课外拓展提高 31.2.2 第2课时 相似三角形的判定定理3-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学(教师用书)(人教版·新教材)

冒第2课时相似三角形的判 1.已知△ABC的三边长是√2，√6,2，则与其相 似的三角形的三边长可能是 (A) A.1,√2,3 2 B.13,2 c18, D,8号 2.如图，各正方形的边长均为1，则四个阴影三 角形中，一定相似的一对是 (A) 4 第2题图 A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 3.如图，AB⊥BD,PD⊥BD,垂足分别为B, D,C是线段BD上的动点，E是射线DP上 的动点.增加下列条件，仍不能判定△ABC 与△CDE相似的是 (D) BC AB A.∠A=∠ECD B. CD ED AB AC BC AB C.CDCE D. CEED 第3题图 第4题图 4.传统文化在如图所示的象棋盘（各个小正 方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规 则，使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的 三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构 成的三角形相似，“马”应落在 (B) A.①处 B.②处 C.③处 D.④处 82 九年级数学RJ版 定定理3（建议用时：45分钟) 5.已知等腰三角形ABC的两边长分别是4和9， 等腰三角形DEF的腰长为6.当等腰三角形 DEF的底边长为 3 时，等腰三角形 ABC和等腰三角形DEF相似， 6.如图，在4×4的正方形网格中，能作出与 △ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形 的顶点上)，其中最小的三角形的面积是 2 B C 第6题图 第7题图 7.如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠ACB =∠ADC=90°.若AC2=AD·AB且 ∠CAD=35°，则∠BAD=70 8.如图，在四边形ABCD中，AB =6,BC=4,AC=5.CD= 15 AD-5若∠B=55,则 第8题图 ∠ACD的度数是55 9.如右图，AB和OA分别是 ⊙O和⊙O'的直径，点C,D 分别在两圆上（位于AB异 侧)，连接AC,AD,BC, OD.若BC=2OD,求证：AB平分∠CAD, 证明：AB和OA分别是⊙0和⊙O的直径，点C,D 分别在两圆上， ∴∠C=∠D=90°，AB=20A. 又，BC=2OD, .AB_BC 400D=2, ∴.Rt△ABCORt△AOD, ∴.∠BAC=∠OAD,即AB平分∠CAD. 10.如下图，在△ABC中，∠B=90°，点D,E 在边BC上，且AB=BD=DE=EC 求证： (1)△ADE∽△CDA. (2)∠1+∠2+∠3=90°. 证明：(1)设AB=BD=DE =EC=m, 则AD=√2m,CD=2m,AEb△ 2 B D =5m,AC=√10m, AD_m_DEm AE =/5m …cD=2m2'DA2m2'CA√0m √2ADDE_AE 2,即CD=DA=CA△ADEC∽△CDA. (2)h(1)可知，△ADE∽△CDA,.∠DAE=∠3. ∠B=90°，AB=BD,∠1=45. 又'∠1=∠2+∠DAE,.∠2+∠3=∠1=45°， ∴.∠1+∠2+∠3=90°. 11.如右图，在△ABC和 △AED中，AB=25, BC=40,AC=20,AE =12,AD=15,DE=24. (1)求证：△ABC∽△ADE. (2)若∠BAC=125°，∠EAC=70°，求 ∠CAD的度数. 解：1)证明：所-碧-号8瓷号-沿 3· e-治- .△ABC△ADE. (2)由(1)，得△ABC△ADE, ∠BAC=∠DAE=125. 又∠EAC=70°， ∴.∠CAD=∠DAE-∠EAC=125°-70°=55 12.推理能力如图①，△ABC内有任意一点 O,D,E,F分别为OA,OB,OC的中点. (1)求证：△ABCp△DEF (2)如果点O在△ABC的外部（如图②）， 请仿照图①画出图形，并探讨(1)中的结论 是否仍成立（无须证明）. 图① 图② 解：(1)证明：：D,E,F分别是OA,OB,OC的中点， .ED,EF,DF分别为△AOB,△OBC,△AOC的中 位钱器-货-碧- '.△ABC∽△DEF. (2)如图②，(1)中结论仍成立. 13.如下图，在四边形ABCD中，∠BAD= ∠CDB=90°，BD2=AD·BC. (1)求证：AD∥BC (2)过点A作AE∥CD,交BC于点E.请 根据要求完善图形，并求证：CD=BE ·BC. 证明：(1)BD2=AD·BC 00 又：∠BAD=∠CDB=90° ,∴.Rt△ADB∽Rt△DBC, ∴.∠ADB=∠DBC,∴AD∥BC. (2)如图所示，过点A作AE∥CD,交BC于点E. AD∥BC,∠BAD=90°， ,.∠EBA=∠BAD=90° 又.∠CDB=90°， ∴.∠EBA=∠CDB=90 :AE∥CD,∴.∠AEB=∠C,.△ABE∽△BDC, 股-能D:A=E·C ,AD∥BC,AE∥CD, ,,四边形ADCE是平行四边形， .AE=CD,.CD2=BE·BC 下册课外拓展提高 83∴.△APB∽△AOP. .OA=OP. ∴.∠BAP=∠APO=45°. 当△APB∽△APO时，需要∠APB =∠APO,很明显不成立，舍去. 综上所述，∠BAP的度数为45°. 7.3【解析】：△ABC是等边三角形， .BC=AC,∠B=∠C=60°， .∠CAD+∠ADC=120°. ∠ADE=60°，∴∠BDE+∠ADC=120°， ∴.∠CAD=∠BDE, ∴△ACO△DEB提-S 设DC=x. .BD=4DC,.'.BD=4x, .'.BC=AC=5x, 0若-只0=8 8.(-4,0)或(-1,0)或(1,0)【解析】A(4,0),B(0, 2),.OA=4,OB=2.:点C在x轴上，∴.点C的纵坐 标为0，·∠BOC=90°，即∠BOC应该与∠BOA对应. OA OB 分以下两种情况：①当△AOB△COB时，O元一OB 1,.OC=OA=4.又点C不与点A重合，∴点C的 坐标为(-40.②当△A0B0△0C时，80-8瓷.即 2=0C0C=1点C的坐标为(-1,0)或(1,0. 42 综上所述，点C的坐标为(-4,0)或（一1,0）或(1,0). 9.证明：(1)，∠BCE+∠BDE=180°，∠ADE+∠BDE =180°，.∠BCE=∠ADE. ∠DAE=∠CAB,△ADE△ACB. (2),△ADE∽△ACB,.AD:AC=AE:AB, .'.AD:AE=AC:AB. 又.'∠EAB=∠DAC,∴.△AEBp△ADC. 10.证明：(1).四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD,∠B=∠D. 又BE=DF, .△ABE≌△ADF,∴∠BAE=∠DAF. :AB∥CD,∴.∠G=∠BAE=∠DAF. 又'∠D=∠D,∴.△AFD∽△GAD. CF DF (2):DF=CF·CD,DF-CD AD∥BH,.△HCF∽△ADF, CF CHCH DF 六DF=DAAD-CD AD=CD,∴.CH=DF. .BE=DF,..BE=CH. 11.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC, .∠EAF=∠ACB. :∠ACB=∠ABE,∠EAF=∠ABE. :∠AEF=∠BEA,∴△AEFO△BEA, ·AEEF ·BEEA AE EF (2)由(1)知·BE-EA AE=2,EF=1, 21 ·BE=2,解得BE=4, ∴.FB=EB-EF=4-1=3. 易知△AEF∽△CBF, 4 架品喜-相C= 3 1 12.证明：(1)，∠ACB=90°，AC=BC, ∴.∠B=∠BAC=45°. 线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE的位置， ∴.∠DCE=90°，CD=CE, ∴.∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD, 即∠BCD=∠ACE. BC=AC, 在△BCD和△ACE中，{∠BCD=∠ACE, CD=CE. ,∴.△BCD≌△ACE(SAS), .∠CAE=∠B=45°， ∴.∠BAE=45°+45°=90°， .∴.AB⊥AE. (2).'BC2=AD.AB.BC=AC. AC=AD·AB则C治 又：∠DAC=∠CAB, ∴.△DAC∽△CAB, .∠CDA=∠BCA=90°. 由(1)知∠DAE=90°，∠DCE=90°， .四边形ADCE为矩形. 又CD=CE,.四边形ADCE是正方形. 第2课时相似三角形的判定定理3 1.A2.A3.D 4.B【解析】由“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三 角形的三边的长分别为2,2√5,4√2.“车”“炮”所在位 置的格点之间的距离为1，“炮”“②”所在位置的格点 之间的距离为√5，“车”“②”所在位置的格点之间的距 离为22.：5=221 25422…“马”应落在②处 8 5.8 6.2 7.70° 8.55°【解析】，AB=6,BC=4,AC=5,CD= 5A 36 4 下册详解详析 27△ 提是号胎爱-贤 2 AB AC BC ÷iC-DA-CA.△ABCn△DCA, .∠B=∠ACD. ∠B=55°，∴.∠ACD=55. 9.证明：：AB和OA分别是⊙O和⊙O'的直径，点C,D 分别在两圆上， ∴.∠C=∠D=90°，AB=2OA. AB BC 又：BC=20DA0OD =2, ∴.Rt△ABC∽Rt△AOD, ∴.∠BAC=∠OAD,即AB平分∠CAD 10.证明：(1)设AB=BD=DE=EC=m, 则AD=√2m,CD=2m,AE=√5m,AC=√10m, 品得器后普兰品 CD-DACA△ADE∽△CDA. 之.即AD DE AE■ (2)由(1)可知，△ADE△CDA,∴∠DAE=∠3. ∠B=90°，AB=BD,.∠1=45°. 又，∠1=∠2+∠DAE,∴.∠2+∠3=∠1=45°， .∠1+∠2+∠3=90°. 1解0E明：-”号铝-器-号伦-8 -号BE-8e△ACn△AnE (2)由(1)，得△ABC∽△ADE,∴.∠BAC=∠DAE =125°. 又∠EAC=70°，.∠CAD=∠DAE-∠EAC= 125°-70°=55°. 12.解：(1)证明：，D,E,F分别是OA,OB,OC的中点， .ED,EF,DF分别为△AOB,△OBC,△AOC的中 位线…胎货识- .△ABC∽△DEF. (2)如图，(1)中结论仍成立. 13.证明：I):BD=AD·BCBD=BC AD BD 又：∠BAD=∠CDB=90°， ∴.Rt△ADBORt△DBC, ∴.∠ADB=∠DBC,.AD∥BC. (2)如图所示，过点A作AE∥CD,交BC于点E :AD∥BC,∠BAD=90°， .∠EBA=∠BAD=90°. 28 九年级数学RJ版 又：∠CDB=90°， .∠EBA=∠CDB=90. AE∥CD,∴∠AEB=∠C, ∴.△ABEC∽△BDC, ÷腮5GD·AR=E,C :AD∥BC,AE∥CD, ∴.四边形ADCE是平行四边形， .AE=CD,.CD=BE·BC. 31.2.3相似三角形的性质 1.B【解析】根据题意，EF是△ABC的中位线， EF/BC,EF=2BC,.△OEF∽△OBC, ,C△oEr_EF1 1 :△0BC的周长为8，.Car=2X8=4. 2.A【解析】，四边形ABCD为平行四边形，E是边AB 的中点， AB/CD.BE-TAB-CD. BE EF 1 ∴.△BEF△DCF,心DC-CF=2' .S△Er:S△BCr=1:2. 3.D【解析】.NQ∥MP∥OB,∴.△ANQ∽△AMP △A0aM,N是0A的三等分点一-名 g-(0)-8-(- 3 SAAMP 4'SAAOB :四边形MNQP的面积为3，·3+SAA=4 .S△ANo=1,.S△A0B=9,.k=2S△A0B=18. 4.A【解析】，'AD∥BC,∴.△ADE∽△BCE. 设△ADE的边AD上的高为h1,△BCE的边BC上的 药为A提-会是 12 h,十h,=4,h,=5, 1 1218 SaE=2AD·h,=2X3X5=写， 》一题多解法 如图，连接BD, :AD∥BC,.△ADE∽△BCE, AE AD 3 BEBC S△ADE=AE ·SAmE BE 3 2 1 :S6m=2X3X4=6. 3 18 ∴.S△ADE= 5X6= 5