精品解析：山东省聊城市茌平县2025-2026学年上学期 第二次学情调研 八年级数学试题

2025-2026学年第一学期第二次学情调研 八年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（本题共10个小题，每题3分，共30分） 1. 以下四款人工智能大模型图标，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟悉掌握轴对称的特点是解题的关键． 根据轴对称图形的特点逐一判断即可． 【详解】解：A，B，D中的图形不是轴对称图形，故A、B、D不符合题意；C图形是轴对称图形，故C符合题意； 故选：C． 2. 下列各数中：，，3.1415926，，，无理数有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数是无限不循环小数，进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：是无限不循环小数，是无理数； 是分数，不是无理数； 3.1415926是有限小数，不是无理数； 不是无限不循环小数，不是无理数； 是无限不循环小数，是无理数； ∴无理数有2个， 故选：A． 3. 在中，的对应边分别是，，．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，涉及勾股定理的逆定理、三角形的内角和等知识，根据所给的条件，结合勾股定理逆定理、三角形内角和定理逐项判断即可作答． 【详解】解：∵，则 ∴是直角三角形，故A选项不符合题意； ∵， ∴可设， ∴， 即， ∴是直角三角形，故B选项不符合题意； ∵，且， ∴, ∴是直角三角形，故C选项不符合题意； ∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 4. 下列命题是假命题的是（ ） A. 三个角都相等的三角形是等边三角形 B. 角平分线上的点到角的两边距离相等 C. 等腰三角形的中线就是角平分线 D. 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查等边三角形的判定、角平分线的性质、等腰三角形的性质及垂直平分线的判定，根据等边三角形的判定、角平分线的性质、等腰三角形的性质及垂直平分线的判定逐一分析各选项的正确性． 【分析】A．三个角都相等的三角形是等边三角形，符合等边三角形的判定定理，为真命题． B．角平分线上的点到角的两边距离相等，符合角平分线的基本性质，为真命题． C．等腰三角形的中线是否为角平分线需具体分析．等腰三角形底边上的中线、高线、顶角平分线三线合一，但若中线为腰上的中线，则不一定为角平分线．题干未明确“中线”的位置，表述不严谨，存在反例，故为假命题． D．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，符合垂直平分线的判定定理，为真命题． 故选：C． 5. 若，则的值（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，分式的求值，由已知得，再把分式转化为，进而代入计算即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 6. 已知，下列不等式变形，正确的个数有（ ） ① ② ③ ④ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是不等式的基本性质，根据不等式性质判断：①两边加相同数，不等号方向不变；②两边乘负数，不等号方向改变；③中可能为零，导致不等式不成立；④分母恒为正，除以正数不等号方向不变．进一步可得答案． 【详解】解：∵， ① 两边加2，不等号方向不变， ∴，正确． ② 两边乘（负数），不等号方向改变， ∴，正确． ③ 当时，，则；但时，，则， 不等式不成立， ∴ 不一定正确． ④ ∵ ，两边除以正数，不等号方向不变， ∴，正确． ∴ 正确的有①、②、④，共3个． 故选：B 7. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质；根据题意可知为的平分线，由角平分线的性质得出，再由三角形的面积公式可得出结论． 【详解】解：由题意可知为的平分线，过点作于点， ，， ． 故选：B． 8. 将四个图1中的直角三角形，分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图2中阴影部分的面积为（　　） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】设直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，斜边为c．根据面积法可得，图2中，图3中，联立这两个式子，即可求得的值，即阴影部分的面积． 【详解】由图2可知，大正方形的面积，图3中小正方形的面积，设直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，斜边为c， 则由图2可得， 即①， 由图3可得， 即②， 联立①和②可得， ， ∴图2中阴影部分的面积为13， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和完全平方公式，掌握用面积法解题是解题的关键． 9. 如图，P是外一点，D，E分别是两边上的点，点P关于的对称点恰好落在线段上，点P关于的对称点恰好落在的延长线上．若，，，则线段的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形的性质，利用轴对称图形的性质得出，进而得出，即可得出结果． 【详解】解：∵点P关于的对称点恰好落在线段上，点P关于的对称点恰好落在的延长线上， ， ， ， ， ， 故选：． 10. 如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴、估算无理数的大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，在计算1、，得出规律即可解决． 【详解】解：由题意可得表示的数是， ∵右侧最近的整数点为， ∴表示的数是2， ∴， ∴表示的数是，表示的数是3， ∴， 同理可得表示的数是，表示的数是4，， 表示的数是，表示的数是5，， 可知以，两个数一环出现， ∵， ∴， 故选：A． 二、填空题（本题共5个小题，每题3分，共15分） 11. 的算术平方根是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了求算术平方根，先计算的值，再求其算术平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 故的算术平方根是， 故答案为：． 12. 如图①，杆AB可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方固定一个小定滑轮C，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，并将杆AB从水平位置缓慢向上拉起．图②是其示意图，已知，当杆AB与水平面夹角为30°时，测得，此时点B到AD的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】作交于点，构造直角三角形，再利用等边三角形的性质，得出，求解即可， 【详解】解：如图：作交于点， ∵， 又∵， ∴为等边三角形， ， 中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形，做辅助线构造直角三角形是解题的关键． 13. 关于的不等式的负整数解是，，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据不等式的解集求参数． 首先解不等式得到的取值范围，然后根据负整数解是和，确定和满足不等式，而不满足，从而得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：解不等式，得， 由于负整数解是，， 因此和满足不等式，即，得； 同时不满足不等式，即，得； 故的取值范围是． 故答案为：． 14. 记，设A为代数式，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用完全平方公式化简，由此可得，进而得到，化简右边分式即可解答． 【详解】， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查分式的除法、完全平方公式、因式分解和分式的性质，熟练掌握这些知识是解答本题的关键． 15. 如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接，，，，与交于点，若，则下列结论：①垂直平分，②是等边三角形，③，④的度数为，其中正确的序号是______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质及判定定理，内角和定理，细心计算角度是关键．首先证明，得到，得到是等边三角形，判断②正确；根据与都是等腰直角三角形，进而推出，再根据三线合一的性质得到①③正确；为等腰三角形，顶角都为，得到，进而根据等边三角形的性质即可推出的度数为，判断④正确． 【详解】解：∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，故②正确 ∴， ∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴为的角平分线， ∵为等腰三角形， ∴垂直平分，故①正确， ∵， ∴平分， ∵是等边三角形， ∴是的边上的中线， ∴，故③正确， ∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形，且是上边的中线， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴的度数为，故④正确， 综上所述，①②③④都正确． 故答案为：①②③④． 三、解答题（本题8个大题，共75分．应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）解分式方程：． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，解分式方程，解题的关键是熟练掌握实数的混合运算，分式的混合运算的法则，掌握解分式方程的一般步骤； （1）根据算术平方根和立方根的定义求解即可； （2）根据乘方运算，算术平方根和立方根的定义，绝对值的化简求解即可； （3）先算分式的乘法和约分，再算分式的加法即可． （4）去分母，将分式方程化成整式方程，解这个整式方程，验根即可求得原方程的解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：方程两边同乘以得，， 解得， 当时，， 是原分式方程的解． 17. 求不等式组的解集，并把解集在数轴上表示出来，写出它的所有非负整数解． 【答案】，非负整数解：0，1 数轴表示如下： 【解析】 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，进而即可解决问题．本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】∵ ∴解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 故非负整数解有0，1两个． 18. 如图，在正方形网格中，的顶点都在格点上，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： （1）作出关于直线对称的； （2）在直线上作一点P，使得的周长最小． 【答案】（1） 解：如图所示：即为所求； （2） 如图所示：点P即为所求． 【解析】 【分析】此题主要考查了作图-轴对称变换． （1）首先确定A、B、C三点关于轴对称的对称点位置，再连接即可； （2）连接交直线于点P，则，即可知的周长最小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴此时最小，的周长最小， ∴点P即为所求． 19. 阅读下面的文字，解答问题． 例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为， 请解答： （1）的整数部分是______，小数部分是______； （2）已知，小数部分是m，小数部分是n，且，请求出满足条件的x的值． 【答案】（1）3，； （2）满足条件的x的值是． 【解析】 【分析】本题主要考查的是估算无理数大小，掌握估算无理数大小的方法是解题的关键； （1）先估算出的大小，然后确定整数部分，小数部分即可； （2）根据的整数部分可求出和的整数部分，进而表示出小数部分m、n，最后代入求x的值即可． 【小问1详解】 解：，即， ∴的整数部分为3，小数部分为； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴的整数部分为11，的整数部分为4， ∴小数部分是，的小数部分， ， ∴， ∴满足条件的x的值是． 20. 某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了元，购买乙种用了元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵元． （1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元； （2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共个，总费用不超过元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 【答案】（1）甲种滑动变阻器的单价为元，乙种滑动变阻器的单价为元； （2）该校最少购买个甲种滑动变阻器． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准数量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式． （）设甲种滑动变阻器的单价为元，则乙种滑动变阻器的单价为元，根据购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的倍，列出分式方程，解方程并检验即可； （）设该校购买甲种滑动变阻器个，则购买乙种滑动变阻器个，根据总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设甲种滑动变阻器的单价为元，则乙种滑动变阻器的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的根，且符合题意， ∴， 答：甲种滑动变阻器的单价为元，乙种滑动变阻器的单价为元； 【小问2详解】 解：设该校购买甲种滑动变阻器个，则购买乙种滑动变阻器个， 根据题意得：， 解得：， 答：该校最少购买个甲种滑动变阻器． 21. 山青林场准备对一块四边形空地进行绿化改造，某中学数学兴趣小组的同学们帮助工作人员进行了测量，得到如下数据：，从点A修一条垂直的小路(垂足为点E)， ，点E恰好是的中点． （1）求边的长； （2）求空地的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查垂线的定义，勾股定理，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． (1)利用勾股定理求出即可求解； (2)连接AC，由线段垂直平分线的性质得，进而由勾股定理的逆定理得是直角三角形，再根据计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴是直角三角形， 在中， ， 由勾股定理得：， ∵E是的中点， ∴； 【小问2详解】 如图，连接AC， ∵，E是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是直角三角形，， ∴， 答：空地ABCD的面积为． 22. 如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：垂直平分， ， ，， ， 为等边三角形； （2） 解：，理由如下： ∵垂直平分， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴在直角中，， ∴， ∴. 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分得，再根据，得，由此即可得出结论； （2）先根据垂直平分得出．再证明，然后根据等边三角形与直角三角形的性质即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定，线段垂直平分线的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键． 23. 定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在中，，点在边上． （1）如图1，如果，求证：是的“等角分割线”； （2）如图2，如果，且是的“等角分割线”，求的度数； （3）是的“等角分割线”，的平分线交于点．如果，那么的度数为___________． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的“等角分割线”； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理等知识点． （1）由等边对等角得到，，则，再由三角形的外角性质即可求证； （2）先由等腰三角形性质以及三角形内角和定理得到，再由外角性质得到，，然后再分类讨论即可； （3）分两种情况讨论，当时，由三线合一得到，，，设，则，可得垂直平分，则，然后根据外角性质表示出再由三角形内角和定理得到；当时，设，则，则，由，以及等腰三角形性质得到，在中由三角形内角和定理建立方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∵是的“等角分割线”， ∴①，， 解得：； ②，， 解得：（舍去）， 综上：； 【小问3详解】 解：记的平分线与交于点， ①当时， ∵，平分， ∴，，， 设，则 ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； ②当时， ∵平分， ∴， 设，则， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， 综上：的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期第二次学情调研 八年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（本题共10个小题，每题3分，共30分） 1. 以下四款人工智能大模型图标，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各数中：，，3.1415926，，，无理数有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 在中，的对应边分别是，，．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题是假命题的是（ ） A. 三个角都相等的三角形是等边三角形 B. 角平分线上的点到角的两边距离相等 C. 等腰三角形的中线就是角平分线 D. 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 5. 若，则的值（ ） A. B. C. D. 6. 已知，下列不等式变形，正确的个数有（ ） ① ② ③ ④ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 7. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 将四个图1中的直角三角形，分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图2中阴影部分的面积为（　　） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 9. 如图，P是外一点，D，E分别是两边上的点，点P关于的对称点恰好落在线段上，点P关于的对称点恰好落在的延长线上．若，，，则线段的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 12 10. 如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5个小题，每题3分，共15分） 11. 的算术平方根是_____． 12. 如图①，杆AB可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方固定一个小定滑轮C，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，并将杆AB从水平位置缓慢向上拉起．图②是其示意图，已知，当杆AB与水平面夹角为30°时，测得，此时点B到AD的距离为______． 13. 关于的不等式的负整数解是，，则的取值范围是________． 14. 记，设A为代数式，若，则_____． 15. 如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接，，，，与交于点，若，则下列结论：①垂直平分，②是等边三角形，③，④的度数为，其中正确的序号是______． 三、解答题（本题8个大题，共75分．应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）解分式方程：． 17. 求不等式组的解集，并把解集在数轴上表示出来，写出它的所有非负整数解． 18. 如图，在正方形网格中，的顶点都在格点上，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： （1）作出关于直线对称的； （2）在直线上作一点P，使得的周长最小． 19. 阅读下面的文字，解答问题． 例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为， 请解答： （1）的整数部分是______，小数部分是______； （2）已知，小数部分是m，小数部分是n，且，请求出满足条件的x的值． 20. 某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了元，购买乙种用了元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵元． （1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元； （2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共个，总费用不超过元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 21. 山青林场准备对一块四边形空地进行绿化改造，某中学数学兴趣小组的同学们帮助工作人员进行了测量，得到如下数据：，从点A修一条垂直的小路(垂足为点E)， ，点E恰好是的中点． （1）求边的长； （2）求空地的面积． 22. 如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 23. 定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在中，，点在边上． （1）如图1，如果，求证：是的“等角分割线”； （2）如图2，如果，且是的“等角分割线”，求的度数； （3）是的“等角分割线”，的平分线交于点．如果，那么的度数为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $