专题07图形的相似同步讲义（4）(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年苏科版九年级数学下册

专题07图形的相似同步讲义（4） 【图形的位似】 【题型01 位似图形的识别与判定】........................................3 【题型02 位似中心的寻找与确定】........................................6 【题型03 位似相关概念深度辨析】........................................8 【题型04 双位似图形相似比计算】.......................................10 【题型05 位似作图(放大/缩小n倍)】......................................13 【题型06 求位似图形的对应坐标】........................................17 【题型07 坐标系中相似/周长/面积比求解】.................................19 【题型08 坐标系内画位似图形】..........................................22 【题型09 在坐标系内画位似中心】........................................24 【题型10 坐标与图形综合】..............................................27 【题型11 相似三角形实际应用】..........................................31 【解答题4题 】........................................................34 ★知识梳理 知识点01:位似图形的定义 位似多边形：两个相似多边形，若对应顶点所在直线相交于同一点，且每组对应点到该点的距离之比为定值k(k0)，则这两个图形是位似图形，这个交点叫位似中心，k为相似比。 位似是特殊的相似，位似图形一定相似，但相似图形不一定位似。 左图位似图形 右图相似图形 位似中心位置：可在两图形同侧、之间、内部、边上或顶点处。 知识点02:位似图形的核心性质 1.位似图形必相似，对应角相等、对应边成比例。 2.所有对应点连线必过位似中心。 3.不经过位似中心的对应边互相平行（或共线）。 4.任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。 5.位似变换可将图形按相似比放大或缩小。 类型 位似中心位置 图形位置 相似比符号 同侧位似 图形的一侧 两个图形在中心的同一边 k>0 异侧位似 两个图形之间 两个图形分居中心两侧 k<0 知识点03:位似图形的作图方法 （一）尺规作图步骤（通用） (1)确定位似中心； (2)连接位似中心与原图关键点（顶点）并延长； (3)按相似比k，在连线上确定新图形的对应关键点； (4)顺次连接对应点，得到放大 / 缩小的位似图形。 （二）平面直角坐标系中的位似（以原点为位似中心） 设原图形顶点坐标为(x,y)，相似比为k(k0)： 同侧位似（k>0）：对应点坐标为(kx,ky)。 异侧位似（k<0）：对应点坐标为(kx,ky)，图形关于原点对称。 以原点为中心，一个图形可作两个位似图形（同侧、异侧）。 知识点04:位似与其他图形变换的区别 变换类型 图形关系 大小 / 形状 核心特征 平移 / 轴对称 / 旋转 全等 大小、形状均不变 位置改变，无缩放 位似 相似 形状不变，大小按比例缩放 对应点连线共点（位似中心） 知识点05:位似的判定方法 1.两图形相似； 2.所有对应顶点连线交于同一点； 3..对应点到交点的距离成比例。 满足以上三点，即为位似图形。 【题型1.位似图形的识别与判定】 【典例】下列相似图形不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似的性质是解题的关键． 根据对应边是否平行判断即可． 【详解】解：由各选项图形可知，，，选项的相似图形是位似图形，选项的相似图形不是位似图形． 故选：C． 【跟踪专练1】在如图所示的网格中，以点为位似中心，作四边形的位似图形，小明认为四边形的位似图形是四边形；小亮认为四边形的位似图形是四边形，你认为正确的是______．（选填“小明”或“小亮”）． 【答案】小亮 【分析】根据位似图形的概念画出图形，得到答案． 【详解】解：延长、、、分别到、、、， 则四边形是四边形的位似图形， 所以小亮正确． 故答案为：小亮． 【点睛】本题考查的是位似图形的概念，掌握位似的两个图形对应点的连线都经过同一点是解题的关键． 【跟踪专练2】已知：如图，A′B′∥AB，A′C′∥AC，AA′的延长线交于BC于点D，△ABC与△A′B′C′是__________图形，其中____________点是位似中心． 【答案】 位似 O 【分析】由A′B′∥AB，A′C′∥AC，可证得△A′B′C′∽△ABC，又由AA′的延长线交于BC于点D，即可得△ABC与△A′B′C′是位似图形，其中O点是位似中心． 【详解】解：∵A′B′∥AB，A′C′∥AC， ∴∠A′B′C′＝∠B，∠A′′B′＝∠C， ∴△A′B′C′∽△ABC， ∵AA′的延长线交于BC于点D， ∴△ABC与△A′B′C′是位似图形，其中O点是位似中心． 故答案为（1）位似，（2）O． 【点睛】本题考查了位似图形的定义．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行． 【跟踪专练3】如图，在正方形网格中，以点为位似中心，的位似图形可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．根据位似变换的概念判断即可． 【详解】解：∵由网格知，， ∴与是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行， ∴与是位似图形， 故选：C． 【题型2.位似中心的寻找与确定】 【典例】下列图中的两个菱形是位似图形，它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查位似变换，理解位似变换的定义是解题关键．根据位似图形对应点的连线交于一点，交点就是位似中心解答即可． 【详解】解：如图，连接对应点，交于点P，则点即为位似中心． 故选：A． 【跟踪专练1】如图，与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是________． 【答案】（9，0） 【分析】根据位似中心的概念解答即可． 【详解】解：连接和并延长相交于点D，则点D即为位似中心，作图如下： 点D的坐标为（9，0）， 即位似中心的坐标为（9，0）， 故答案为：（9，0）． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念，解题的关键是掌握各对应点所在直线的交点即为位似中心． 【跟踪专练2】如图，△EFH和△MNK是位似图形，其位似中心是点________． 【答案】B 【分析】根据位似中心的含义，得位似图形对应点连线的交点是位似中心． 【详解】如图 ∵△EFH和△MNK是位似图形，连接FN，HK交于点B，故点B是位似中心. 【点睛】本题考查了位似图形的相关知识，解题的关键是知道位似图形对应点连线的交点是位似中心. 【跟踪专练3】点A,B,C,D都在如图所示的由正方形组成的网格图中,且线段CD与线段AB成位似图形,则位似中心为(   ) A．点E B．点F C．点H D．点G 【答案】B 【分析】根据位似图形对应点连线过位似中心判断即可． 【详解】 解：点A、B、C、D都在如图所示的由正方形组成的网格图中，且线段CD与线段AB成位似图形，则位似中心为点F， 故选B． 【点睛】此题考查位似变换，解题关键是弄清位似中心的定义． 【题型3.位似相关概念深度辨析】 【典例】如图，与是位似三角形，位似比为，已知，则的长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似比等于相似比，进而即可求解．掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，位似比为， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，和是位似三角形，位似中心为点O，，则和的位似比为________． 【答案】 【分析】本题考查求位似图形的位似比，根据位似图形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵和是位似三角形，位似中心为点O，， ∴和的位似比为； 故答案为： 【跟踪专练2】如图，线段、相交于点，请你补充一个条件：______，使与是以点为位似中心的位似图形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了位似图形“看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的就是位似图形”，熟练掌握位似图形的定义是解题关键．补充条件使得即可得． 【详解】解：补充条件，则， 所以与是以点为位似中心的位似图形． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练3】如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（    ） A． B．C，O，三点在同一直线 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，掌握位似图形是相似形是解题的关键． 直接利用位似图形的性质逐项分析即可解答． 【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， ∴，点C、点O、点三点在同一直线上，，故选项C错误，符合题意． 故选：C． 【题型4.双位似图形相似比计算】 【典例】放缩尺是利用图形的位似将图形放大或缩小的工具．如图，点的位置固定不变，在点，处装有画笔，当画笔沿图1运动时，画笔画出图形2，图形就放大了；反之，图形就缩小了．位似比可以通过调节点，点的位置来确定，调整时确保，，点，，在同一直线上．若，则图1与图2的相似比为__________． 【答案】 【分析】本题考查位似变换，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，掌握位似变换的性质．利用位似变换的性质求解． 【详解】解：如图，因为O，A，在同一直线上，连接． ∵， ∴， ∴， ∴图1与图2的相似比为， 故答案为： 【跟踪专练1】如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行计算，即可得到答案． 【详解】解：和是以点O为位似中心的位似图形， ，， ，即相似比为， 与的面积比为． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，与位似，其位似中心为点O，且点D为的中点，则与的面积比是_______． 【答案】 【分析】本题考查了位似的性质，相似三角形的判定与性质，由位似的性质可得，，证明，结合题意可得，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵与位似， ∴，， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴与的面积比是， ∴与的面积比是， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，坐标原点为矩形的对称中心，顶点的坐标为，轴，矩形与矩形是位似图形，点为位似中心，点，分别是点，的对应点，．已知关于，的二元一次方程，是实数）无解，在以，为坐标（记为的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形的边上，则的值等于（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】首先求出点的坐标为，再根据关于，的二元一次方程，是实数）无解，可得，且；然后根据以，为坐标（记为的所有的点中，有且只有一个点落在矩形的边上，可得反比例函数的图象只经过点或；最后判断出反比例函数的图象经过点，则点的坐标是，所以，据此解答即可． 【详解】解：矩形与矩形是位似图形，，顶点的坐标为， 点的坐标为， 矩形与矩形是位似图形，点是位似中心， 矩形也关于点成中心对称， 关于，的二元一次方程，是实数）无解， ，且，即， 矩形关于点成中心对称， 反比例函数的图象关于点成中心对称， 以，为坐标（记为的所有的点中，有且只有一个点落在矩形的边上， 反比例函数的图象经过点， 点的坐标是， ． 故本题选：D． 【点睛】本题主要考查了位似变换问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行，此题还考查了二元一次方程组的求解方法，以及坐标与图形的性质，要熟练掌握． 【题型5.位似作图(放大/缩小n倍)】 【典例】如图，以点为位似中心，将四边形放大到原来的3倍，得到四边形，若四边形的面积为1，则四边形的面积是（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换、及相似多边形的性质，熟知相似多边形的面积比等于相似比的平方是正确解决本题的关键． 由题意可知两个多边形的相似比为，可知两个图形的面积比为即可求出． 【详解】解：以点为位似中心，将四边形放大到原来的3倍， ， 四边形的面积为1， 四边形的面积是9， 故答案为：D． 【跟踪专练1】如图1，以O为位似中心，作出的位似，使与的相似比为．图2和图3分别为珍珍和明明的作法，两人的作法中均保证，则下列说法正确的是（   ） A．只有珍珍的作法正确 B．只有明明的作法正确 C．两个人的作法都正确 D．两个人的作法都不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查已知位似中心画位似图形，对应边满足比值等于位似比，根据此解题即可． 【详解】解：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和顶点；根据相似比，确定对应点的位似图形的点；顺次连接各点，得到位视图形；而珍珍和明明画的位似图形，对应边满足比值等于位似比，则珍珍和明明都正确． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在y轴的同侧作等边三角形，使它与△ABC位似，且相似比为3：1．若四边形是边长为6的菱形，则点A的坐标为______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质、等边三角形的性质求出，通过相似比即可得A的坐标. 【详解】解：若四边形是边长为6的菱形，. ∵是等边三角形 ∴ 则 ∵，且相似比为3：1 ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质、位似图形的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是 个单位长度，以点 为位似中心，在网格中画 ，使 与 位似， 的对应点分别为 ，且 与 的位似比为 ，则下列说法不正确的是 （　　） A．点 的坐标为 B． C． 与 的周长之比为 D． 与 的面积之比为 【答案】D 【分析】本题考查位似图形的性质，位似图形与相似图形的关系，根据位似图形的性质，位似比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，对应边互相平行或在同一直线上，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， 、点的坐标为，原选项正确，不符合题意； 、根据位似性质可知：，原选项正确，不符合题意； 、∵与的位似比为， ∴与 的周长之比为，原选项正确，不符合题意； 、∵与的位似比为， ∴与的面积之比为，原选项不正确，符合题意； 故选：． 【题型6.求位似图形的对应坐标】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似，点B的坐标为，点的坐标为，点A的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了求位似图形的坐标，正确求出位似比是解题关键．先根据点和点的坐标求出位似比，再根据位似图形的点坐标变换规律求解即可得． 【详解】解：∵和是以坐标原点为位似中心的位似图形，点的坐标为，点的坐标为， ∴与的位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为，即为． 故答案为： 【跟踪专练1】已知在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，，若以原点O为位似中心，相似比为2，将放大，则点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由以原点为位似中心的位似变换性质，需分位似图形与原图形在原点同侧和异侧两种情况求解对应点坐标． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换，若相似比为，则位似图形对应点的坐标为原坐标乘或． 已知点坐标为，本题相似比为． ∴当对应点与在原点同侧时，对应点坐标为，即． 当对应点与在原点异侧时，对应点坐标为，即． 因此点的对应点坐标为或． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，线段轴，的长为2，点A的坐标为，以点O为位似中心，在第一象限内画线段，使它与线段位似（点A，B的对应点分别为点，）．若，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据位似比画图，即可得到结果． 本题考查位似的知识，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：由题可知，与位似，且相似比为, ∵点A的坐标为， ∴点的坐标为， ∵ ∴点的坐标为， 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，，点B坐标为，则点E的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似变换的性质，掌握关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． 根据与以原点为位似中心，相似比是2，再根据上一点的坐标是，则在中，它的对应点的坐标是或，再根据图形即可求出点E的坐标． 【详解】解：∵与是以原点O为位似中心的位似图形，， ∴，相似比为2， ∵点B坐标为， ∴点E的坐标是． 故选D． 【题型7.坐标系中相似/周长/面积比求解】 【典例】如图，在平面直角坐标系中和是以点O为位似中心的位似图形，若位似比为，则和的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的比值关系，相似三角形面积比与相似比的关系，熟悉掌握面积比为相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的比值关系得到两三角形的相似比，再利用面积比为相似比的平方求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中和是以点O为位似中心的位似图形，若位似比为， ∴和的面积比是； 故选：C 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点是位似中心，若，则_____． 【答案】6 【分析】考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 利用位似的性质得到，然后把代入计算即可． 【详解】解：∵与位似，原点O是位似中心， ∴，即， ∴． 故答案是：6． 【跟踪专练2】.如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形（点，，的对应点分别为点），已知的顶点，若点的坐标为的面积为2，则的面积为_____ ．    【答案】8. 【分析】本题主要考查位似图形的性质，掌握位似图形的性质，求出相似比是解题的关键． 先由得，，进而得，再利用位似三角形的性质得，，然后根据三角形相似的性质解决问题． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵与是以原点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 【跟踪专练3】如图，与是位似图形，点是位似中心，若的面积为4，且，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似图形相的面积之比等于位似之比的平方是解题关键． 先说明与位似比，然后再根据位似图形的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形 ∴位似比是 ∴，即， ∵的面积为4， ∴． 故选C． 【题型8.坐标系内画位似图形】 【典例】如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似的性质，连接，，，并延长，观察交点即可求解 【详解】解：连接，，，并延长如图所示， ， ∴的位似图形是， 故选：C． 【跟踪专练1】已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C为位似中心，在网格中画出，使与位似，且与的位似比为2：1，此时点的坐标为_____．    【答案】 【分析】先画出图形，再根据图形可得的坐标． 【详解】解：如图，为所作；点的坐标为．    故答案为． 【点睛】本题考查的是位似变换的作图，坐标与图形，熟练的利用位似的性质进行作图是解本题的关键． 【跟踪专练2】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画出，使它与△ABC的相似比为2，且它与△ABC在位似中心O的两侧，并写出点B的对应点的坐标是______． 【答案】图见解析，点的坐标是(-4,-2) 【分析】直接利用位似图形的性质画出三角形顶点的对应点，再顺次连接即可画出图形，根据点的位置写出坐标即可． 【详解】解：如图所示：就是所要求画的， 点B的对应点的坐标是(-4,-2)， 故答案为：(-4,-2)． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的异侧画，使与成位似图形，且相似比为，则线段DF的长度为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出AC，再根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵A（2，2），B（4，2），C（4，4）， ∴AB＝2，BC＝2， 由勾股定理得：AC＝＝， ∵以原点为位似中心，在原点的异侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，相似比为1：2， ∴线段DF的长度为AC＝， 故选：A． 【点睛】 本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 【题型9.在坐标系中画位似中心】 【典例】如图，在正方形网格中，两个阴影部分的格点三角形位似，则位似中心为（  ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查图形的位似、位似中心等知识，根据题意，结合位似中心的定义及作法：成位似关系的两个图形的对应点的连线交于位似中心，数形结合，作出图形即可得到答案，熟练掌握寻找位似中心的作图方法是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 点为位似中心， 故选：D． 【跟踪专练1】在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知每个小正方形的边长都是1，与的顶点都在正方形网格的格点上，且与为位似图形，则位似中心的坐标为____．    【答案】 【分析】本题考查位似变换，对应顶点所在直线相交于一点即为位似中心，确定位似中心是解题的关键． 连接、，并延长交于一点，交点即为所求． 【详解】解：如图， .   连接、，并延长交于一点，点即为所求．由网格图形可知，点的坐标为． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点Q B．点P C．点N D．点M 【答案】D 【分析】本题主要考查了确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键． 连接对应点，交点即是位似中心，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接，易得交点为M，即位似中心是点M． 故选：D． 【跟踪专练3】在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点、成位似关系，则位似中心的坐标为______．    【答案】 【分析】主要考查位似图形的性质． 根据题意确定直线的解析式为：，由位似图形的性质得出所在直线与所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解． 【详解】解：由图得：， 设直线的解析式为：，将点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， 所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心， ∴当时，， ∴位似中心的坐标为， 故答案为：． 【题型10.坐标与图形综合】 【典例】如图，对角线的交点为坐标原点，若点坐标为，则线段的长为______． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形性质，勾股定理，解题的关键是掌握平行四边形的性质．利用平行四边形的性质求出即可． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形，是对角线的交点， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，已知，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质和勾股定理等知识内容，正确掌握菱形的性质是解题的关键．因为四边形是菱形，所以，再根据菱形的顶点D在y轴上，得． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵菱形的顶点D在y轴上， ∴，即， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的动点，线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质等知识，将的值转化点到点和点的最小值，求出，则：的值相当于求点到点和点的最小值，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，作于， 由旋转可知，，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∴， 则点， ∴ 的值，相当于求点到点和点的最小值， 相当于在直线上寻找一点，使得点到，到的距离和最小， 作关于直线的对称点， ∴， ∵， ∴的最小值为． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与分别相交．则圆心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、圆的切线的性质、垂径定理等知识点，熟练掌握相关图形的基本性质是解本题的关键． 设圆心P的坐标为，连接，过点P作于点E，设与y轴的切点为F，连接并延长，与交于点G，由可得，易得，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解： 设圆心P的坐标为，连接，过点P作于点E， 设与y轴的切点为F，连接并延长，与交于点G， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理：，即， 解得：或（不合题意舍去）， ∴圆心P的坐标为． 故选：B． 【题型11.相似三角形实际应用】 【典例】如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2，若烛焰AC的高是，则实像的高是 ________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．根据相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：如图所示： 根据题意得：， ∴， ∵蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，若烛焰的高是， ∴， ∴ 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，小明用长为的竹竿做测量工具，测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离，则旗杆的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 即， 解得． 【跟踪专练2】在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图，为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后成的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线会聚于C点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，则小蜡烛的像的长是________． 【答案】1 【分析】根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意可得，四边形是矩形， ， 即， 解得：， ． 【跟踪专练3】如图，是一块板材，长为，边上的高为，从上裁剪出一个正方形板材，正方形板材的一边在上，其余两个顶点E、F分别在、上，则这个正方形板材的边长为（   ） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 证明，利用相似三角形的对应高的比等于相似比列方程求解即可． 【详解】 四边形是正方形， ，，， ， 四边形是矩形， ， ，， ，， ， 设正方形的边长为，则， ， 解得， 正方形板材的边长为． 故选A． 【解答题】 1.．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、. (1)画出关于轴对称的图形，并写出的坐标__________； (2)以原点为位似中心，在轴上方画出的位似图形，使它与的相似比为，并写出对应点的坐标__________. 【答案】(1)图见详解， (2)图见详解， 【分析】本题考查作图位似变换，轴对称变换，关于轴，轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，的坐标． 故答案为：； （2）解：如图，，即为所求，点的坐标． 故答案为：． 2．如图1，等腰在平面直角坐标系中，，，若的面积是36． (1)求点A的坐标； (2)点P为射线上的一点，连接，若点P的坐标为，的面积为S，用含有t的式子表示S． (3)在（2）的条件下，如图2，当时，点M为线段上的一点，连接交y轴于点D，连接，连接交于点E，连接，若，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，垂直平分线的定义和性质，三角形的面积计算，全等三角形的性质和判定； （1）由题意得、、都是等腰直角三角形，利用可得点A的坐标； （2）点P的坐标为，则，由，即可得出结果； （3）延长交于点G，连接，交y轴于K，作轴，由，可得，由y轴垂直平分，可得，，进而得到，得出，易证明是等腰直角三角形，所以，设，利用可得，进而证明，利用，，即可求出M的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴在与中，， ∴与都为等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. （2）解：∵点P的坐标为，点P为射线上的一点， ∴， 由（1）得：， ∴. （3）解：延长交于点G，连接，交y轴于K，作轴，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵y轴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点M横坐标为4， ∴， ∴， ∴点M纵坐标为2， ∴. 3．如图，反比例函数的图象经过正方形的顶点B，以原点O为位似中心，将正方形扩大得到正方形，使其面积比为．交反比例函数的图象于点G，已知． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、根据正方形的性质求线段长，位似图形的性质，解题的关键是求出函数解析式； （1）得点B坐标为代入解析式即可； （2）由题意得正方形的面积为2，故其边长为，根据点G在反比例函数上，令，解得即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得点B坐标为， 将其代入反比例函数解析式，， 反比例函数解析式为； （2）解：由题意得正方形的面积为2，故其边长为，点G在反比例函数上， 令，解得， ． 4．如图，王亮同学在晚上由路灯走向路灯，当他走到处时发现，他在路灯下的影长为2米，且恰好位于路灯的正下方，接着他又走了米到处，此时他在路灯下的影子恰好位于路灯的正下方．已知王亮身高米，路灯高8米． (1)计算王亮站在处在路灯下的影长； (2)计算路灯的高度． 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】本题考查相似三角形的应用．解题的关键是掌握：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例． （1）证明，利用对应边成比例可得长； （2）证明，利用对应边成比例可得长，也就是路灯的高度． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得：； ∴王亮站在Q处在路灯A下的影长为米； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． ∴路灯A的高度为米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07图形的相似同步讲义（4） 【图形的位似】 【题型01 位似图形的识别与判定】........................................3 【题型02 位似中心的寻找与确定】........................................4 【题型03 位似相关概念深度辨析】........................................5 【题型04 双位似图形相似比计算】.......................................6 【题型05 位似作图(放大/缩小n倍)】......................................8 【题型06 求位似图形的对应坐标】........................................9 【题型07 坐标系中相似/周长/面积比求解】.................................10 【题型08 坐标系内画位似图形】..........................................11 【题型09 在坐标系内画位似中心】........................................12 【题型10 坐标与图形综合】..............................................13 【题型11 相似三角形实际应用】..........................................14 【解答题4题 】........................................................15 ★知识梳理 知识点01:位似图形的定义 位似多边形：两个相似多边形，若对应顶点所在直线相交于同一点，且每组对应点到该点的距离之比为定值k(k0)，则这两个图形是位似图形，这个交点叫位似中心，k为相似比。 位似是特殊的相似，位似图形一定相似，但相似图形不一定位似。 左图位似图形 右图相似图形 位似中心位置：可在两图形同侧、之间、内部、边上或顶点处。 知识点02:位似图形的核心性质 1.位似图形必相似，对应角相等、对应边成比例。 2.所有对应点连线必过位似中心。 3.不经过位似中心的对应边互相平行（或共线）。 4.任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。 5.位似变换可将图形按相似比放大或缩小。 类型 位似中心位置 图形位置 相似比符号 同侧位似 图形的一侧 两个图形在中心的同一边 k>0 异侧位似 两个图形之间 两个图形分居中心两侧 k<0 知识点03:位似图形的作图方法 （一）尺规作图步骤（通用） (1)确定位似中心； (2)连接位似中心与原图关键点（顶点）并延长； (3)按相似比k，在连线上确定新图形的对应关键点； (4)顺次连接对应点，得到放大 / 缩小的位似图形。 （二）平面直角坐标系中的位似（以原点为位似中心） 设原图形顶点坐标为(x,y)，相似比为k(k0)： 同侧位似（k>0）：对应点坐标为(kx,ky)。 异侧位似（k<0）：对应点坐标为(kx,ky)，图形关于原点对称。 以原点为中心，一个图形可作两个位似图形（同侧、异侧）。 知识点04:位似与其他图形变换的区别 变换类型 图形关系 大小 / 形状 核心特征 平移 / 轴对称 / 旋转 全等 大小、形状均不变 位置改变，无缩放 位似 相似 形状不变，大小按比例缩放 对应点连线共点（位似中心） 知识点05:位似的判定方法 1.两图形相似； 2.所有对应顶点连线交于同一点； 3..对应点到交点的距离成比例。 满足以上三点，即为位似图形。 【题型1.位似图形的识别与判定】 【典例】下列相似图形不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在如图所示的网格中，以点为位似中心，作四边形的位似图形，小明认为四边形的位似图形是四边形；小亮认为四边形的位似图形是四边形，你认为正确的是______．（选填“小明”或“小亮”）． 【跟踪专练2】已知：如图，A′B′∥AB，A′C′∥AC，AA′的延长线交于BC于点D，△ABC与△A′B′C′是__________图形，其中____________点是位似中心． 【跟踪专练3】如图，在正方形网格中，以点为位似中心，的位似图形可以是（    ） A． B． C． D． 【题型2.位似中心的寻找与确定】 【典例】下列图中的两个菱形是位似图形，它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【跟踪专练1】如图，与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是________． 【跟踪专练2】如图，△EFH和△MNK是位似图形，其位似中心是点________． 【跟踪专练3】点A,B,C,D都在如图所示的由正方形组成的网格图中,且线段CD与线段AB成位似图形,则位似中心为(   ) A．点E B．点F C．点H D．点G 【题型3.位似相关概念深度辨析】 【典例】如图，与是位似三角形，位似比为，已知，则的长等于（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，和是位似三角形，位似中心为点O，，则和的位似比为________． 【跟踪专练2】如图，线段、相交于点，请你补充一个条件：______，使与是以点为位似中心的位似图形． 【跟踪专练3】如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（    ） A． B．C，O，三点在同一直线 C． D． 【题型4.双位似图形相似比计算】 【典例】放缩尺是利用图形的位似将图形放大或缩小的工具．如图，点的位置固定不变，在点，处装有画笔，当画笔沿图1运动时，画笔画出图形2，图形就放大了；反之，图形就缩小了．位似比可以通过调节点，点的位置来确定，调整时确保，，点，，在同一直线上．若，则图1与图2的相似比为__________． 【跟踪专练1】如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，与位似，其位似中心为点O，且点D为的中点，则与的面积比是_______． 【跟踪专练3】如图，坐标原点为矩形的对称中心，顶点的坐标为，轴，矩形与矩形是位似图形，点为位似中心，点，分别是点，的对应点，．已知关于，的二元一次方程，是实数）无解，在以，为坐标（记为的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形的边上，则的值等于（   ） A． B．1 C． D． 【题型5.位似作图(放大/缩小n倍)】 【典例】如图，以点为位似中心，将四边形放大到原来的3倍，得到四边形，若四边形的面积为1，则四边形的面积是（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 【跟踪专练1】如图1，以O为位似中心，作出的位似，使与的相似比为．图2和图3分别为珍珍和明明的作法，两人的作法中均保证，则下列说法正确的是（   ） A．只有珍珍的作法正确 B．只有明明的作法正确 C．两个人的作法都正确 D．两个人的作法都不正确 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在y轴的同侧作等边三角形，使它与△ABC位似，且相似比为3：1．若四边形是边长为6的菱形，则点A的坐标为______． 【跟踪专练3】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是 个单位长度，以点 为位似中心，在网格中画 ，使 与 位似， 的对应点分别为 ，且 与 的位似比为 ，则下列说法不正确的是 （　　） A．点 的坐标为 B． C． 与 的周长之比为 D． 与 的面积之比为 【题型6.求位似图形的对应坐标】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似，点B的坐标为，点的坐标为，点A的坐标为，则点的坐标为______． 【跟踪专练1】已知在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，，若以原点O为位似中心，相似比为2，将放大，则点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D．或 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，线段轴，的长为2，点A的坐标为，以点O为位似中心，在第一象限内画线段，使它与线段位似（点A，B的对应点分别为点，）．若，则点的坐标为______． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，，点B坐标为，则点E的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【题型7.坐标系中相似/周长/面积比求解】 【典例】如图，在平面直角坐标系中和是以点O为位似中心的位似图形，若位似比为，则和的面积比是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点是位似中心，若，则_____． 【跟踪专练2】.如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形（点，，的对应点分别为点），已知的顶点，若点的坐标为的面积为2，则的面积为_____ ．    【跟踪专练3】如图，与是位似图形，点是位似中心，若的面积为4，且，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 【题型8.坐标系内画位似图形】 【典例】如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C为位似中心，在网格中画出，使与位似，且与的位似比为2：1，此时点的坐标为_____．    【跟踪专练2】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画出，使它与△ABC的相似比为2，且它与△ABC在位似中心O的两侧，并写出点B的对应点的坐标是______． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的异侧画，使与成位似图形，且相似比为，则线段DF的长度为（    ） A． B．2 C． D．4 【题型9.在坐标系中画位似中心】 【典例】如图，在正方形网格中，两个阴影部分的格点三角形位似，则位似中心为（  ） A．点 B．点 C．点 D．点 【跟踪专练1】在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知每个小正方形的边长都是1，与的顶点都在正方形网格的格点上，且与为位似图形，则位似中心的坐标为____．    【跟踪专练2】如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点Q B．点P C．点N D．点M 【跟踪专练3】在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点、成位似关系，则位似中心的坐标为______．    【题型10.坐标与图形综合】 【典例】如图，对角线的交点为坐标原点，若点坐标为，则线段的长为______． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，已知，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的动点，线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值为______． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与分别相交．则圆心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型11.相似三角形实际应用】 【典例】如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2，若烛焰AC的高是，则实像的高是 ________ ． 【跟踪专练1】如图，小明用长为的竹竿做测量工具，测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离，则旗杆的高为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图，为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后成的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线会聚于C点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，则小蜡烛的像的长是________． 【跟踪专练3】如图，是一块板材，长为，边上的高为，从上裁剪出一个正方形板材，正方形板材的一边在上，其余两个顶点E、F分别在、上，则这个正方形板材的边长为（   ） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【解答题】 1.．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、. (1)画出关于轴对称的图形，并写出的坐标__________； (2)以原点为位似中心，在轴上方画出的位似图形，使它与的相似比为，并写出对应点的坐标__________. 2．如图1，等腰在平面直角坐标系中，，，若的面积是36． (1)求点A的坐标； (2)点P为射线上的一点，连接，若点P的坐标为，的面积为S，用含有t的式子表示S． (3)在（2）的条件下，如图2，当时，点M为线段上的一点，连接交y轴于点D，连接，连接交于点E，连接，若，求点M的坐标． 3．如图，反比例函数的图象经过正方形的顶点B，以原点O为位似中心，将正方形扩大得到正方形，使其面积比为．交反比例函数的图象于点G，已知． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的长． 4．如图，王亮同学在晚上由路灯走向路灯，当他走到处时发现，他在路灯下的影长为2米，且恰好位于路灯的正下方，接着他又走了米到处，此时他在路灯下的影子恰好位于路灯的正下方．已知王亮身高米，路灯高8米． (1)计算王亮站在处在路灯下的影长； (2)计算路灯的高度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $