精品解析：甘肃平凉市崆峒区陕西师范大学平凉实验中学2026-2027学年八年级上学期期中考试数学试卷

陕师大平凉实验中学2026-2027学年度第一学期期中测试 八年级数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，古人修建牌楼梁架时，外轮廓为等腰，，匠人在底边中点竖立柱，便能确保立柱与横梁互相垂直．其依据是（ ） A. 等边对等角 B. 三线合一 C. 垂线段最短 D. 三角形的稳定性 3. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 全等三角形的面积相等 B. 如果，那么 C. 两直线平行，内错角相等 D. 两个全等三角形的三对对应角相等 6. 下列条件不能确定是直角三角形的是（ ） A. 在中，，都是锐角 B. 的三个内角的度数之比是 C. 在中， D. 有两个内角互余 7. 如图，在中，是边的中点．按下列要求作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，交线段于点，交于点；②以点为圆心，长为半径作弧，交线段于点；③以点为圆心，长为半径作弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧；④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把纸片沿折叠，使点落在四边形内部点的位置．如果，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，平分，交于点D，，交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接，则下列结论中不成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为t（s），当与全等时，则点Q的运动速度为（ ）． A. 或1 B. 1或2 C. 或 D. 1或 二、填空题（本大题共6小题，每空4分，共24分） 11. 已知点和关于x轴对称，则值为_______ 12. 如图，点B，F，E，C在同一直线上，，且，要使，则可以添加的条件是_______．（只需填上一个即可） 13. 如图，在中，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交边于点，连接，若，，则的长为________． 14. 如图，在中，已知分别是的中点，且，那么阴影部分的面积为__________． 15. 方特海盗船是一种模拟海盗冒险场景的游乐项目．如图，当海盗船静止时，转轴到地面的距离．当海盗船的船头在处时，，此时测得点到地面的距离．当船头从处摆动到处时，，则点到的距离为_____． 16. 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，若∠A＝70°，则∠BOC＝________． 三、解答题（本大题共10小题共96分） 17. 请利用直尺和圆规作图，不写作法，但保留作图痕迹． 如图，求作四边形内部的点P，使得，并且点P到两边的距离相等． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）画出关于轴成轴对称的，并写出点的坐标为_________． （2）请在轴上标出点的位置，使得周长最小（保留作图痕迹）． 19. 已知的三边长分别为a，b，c. （1）化简：； （2）若，，且三角形的周长为偶数. ①求的值； ②试判断的形状. 20. 如图，已知，，与交于点E．求证：； 21. 如图，在中，是的高，是的角平分线，已知． （1）求的大小． （2）若是的角平分线，求的大小． 22. 如图所示，已知在中，，，直线经过点，，，垂足分别为，，求证：． 23. 如图，已知分别是三边上的点，，且的面积与的面积相等．求证：平分． 24. 如图，一条船上午8时从海岛A出发，以20海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC=30°，∠NBC=60°． （1）求海岛B到灯塔C的距离； （2）若这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？ 25. 如图，在中，是的平分线，，垂足分别为E，F． （1）若的面积为7，，，则的长是多少？ （2）连接，求证：垂直平分． 26. 综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用 （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图，延长至点，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图，在线段上截取，使得______，连接______．请补全空格，并在图中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图，在五边形中，，，，若，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕师大平凉实验中学2026-2027学年度第一学期期中测试 八年级数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项C中的图形可以找到一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，故是轴对称图形，符合题意； 选项A、B、D中的图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，故都不是轴对称图形，不符合题意． 2. 如图，古人修建牌楼梁架时，外轮廓为等腰，，匠人在底边中点竖立柱，便能确保立柱与横梁互相垂直．其依据是（ ） A. 等边对等角 B. 三线合一 C. 垂线段最短 D. 三角形的稳定性 【答案】B 【解析】 【详解】解：， 是等腰三角形，  是底边的中点，  是等腰底边上的中线， 根据等腰三角形“三线合一”的性质（底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合）可得， 其依据是三线合一． 3. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】三角形各顶点以A、B、C、D标记，首先根据三角板的各角度数确定的度数，然后根据三角形外角的定义和性质求解即可． 【详解】解：将一副三角板按如图方式叠放，如图， 根据题意可知：， ∴， ∵， ∴． 4. 如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的性质即可判断B、C选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D． 【详解】解：由轴对称图形的性质得到，， ∴， ∴B、C、D选项不符合题意， 故选：A． 5. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 全等三角形的面积相等 B. 如果，那么 C. 两直线平行，内错角相等 D. 两个全等三角形的三对对应角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题的逆命题，判断逆命题的真假，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．通过分析四个选项的逆命题，判断其是否为真命题，从而得到答案． 【详解】解：A、全等三角形的面积相等逆命题为：面积相等的两个三角形是全等三角形，是假命题； B、如果，那么逆命题为：若，则，是假命题； C、两直线平行，内错角相等逆命题为：内错角相等，两直线平行，是真命题； D、两个全等三角形的三对对应角相等逆命题为：三个角相等的两个三角形是全等三角形，是假命题； 故选：C ． 6. 下列条件不能确定是直角三角形的是（ ） A. 在中，，都是锐角 B. 的三个内角的度数之比是 C. 在中， D. 有两个内角互余 【答案】A 【解析】 【分析】两个锐角无法确定三角形的形状，可先锁定A选项，再结合三角形内角和定理验证其余选项． 【详解】解：A选项：仅知，为锐角，第三个角可能为锐角、直角或钝角，不能确定是直角三角形，符合题意； B选项：最大内角为，可确定是直角三角形，不符合题意； C选项：由得， ∵， ∴， 即，可确定是直角三角形，不符合题意； D选项：两个内角互余，则这两个角的和为，第三个内角为，可确定是直角三角形，不符合题意． 7. 如图，在中，是边的中点．按下列要求作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，交线段于点，交于点；②以点为圆心，长为半径作弧，交线段于点；③以点为圆心，长为半径作弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧；④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由作图可得，，即可判断AD选项，推出，即可判断B选项，根据已知条件不能得出，即可判断C选项． 【详解】解：由作图可得，，故选项结论成立，不符合题意； ∴， ∴，故B选项结论成立，不符合题意； 根据已知条件不能得出，故C选项结论不成立，符合题意． 8. 如图，把纸片沿折叠，使点落在四边形内部点的位置．如果，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠问题，平角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据折叠，可知，，先算出，然后算得，最后通过算得答案． 【详解】解：根据折叠，可知，， ， ， ， ， 故选：C． 9. 如图，在中，，，平分，交于点D，，交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接，则下列结论中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过证明，来推导线段之间的数量关系，并利用线段垂直平分线的性质判断线段相等即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故B不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴，故C不符合题意； 如图，过点E作于点H， ∴， 显然， ∵， ∴，故D符合题意． 10. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为t（s），当与全等时，则点Q的运动速度为（ ）． A. 或1 B. 1或2 C. 或 D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】根据运动可知：，则，分、、三种情况讨论即可作答． 【详解】解：根据运动可知：，则， 当时，，， ∴，即， ∴， 此时点Q的运动速度为：； 当时，，， ∵， ∴，即， 此时点Q的运动速度为：； 当时，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 此时点Q的运动速度为：； 综上：点Q的运动速度为或者． 二、填空题（本大题共6小题，每空4分，共24分） 11. 已知点和关于x轴对称，则值为_______ 【答案】 1 【解析】 【分析】利用两点关于x轴对称的坐标规律，即横坐标相等、纵坐标互为相反数，求出a、b的值，再代入计算乘方结果 【详解】解：∵ 点和关于轴对称， ∴ 两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ， ∴ 12. 如图，点B，F，E，C在同一直线上，，且，要使，则可以添加的条件是_______．（只需填上一个即可） 【答案】(答案为唯一) 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．根据全等三角形的判定方法即可解决问题； 【详解】解：∵，∴， 又∵， 根据只要添加：或； 根据只要添加：或； 根据只要添加：， 故答案为：(答案为唯一)． 13. 如图，在中，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交边于点，连接，若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得垂直且平分，根据垂直平分线的性质可得，然后根据求解即可． 【详解】解：由题意可得，垂直且平分， ∴， ∴． 14. 如图，在中，已知分别是的中点，且，那么阴影部分的面积为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】先得出，，则可得，再得出，由此即可得． 【详解】解：∵点是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 即阴影部分的面积为2． 15. 方特海盗船是一种模拟海盗冒险场景的游乐项目．如图，当海盗船静止时，转轴到地面的距离．当海盗船的船头在处时，，此时测得点到地面的距离．当船头从处摆动到处时，，则点到的距离为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，先过点作于点F，再证明，可得，证明，从而可得答案，实际问题中，构造需要的全等三角形是解本题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点F， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即点到的距离为． 故答案为：6． 16. 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，若∠A＝70°，则∠BOC＝________． 【答案】125° 【解析】 【分析】求出O为△ABC的三条角平分线的交点，求出∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，求出∠OBC+∠OCB，再根据三角形内角和定理求出∠BOC的度数即可； 【详解】∵ 在△ ABC中，点O是△ABC内的一点，且点O到△ ABC三边距离相等， ∴ O为△ABC的三条角平分线的交点， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， ∵∠A=70°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°， ∴∠OBC+∠OCB=55°， ∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=125°， 故答案为：125°． 【点睛】本题考查了角平分线的有关计算，三角形内角和定理的应用，能正确掌握与角平分线有关的三角形内角和问题是解题的关键； 三、解答题（本大题共10小题共96分） 17. 请利用直尺和圆规作图，不写作法，但保留作图痕迹． 如图，求作四边形内部的点P，使得，并且点P到两边的距离相等． 【答案】 如图，点P为所求． 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线和角平分线的判定定理及线段垂直平分线和角平分线的尺规作图．由可得点P在的垂直平分线上，由点P到两边的距离相等可得点P在的角平分线上，因此作出的垂直平分线，的角平分线，交点即为点P． 【详解】略 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）画出关于轴成轴对称的，并写出点的坐标为_________． （2）请在轴上标出点的位置，使得周长最小（保留作图痕迹）． 【答案】（1）如图所示，即为所求， （2）如图所示，点即为所求． 【解析】 【分析】（）根据轴对称图形的性质画出图形，再根据图形写出点的坐标即可； （）连接交于点，连接，由轴对称的性质得，故，由两点之间线段最短，可知的值最小，即此时周长最小，故点即为所求； 本题考查了作轴对称图形，坐标与图形，轴对称最短线段问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求，由图可得，点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 略 19. 已知的三边长分别为a，b，c. （1）化简：； （2）若，，且三角形的周长为偶数. ①求的值； ②试判断的形状. 【答案】（1） （2）；等腰三角形 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用： （1）先根据三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再去绝对值符号，最后合并同类项化简； （2）①根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合周长为偶数求出c的值；②通过比较三边长度判断三角形形状． 【小问1详解】 解：根据三角形的三边关系可知， 原式 ； 【小问2详解】 解：①∵，， ∴， 又∵，且三角形的周长为偶数， ∴为偶数， ∴； ②∵， ∴为等腰三角形． 20. 如图，已知，，与交于点E．求证：； 【答案】证明：∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据题意得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明． 【详解】略 21. 如图，在中，是的高，是的角平分线，已知． （1）求的大小． （2）若是的角平分线，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质： （1）先根据三角形内角和定理可得，再由角平分线，得到，根据高的定义得到，即可求解； （2）由（1）得：，根据角平分线的定义分别得到∠BAG和∠ABG，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵是的高，是的角平分线， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 22. 如图所示，已知在中，，，直线经过点，，，垂足分别为，，求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴ ， ∴ ， ， ∴， 在和中，  ， ∴， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】根据，，得，而，根据等角的余角相等得，然后根据“”可判断，则，，于是． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 23. 如图，已知分别是三边上的点，，且的面积与的面积相等．求证：平分． 【答案】 证明：如图所示，过点作于点，于点， ∵的面积与的面积相等 ． ， ， 又， 平分． 【解析】 【分析】过点作于点，于点，根据的面积与的面积相等得，根据得，根据，即可得． 【详解】略 【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，解题的关键是掌握角平分线的判定定理． 24. 如图，一条船上午8时从海岛A出发，以20海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC=30°，∠NBC=60°． （1）求海岛B到灯塔C的距离； （2）若这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？ 【答案】（1）40海里； （2）上午11时小船与灯塔C的距离最短． 【解析】 【分析】（1）根据三角形外角的性质求出∠ACB＝30°，得到∠ACB＝∠NAC，则AB＝BC，求出AB即可； （2）如图，过点C作CP⊥AB于点P，根据垂线段最短可知线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离，求出∠PCB＝30°，根据含30度角的直角三角形的性质可得PB，再计算得出从B到P的时间即可． 【小问1详解】 解：由题意得：AB＝20×（10－8）＝40（海里）， ∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°， ∴∠ACB＝∠NBC−∠NAC＝30°， ∴∠ACB＝∠NAC， ∴AB＝BC＝40（海里）， ∴从海岛B到灯塔C的距离为40海里； 【小问2详解】 如图，过点C作CP⊥AB于点P， 根据垂线段最短，线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离，∠BPC＝90°， ∵∠NBC＝60°， ∴∠PCB＝180°−∠BPC−∠CBP＝30°， ∴在Rt△CBP中，PB＝BC＝20（海里）， ∵20÷20＝1， ∴若这条船继续向正北航行，上午11时小船与灯塔C的距离最短． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握各性质是解决本题的关键． 25. 如图，在中，是的平分线，，垂足分别为E，F． （1）若的面积为7，，，则的长是多少？ （2）连接，求证：垂直平分． 【答案】（1） （2）证明：中，平分，， ，，, ∴点D在线段的垂直平分线上， 在和中， ， ， , ∴点A在线段的垂直平分线上， 垂直平分． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质定理得，根据即可求的长； （2）证明，得，结合，由线段垂直平分线的逆定理可证明结论． 【小问1详解】 解：是的平分线，， ， ，的面积为7，，， ， ； 【小问2详解】 略 26. 综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用 （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图，延长至点，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图，在线段上截取，使得______，连接______．请补全空格，并在图中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图，在五边形中，，，，若，求的度数． 【答案】（1）解：， 理由：∵平分， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2） ，辅助线如图3所示． （3） 【解析】 【分析】（1）利用证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）根据语言描述作出图形即可； （3）延长至点G，使，连接，利用证明，得出，，从而可证得．即可利用证明，得出，即可由求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ①AC ② 图略； 【小问3详解】 解：如图2，延长至点G，使，连接，． ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $