精品解析：甘肃武威市凉州区武威第二十七中学2026-2027学年八年级上学期10月期中数学试题

武威第二十七中学2026-2027学年八年级数学 上册期中试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下面能组成三角形的三边长是（ ） A. 2，4，2 B. 3，4，5 C. 4，5，9 D. 4，5，10 2. 三角形中，到三个顶点距离相等的点是（ ） A. 三条高线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条中线的交点 3. 若、、分别为三角形的三边长，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 4. 已知满足，则以的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ） A. 或 B. C. D. 以上答案都不对 5. 如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 不能确定 6. 如图，是的角平分线，于点E，，，，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法、如图所示，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成矩形．若，则矩形的面积是（ ） A. 24 B. 48 C. 36 D. 60 8. 如图，平分，点在内部，于点，，点在射线上运动，则的最小值为（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 9. 如图，在中，，平分，于E，，，则的周长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 10. 如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点，，的周长是，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 在中，为边上的高，，则的度数为______． 12. 如图，有、、三个小岛，在的北偏东，岛在岛的南偏西，岛在岛的南偏西方向，那么的度数为______度． 13. 如图，在中，，的两条内角平分线、交于点，则的度数为________． 14. 如图，已知，若，则的度数为___________． 15. 如图，小谊将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为O，即，．测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离．图中与全等的依据是________． 16. 如图，已知，，垂足为点D，，垂足为点E，．若，则的度数为______． 17. 如图，在中，，于点D，于点E，于点F，，则_________ ． 18. 如图，已知四边形中，，，点E是线段的三等分点（靠近B处，）．如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点D运动．若要使得与全等，则点Q的运动速度为__________． 三、解答题（共66分） 19. 已知的三边长分别为a，b，c． （1）若a，b满足等式，且c为整数，求周长的最小值． （2）化简：． 20. 如图，是的角平分线，为延长线上一点，于点．若，，求的度数． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出向下平移4个单位长度的；（点，，的对应点分别为，，） （2）作出关于轴对称的（点，，的对称点为，，）并直接写出点的坐标； （3）如何平移才能使它与关于轴对称？ 22. 如图，在中，于点，是外角的角平分线，且交的延长线于点，平分交于点．． （1）若，，求和的度数． （2）若，请用含的式子表示的度数． 23. 如图，已知于点D，，，的延长线交边于点E． （1）若，，求的长； （2）求证：． 24. 如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点，交于点，交于点． （1）证明：； （2）证明：； 25. 如图，在中，平分，与线段的延长线交于点． （1）证明：； （2）试探究线段和的数量关系，并证明你的结论． 26. 在中，,，D点为射线上一动点，连接，过点B作且（点E在直线BC下方）． （1）当点D在线段上时，如图1，过E点作交于点G，求证：； （2）如图2，当点D在的延长线上时，连接，与的延长线交于点M，求与的大小关系． 27. 【引入概念】引入概念1：如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中其中一个是等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧等线”． 【理解概念】： （1）如图1，在中，，垂足为点D，请写出图中你找到的1对“等角三角形”：______________ ； （2）如图2，在中，为角平分线，，请说明是的“巧等线”； 【应用概念】： （3）在中，若为的“巧等线”，请直接写出所有可能的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武威第二十七中学2026-2027学年八年级数学 上册期中试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下面能组成三角形的三边长是（ ） A. 2，4，2 B. 3，4，5 C. 4，5，9 D. 4，5，10 【答案】B 【解析】 【分析】通过比较较小两边之和与最长边的大小，可快速判断能否组成三角形． 【详解】解：A、，不能组成三角形． B、，能组成三角形． C、，不能组成三角形． D、，不能组成三角形． 2. 三角形中，到三个顶点距离相等的点是（ ） A. 三条高线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条中线的交点 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. ∴到三角形一边两个端点距离相等的点在该边的垂直平分线上. ∴到三角形三个顶点距离都相等的点是三边垂直平分线的交点. 3. 若、、分别为三角形的三边长，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形三边关系判断各绝对值内式子的正负，再去绝对值合并同类项． 【详解】解：、、为三角形三边长， ，，， ，，， 原式 ． 4. 已知满足，则以的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ） A. 或 B. C. D. 以上答案都不对 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值与算术平方根的非负性求出，的值，然后分两种情况讨论：①当等腰三角形腰长为4时；②当等腰三角形腰长为8时；讨论两种情况下边长能否构成三角形，再选择能构成三角形的情况求周长即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， 若腰长为，则三边长为， ∵，不能构成三角形，舍去； 若腰长为，则三边长为， ∵，能构成三角形， 周长为． 5. 如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠性质得出 ，，利用平角定义表示出  与  的关系，结合三角形内角和定理求解． 【详解】解： 将三角形纸片  沿  折叠，点  落在点  处，  ，，  ， ，  ， ，   ， ，  ． 6. 如图，是的角平分线，于点E，，，，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】过点D作于点F，根据角平分线的性质得出，利用建立方程求解． 【详解】解：如图，过点D作于点F， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法、如图所示，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成矩形．若，则矩形的面积是（ ） A. 24 B. 48 C. 36 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】先证明、，求出，，再根据矩形的面积进而求解即可． 【详解】解：∵D是的中点，四边形是矩形，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 8. 如图，平分，点在内部，于点，，点在射线上运动，则的最小值为（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂线段最短，结合角平分线的性质进行求解即可. 【详解】解：∵点在射线上运动， ∴当时，的值最小， ∵平分，， ∴当时，， ∴的最小值为4. 9. 如图，在中，，平分，于E，，，则的周长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的性质定理可得，进而将的周长转化为求解．  【详解】解：平分，，， ， 的周长， ，， 的周长． 10. 如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点，，的周长是，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据是线段的垂直平分线，可得，然后根据的周长是，以及，求出的长为多少即可． 【详解】解：是线段的垂直平分线， ， 的周长是， ， ， ， ， 又， ． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 在中，为边上的高，，则的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况画出相应的图形，再分别根据直角三角形两锐角互余和三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图1，∵为边上的高， ∴ 又∵ ∴， 如图2，∵为边上的高， ∴， 又∵ ∴； 综上可知，的度数为或． 12. 如图，有、、三个小岛，在的北偏东，岛在岛的南偏西，岛在岛的南偏西方向，那么的度数为______度． 【答案】 【解析】 【分析】利用为正北方向、为正南方向，把题面的三个方位角分别转化为、与，再用角的和差求出、，最后由三角形内角和求． 【详解】解：表示正北方向，表示正南方向（如图）． 岛在岛的北偏东方向， ． 岛在岛的南偏西方向， 岛在岛的北偏东方向，即， ，． 岛在岛的南偏西方向， ． 又， ． 在中，， ． 13. 如图，在中，，的两条内角平分线、交于点，则的度数为________． 【答案】 130 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，结合角平分线定义得出的度数，再利用三角形内角和定理计算． 【详解】解： ， ， 、分别平分、 ， ， ， ． 14. 如图，已知，若，则的度数为___________． 【答案】##98度 【解析】 【分析】先利用全等三角形的性质，得到、，算出，记与的交点为F，借助对顶角相等和三角形内角和推导出即可求出角度． 【详解】解：，， ，， ， ， 如图，设与的交点为，则， ． 15. 如图，小谊将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为O，即，．测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离．图中与全等的依据是________． 【答案】 【解析】 【分析】已知点O分别为线段、的中点即可得到边相等，根据对顶角相等即可得到角相等，则可判定三角形全等即可得知判定全等的依据． 【详解】解：∵O为线段、的中点， ∴，， ∴在和中， ∴． 16. 如图，已知，，垂足为点D，，垂足为点E，．若，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得出，证明，得出，根据平行线的性质得出，根据，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 17. 如图，在中，，于点D，于点E，于点F，，则_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，再由，可得，可得，则，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 18. 如图，已知四边形中，，，点E是线段的三等分点（靠近B处，）．如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点D运动．若要使得与全等，则点Q的运动速度为__________． 【答案】3或 【解析】 【分析】设点Q的运动速度为，运动时间为，根据题意可得，，，再分两种情况：当时，当时，根据全等三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】解：设点Q的运动速度为，运动时间为， ∵点E是线段的三等分点（靠近B处），， ∴， 由题意得：， ∵， ∴， 分两种情况： 当时， ∴， ∴， 解得； 当时， ∴， ∴， 解得t，x； 综上所述：点Q的运动速度为或． 三、解答题（共66分） 19. 已知的三边长分别为a，b，c． （1）若a，b满足等式，且c为整数，求周长的最小值． （2）化简：． 【答案】（1）周长的最小值为11 （2）化简结果为 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质求解即可； （2）利用三角形的三边关系和绝对值的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵a，b，c是的三边长， ∴，即， ∵c为整数， ∴c的最小值为3， ∴周长的最小值为； 【小问2详解】 解：∵a，b，c是的三边长， ∴，，， ∴，，， ∴ ． 20. 如图，是的角平分线，为延长线上一点，于点．若，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理得出，根据角平分线的定义得出，利用三角形外角性质得出，根据，利用直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出向下平移4个单位长度的；（点，，的对应点分别为，，） （2）作出关于轴对称的（点，，的对称点为，，）并直接写出点的坐标； （3）如何平移才能使它与关于轴对称？ 【答案】（1） （2）；点的坐标为 （3）向上平移4个单位 【解析】 【分析】（1）根据平移规则，画出即可； （2）根据轴对称的性质，画出，写出点的坐标即可； （3）根据轴对称的性质，作答即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵向下平移4个单位长度得到，和关于轴对称， ∴将向上平移4个单位，即可使与关于轴对称. 22. 如图，在中，于点，是外角的角平分线，且交的延长线于点，平分交于点．． （1）若，，求和的度数． （2）若，请用含的式子表示的度数． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由，直角三角形两锐角互余，求出，用三角形外角公式得到外角，再结合两条角平分线，继续用外角差求； （2）把数字换成字母，同理推导，会在计算中抵消． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 是的外角 平分， ， 平分， ， 是的外角 ； 【小问2详解】 解：， ， ， 是的外角 ， 平分平分 ， 是的外角 ． 23. 如图，已知于点D，，，的延长线交边于点E． （1）若，，求的长； （2）求证：． 【答案】（1）的长为2 （2）证明：由（1）知，， ∴， 又∵（对顶角相等）， ∴． 在中，， ∴， ∴． 在中，， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据垂直关系得到两个直角，根据线段和差关系得出的长，利用直角三角形的全等判定定理证明三角形全等，根据全等性质得到的长，进而求出的长． （2）由（1）的全等三角形得到，然后根据角度关系等量代换得到，结合三角形内角和定理推出，进而推出，可证明结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵，， ∴， 又∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 24. 如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点，交于点，交于点． （1）证明：； （2）证明：； 【答案】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，且， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴， ∵，且， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义得到，证明，则可利用证明； （2）由全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理证明，则可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 如图，在中，平分，与线段的延长线交于点． （1）证明：； （2）试探究线段和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明：，， ， ， ， 即． （2），理由如下： 延长、交于点，如图， 则， ， ， ， ， 又，， ， ， 平分， ， ， ， 在和中： ， ， ． 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理以及已知条件进行角度的转化即可． （2）通过构造全等三角形来找出和的数量关系即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 在中，,，D点为射线上一动点，连接，过点B作且（点E在直线BC下方）． （1）当点D在线段上时，如图1，过E点作交于点G，求证：； （2）如图2，当点D在的延长线上时，连接，与的延长线交于点M，求与的大小关系． 【答案】（1）证明：∵， ∴  ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）运用即可证明结论； （2）如图：过E作交延长线于H，再运用证明可得，进而得到，再证明可得，进而证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：过E作交延长线于H， ∴  ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、线段的和差、同角的余角相等等知识点，灵活运用证明三角形全等是解题的关键． 27. 【引入概念】引入概念1：如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中其中一个是等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧等线”． 【理解概念】： （1）如图1，在中，，垂足为点D，请写出图中你找到的1对“等角三角形”：______________ ； （2）如图2，在中，为角平分线，，请说明是的“巧等线”； 【应用概念】： （3）在中，若为的“巧等线”，请直接写出所有可能的度数． 【答案】（1）与，与，与 （2）证明：∵在中，， ∴， ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴为的巧等线 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形的性质得出相等的角，然后利用新定义求解； （2）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求出相关角的度数，然后根据新定义求证即可； （3）根据题意分情况进行讨论，利用三角形内角和定理以及外角定理进行求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 根据“等角三角形”的定义可知与，与，与是“等角三角形”； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：当是等腰三角形，如图2， 时，， ∴， ∴； 当是等腰三角形，如图3， 时，， ， ∴， ∴； 当是等腰三角形，的情况不存在； 当是等腰三角形，如图4， 时，， ∵， ∴， 当是等腰三角形，如图5， 时，， 设， 则， 则， 由题意得，， 解得， ∴， 当是等腰三角形，的情况不存在， 综上，的度数为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $