在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 【答案】C 【解题思路】根据白球只有2个不可能摸出3个即可进行解答. 【解答过程】A.摸出的是3个白球是不可能事件，不符合题意； B.摸出的是3个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意； C.摸出的球中至少有1个是黑球是必然事件，符合题意； D.摸出的是2个白球、1个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意. 故选：C. 6．（2026·湖南娄底·二模）某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意依次判断各项事件运算对应的含义，即可得. 【解答过程】表示前两次测试成绩均及格，故A错误； 表示后两次测试都没有及格，故B错误； 表示前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格，故C正确； 表示三次测试成绩均不及格，故D错误， 故选：C. 7．（2026·四川绵阳·三模）某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B．估计这批产品该项质量指标的众数为45 C．估计这批产品该项质量指标的中位数为60 D．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5 【答案】C 【解题思路】利用各组的频率之和为1，求得的值，判定A；根据众数和中位数的概念判定BC；根据频率估计概率值，从而判定D. 【解答过程】，解得，故A正确； 频率最大的一组为第二组，中间值为，所以众数为45，故B正确； 质量指标大于等于60的有两组，频率之和为，所以60不是中位数，故C错误； 由于质量指标在[50,70)之间的频率之和为，可以近似认为从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5，故D正确. 故选：C. 8．（25-26高二上·广东·阶段练习）不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为（    ） ①2张卡片都不是红色； ②2张卡片恰有1张是红色； ③2张卡片至少有1张是红色； ④2张卡片至多一张为红色. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据互斥事件、对立事件的定义，结合题意分析即可. 【解答过程】6张卡片中一次性任意取出2张卡片的情况有：“2张都是红色”、“2张都是蓝色”、“2张都是绿色”、“1张红色和1张蓝色”、“1张红色和1张绿色”、“1张蓝色和1张绿色”. “2张卡片都不是红色”与“2张卡片都为红色”是互斥而不对立事件； “2张卡片恰有1张是红色” 与“2张卡片都为红色”是互斥而不对立事件； “2张卡片至少有1张是红色”与“2张卡片都为红色”不是互斥事件； “2张卡片至多一张为红色” 与“2张卡片都为红色” 是对立事件. 所以事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为2. 故选：. 9．（2026·河南信阳·模拟预测）若将100枚硬币（均为正反两面）平放在桌面上，开始时有8枚硬币反面向上，重复执行以下操作：每次操作任选其中3枚硬币翻面（1枚硬币可重复翻面），若经过次上述操作后，所有硬币均为反面向上，则的值可以为（   ） A．45 B．54 C．63 D．72 【答案】BD 【解题思路】根据开始时有8枚硬币反面向上，任选其中3枚硬币翻面，得出要使100枚硬币均为反面向上，至少需要进行32次操作即可解题. 【解答过程】考虑92个正面向上的硬币，将其编号为1，2，…，92，通过30次操作可将编号1~90的硬币翻至反面向上， 第31次操作时将编号为91（或92）以及任意另外两枚反面向上的硬币翻面， 则此时恰有3枚硬币正面向上，第32次操作时将3枚正面向上硬币翻面，即可保证所有硬币均为反面向上. 因此，要使100枚硬币均为反面向上，至少需要进行32次操作. 当所有硬币反面向上后，若将其中3枚硬币连续进行两次操作，所有硬币仍反面向上. 因此，若要保证所有硬币反面向上，操作的次数必然为偶数次. 故选：BD. 10．（2026·安徽合肥·模拟预测）粉笔盒中只装了白红黄蓝绿5支不同颜色的粉笔，老师上课时随机使用了3支，下列结论中正确的是（   ） A．事件“白色与红色粉笔都用到”与“白色与红色粉笔至少1支用到”为互斥事件 B．事件“白色与红色粉笔都用到”与“白色与红色粉笔至多1支用到”为对立事件 C．白色与红色粉笔都用到的概率为 D．白色与红色粉笔至少1支用到的概率为 【答案】BD 【解题思路】根据题意，由互斥事件的定义，可判定A错误；根据对立事件的定义，可得判定B正确，利用列举法，结合古典摡型的概率计算公式，可判定C错误，D正确. 【解答过程】记白、红、黄、蓝、绿颜色的粉笔分别为：， 对于A中，“都入选”与“至少1支入选”可以同时发生，所以A错误； 对于B中，对于是否入选所有事件类型有：都入选，入选不入选，不入选入选和都不入选，所以事件“白色与红色粉笔都用到”与“白色与红色粉笔至多1支用到”为对立事件，所以B正确； 对于C中，设从5支中随机选3支，则有，，，，，，，，，，共10种选法， 其中都入选的选法有3种，故所求概率，所以C错误； 对于D中，由至少1支入选的选法有9种，故所求概率，所以D正确． 故选：BD． 11．（2026·江苏镇江·模拟预测）为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动.决赛准备了4道选择题和2道填空题，每位参赛者从6道题中不放回地随机抽取三次，每次抽取1道题作答.设事件为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（    ） A．与互斥；与互斥 B．不管第几次抽取，抽到选择题的概率都相同 C． D． 【答案】BC 【解题思路】根据互斥事件的定义判断A，由简单随机抽样的性质判断B，根据古典概型的概率公式判断CD. 【解答过程】由题意可知第1次抽到选择题与第2次抽到选择题可能同时发生， 所以与不是互斥事件，同理与也不是互斥事件，A说法错误； 从6道题中不放回地随机抽取三次，满足简单随机抽样，每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，B说法正确； 第二次抽到选择题且第三次也抽到选择题的概率,C说法正确； 第1次抽到选择题或第2次抽到选择题的概率,D说法错误； 故选：BC. 12．（25-26高二上·四川眉山·开学考试）在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率为 ． 【答案】0.45 【解题思路】根据给定条件，利用频率的定义求解. 【解答过程】正面向上的频率为：. 故答案为：. 13．（25-26高二·上海·课堂例题）若事件A和B互斥，且，，则 ． 【答案】0.8 【解题思路】先利用互斥事件的概率加法公式求出，再由即得. 【解答过程】因事件A和B互斥，则， 解得，故. 故答案为：0.8. 14．（25-26高二·上海·课堂例题）观察下列现象： ①在标准大气压下水加热到100℃，沸腾； ②导体通电，发热； ③异性电荷，相互排斥； ④实心铁块丢入水中，铁块浮起； ⑤买一张福利彩票，中奖； ⑥掷一枚硬币，反面朝上； 其中是随机现象的有 ． 【答案】⑤⑥ 【解题思路】根据随机现象的定义逐个分析判断 【解答过程】对于①，在标准大气压下水加热到100℃，沸腾，是必然现象， 对于②，导体通电，发热，是必然现象， 对于③，异性电荷，相互排斥，是不可能现象， 对于④，实心铁块丢入水中，铁块浮起，是不可能现象， 对于⑤，买一张福利彩票，中奖，是随机现象， 对于⑥掷一枚硬币，反面朝上，是随机现象， 故答案为：⑤⑥. 15．（25-26高二·上海·课堂例题）判断下列事件中，哪些是确定的事件，哪些是不确定的事件？ (1)在空地上抛一石块，石块会下落； (2)明天上午八时到九时之间，你会接到一个推销电话； (3)买一张福利彩票，会中奖． 【答案】(1)确定事件 (2)不确定事件 (3)不确定事件 【解题思路】（1）由确定事件的定义判断即可； （2）由不确定事件的定义判断即可； （3）由不确定事件的定义判断即可. 【解答过程】（1）在空地上抛一石块，由于引力作用，石块一定会下落，故该事件是必然事件，即该事件也是确定事件； （2）明天上午八时到九时之间，你可能会接到一个推销电话，也可能不会接到一个推销电话，即该事件是不确定事件； （3）买一张福利彩票，可能会中奖，有可能不会中将，即该事件是不确定事件. 16．（25-26高二上·广东佛山·阶段练习）把分别写在10张形状大小一样的卡片上，并随机抽取1张．设事件：出现奇数，事件：出现被3除余2的数．写出下面两个事件的对应子集： (1)事件、事件至少有一个发生； (2)事件、事件恰好有一个发生． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意将事件一一列出，然后求它们的并事件即可； （2）根据题意将事件一一列出，然后求它们的交事件即可； 【解答过程】（1）由题意可知出现奇数所有可能为， 出现被3除余2的数的可能为， 所以A、B至少有一个发生为； （2）由（1）知事件，事件， 所以A、B同时发生为. 所以事件、事件恰好有一个发生为. 17．（25-26高二上·广东佛山·期中）甲、乙2名同学最近100次投篮的情况如下： 甲 乙 投中 50 60 不投中 50 40 由频率估计概率，解答下列问题. (1)分别估计甲、乙2名同学的投篮命中率. (2)规定：甲、乙各投篮2次为1局比赛，投中次数多的获胜，次数相同则平局.甲、乙每次投中与否相互独立，估计甲、乙两人平局的概率. (3)在（2）的规则下，估计甲、乙在两局内分出胜负的概率. 【答案】(1)甲同学的投篮命中率为,乙同学的投篮命中率为 (2) (3) 【解题思路】（1）利用投篮命中的频率估计概率即可； （2）根据独立性事件同时发生的概率公式及互斥事件的加法概率公式即可求解； （3）先求出两局都平局的概率，再利用对立事件法即可求解. 【解答过程】（1）甲同学的投篮命中率为， 乙同学的投篮命中率为. （2）甲、乙两人平局有三种情况： 甲、乙都投中了2次，其概率为， 甲、乙都投中了1次，其概率为， 甲、乙都投中了0次，其概率为. 所以甲、乙两人平局的概率为. （3）由（2）可知一局比赛中平局的概率为，所以两局都平局的概率为， 所以甲、乙在两局内分出胜负的概率为. 18．（24-25高一·全国·随堂练习）设某人向一个目标连续射击3次，用事件表示随机事件“第i次射击命中目标”（，2，3），指出下列事件的含义： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析； (4)答案见解析． 【解题思路】（1）根据事件交的定义说明； （2）根据事件的交与补的定义说明； （3）根据事件并与补的定义说明； （4）根据事件补与交的定义说明． 【解答过程】（1）表示第1次和第2次都击中目标； （2）表示第3次未击中目标， 表示第1次和第2次都击中目标且第3次未击中目标； （3）表示第1次或第2次击中目标，事件第1次和第2次都未击中目标； （4）表示第()次未击中目标， 表示3次都未击中目标． 19．（24-25高一下·全国·课后作业）为了解一个鱼塘中养殖的鱼的生长情况，从这个鱼塘中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：kg），并将所得数据分组（每组包含左端值，不包含右端值），画出频率分布直方图，如图所示． (1)根据直方图作频率分布表； (2)估计数据落在中的概率为多少； (3)将上面捕捞的100条鱼分别做一记号后再放回鱼塘，几天后再从鱼塘的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该鱼塘中鱼的总条数． 【答案】(1)答案见解析 (2)0.47 (3)2000 【解题思路】（1）根据小矩形面积为各组频率求出频率列表即可； （2）数据落在中的概率即为之间矩形面积之和； （3）根据分层抽样的比例关系即可得到答案. 【解答过程】（1）根据频率分布直方图可知，频率=组距（频率/组距），故可得下表 分组 频率 0.05 0.20 0.28 0.30 0.15 0.02 （2），所以数据落在中的概率约为0.47. （3）设水库中鱼的总条数约为条，则， 即，所以水库中鱼的总条数约为2000条. 能力进阶 1．（25-26高一上·江西南昌·期末）把标号为1，2，3的三张卡片分发给甲，乙，丙三个人，事件A表示“甲分得1号卡片”，事件B表示“乙分得1号卡片”，事件C表示“丙分得1号卡片”，则下列说法错误的是（   ） A．是不可能事件 B．A，B是互斥事件 C．是必然事件 D．B，C是对立事件 【答案】D 【分析】1 号卡片只能分给甲、乙、丙中的一个人，因此事件 A、B、C 之间存在明确的互斥关系，我们可以据此逐一判断每个选项的正误. 【详解】A选项：事件A（甲得1号）和事件B（乙得1号）不可能同时发生，因此 是不可能事件，A正确. B选项：事件A和B不能同时发生，因此是互斥事件，B正确. C选项： 表示“1号卡片分给甲、乙或丙”，这在分卡片时必然发生，因此是必然事件，C正确. D选项：事件B（乙得1号）和C（丙得1号）是互斥事件，但不是对立事件，因为还存在“甲得1号”的情况（事件A），两者的并集不是必然事件，故D错误. 故选：D 2．（多选）（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）有一个掷骰子的游戏，骰子六个面上分别标有1~6六个数字，第一个人将一颗骰子抛掷一次，第二个人将一颗骰子抛掷2次，第三个人将一颗骰子抛掷3次……第n个人将一颗骰子抛掷n次，记表示“第n个人n次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于.现有下列结论正确的有（   ） A．必然发生 B．发生的概率为 C．可能发生 D．发生的概率大于0 【答案】ABC 【分析】可根据随机事件、必然事件等的定义进行判断A，C，D；根据概率乘法公式及对立事件概率公式计算判断B. 【详解】对于A：∵抛掷1次出现的点数最小为1， 第1个人1次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和一定大于，所以为必然事件； 对于B：∵抛掷2次出现的点数和最小为2， 表示第2个人2次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于， 除了最小值其他值都符合题意，所以发生的概率为正确； 对于C：∵表示第4个人4次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于， 而4次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和最大为24，所以可能发生； 对于D：∵表示第5个人5次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于， 而5次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和最大为30， 所以不可能发生，即发生的概率为0，错误； 3．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）在10名学生中，男生有名，现从10名学生中任选6人去参加某项活动：①至少有一名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则可以是（   ） A．5 B．6 C．3 D．4 【答案】CD 【分析】根据②为不可能事件，可知男生人数少于5人，结合③为随机事件可知男生人数不少于3人，即可得出结果. 【详解】依题意知②为不可能事件，所以10名同学中，男生人数少于5人， ③为随机事件，所以男生人数不少于3人， 男生有名，故或． 故选：CD 4．（多选）（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知盒子中有8个质地均匀的小球，红色小球个，其余均为黑色小球．现从中任意抽取5个小球，若事件“至少取出一个黑色小球”为必然事件，事件“取出4个红色小球，1个黑色小球”为不可能事件，事件“取出2个红色小球，3个黑色小球”为随机事件，则可以为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】AB 【详解】由事件“至少取出一个黑色小球”为必然事件，则， 又由事件“取出4个红色小球，1个黑色小球”为不可能事件，则， 又由事件“取出2个红色小球，3个黑色小球”为随机事件，则， 所以可以为2或3. 5．（25-26高二下·浙江·期中）如图，河面上从左至右4个石墩排成一条直线，松鼠在第2个石墩上．松鼠会在相邻的两个石墩（或石墩与河岸）间不停地跳跃．每次跳跃时，向左跳的概率为，向右跳的概率为．当松鼠跳到左岸或右岸时，就去树林里吃松果，不再返回．将河的左、右岸分别标记为0号、5号石墩．将松鼠位于第个石墩上并最终跳到右岸的概率记为． (1)省略推导过程，直接写出的值，直接判断与的大小关系； (2)当河面上有个石墩且时，求； (3)当河面上有个石墩且时，要使，求的最大值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）由不可能事件和必然事件的概率得，利用对立事件考虑从1，2号石墩跳到右岸的概率，从而可比较大小； （2）利用互斥事件概率公式得出，确定是等差数列，从而求得结论； （3）同（2）分析得出递推关系式：，利用迭代法求得，再用累加法求得，然后利用求出的最大值. 【详解】（1）松鼠在左岸时，直接去树林里吃松果，不可能跳去右岸，因此， 同样松鼠在右岸时已经不需要跳跃了，因此， 松鼠在1号石墩，只要向左跳一次，就到左岸去树林里吃松果， 而2号石墩，至少需要向左跳2次，才能到左岸去树林里吃松果， 因此1号石墩到左岸去树林里吃松果的概率大于2号石墩到左岸去树林里吃松果的概率， 从而到右岸去树林里吃松果的概率反而小，所以； （2）由（1）知 考虑松鼠位于第个石墩上并最终跳到右岸的情况可分为互斥的两类， 向左跳到第个石墩并最终跳到右岸； 向右跳到第个石墩并最终跳到右岸． 以上两种情况的概率分别为和， 故有， 即， 所以数列是等差数列， 则 得到； （3）由（2）的分析知， 整理得 累加得 ， 而 ， 得到 ， 而. ，即最大值为6. 6．（25-26高二上·广东汕尾·期中）鑫隆中学公认的乒乓球高手小宁、小单、小黄要进行巅峰对决，经约定，进行如下4场比赛决定胜负关系： ①小单、小黄两位选手进行本场比赛，败者落入败者组； ②小宁与第①场比赛的胜者比赛，败者落入败者组； ③败者组两人进行比赛，败者记为第三名； ④第②、③场比赛胜者进行比赛，胜者记为第一名，败者记为第二名. 已知三位选手实力不分伯仲： (1)求小黄在第一场比赛中获胜的概率； (2)求小单在败者组比赛中被淘汰的概率； (3)求小宁最终获胜（即获得第一名）的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题设条件，即可求解； （2）设小单在一次比赛中获胜为事件，根据条件知所求概率为，再利用相互独立事件同时发生的概率公式，即可求解； （3）设小宁在一次比赛中获胜为事件，根据条件知所求概率为，再利用相互独立事件同时发生的概率公式，即可求解. 【详解】（1）由三位选手实力不分伯仲可知，小黄在第一场比赛中获胜的概率为. （2）设小单在一次比赛中获胜为事件，且， 小单在败者组比赛中被淘汰分为两种情况： ①第一场与小黄比赛输，第二场在败者组的比赛输，即； ②第一场与小黄比赛赢，第二场与小宁比赛输，第三场在败者组的比赛输，即； 综上所述，小单在败者组比赛中被淘汰的概率为. （3）设小宁在一次比赛中获胜为事件，且， 小宁最终获胜的情况可分为两种情况： ①小宁第一场比赛获胜，第二场比赛也获胜，即； ②小宁第一场比赛落败，第二场比赛获胜，第三场比赛也获胜，即. 综上所述，小宁最终获胜的概率为. 真题实战 1．（2024·上海·高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 【答案】B 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，逐一判断选项即可． 【详解】选项A，事件和事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件与事件不互斥，A错误； 选项B，，，， ，B正确； 选项C，事件与事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错误； 选项D，，，， ， 与不独立，故D错误． 故选：B． 2．（2026·上海·高考真题）已知事件，互斥，，，则__________． 【答案】/ 【详解】因为互斥，所以. 3．（2026·北京·高考真题）现从全校学生中随机抽取200人统计数学成绩，成绩分组及对应人数如下： 成绩分组 人数 40 60 60 32 8 以频率估计概率，完成下列问题： (1)求数学成绩低于120分的概率； (2)从学校随机抽取4人，求2人不低于120且2人小于94的概率； (3)每组数据取左端、中间、右端，比较、、的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求样本中数学成绩低于分的频率，再由频率估计概率； （2）先分别求事件成绩不低于分的概率和事件成绩小于分的概率，再由独立事件概率乘法公式求结论； （3）根据方差公式分别求，比较大小可得结论. 【详解】（1）由已知样本中数学成绩低于分的频率为， 所以数学成绩低于分的概率为， （2）从学校随机抽取一人，该学生成绩不低于分的概率为， 小于分的概率为， 所以从学校随机抽取人，人不低于且人小于的概率为， （3）每组数据取左端的值记为，， 每组数据取中间的值记为，， 每组数据取右端的值记为，， 由已知，，，，， 所以， 由已知，，，，， 所以， ，，，，， 所以， ， 所以. 4．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）用频率估计概率即可求解； （2）利用独立事件乘法公式以及互斥事件的加法公式可求恰有1人做对的概率及的分布列，从而可求其期望； （3）根据题设可得关于的方程，求出其解后可得它们的大小关系. 【详解】（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率. （2）设为“从甲校抽取1人做对”，则，， 设为“从乙校抽取1人做对”，则，， 设为“恰有1人做对”，故 依题可知，可取， ，，， 故的分布列如下表： 故. （3）设为 “甲校掌握这个知识点的学生做该题”， 因为甲校掌握这个知识点则有的概率做对该题目， 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个， 故，即，故， 同理有，，故， 故. 5．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：         时间范围学业成绩 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1） (3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ （附：其中，．） 【答案】(1) (2) (3)有 【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可； （2）根据平均数的计算公式即可得到答案； （3）作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论. 【详解】（1）由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比， 则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为． （2）估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为 ． 则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时. （3）由题列联表如下： 其他 合计 优秀 45 50 95 不优秀 177 308 485 合计 222 358 580 提出零假设：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关． 其中． ． 则零假设不成立， 即有的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关． 6．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)(i)0.122万元；(ii) 这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于（i）中估计值 【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率; （2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取，用频率估计概率后可求的分布列及数学期望，从而可求. （ⅱ）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求，从而即可比较大小得解. 【详解】（1）设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”， 由题设中的统计数据可得. （2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取， 由题设中的统计数据可得， ，， ， 故 故（万元）. （ⅱ）由题设保费的变化为， 故（万元）， 从而. 7．（2024·全国甲卷·高考真题）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？ (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（） 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)列联表： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异. (2)可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算，并与临界值对比分析； （2）用频率估计概率可得，根据题意计算，结合题意分析判断. 【详解】（1）根据题意可得列联表： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 可得， 因为， 所以有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异. （2）由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为， 用频率估计概率可得， 又因为升级改造前该工厂产品的优级品率， 则， 可知， 所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 8．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】(1) (2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛； 【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）（i）首先各自计算出，，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可. 【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. （2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ， 因为，则，， 则， 应该由甲参加第一阶段比赛. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 随机事件、频率与概率 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 频率与概率 知识2 随机事件 知识3 随机事件的关系与概率 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测） 考点01 随机事件与样本空间 考点02 随机事件的关系与运算 考点03 互斥事件与对立事件的判断 方法技巧 互斥事件与对立事件的判断 考点04 互斥事件与对立事件的概率 方法技巧 互斥事件与对立事件的概率 考点05 频率与概率 考点06 频率估计概率 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系；了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算；理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 随机事件、频率与概率 全国二卷第15题、上海卷第6题 全国一卷第15题、全国二卷第12题 新课标Ⅱ第12题 考情解读 本讲是概率部分的基础概念板块，高考直接考查频率较低，但相关知识是后续古典概型、条件概率等内容的理论根基。命题常见形式为：结合实际问题考查互斥事件、对立事件的概率加法公式；或以频率估计概率的思想融入解答题中。新课标强调“样本空间”与“随机事件”的关系理解，要求学生会用集合观点描述事件。近年考题中，本讲内容常以小题形式考查基本概念辨析，难度为容易题。 备考策略 复习应引导学生从集合的视角理解随机事件的关系与运算（并、交、互斥、对立），强化概率基本性质（非负性、规范性、可加性）的掌握。建议结合生活实例帮助学生建立频率与概率的联系，理解概率的统计定义与公理化定义的关系。 知识・归纳梳理 知识1 频率与概率 1．频率与概率的区别 频率 本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率也可能会不同. 概率 本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变. 举例 辨析 例如，在相同条件下掷一枚质地均匀的硬币1000次，出现正面向上的次数是521，则正面向上的频率f1000（正面向上），而正面向上的概率P（正面向上），它是一个客观常数， 2．频率的稳定性(用频率估计概率) 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有 .一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的 .因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 知识2 随机事件 1．事件 (1)随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为 ，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. (2)必然事件 A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为 . (3)不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为 事件. 2．事件的关系和运算 (1)两个事件的关系和运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示 包含 A发生导致B发生 并事件 （和事件） A与B至少一个发生 或 交事件 （积事件） A与B同时发生 或 互斥 （互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， (2)多个事件的和事件、积事件 类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，…，A∪B∪C∪… (或A+B+C+…)发生当且仅当A，B，C，…中至少一个发生，A∩B∩C∩… (或ABC…)发生当且仅当A，B，C，…同时发生. 知识3 随机事件的关系与概率 1．互斥事件、对立事件的判断 判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为 事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为 事件，对立事件 互斥事件. 2．互斥事件的概率求法 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法： 一是 ，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算； 二是 ，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)=1-P(A)求出所求概率，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法比较简便. 【方法技巧与总结】 1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件 (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为 . (2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的 . 2．概率加法公式的推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即 . 重难・核心突破 考点01 随机事件的样本空间 典例1．（25-26高三下·福建温州·期末）下列事件中，是随机事件的是（    ） ①明天本市会下雨 ②投掷2颗质地均匀的骰子，点数之和为14 ③抛掷一枚质地均匀的硬币，字朝上 ④13个人中至少有2个人的生日在同一个月 A．①③ B．③④ C．①④ D．②③ 典例2．（2026·云南·一模）下列事件是必然事件的是(　　) A．某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军 B．一个三角形的大边对的角小，小边对的角大 C．如果a＞b，那么b＜a D．某人购买福利彩票中奖 【考法预测1】（25-26高二上·海南·阶段练习）盒子中有四个小球，分别写有“知”“行”“合”“一”四个字，从盒子中有放回抽取小球，直到取到“知”“行”二字就停止.用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率：利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“知”“行”“合”“一”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 323 231 320 032 132 031 123 330 110 321 120 122 321 221 230 132 322 130 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026·辽宁锦州·模拟预测）（多选题）现有分别标有2024，2021，2028，2023，2020，2022数字的6张卡片，下列说法正确的是（    ） A．卡片数字的第80百分位数为2024 B．从中随机抽取两张，共有30种不同的组合 C．从中随机抽取一张，抽到偶数的概率比奇数大 D．从中随机抽取一张，抽到质数是等可能事件 考点02 随机事件的关系与运算 典例1．（2026·湖北武汉·三模）现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出2只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚”.则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 典例2．（2026·吉林·二模）已知随机事件A和B，下列表述中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若互斥，则 D．若互斥，则 【考法预测1】（2026·江西·三模）A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（25-26高二下·广东惠州·阶段练习）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（   ） A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 考点03 互斥事件与对立事件的判断 典例1．（2026·广东东莞·二模）某小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加歌咏比赛，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（    ） A．至少有1名男生和至少有1名女生 B．至少有1名男生和全是男生 C．至少有1名男生和全是女生 D．恰有1名男生和恰有2名男生 典例2．（2026·广东深圳·三模）投掷两枚质地均匀的骰子，记事件A为两枚骰子朝上的点数均为偶数，事件B为两枚骰子朝上的点数均为奇数，则（    ） A．A为必然事件 B．B为不可能事件 C．A与B为互斥但不对立事件 D．A与B互为对立事件 方法技巧 互斥事件与对立事件的判断 1、准确把握互斥事件与对立事件的概念：①互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，既有且仅有一个发生． 2、判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件． 【考法预测1】（25-26高二下·广东深圳·阶段练习）从装有除颜色外其他完全相同的个红球（编号为、）和个白球（编号为、）的口袋内任取个球，则互斥且不对立的两个随机事件是（   ） A．至少有个白球，都是白球 B．至少有个白球，至少有个红球 C．恰有个白球，恰有个白球 D．至少有个白球，都是红球 【考法预测2】（多选）（2026·广东湛江·二模）从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都是白球”互斥而非对立的事件是以下事件中的哪几个（    ） A．事件“两球都不是白球” B．事件“两球恰有一白球” C．事件“两球至少有一个白球” D．事件“两球不都是白球” 考点04 互斥事件与对立事件的概率 典例1．（2026·广东肇庆·二模）小王数学期末考试考了分，受到爸爸表扬的概率为，受到妈妈表扬的概率也为，假设小王受爸爸表扬和受妈妈表扬独立，则小王被表扬的概率为（    ） A． B． C． D． 典例2．（2026·广东广州·三模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．现在已知甲选择了号箱，用表示号箱有奖品（），用表示主持人打开号箱子（），则 ，若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为 ． 方法技巧 互斥事件与对立事件的概率 求复杂的互斥事件的概率的两种方法 （1）直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算． （2）间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维（正难则反）．特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解就显得较简便． 【考法预测1】（25-26高二下·广东茂名·阶段练习）已知某同学参加了当地相关部门举办的数学奥林匹克竞赛的预赛，该预赛共有3道解答题，3道全部答对即可获得满分，已知该同学答对这3道解答题的概率依次为0.8，，则该同学按题号顺序连续正确解答出2道解答题但没获得满分的概率为（    ） A．0.408 B．0.384 C．0.246 D．0.532 【考法预测2】（2026·甘肃甘南·模拟预测）乒乓球比赛现采用五局三胜制，即最多打五局，谁先赢三局谁胜．甲、乙两人进行乒乓球比赛，甲在每局比赛中获胜的概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．已知前两局比赛中，甲、乙各胜1局，则最终乙获胜的概率为 ． 考点05 频率与概率 典例1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）某学校高三教研组为调查高三学生的学习情况，分别从高三年级中的20个班一共抽取40个人进行询问，其中各班人数均为50人，则某个班级中某个学生被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 典例2．（25-26高一上·湖南衡阳·阶段练习）（多选题）某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个选项得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正确的是（   ） A．甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为 B．乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为 C．丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高 D．丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同 【考法预测1】（2025·福建泉州·模拟预测）某系统通过摄像头识别手势，准确率为．若连续识别3次手势，至少有一次识别错误的概率是（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026·河北邯郸·模拟预测）某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B．估计这批产品该项质量指标的众数为45 C．估计这批产品该项质量指标的中位数为60 D．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5 考点06 频率估计概率 典例1．（25-26高二上·贵州遵义·期末）我市某高校共有学生30000人，其中女生18000人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：h）. (1)应收集多少个男生样本数据? (2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图，其中样本数据分布区间为：，，，，，，在该校学生中任选一人，试估计该生每周平均体育运动时间不超过7h的概率. 典例2．（25-26高一下·全国·课后作业）某市统计近几年婴儿出生数及其中男婴数（单位：人）如下： 出生婴儿数 21840 23070 20094 19982 出生男婴数 11453 12031 10297 10242 (1)试计算这几年男婴出生的频率（精确到0.001）； (2)估计该市男婴出生的概率（精确到0.1）． 【考法预测1】（25-26高一下·江苏苏州·开学考试）为推动文明城市创建，提升城市整体形象，2018年12月30日盐城市人民政府出台了《盐城市停车管理办法》，2019年3月1日起施行.这项工作有利于市民养成良好的停车习惯，帮助他们树立绿色出行的意识，受到了广大市民的一致好评.现从某单位随机抽取80名职工，统计了他们一周内路边停车的时间t（单位：小时），整理得到数据分组及频率分布直方图如下： 组号 分组 频数 1 6 2 8 3 22 4 28 5 12 6 4    (1)从该单位随机选取一名职工，试估计这名职工一周内路边停车的时间少于8小时的概率； (2)求频率分布直方图中的值. 【考法预测2】（25-26高一下·广东广州·阶段练习）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下： (1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率； (2)根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较． 拔高・分层集训 基础演练 1．（2026·福建福州·模拟预测）已知事件A，B为随机事件，则“A，B为对立事件”是“A，B为互斥事件”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（25-26高一下·全国·单元测试）某工厂生产的产品合格率是，这说明（   ） A．该工厂生产的10000件产品中不合格的产品一定有1件 B．该工厂生产的10000件产品中合格的产品一定有9999件 C．合格率是，很高，说明该工厂生产的10000件产品中没有不合格产品 D．该工厂生产的产品合格的可能性是 3．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖. B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率. C．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈. D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水. 4．（2026·四川绵阳·模拟预测）某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了下列结论，其中正确的是（    ）    A．估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天 B．估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3 C．估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625小时 D．估计该学生每日完成作业时间的众数为2.3小时 5．（25-26高一上·河北·开学考试）在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 6．（2026·湖南娄底·二模）某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·四川绵阳·三模）某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B．估计这批产品该项质量指标的众数为45 C．估计这批产品该项质量指标的中位数为60 D．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5 8．（25-26高二上·广东·阶段练习）不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为（    ） ①2张卡片都不是红色； ②2张卡片恰有1张是红色； ③2张卡片至少有1张是红色； ④2张卡片至多一张为红色. A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2026·河南信阳·模拟预测）若将100枚硬币（均为正反两面）平放在桌面上，开始时有8枚硬币反面向上，重复执行以下操作：每次操作任选其中3枚硬币翻面（1枚硬币可重复翻面），若经过次上述操作后，所有硬币均为反面向上，则的值可以为（   ） A．45 B．54 C．63 D．72 10．（2026·安徽合肥·模拟预测）粉笔盒中只装了白红黄蓝绿5支不同颜色的粉笔，老师上课时随机使用了3支，下列结论中正确的是（   ） A．事件“白色与红色粉笔都用到”与“白色与红色粉笔至少1支用到”为互斥事件 B．事件“白色与红色粉笔都用到”与“白色与红色粉笔至多1支用到”为对立事件 C．白色与红色粉笔都用到的概率为 D．白色与红色粉笔至少1支用到的概率为 11．（2026·江苏镇江·模拟预测）为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动.决赛准备了4道选择题和2道填空题，每位参赛者从6道题中不放回地随机抽取三次，每次抽取1道题作答.设事件为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（    ） A．与互斥；与互斥 B．不管第几次抽取，抽到选择题的概率都相同 C． D． 12．（25-26高二上·四川眉山·开学考试）在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率为 ． 13．（25-26高二·上海·课堂例题）若事件A和B互斥，且，，则 ． 14．（25-26高二·上海·课堂例题）观察下列现象： ①在标准大气压下水加热到100℃，沸腾； ②导体通电，发热； ③异性电荷，相互排斥； ④实心铁块丢入水中，铁块浮起； ⑤买一张福利彩票，中奖； ⑥掷一枚硬币，反面朝上； 其中是随机现象的有 ． 15．（25-26高二·上海·课堂例题）判断下列事件中，哪些是确定的事件，哪些是不确定的事件？ (1)在空地上抛一石块，石块会下落； (2)明天上午八时到九时之间，你会接到一个推销电话； (3)买一张福利彩票，会中奖． 16．（25-26高二上·广东佛山·阶段练习）把分别写在10张形状大小一样的卡片上，并随机抽取1张．设事件：出现奇数，事件：出现被3除余2的数．写出下面两个事件的对应子集： (1)事件、事件至少有一个发生； (2)事件、事件恰好有一个发生． 17．（25-26高二上·广东佛山·期中）甲、乙2名同学最近100次投篮的情况如下： 甲 乙 投中 50 60 不投中 50 40 由频率估计概率，解答下列问题. (1)分别估计甲、乙2名同学的投篮命中率. (2)规定：甲、乙各投篮2次为1局比赛，投中次数多的获胜，次数相同则平局.甲、乙每次投中与否相互独立，估计甲、乙两人平局的概率. (3)在（2）的规则下，估计甲、乙在两局内分出胜负的概率. 18．（24-25高一·全国·随堂练习）设某人向一个目标连续射击3次，用事件表示随机事件“第i次射击命中目标”（，2，3），指出下列事件的含义： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（24-25高一下·全国·课后作业）为了解一个鱼塘中养殖的鱼的生长情况，从这个鱼塘中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：kg），并将所得数据分组（每组包含左端值，不包含右端值），画出频率分布直方图，如图所示． (1)根据直方图作频率分布表； (2)估计数据落在中的概率为多少； (3)将上面捕捞的100条鱼分别做一记号后再放回鱼塘，几天后再从鱼塘的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该鱼塘中鱼的总条数． 能力进阶 1．（25-26高一上·江西南昌·期末）把标号为1，2，3的三张卡片分发给甲，乙，丙三个人，事件A表示“甲分得1号卡片”，事件B表示“乙分得1号卡片”，事件C表示“丙分得1号卡片”，则下列说法错误的是（   ） A．是不可能事件 B．A，B是互斥事件 C．是必然事件 D．B，C是对立事件 2．（多选）（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）有一个掷骰子的游戏，骰子六个面上分别标有1~6六个数字，第一个人将一颗骰子抛掷一次，第二个人将一颗骰子抛掷2次，第三个人将一颗骰子抛掷3次……第n个人将一颗骰子抛掷n次，记表示“第n个人n次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于.现有下列结论正确的有（   ） A．必然发生 B．发生的概率为 C．可能发生 D．发生的概率大于0 3．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）在10名学生中，男生有名，现从10名学生中任选6人去参加某项活动：①至少有一名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则可以是（   ） A．5 B．6 C．3 D．4 4．（多选）（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知盒子中有8个质地均匀的小球，红色小球个，其余均为黑色小球．现从中任意抽取5个小球，若事件“至少取出一个黑色小球”为必然事件，事件“取出4个红色小球，1个黑色小球”为不可能事件，事件“取出2个红色小球，3个黑色小球”为随机事件，则可以为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（25-26高二下·浙江·期中）如图，河面上从左至右4个石墩排成一条直线，松鼠在第2个石墩上．松鼠会在相邻的两个石墩（或石墩与河岸）间不停地跳跃．每次跳跃时，向左跳的概率为，向右跳的概率为．当松鼠跳到左岸或右岸时，就去树林里吃松果，不再返回．将河的左、右岸分别标记为0号、5号石墩．将松鼠位于第个石墩上并最终跳到右岸的概率记为． (1)省略推导过程，直接写出的值，直接判断与的大小关系； (2)当河面上有个石墩且时，求； (3)当河面上有个石墩且时，要使，求的最大值． 6．（25-26高二上·广东汕尾·期中）鑫隆中学公认的乒乓球高手小宁、小单、小黄要进行巅峰对决，经约定，进行如下4场比赛决定胜负关系： ①小单、小黄两位选手进行本场比赛，败者落入败者组； ②小宁与第①场比赛的胜者比赛，败者落入败者组； ③败者组两人进行比赛，败者记为第三名； ④第②、③场比赛胜者进行比赛，胜者记为第一名，败者记为第二名. 已知三位选手实力不分伯仲： (1)求小黄在第一场比赛中获胜的概率； (2)求小单在败者组比赛中被淘汰的概率； (3)求小宁最终获胜（即获得第一名）的概率. 真题实战 1．（2024·上海·高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 2．（2026·上海·高考真题）已知事件，互斥，，，则__________． 3．（2026·北京·高考真题）现从全校学生中随机抽取200人统计数学成绩，成绩分组及对应人数如下： 成绩分组 人数 40 60 60 32 8 以频率估计概率，完成下列问题： (1)求数学成绩低于120分的概率； (2)从学校随机抽取4人，求2人不低于120且2人小于94的概率； (3)每组数据取左端、中间、右端，比较、、的大小关系． 4．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 5．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：         时间范围学业成绩 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1） (3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ （附：其中，．） 6．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） 7．（2024·全国甲卷·高考真题）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？ (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（） 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 8．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $