专题01 相似三角形中（双）A字型的三种模型（高效培优专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01相似三角形中的（双)A字型的三种模型 题型归纳 题型一 “A”字模型 题型二反“A”字模型 题型三双“A”字模型 题型专练 题型一：“A”字模型 1.(26-27九年级上·上海闵行·阶段检测)如图，△ABC中，点D、E分别是边AB、BC上的点，且 DE‖AC,下列结论不二定能得出的是() BE CE B. CE AD c.0照 BC CE A. BD AD BC AB D.ABBD 2.(26-27九年级上福建莆田·阶段检测)如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=2AD,DE∥BC交 AC于点E,S△MDE=1,则S△MBC= D 丙 3.(26-27九年级上全国课后作业)如图，已知：△ABCOAADE. D 117 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)若∠BAC=75,∠ABC=40°，求∠ADE和∠AED的度数： (2)若AB=30cm,BD=18cm,BC=32cm,求DE的长， 4.(2026九年级上全国专题练习)在△ABC中，AB=6,BC=5,AC=4,D是线段AB上一点，且 DB=4,过点D作DE与线段AC相交于点E,使以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似，求DE的长. 请根据下列两位同学的对话回答问题： DE AD A:如图，过点D作DE∥BC,交AC于点B,则△4DE∽△ABC,BC=DB, :DE=AD.BC=AB-DB.BC-5 DB DB 2 B:这个解答中有两个错误，其中一个是比例式写错了！ E B C (1)写出正确的比例式及后续解答： (2)指出另一个错误，并给予正确解答. 5.(26-27九年级上·全国课后作业)如图，为测量电视塔AB的高度，在点D和点F处分别竖立高是4m 的标杆CD和EF,两标杆相隔50m,且AB,CD和EF在同一平面内.从标杆CD退后2m到点G处，点 G与塔顶A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆EF退后4m到点H处，点H与塔顶A和标杆顶端E在一 条直线上.求电视塔的高度 DG 6.(2026江苏徐州·一模)探究活动：类比直角三角形全等判定的经验，开展对直角三角形相似判定的探 索 探究过程： BD DE ()如图，在AABC中，D,E分别在边AB,BC上，且BAAC, ①若∠B=90°，求证：△DBE∽△ABC; 217 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②若90°<∠B<180°，求证：∠BDE=∠BAC: B 结论应用： (②)如图，在矩形ABCD中，点E的运动轨迹为直线BC上的一部分，为线段BC(不与点C重合)，作 EF⊥AC于点F.若G为边CD右侧一点，且DG=EF,∠CGD=∠AEC.请用无刻度的直尺与圆规，画 出点G的运动轨迹，并参照题干中点E运动轨迹的表述方式对点G进行描述（保留作图痕迹，不写作法）， B E 题型二：反“A”字模型 7.(26-27九年级上全国单元复习)如图，已知△ABCAA'B'C',CD和CD分别是△ABC和△AB'C'的 AB CD 高，gm(m≠)，则C的值为() D D A B' A.1 m C.m D.m2 8.(26-27九年级上·全国单元测试)如图，在钝角三角形ABC中，AB=4cm,AC=10cm,动点D从点 A出发沿AB以lcm/s的速度向点B运动，同时动点E从点C出发沿CA以2cm/s的速度向点A运动，当以 A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间约是() E←二C A.2.2s或4.5s B.4.2s C.3s D.2.2s或4.2s 317 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.(2O26江苏南通中考真题)如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在AD上，BF⊥AE, 垂足为G.若EG=3,则正方形ABCD的边长为 B 10.(26-27九年级上·全国·单元复习)如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC边上的点，且满足 ∠ADE=∠C B (I)求证：△ADEAACB: (2)若AB=3,AE=1,SADE=6,求S四边形BCD. 11.(26-27九年级上·全国·单元测试)如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C,F,G三点 在同一直线上，连接BE,AC,，AF,并延长AF交CD于点M. M E B (I)求证：△MFC∽△MCA: (2)求证：△ACF-△ABE: (3)若DM=1,CM=2,求正方形AEFG的边长. 12.(2026广东清远·三模)已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点 G 417 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 【问题发现】 D咖图1，若胆形CD是E方形，且pE1GF十，则2 【拓展研究】 DE (②如图2，当四边形ABCD是矩形时，且DE⊥CF于G,AB=3,AD=5:则CF 【解决问题】 DE AD (3)如图3，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B+∠EGC=180时，求证：CF=CD, 题型三：双“A”字模型 13.(2026安徽六安·一模)如图，在△ABC中，DE垂直平分边BC,垂足为点D,交AB于点E,点G 为CD的中点，连接AG与CE交于点F.若AG=AC,则下列结论错误的是(). D G FG 1 A.AF3 B.E-3 CF 7 EF4 C.AE 12 D.CF5 14.(25-26九年级上浙江杭州阶段检测)如图，在△ABC中，AC=2,BC=3,∠C=60°，D为AB边 上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E,过点E作AB的平行线交BC于点F, (I)求证：△ADE∽△EFC: 517 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若DE:CF=2:3,求△ADE与△ABC的面积比 15.(25-26八年级下山东威海期末)如图，在四边形ABCD中，ADIBC,对角线AC,BD交于点F, G是AB的中点，CG交BD于点E,连接AE,AG=GE.GC.求证： A D G B (1)∠GAE=∠GCA: (2)AD2=DF.DE. 16.(2026陕西宝鸡模拟预测)在乡村道路建设中，为了方便村民夜间出行，市政部门在道路边安装了 路灯.如图，安装路灯AB的路面CD比种植树木的地面PO高1.2m(即CP=1.2m),小军站在点N处. 在路灯的照射下，路基CP留在地面上的影长EP=0.4m,小军留在路面上的影长NF=3m.已知小军的身 高MN=1.8m,CN=15m,AB⊥CD,MN⊥CD,CP⊥PO,CD∥PO.求路灯AB的高度. A M N FD 用 17.(2025九年级上全国·专题练习)定义：在△ABC中，点D和点E分别在AB边、AC边上，且 DE∥BC,点D、点E之间的距离与直线DE与直线BC间的距离之比称为DE关于BC的横纵比.己知， 在△ABC中，BC=4,BC边上的高AH长为3，DE关于BC的横纵比为2：3，求DE的长. D B H 18.(24-25九年级上吉林长春开学考试)如图，在锐角△ABC中，点DE分别在边AB、AC上， AG⊥BC于G,AF⊥DE于F,∠DAF=∠GAC. 617 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A E B G (I)求证：△ADE△ACB: (②)若AE=5,AB=12,AF=4,则AG=一 717面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01相似三角形中的（双)A字型的三种模型 题型归纳 题型一“A”字模型 题型二反“A”字模型 题型三双“A”字模型 题型专练 题型一：“A”字模型 1.D 【分析】根据平行线分线段成比例定理可判断A、B选项正确，根据DE‖AC得出△BDEABAC,根据相 似三角形的性质可判断C选项正确，D选项不一定能得出，即可得出答案. 【详解】解：DE‖AC」 BE BD CE AD ·CEAD,BC=AB,故B选项正确，不符合题意； BE CE 六BDAD, 故A选项正确，不符合题意： ..DEl AC. .△BDEABAC, BD DE BD BE ·BA4C,BABC,故C选项正确，不符合题意： BC BE AB BD' ,BE与CE不一定相等， BC CE ABBD不一定能得出，故D选项符合题意 2. 9 【分析】由BD-2AD得出AD与AB的比值，利用DE∥BC判定△ADEAABC,根据相似三角 形面积比等于相似比的平方求解. 1/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：BD=2AD, .AB=AD+BD=3AD. :D1 AB 3' DEll BC, .AADE∽△ABC, AD ABC AB …SM8c=9 3.(1) ∠ADE=40°，∠AED=65° (2) DE的长为l2.8cm 【分析】(1)先根据三角形内角和等于180°求出∠ACB=65°，再结合相似三角形对应角相等即可求解； AD DE (2)先根据AABC∽AADE得出AB-BC,再结合AD=AB-BD即可求解. 【详解】(1)解：：∠BAC=75°，∠ABC=40°. .∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=65°， △ABC∽AADE, ∴.∠ADE=∠ABC=40°，∠AED=ZACB=65 (2)解：：△ABC△ADE」 ..AD DE ABBC· .4B=30cm,BD=18cm, .AD=AB-BD=12cm, BC=32cm, 12-DE 3032, 解得DE=12.8, ∴.DE的长为l2.8cm DE AD 4.()解：正确的比例式为BC=AB, 2/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DE-AD.BC-AB-DB.BC-5 AB AB : (2)解：另一个错误为没有进行分类讨论. 如图，过点D作∠ADE=∠ACB. A D E B C 则△ADE∽△ACB. DE AD CBAC· ∴DE= 2 55 综上，DE的长为3或2 DE AD 【分析】(1)列比例式， BCAB,代入计算即可； (2)当∠ADE=∠ACB时，△ADE△ACB,列比例式计算即可. 【详解】(1)略 (2)略 5.电视塔AB的高度为104m 【分析】根据题意可得出△CDG△ABG,△EFH∽△ABH,再根据相似三角形的对应边成比例即可得出 结论. 【详解】解：AB⊥BH,CD⊥BH,EF⊥BH, AB∥CD∥EF, ∴.CDG△ABG,△EFH△ABH, CD DG EF FH .AB DG+BD'AB FH+DE+BD .CD=EF=4m,DG=2m,FH =4m, 4244 .AB2+BD’AB50+4+BD’ 2 4 .2+BD50+4+BD: 3/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得BD=50m, 经检验，BD=50m是原方程的解， 42 .AB2+50 ∴.AB=104m, 答：电视塔AB的高度为104m. 6.(1)①见解析，②见解析 (2)见解析 BD DE 【分析】(1)①已知∠B=90°，结合比例式BAAC,利用直角三角形相似的L类比判定（斜边、直 角边对应成比例，两直角三角形相似)证明； ②构造直角三角形，过D、A分别作BC的垂线，利用①的相似结论推导角相等： (2)由EF⊥AC,DG=EF,∠CGD=∠AEC,类比(1)的相似结论，可得△CGD∽aAEC,因此点 G的运动轨迹为直线DH上的一部分，其中DH⊥BD,CH∥BD交DH于点H,为线段DH(不与点D 重合)· 【详解】(1)证明：①：∠B=90°， ∴△DBE与△ABC均为直角三角形，直角分别为∠B、∠B, BD DE 在RtADBE和Rt△ABC中，BA=AC, ·.RtaDBE∽Rt△ABC(斜边与直角边对应成比例的两个直角三角形相似)： ②过点D作DG⊥BC交CB延长线于G,过点A作AF⊥BC交CB延长线于F, :∠DGB=∠AFB=90°，∠DBG=∠ABF, ∴△DBG△ABF, BD DG BA AF .BD DE 又 BAAC· DG DE AF AC 结合∠DGE=∠AFC=90°， 由①得RtADGE∽RtAAFC, .∠GDE=∠FAC, 4/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又AF IIDG, .DEll AC. .∠BDE=∠BAC E 图1 (2)解：画图如图2所示. 点G的运动轨迹为直线DH上的一部分，其中DH⊥BD,CH∥BD交DH于点H,为线段DH(不与点 D重合)· B 图2 如解图2，由题意得∠EFC=∠ABC=90°， .∠ECF=∠ACB. ·.AEFC∽△ABC, EF EC ABAC· .EF =DG, AB=CD, .DG EC CD AC' :∠CGD=∠CHD+∠GCH=90°+∠GCH≥90°，∠AEC=∠ABE+∠BAE=90°+∠BAE≥90°， 由题意得∠CGD=∠AEC, ∴.∠CGD=∠AEC290°， ∴.同理可证△DGCOACEA, .∠CDG=∠ECA」 :四边形ABCD是矩形， ∴.对角线互相平分且相等， 5/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设AC,BD交于点O, 则A0=OC=B0=OD, .∠BDC=∠ACD, .∠GDC+∠BDC=∠ECA+∠ACD=90°， .DG⊥BD 当点E与点B重合时，点G与点H重合，即∠DHC=∠ABC=90°， .CH∥BD 题型二：反“A”字模型 7.C 【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，解答即可： AB 【详解】解：“△ABC△ABC,对应边AB和Ag的比值B=m, ∴.两个三角形的相似比为m, ,CD、CD'是这对相似三角形的对应高， CD AB ·CDAB' =m 8.D 【详解】解：设运动s时，以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似，则AD=tcm,CE=21cm, .AE=AC-CE=(10-2t)cm ①当点D与点B对应时，有△ADE∽△ABC, .AB=4cm,AC=10cm. :AD:AB=AE AC, ∴.1：4=(10-21）：10 92 ②当点D与点C对应时，有△ADE∽aACB,AB=4cm,AC=10cm, .AD:AC=AE:AB, .t:10=(10-21):4, :1=25≈42 6 6/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.当以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间约是2.2s或4.2s. 9.25 【分析】设正方形ABCD的边长为2a,先利用正方形的性质和勾股定理求得AE=V5a,则AG=V5a-3, AG AB 证明AABGAEAD得到DE=AE,进而求得a=5即可解答. 【详解】解：设正方形ABCD的边长为2a,则AB=AD=CD=2a,∠D=∠BAD=90°， ∴.∠BAG+∠EAD=90°， E是CD的中点， DE -CD=d, :.AE=JAD2+DE2=(2a)+a2=5a, EG=3. ∴.AG=AE-EG=V5a-3, ,BF⊥AE, .∠AGB=90°=∠D, .∠BAG+∠ABG=90°， ∴.∠ABG=∠EAD .△ABGn△EAD」 AG_AB DEAE'即 5a-3=2a a 5a' 解得a=V5, .正方形ABCD的边长为25 10.(1)证明：，∠ADE=∠C,∠A=∠A, .△ADE∽△ACB (2)48 【分析】(1)根据有两个角相等的三角形相似即可证明； (2)根据相似三角形面积比等于相似比的平方，再利用图形间的面积关系即可求解. 【详解】(1)略： (2)解：△ADEAACB,AB=3,AE=1, :E1 AB3’ 7/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S。ABC 9, S△ADE=6, ∴.SAABC=54 .S四边形BCD=SaMc-SAADE=54-6=48 11.(I)证明：四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形， .∠ACD=∠AFG=45°， :∠CFM=∠AFG, ∠CFM=∠ACM=45°， :∠CMF=∠AMC, .△MFC∽△MCA: (②)证明：四边形ABCD是正方形， ∴.∠ABC=90°，∠BAC=45°，AB=BC」 ∴.根据勾股定理，得AC=VAB2+BC2=√2AB, 同理可得AF=√2AE, :45=4C-2】 AE AB .:∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE=45° .∴∠CAF=∠BAE .△ACF∽△ABE 3)36 5 【分析】(1)先利用正方形性质得到∠ACD和∠AFG的度数，因为C,F,G共线，所以可得∠CFM与 ∠ACM相等，再结合公共角∠CMF=∠AMC,用两角对应相等证明三角形相似； (2)先根据正方形性质得到AC与AB的比值、AF与AE的比值，再证明∠BAE=∠CAF,用两边对应成 比例且夹角相等证明三角形相似； (3)先由DM,CM长度求出正方形ABCD的边长，在△ADM中用勾股定理求出AM的长度；再利用(I) 的相似结论得到对应边成比例，求出MF的长度，进而得到AF的长度：最后根据正方形边长与对角线的 关系求出正方形AEFG的边长. 【详解】(1)略 (2)略 8/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：DM=1,CM=2, AD=CD=1+2=3, AM=AD2+DM2=V32+1P=10, 由(1)知△MFC∽△MCA, ..CM FM AM CM' 2 FM 即o2 .FM=2 5 4F=AM-FM=31 5· AE=EF-2AF-33 2 , V5 即正方形ABFG的边长为 12.【答案】(1)1 o (3)证明：~四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC,∠B=LCDF, ∴∠B+∠A=180°， ∠B+∠EGC=180°， .∠EGD=∠A, ∴∠EGD=∠DGF, ∴.∠DGF=∠A, :∠FDG=∠EDA, △FDG∽△EDA, .DG DF DA DE' DG DA DF DE' ∠B+∠EGC=180°，∠B=∠CDF, 9/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CDF+∠EGC=180°， .∠CGD+∠EGC=180°， ∴∠CGD=∠CDF, :∠DCG=∠FCD ∴△OCGAFCD, DG CD FDCF' DA CD DECF' DE AD CFCD· 【分析】(I)先根据正方形及直角三角形的性质证明△AED≌△DFC,再根据全等三角形的性质得到 DE=CF,即可求得答案： (2)先根据矩形及直角三角形的性质证明△AED∽aDFC,再根据相似三角形的性质求得答案： DG DA DG CD DA CD (3)先证明FDGPAEDA,得到DF=DE,再证明&DCG-AFCD,可得FDCF,所以DECF, 即可证明结论， 【详解】(1)解：~四边形ABCD是正方形， .∠A=∠FDC=90°，AD=DC, ∴.∠AED+∠ADE=90°， DE⊥CF .∠DFC+∠ADE=90°， .∠AED=∠DFC, △AED≌ADFC(AAS). ..DE=CF, DE=1: CF (2)解：四边形ABCD是矩形， .∠A=∠FDC=90°，DC=AB=3, .∠AED+∠ADE=90°， DE⊥CF, .∠DFC+∠ADE=90°， 10/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠AED=∠DFC AAED∽ADFC, DE AD 5 CFDC=3 (3)略 题型三：双“A”字模型 13.D 14.(1)证明见解析； (2)△ADE与△ABC的面积比为4：25 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握 相似三角形的判定与性质定理是解题的关键 (1)根据平行相似证明△ADE一△ABC、△EFC∽△ABC,即可得出△ADE∽△EFC: (2)先证明四边形BDEF为平行四边形，得出边的关系，再运用相似三角形的面积比等于相似比的平方 的性质解答即可， 【详解】(1)解：DE∥BC, .∠ADE=∠ABC ,在△ADE和△ABC中， 「∠A=∠A ∠ADE=∠ABC' △ADEr△ABC. 同理： AB∥EF, ∠EFC=∠ABC ,在△EFC和△ABC中， ∠C=∠C ∠EFC=∠ABC' .△EFC∽△ABC. .△ADE∽△EFC (2):DE∥BC,AB∥EF, ∴，四边形BDEF为平行四边形， 11/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DE=BF. DE:CF=2:3, 设DE=2x,CF=3x, :.BC=BF+CF=DE+CF=5x. :由(I)得△ADE一△ABC, SADE= ∴△ADE与△ABC的面积比为4：25. 15.(1).AG2=GE.GC, AG GC ·GEAG :∠AGE=∠CGA, ,∴.△AGEn△CGA .∠GAE=∠GCA. (2):点G是AB的中点， ∴.AG=BG BG GC GEBG· ∠BGE=∠CGB, ∴.△BGE∽aCGB .∠GBE=∠GCB ∠AED=∠ABE+∠BAE,∠ACB=LGCB+∠GCA, .∠AED=∠ACB AD/IBC, .∠DAC=∠ACB .∠DAC=∠DEA. ∠ADF=∠EDA, △ADFSEDA. AD DF .DE AD ∴.AD=DF·DE. 12/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 GE GA 【分析】(1)由G4=GB.GC,则GAGC,即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明 △EGA∽△AGC,则∠GAE=∠GCA; (2)先证明△BGE∽aCGB,得∠GBE=∠GCB,则∠AED=∠GAE+∠GBE=∠GCA+∠GCB=∠FCB,由 ADI‖BC,得∠DAC=∠ACB,进而证明△ADF∽aEDA,则根据相似三角形的性质可求证. 【详解】(1)略 (2)略 16.路灯AB的高度为10.2m 【分析】令AB交CD于点H,设CH=x,推导出PCI‖AB,AB∥MN,得到△EPC∽aEBA, EP PC FN MN 0.41.2 MNFAHF,则EBAB,FHAH,推导出四边形PBHC是平行四边形，可得到O.4+xAB, 3 1.8 3 1.8 18-xAB-1.2,推导出AB=1.2+3x,得到18-x1.2+3x-12, 解得x=3,则AB=1.2+3×3=10.2(m),即可解答. 【详解】解：如图 M H N FD 用用 O EPB 令AB交CD于点H,设CH=x, AB⊥CD,MN⊥CD,CP⊥P2 .PC∥AB,AB∥MN, ,".△EPC∽aEBA.△MNF∽△AHF, EP PC FN MN ‘EBAB'FHAH, .CD//PO ∴四边形PBHC是平行四边形， ∴PB=CH=x，,BH=PC=1.2, .EB=0.4+x,FH=15-x+3=18-x,AH=AB-1.2, .0.41.231.8 0.4+xAB’18-xAB-1.2 0.4_1.2 由0.4+xAB,得AB=1.2+3x' 13/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 1.8 18-x1.2+3x-1.2 解得x=3, 经检验，x=3是原方程的解， .AB=1.2+3×3=10.2(m). 答：路灯AB的高度为10.2m. 4 11.3 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握知识点是解题的关键。 根据题意作出图形，由平行可得△ADE一△ABC,列出比例式，设DE=2a,GH=3a,代入数值求解即 可. 【详解】解：如图， A D G E C H ·DE∥BC .∠ADE=∠B,∠AED=∠C, .△ADE~△ABC, ,相似三角形的高的比等于相似比， AG DE .AH BC' DE关于BC的横纵比为2：3， .设DE=2a,GH=3a, .AG=AH-GH=3-3a. 3-3a_2a .3 49 2 解得a=3, DE=2x2、4 33· 18.(1)证明见解析； 14/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 48 ②5· 【分析】(I)由垂直可得∠AFD=∠AGC=90°，进而利用余角性质可得∠ADF=∠C,据此即可求证： AD AE 5 AF AD （2)由。ADEA4ACB可得AC=ABI2,再证明。4 DFV&ACG,得到AGAC, 据此即可求解； 本题考查了余角的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键. 【详解】(I)证明：，AF⊥DE,AG⊥BC, ∴.∠AFD=∠AGC=90°， .∠DAF+∠ADF=90°，∠GAC+∠C=90°， .∠DAF=∠GAC, .∠ADF=∠C, 又：∠DAE=∠CAB, ,△ADEAACB: (2)解：，△ADE∽△ACB, 、ADAE5 ACAB12' .∠AFD=∠AGC=90°，∠ADF=∠C, .△ADF∽△ACG, AF AD ·AGAC1 45 即4G12' AG=48 5, 48 故答案为：5· 15/15 专题01 相似三角形中的（双）A字型的三种模型 题型一 “A”字模型 题型二 反“A”字模型 题型三 双“A”字模型 题型一：“A”字模型 1．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，中，点、分别是边、上的点，且，下列结论不一定能得出的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理可判断A、B选项正确，根据得出，根据相似三角形的性质可判断C选项正确，D选项不一定能得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，故B选项正确，不符合题意； ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，，故C选项正确，不符合题意； ∴， ∵与不一定相等， ∴不一定能得出，故D选项符合题意． 2．（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在中，点在上，，交于点，，则___________． 【答案】 【分析】由 得出 与 的比值，利用 判定 ，根据相似三角形面积比等于相似比的平方求解． 【详解】 解：， ， ， ， ， 即， ． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知：． (1)若，求和的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) ， (2) 的长为 【分析】（1）先根据三角形内角和等于求出，再结合相似三角形对应角相等即可求解； （2）先根据得出，再结合即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ，． （2）解：， ， ，， ， ， ， 解得， 的长为． 4．（2026九年级上·全国·专题练习）在中，，D是线段上一点，且，过点D作与线段相交于点E，使以A，D，E为顶点的三角形与相似，求的长．请根据下列两位同学的对话回答问题： A：如图，过点D作，交于点E，则，，． B：这个解答中有两个错误，其中一个是比例式写错了！ (1)写出正确的比例式及后续解答； (2)指出另一个错误，并给予正确解答． 【答案】(1)解：正确的比例式为， ； (2)解：另一个错误为没有进行分类讨论． 如图，过点D作， 则， ， ， 综上，的长为或 【分析】（1）列比例式，，代入计算即可； （2）当时，，列比例式计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，为测量电视塔的高度，在点D和点F处分别竖立高是的标杆和，两标杆相隔，且，和在同一平面内．从标杆退后到点G处，点G与塔顶A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆退后到点H处，点H与塔顶A和标杆顶端E在一条直线上．求电视塔的高度． 【答案】电视塔的高度为． 【分析】根据题意可得出，，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论． 【详解】解：，，， ， ，， ，， ，， ，， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ， ， 答：电视塔的高度为． 6．（2026·江苏徐州·一模）探究活动：类比直角三角形全等判定的经验，开展对直角三角形相似判定的探索． 探究过程： (1)如图，在中，分别在边上，且． ①若，求证：； ②若，求证：； 结论应用： (2)如图，在矩形中，点的运动轨迹为直线上的一部分，为线段（不与点重合），作于点．若为边右侧一点，且，．请用无刻度的直尺与圆规，画出点的运动轨迹，并参照题干中点运动轨迹的表述方式对点进行描述（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2)见解析 【分析】（1）①已知，结合比例式，利用直角三角形相似的类比判定（斜边、直角边对应成比例，两直角三角形相似）证明； ②构造直角三角形，过、分别作的垂线，利用①的相似结论推导角相等； （2）由，， ，类比（1）的相似结论，可得 ，因此点的运动轨迹为直线上的一部分，其中，交于点，为线段（不与点重合）． 【详解】（1）证明：①， 与均为直角三角形，直角分别为、， 在和中，， （斜边与直角边对应成比例的两个直角三角形相似）； ②过点作交延长线于，过点作交延长线于， ， ， ， ， 又， ， 结合， 由①得， ， 又， ， ． （2）解：画图如图2所示． 点的运动轨迹为直线上的一部分，其中，交于点，为线段（不与点重合）． 如解图2，由题意得， ， ， ， ，， ， ，， 由题意得 ， 同理可证， ， 四边形是矩形， 对角线互相平分且相等， 设交于点， 则， ， ， , 当点与点重合时，点与点重合，即， ． 题型二：反“A”字模型 7．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，已知，和分别是和的高，，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，解答即可； 【详解】解：∵，对应边和的比值， ∴两个三角形的相似比为， ∵、是这对相似三角形的对应高， ∴． 8．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发沿以的速度向点运动，同时动点从点出发沿以的速度向点运动，当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间约是（     ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：设运动时，以，，为顶点的三角形与相似，则，，． ①当点与点对应时，有， ，， ， ， ． ②当点与点对应时，有， ，， ， ， ． 当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间约是或． 9．（2026·江苏南通·中考真题）如图，在正方形中，是的中点，点在上，，垂足为．若，则正方形的边长为________． 【答案】 【分析】设正方形的边长为，先利用正方形的性质和勾股定理求得，则，证明得到，进而求得即可解答． 【详解】解：设正方形的边长为，则，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴正方形的边长为． 10．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，，分别是，边上的点，且满足． (1)求证：； (2)若，，，求． 【答案】(1)证明：，， ． (2)48 【分析】（1）根据有两个角相等的三角形相似即可证明； （2）根据相似三角形面积比等于相似比的平方，再利用图形间的面积关系即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：，，， ， ， ， ， ． 11．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，四边形和四边形都是正方形，，，三点在同一直线上，连接，，，并延长交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求正方形的边长． 【答案】(1)证明：四边形和四边形都是正方形， ， ， ， ， ； (2)证明：四边形是正方形， ，，， 根据勾股定理，得． 同理可得， ． ， ， ． (3) 【分析】（1）先利用正方形性质得到和的度数，因为共线，所以可得与相等，再结合公共角，用两角对应相等证明三角形相似； （2）先根据正方形性质得到与的比值、与的比值，再证明，用两边对应成比例且夹角相等证明三角形相似； （3）先由长度求出正方形的边长，在中用勾股定理求出的长度；再利用（1）的相似结论得到对应边成比例，求出的长度，进而得到的长度；最后根据正方形边长与对角线的关系求出正方形的边长． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：，， ， ， 由（1）知， ， 即， ， ， ， 即正方形的边长为． 12．（2026·广东清远·三模）已知四边形中，E、F分别是、边上的点，与交于点G． 【问题发现】 (1)如图1，若四边形是正方形，且于G，则______； 【拓展研究】 (2)如图2，当四边形是矩形时，且于G，，，则______； 【解决问题】 (3)如图3，若四边形是平行四边形，且时，求证：． 【答案】(1)1 (2) (3)证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）先根据正方形及直角三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质得到，即可求得答案； （2）先根据矩形及直角三角形的性质证明，再根据相似三角形的性质求得答案； （3）先证明，得到，再证明，可得，所以，即可证明结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ； （3）略 题型三：双“A”字模型 13．（2026·安徽六安·一模）如图，在中，垂直平分边，垂足为点，交于点，点为的中点，连接与交于点．若，则下列结论错误的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直平分边，推出，，，结合，推出和，根据性质可判断选项的值． 【详解】∵垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分，点为的中点， ∴， ∴， ∵设，， ∴， ∴． 选项A正确，不符合题意． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴选项B正确，不符合题意． ∵， ∴设，则，， ∴． ∴． ∴选项C正确，不符合题意． ∴． ∴选项D错误，符合题意． 故选：D． 14．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，，为边上一点，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点． (1)求证：； (2)若，求与的面积比． 【答案】(1)证明见解析； (2)与的面积比为． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键． （1）根据平行相似证明、，即可得出； （2）先证明四边形为平行四边形，得出边的关系，再运用相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵在和中， ， ∴． 同理： ∵， ∴． ∵在和中， ， ∴． ∴． （2）∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴设，， ∴． ∵由（1）得， ∴． ∴与的面积比为． 15．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，在四边形中，，对角线，交于点，是的中点，交于点，连接， ．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)∵ ， ∴． ， ． ． (2)点是的中点， ． ． ， ． ． ，， ． ， ． ． ， ． ． ∴． 【分析】（1）由，则，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，则； （2）先证明，得，则，由，得，进而证明，则根据相似三角形的性质可求证． 【详解】（1）略 （2）略 16．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）在乡村道路建设中，为了方便村民夜间出行，市政部门在道路边安装了路灯．如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高（即），小军站在点N处．在路灯的照射下，路基留在地面上的影长，小军留在路面上的影长．已知小军的身高，，，，，．求路灯的高度． 【答案】路灯的高度为 【分析】令交于点，设，推导出，，得到，，则，，推导出四边形是平行四边形，可得到，，推导出，得到， 解得，则，即可解答． 【详解】解:如图 令交于点，设， ，，， ，， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，，， ，， 由，得， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ． 答:路灯的高度为． 17．（2025九年级上·全国·专题练习）定义：在中，点D和点E分别在边、边上，且，点D、点E之间的距离与直线与直线间的距离之比称为关于的横纵比．已知，在中，，边上的高长为3，关于的横纵比为，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握知识点是解题的关键． 根据题意作出图形，由平行可得，列出比例式，设，，代入数值求解即可． 【详解】解：如图， ， ，， ， 相似三角形的高的比等于相似比， ， 关于的横纵比为， 设，， ， ， 解得， ． 18．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在锐角中，点分别在边上，于，于，． (1)求证：； (2)若，，，则______． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由垂直可得，进而利用余角性质可得，据此即可求证； （）由可得，再证明，得到，据此即可求解； 本题考查了余角的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $