精品解析：山东聊城市茌平区实验中学2026-2027学年八年级上学期第一次学情诊断数学试题

2026-2027学年上学期八年级第一次阶段性检测数学试题 一、单选题 1. 下列语句是命题的是（ ） A. 连接 B. 相等的角是对顶角 C. 小于90度的角是锐角吗？ D. 画 【答案】B 【解析】 【分析】根据命题的定义判断即可． 【详解】解：A、连接是作图，不是命题； B、相等的角是对顶角是命题； C、小于90度的角是锐角吗？是疑问句，不是命题； D、画是作图，不是命题． 2. 图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得到对应边相等，相等的对应边所对的角为对应角，进而求出的度数． 【详解】解：图中的两个三角形全等，且边长为的边是两个三角形的对应边， 边所对的内角是对应角， 根据全等三角形对应角相等，可得． 3. 如图，在和中，，要使，下面是四个同学补充的条件，其中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】已知  及公共边 ，根据直角三角形全等的判定定理（）或一般三角形全等判定定理（）逐项验证即可． 【详解】解：已知 ，， 对于A，若 ， 在  和  中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于B，若 ， 在  和  中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于C，若 ， 在  和  中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于D，设  与  交于点 ， ，， ，此结论由已知条件即可推出，无法判定 ，条件错误，故本选项符合题意． 4. 如图是“作一个角等于已知角”的尺规作图及其步骤： 作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 则下列说法错误的是（ ） A. 在作法步骤（2）中，可以得到 B. 在作法步骤（3）中，可以得到 C. D. 判定的依据是 【答案】C 【解析】 【详解】解： A、以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则，不符合题意； B、以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点，则，不符合题意； C、题目中没有信息说明，符合题意； D、判定的依据是，不符合题意． 5. 下列代数式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式定义，分母含有字母的代数式是分式，依次判断各选项，、、分母不含字母为整式，分母含有字母，是分式． 【详解】解：：分母是常数3，属于整式（单项式），不是分式． ：分子分母都是整式，分母含有字母，是分式． ：分母是常数2，属于整式（多项式），不是分式． ：是常数，整个式子是多项式，属于整式，不是分式． 6. 用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角是钝角或直角”，第一步应假设（    ） A. 一个四边形中至少有两个内角是钝角或直角 B. 一个四边形中至多有两个内角是钝角或直角 C. 一个四边形中没有一个内角是钝角或直角 D. 一个四边形中至多有一个内角是钝角或直角 【答案】C 【解析】 【分析】根据反证法定义：先假设命题结论不成立，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结论一定成立，这样的证明方法叫做反证法，进行判断即可． 【详解】解：由反证法的定义得 先假设结论：“至少有一个内角是钝角或直角”不成立， 则有：一个四边形中没有一个内角是钝角或直角， 故选：C． 【点睛】本题考查了反证法的定义，理解定义是解题的关键． 7. 如图，已知，且，，交于点F．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质结合三角形的内角和定理求解即可. 【详解】解：，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 分式的值为零，则x的值为 B. 根据分式的基本性质，等式恒成立 C. 分式中的，都扩大3倍，分式的值不变 D. 分式是最简分式 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式值为零的条件、分式的基本性质、最简分式的定义以及分式值的变化规律，根据相关概念逐项分析判断即可． 【详解】解：A．分式值为零需满足分子为零且分母不为零，对于， 解得，当时，分母，分式无意义， 只能为，故A错误； B．分式的基本性质要求分子分母同乘同一个不为零的整式， 当时，，等式不成立，选项未说明，故B错误； C．当都扩大3倍后，新分式为， 分式值变为原来的3倍，故C错误； D．分子与分母没有公因式，在实数范围内不可分解， 该分式是最简分式，故D正确； 故选：D． 9. 如图，平分，于点C，点D在上，若，，则的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于点，证明出，则，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 平分， ， ，， ， 又， ， ， 的面积． 10. 如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】由证明可判断①正确；证明可判断②正确；由①②结论得到，，由求解可判断③正确；根据三角形的三边关系可判断④错误． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，故③正确； ∵在中，， ∴，故④错误， 综上，正确的是①②③． 二、填空题（共15分） 11. 命题“如果，那么”的逆命题是__________（填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【解析】 【分析】交换原命题的题设与结论得到逆命题，再根据分式有意义的条件判断逆命题的真假即可． 【详解】解：逆命题为：如果，那么， 当，时，分式与无意义，则等式不成立， ∴逆命题是假命题． 12. 如图①是停车场的地锁，图②为其示意图，若，则________． 【答案】80 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质得到，再由邻补角互补可推出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 13. 如图所示的是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于地面的垂线上．若，在某次运动过程中，秋千向前和向后的最高点分别为点和点，点到的距离为，点到的距离为，，则点到地面的距离为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由题意可知，，，，通过定理可证明，得出，最后通过线段的和差求出的长即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，，，． 在和中， ， ． ， ， 即点到地面的距离为． 故答案为：． 14. 如图，在中，，点在上，满足，过点作交于点，若的周长为，的周长为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据可证，利用全等三角形的性质可知，再根据的周长和的周长，可得，即可得到的长度． 【详解】解：如下图所示，连接， 在和中， ， ， ， 的周长为， ， ， ， ， 的周长为， ， ， ， ． 15. 中，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，的值为________． 【答案】2或 【解析】 【分析】根据与全等时，对应边相等列式求解即可 ． 【详解】解：∵中，厘米，厘米，点为的中点． ∴，厘米， 设运动时间为秒， 则，，， 当与全等时，有， 当，时， 则，解得； 当，时， 则，解得， 综上，当与全等时，的值为2或． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】转化为同分母分式的减法运算即可； 先通分，再按同分母分式的减法法则计算即可； 先把分式除法转化为分式乘法，再按乘法法则计算即可； 根据分式乘法法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 17. 小亮在公园游玩时发现一水池，他想知道水池的宽，设计了如下方案： 主题 测量水池的宽 测量方案及示意图 ①在地面上找到可以直接到达点A，B的一点D，使； ②在的延长线上确定一点C，使； ③测量出． 根据以上信息，求水池的宽． 【答案】 【解析】 【分析】证出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 18. 已知：如图，，．求证：． 【答案】证明：，， ，即， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】利用证明，根据全等三角形的性质可证结论成立． 【详解】略 19. 如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． （1）求证：； （2）若， ，求的长． 【答案】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ， ； （2）3 【解析】 【分析】（1）根据，得，即可证明； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 20. 如图，在中，点在边上，连结并延长至点，连结，，． （1）若的面积为12，求的面积； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，，又由得到，即可得到； （2）根据全等三角形的性质和三角形外角的性质得到，，利用角的和差即可得到的度数． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，， ∵， ∴ 21. 定义：对于分式，若存在整数a，使得该分式的值为整数，则称整数a是该分式的巧数．例如：若时，分式的值为3，则称是分式的巧数． （1）“是分式的巧数”，该说法是否正确？请说明理由； （2）求分式所有的巧数； （3）对于分式，小华通过整理得出，借助问题（2）的结论即可得出的巧数．类比小华的做法，求分式所有的巧数． 【答案】（1）正确，把代入，得，是整数，所以是分式的巧数 （2），，，是分式的巧数 （3）分式的巧数为， 【解析】 【分析】（1）将代入分式计算出结果为整数，结合巧数定义即可判断说法正确； （2）根据分式值为整数推出分母是分子的因数，找出的所有整数因数，依次算出对应的值即为全部巧数； （3）先对分式因式分解约分并确定的取值限制，再拆分变形分式，根据分式值为整数得到是1的因数，求出对应值并检验，即可得到该分式所有巧数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵分式值为整数， ∴是的因数， ∴，，则的值为，，，， ∴，，，是分式的巧数； 【小问3详解】 解：由题意得：，且且， 又∵， ∵的值为整数， ∴为整数，则是的因数， ∴， ∴或， ∴分式的巧数为，． 22. 【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】 （1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ； （2）证明：∵是的外角， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴； （3），大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 同理可证明： ． ∴． ∴． ∵，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角全等模型是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）证明得到，，则； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，先证明得到．同理可证明：得到．则，即可得到，，． 【详解】略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期八年级第一次阶段性检测数学试题 一、单选题 1. 下列语句是命题的是（ ） A. 连接 B. 相等的角是对顶角 C. 小于90度的角是锐角吗？ D. 画 2. 图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 无法确定 3. 如图，在和中，，要使，下面是四个同学补充的条件，其中错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是“作一个角等于已知角”的尺规作图及其步骤： 作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 则下列说法错误的是（ ） A. 在作法步骤（2）中，可以得到 B. 在作法步骤（3）中，可以得到 C. D. 判定的依据是 5. 下列代数式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 6. 用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角是钝角或直角”，第一步应假设（    ） A. 一个四边形中至少有两个内角是钝角或直角 B. 一个四边形中至多有两个内角是钝角或直角 C. 一个四边形中没有一个内角是钝角或直角 D. 一个四边形中至多有一个内角是钝角或直角 7. 如图，已知，且，，交于点F．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 分式的值为零，则x的值为 B. 根据分式的基本性质，等式恒成立 C. 分式中的，都扩大3倍，分式的值不变 D. 分式是最简分式 9. 如图，平分，于点C，点D在上，若，，则的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 18 10. 如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 二、填空题（共15分） 11. 命题“如果，那么”的逆命题是__________（填“真”或“假”）命题． 12. 如图①是停车场的地锁，图②为其示意图，若，则________． 13. 如图所示的是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于地面的垂线上．若，在某次运动过程中，秋千向前和向后的最高点分别为点和点，点到的距离为，点到的距离为，，则点到地面的距离为____________． 14. 如图，在中，，点在上，满足，过点作交于点，若的周长为，的周长为，则___________． 15. 中，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，的值为________． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 小亮在公园游玩时发现一水池，他想知道水池的宽，设计了如下方案： 主题 测量水池的宽 测量方案及示意图 ①在地面上找到可以直接到达点A，B的一点D，使； ②在的延长线上确定一点C，使； ③测量出． 根据以上信息，求水池的宽． 18. 已知：如图，，．求证：． 19. 如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． （1）求证：； （2）若， ，求的长． 20. 如图，在中，点在边上，连结并延长至点，连结，，． （1）若的面积为12，求的面积； （2）若，，求的度数． 21. 定义：对于分式，若存在整数a，使得该分式的值为整数，则称整数a是该分式的巧数．例如：若时，分式的值为3，则称是分式的巧数． （1）“是分式的巧数”，该说法是否正确？请说明理由； （2）求分式所有的巧数； （3）对于分式，小华通过整理得出，借助问题（2）的结论即可得出的巧数．类比小华的做法，求分式所有的巧数． 22. 【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $