精品解析：甘肃武威市凉州区武威第二十七中学2026-2027学年九年级上学期10月期中数学试题

武威第二十七中学2026-2027学年九年级数学上册期中试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于x的方程的一个根，则a的值为（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 3. 对于任意实数a、b定义一种新运算：，例如，若，则x的值为（ ） A. 或3 B. 或4 C. 1或 D. 1或 4. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 抛物线与轴交于、两点，顶点为，则下列说法错误的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 当或时， C. 顶点的坐标为 D. 当时，随的增大而减小 6. 抛物线的对称轴是直线且过点，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ） A. ①②⑤ B. ①③④⑤ C. ①②④⑤ D. ②③④⑤ 7. 如图是二次函数图象的一部分，对称轴为直线，且经过点，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 若，则时的函数值小于时的函数值 D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点，已知，两点在抛物线上，且，，两点的横坐标分别为，以下说法正确的是（ ） A. 若点的坐标为，则点的坐标为 B. 若点的坐标为，为线段下方抛物线上一个动点，作，交于点，则的最大值是 C. 若，则 D. 若，当时，函数总在处取得最大值，则 9. 若点，都在反比例函数（为常数）的图象上，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 10. 如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 已知是关于x的方程的一个根，则m的值为______． 12. 二次函数的图像与轴的交点为，两点，则线段长为________． 13. 当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____． 14. 已知方程的两个根是和，则代数式的值是_________． 15. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，若，则______（填“”“”或“”）． 16. 抛物线上有两点、，若，则________． 17. 如图，矩形的顶点A和边上的点E在反比例函数的图象上，若矩形的面积为12，且，则k的值为________． 18. 如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为，那么水渠应挖多宽？若设水渠应挖宽，则根据题意所列方程为___． 三、解答题（共72分） 19. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 已知关于的方程有实数根． （1）若方程的一个根为，求的值； （2）设，是方程的两个实数根，是否存在实数使得成立？如果存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 21. 已知抛物线过 与 且有最大值 ． （1）求此二次函数的解析式； （2）抛物线与 轴交于点 ，，在抛物线上存在一点 使 的面积为 ，求出点 的坐标． 22. 如图，是平面直角坐标系的原点，的直角边在轴的正半轴上，斜边的中点在反比例函数的图象上，交该函数图象于点，连接． （1）求该反比例函数的解析式； （2）求的面积． 23. 某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量（个）与销售单价（元）有如下关系：（），设这种健身球每天的销售利润为元． （1）如果销售单价定为元，那么该种健身球每天的销售量是__________个． （2）求与之间的函数表达式． （3）当该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 24. 如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 25. 定义：已知关于的一元二次方程（、、为常数，且）有两个实数根、，且，则称方程为“黄金方程”．例如：方程有两个实数根，且两个实数根之和为，两个实数根之积为，，∴方程是黄金方程． 请你根据此定义，解答下列问题： （1）请通过计算判断方程是否为“黄金方程”； （2）已知关于的方程为“黄金方程”，求的值． 26. 数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系 【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”；当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点． 根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法： 【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1，因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所以它们是“陌生函数”． 【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定与的关系时，由函数表达式得，去分母得，因为，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数”． 【问题解决】 （1）对于函数①，②，③．其中①与②是“_____函数”，①与③是“______函数”； （2）若（）与（）是“友好函数”，如图2，当时，的取值范围是______，若（）与是“相连函数”，则的值为______； （3）如图3，过点的直线，对应的函数分别与（，），（，）是“相连函数”，相连点分别为，，，与轴分别交于，两点，已知，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武威第二十七中学2026-2027学年九年级数学上册期中试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断一元二次方程需关注两个易错点：一是二次项系数不能为0，二是方程需化简后再判断次数. 【详解】解：∵ 选项A的方程含,两个未知数， ∴ 不是一元二次方程； ∵ 选项B的方程只含一个未知数，且最高次数为2，是整式方程， ∴ 是一元二次方程； ∵ 选项C未明确，当时无二次项， ∴ 不是一元二次方程； ∵ 选项D化简后为，未知数最高次数为1， ∴ 不是一元二次方程 2. 若是关于x的方程的一个根，则a的值为（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】将代入方程中，解关于字母a的一元一次方程即可解题． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程得， 解得． 3. 对于任意实数a、b定义一种新运算：，例如，若，则x的值为（ ） A. 或3 B. 或4 C. 1或 D. 1或 【答案】B 【解析】 【分析】依据新运算定义，将等式转化为一元二次方程求解． 【详解】解：根据新运算定义，， 移项得， 因式分解得， 解得或． 4. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的意义．使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根，把代入原方程，就得到一个关于的一元一次方程． 【详解】解：把代入，得 ， 即 ，解得． 故选：． 5. 抛物线与轴交于、两点，顶点为，则下列说法错误的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 当或时， C. 顶点的坐标为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】先将抛物线一般式配方为顶点式，再结合开口方向、与轴交点判断各选项正误． 【详解】解：， ∴对称轴为直线，顶点的坐标为，故A、C正确． ∵，抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 令，得， 因式分解得， 解得，． 结合开口方向，可知当或时，，故B正确． 6. 抛物线的对称轴是直线且过点，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ） A. ①②⑤ B. ①③④⑤ C. ①②④⑤ D. ②③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点确定，，的符号及关系，利用对称性求出另一交点坐标，结合函数最值性质逐一判断． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴是直线， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，即，故②正确； ∵抛物线过点，对称轴是直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，，故③错误； ∵时，，且， ∴， ∴， ∵， ∴，故④错误； ∵当时，有最大值， ∴当时，， ∴， 即，故⑤正确； 综上，正确的有①②⑤． 7. 如图是二次函数图象的一部分，对称轴为直线，且经过点，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 若，则时的函数值小于时的函数值 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向及对称轴为直线即可判断A；把代入即可判断B；利用二次函数图象开口向下，离对称轴越远函数值越小，然后比较与对称轴的距离即可判断C；先确定的关系，作差配方即可判断D． 【详解】解：∵图象开口向下， ∴， ∵图象对称轴为直线， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴A项错误； ∵图象经过点， ∴， ∴B项错误； 由图可知二次函数图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越远函数值越小， ，，且， 离对称轴的距离小于离对称轴的距离， 时的函数值大于时的函数值， C项错误； ，， ，解得， ， 又∵， ∴， ∴， ∴D项正确． 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点，已知，两点在抛物线上，且，，两点的横坐标分别为，以下说法正确的是（ ） A. 若点的坐标为，则点的坐标为 B. 若点的坐标为，为线段下方抛物线上一个动点，作，交于点，则的最大值是 C. 若，则 D. 若，当时，函数总在处取得最大值，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用待定系数法求出直线解析式为，然后联立，解出方程组从而可判断；直线与轴交于点，与轴交于点，过作轴，交于点，则，所以，可证，然后通过勾股定理得，设，则，所以，然后求出的最大值即可求出的最大值，从而判断；设直线解析式为，联立，则有，然后通过一元二次方程根与系数的关系可判断；由，函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线，根据题意可得，则有，从而判断． 【详解】解：、∵直线的图象经过点， ∴，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴，故此选项错误； 、∵点的坐标为， ∴由上得直线解析式为， 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，过作轴，交于点， ∴， 由直线解析式为得，令，则；令，则，解得； ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 当时，的长有最大值，最大值为， ∴的最大值是，故此选项错误； 、∵， ∴直线解析式为， ∵， ∴设直线解析式为， 联立， ∴， ∵，两点的横坐标分别为， ∴，故此选项错误； 、由上得， ∵函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线， ∴函数总在处取得最大值，则， ∴，故此选项正确． 9. 若点，都在反比例函数（为常数）的图象上，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵， ∴点、都在第三象限， ∴． 10. 如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出反比例函数解析式，设出点C坐标，得到点B纵坐标，利用相似三角形性质，用表示求出OA，再利用平行四边形的面积是构造方程求即可． 【详解】解：如图，分别过点D、B作DE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F，延长BC交y轴于点H ∵四边形是平行四边形 ∴易得CH=AF ∵点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点 ∴ 即反比例函数解析式为 ∴设点C坐标为 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，点B坐标为 ∵平行四边形的面积是 ∴ 解得（舍去） ∴点B坐标为 故应选：B 【点睛】本题是反比例函数与几何图形的综合问题，涉及到相似三角形的性质、反比例函数的性质，解答关键是根据题意构造方程求解． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 已知是关于x的方程的一个根，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 解得． 12. 二次函数的图像与轴的交点为，两点，则线段长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】求出二次函数，当时x的值，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 或， ， 线段长为． 13. 当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____． 【答案】10 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决． 【详解】∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1， ∴该函数开口向上，对称轴为x＝2， ∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m， ∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时m＝（﹣1﹣2）2+1＝10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 14. 已知方程的两个根是和，则代数式的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据方程的解的定义得到，再由根与系数的关系得到，将所求代数式变形后整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的根． ∴，即． 由根与系数的关系，方程的两根、满足． 对所求代数式拆分变形：． ∴原式． 15. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，若，则______（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合判断两点横坐标的位置，即可比较与的大小． 【详解】解：由， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴． 16. 抛物线上有两点、，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得抛物线的对称轴为，利用抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称列式计算即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为：， 又∵， ∴和关于直线对称， ∴， 解得：． 17. 如图，矩形的顶点A和边上的点E在反比例函数的图象上，若矩形的面积为12，且，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设点A的坐标为，则可求得点E的纵坐标为，再根据面积列方程求解即可． 【详解】解：设点A的坐标为， 则， 四边形是矩形， ， ， ， 点E的纵坐标为， 令，则， 解得， 点E的坐标为， 矩形的面积为12， ， 解得． 18. 如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为，那么水渠应挖多宽？若设水渠应挖宽，则根据题意所列方程为___． 【答案】 【解析】 【分析】将阴影部分平移构成一个完整的矩形，再由矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：如图所示： ． 三、解答题（共72分） 19. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：， 直接开平方，得 或， 解得； 【小问2详解】 ， 因式分解得：， ∴或， 解得：； 【小问3详解】 ， 其中， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 ， 移项、配方得：， ∴， ∴， ∴． 20. 已知关于的方程有实数根． （1）若方程的一个根为，求的值； （2）设，是方程的两个实数根，是否存在实数使得成立？如果存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）的值为或. （2）存在，的值为. 【解析】 【分析】（1）将代入方程求解，结合方程有实根的判别式条件验证结果； （2）利用根与系数的关系变形所求代数式，列方程求解，结合判别式筛选符合条件的值． 【小问1详解】 解：∵方程的一个根为，∴将代入，得，即， 解得，， ∵方程有实数根， ∴， 解得， ∵和均满足， ∴的值为或. 【小问2详解】 解：∵，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得：，， ∵， ∴代入得， 整理得， 解得，. ∵方程有实数根， ∴， ∴不符合条件，舍去， ∴. 综上所述，存在实数使得成立． 21. 已知抛物线过 与 且有最大值 ． （1）求此二次函数的解析式； （2）抛物线与 轴交于点 ，，在抛物线上存在一点 使 的面积为 ，求出点 的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由点和点的坐标可得，对称轴为，根据最大值为，得到顶点坐标为，根据二次函数的顶点式，可得，再把点代入解析式，即可求出二次函数解析式； （2）根据二次函数的图象和性质，先求出，设点，根据三角形的面积公式为：，求出，即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：∵  与  ， ∴对称轴为， ∵抛物线的最大值为， ∴顶点坐标为， ∴， 把点代入， 解得：， ∴． 【小问2详解】 解：∵抛物线与 轴交于点 ，， ∴， 解得：，， ∴， 设点， ∴， ， 解得：， ∴； ①当时，， 整理得：， ，无解，不符合题意； ②当时，， 解得：，； ∴点的坐标为：或． 22. 如图，是平面直角坐标系的原点，的直角边在轴的正半轴上，斜边的中点在反比例函数的图象上，交该函数图象于点，连接． （1）求该反比例函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出点的坐标，代入解析式即可； （2）根据解题． 【小问1详解】 解：∵，，且为中点， ∴， 即， ∵过点， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点过函数，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴． 23. 某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量（个）与销售单价（元）有如下关系：（），设这种健身球每天的销售利润为元． （1）如果销售单价定为元，那么该种健身球每天的销售量是__________个． （2）求与之间的函数表达式． （3）当该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2） （） （3） 当销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）把代入，即可求出销售单价定为元时每天的销售量； （2）当销售单价为元时，单件的销售利润为元，根据销售利润销售量单件销售利润，即可求出与之间的函数表达式； （3）根据与之间的函数表达式求出抛物线的对称轴，根据二次函数的性质可知当时，值最大，把代入函数表达式即可求出最大利润． 【小问1详解】 解：当时， 可得：， 销售单价定为元时，该种健身球每天的销售量是个； 【小问2详解】 解：当销售单价为元时，单件的销售利润为元， 根据题意可得：； 【小问3详解】 解：∵， ∴对称轴为， ， 抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大， ， 当时，值最大，最大值为， 答：当销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 24. 如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由顶点设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点B的坐标； （3）根据，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值和最小值，从而得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得，（舍去）， ∴喷出水的最大射程为； 【小问2详解】 解：∵， ∴对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴， ∴点B的坐标为； 【小问3详解】 解：， 点的纵坐标为0.5， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 当时，要使，则， 当时，随的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则， ，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 的最大值为， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， 的最小值为2， 综上所述，的取值范围是． 25. 定义：已知关于的一元二次方程（、、为常数，且）有两个实数根、，且，则称方程为“黄金方程”．例如：方程有两个实数根，且两个实数根之和为，两个实数根之积为，，∴方程是黄金方程． 请你根据此定义，解答下列问题： （1）请通过计算判断方程是否为“黄金方程”； （2）已知关于的方程为“黄金方程”，求的值． 【答案】（1）方程不是“黄金方程”，理由如下： 在方程中，，，， ， 方程有两个不相等的实数根， 由根与系数的关系得，， ， 该方程不是“黄金方程”． （2）的值为 【解析】 【分析】（1）根据“黄金方程”的定义及根与系数的关系进行求解即可； （2）由根与系数的关系可得：，，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由关于的方程可知：， ∴，根据根与系数的关系可得：，， ∵为“黄金方程”， ∴， 解得：， 把代入，符合方程有两个不相等的实数根， ∴． 26. 数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系 【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”；当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点． 根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法： 【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1，因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所以它们是“陌生函数”． 【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定与的关系时，由函数表达式得，去分母得，因为，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数”． 【问题解决】 （1）对于函数①，②，③．其中①与②是“_____函数”，①与③是“______函数”； （2）若（）与（）是“友好函数”，如图2，当时，的取值范围是______，若（）与是“相连函数”，则的值为______； （3）如图3，过点的直线，对应的函数分别与（，），（，）是“相连函数”，相连点分别为，，，与轴分别交于，两点，已知，，求的值． 【答案】（1）陌生；友好 （2）或； （3） 【解析】 【分析】（1）联立函数，根据方程的解的个数判断函数类型即可； （2）根据图象判断时，的取值范围；联立与，由求出的值； （3）设直线的函数解析式为，直线的函数解析式为，将与联立，并结合可得，进而计算出点的坐标为，同理，点的坐标为．由可得，利用完全平方公式变形可计算出的值． 【小问1详解】 解：对于①与②，联立得， 整理，得， ∵， ∴该方程无实数解，即与无交点， ∴①与②是“陌生函数”， 对于①与③，联立得， 整理，得， ∴， ∴与有两个交点， ∴①与③是“友好函数”． 【小问2详解】 解：由图可知，两个函数的交点的横坐标为和，且在和部分，反比例函数的图象高于一次函数的图象， ∴当时，的取值范围是或； 联立与，得， ， 整理，得， ∵与是“相连函数”， ∴， 解得． 【小问3详解】 解：设直线的函数解析式为，直线的函数解析式为， 联立与，得， ， 整理，得， ∵与是“相连函数”， ∴， ∴，即， ∴直线的函数解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 同理，点的坐标为， ∴，即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $