31.3 相似三角形的应用（第1课时 利用相似测量高度、距离）（教学课件）数学新教材人教版九年级下册

31.3 相似三角形的应用 第一课时 利用相似测量高度、距离 第三十一章 相 似 人教版（新教材）·九年级下册 学 习 目 标 1 2 3 理解利用相似三角形可以测量不能直接测量的物体高度、距离，知道平行光线（太阳光）下的投影模型、视线遮挡模型，能识别实际问题中的相似三角形。 掌握把实际问题抽象成相似三角形数学模型的方法，会根据相似三角形的性质列比例式进行计算，规范书写解题步骤。 体验建模、转化、数形结合的数学思想，感受相似三角形在生活、测量中的价值，提升用数学解决实际问题的意识。 知识回顾 相似三角形的性质 相似三角形的判定 两角分别相等的两个三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似； 三边对应成比例的两个三角形相似。 (1)相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比． (2)相似三角形周长的比等于相似比． (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方． 3 知识回顾 1.如图,点P是△ABC的AC边上一点，连接BP,添加下列条件，不能判定△ABC∽△APB的是(　　) A.∠C=∠ABP　　　　B.∠ABC=∠APB C. 解：A项，∵∠A=∠A,∠C=∠ABP,∴△ABC∽△APB,故A不合题意; B项，∵∠A=∠A,∠ABC=∠APB,∴△ABC∽△APB,故B不合题意; C项，∵∠A=∠A,,∴△ABC∽△APB,故C不合题意; D项，根据和∠A=∠A不能判定△ABC∽△APB,故D符合题意. D 2.如图，△ABC与△DEC都是等边三角形,固定△ABC，将△DEC从图示位置绕点C逆时针旋转一周，在△DEC旋转的过程中,下列说法正确的是 (　　) A.△DEC总与△ABC位似 B.△DEC与△ABC不会位似 C.当点D落在CB上时,△DEC与△ABC位似 D.存在△DEC的两个位置使得△DEC与△ABC位似 解：∵△ABC与△DEC都是等边三角形, ∴△ABC总与△DEC相似. ∵在△DEC旋转的过程中,只有当点D落在线段AC或线段AC的延长线上时,直线AD和BE相交于点C, ∴在△DEC旋转的过程中,只有当点D落在线段AC或线段AC的延长线上时,△DEC与△ABC位似 知识回顾 D 3.如图，AB⊥AE,AC⊥AD,则x,y之间的关系为(　　) A.y=x C.y=x　　　　D.y=x 解∵AB⊥AE，AC⊥AD, ∴∠BAE=∠CAD=90°, ∴∠BAC=∠DAE. ∵AB=9，AC=AD=6，AE=4, ∴, ∴△BAC∽△DAE, ∴，即 x. 知识回顾 A 新课导入 怎样测量这些非常高大的物体的高度？ 问题 北京祈年殿 世界上最高的树 —— 红杉 新课导入 2 生活中有很多很高、很远的物体，比如上海外滩的大楼、东方明珠的高度，池塘的宽度，我们没办法直接用尺子量，能不能用相似三角形来解决？ 新知探究 探究点1 利用相似构建物高与影长测高模型 在公元前就巧妙利用太阳光和相似三角形，测出了金字塔的高度。 他只在影子顶端立一根木杆，借助太阳光构造两个相似三角形就完成测量。 泰勒斯（Thales，约公元前624-一前547） 相传古希腊数学家、天文学家 时间 操作 背景介绍 新知探究 探究点1 利用相似构建物高与影长测高模型 （1）木杆与它的影子、金字塔的高与它的影子是什么位置关系？ 思考 ►因为木杆与地面垂直，所以木杆所在直线EF与它的影子所在直线FD垂直，△EFD是直角三角形 ►金字塔是四棱锥型，因此金字塔的高BO与地面垂直，所以金字塔的高BO与它的影子所在直线OA垂直， △BOA是直角三角形 新知探究 探究点1 利用相似构建物高与影长测高模型 （2）同一时刻太阳光与地面的夹角是否相同？ 思考 ►同一时刻两个物体在太阳光照射下，因为太阳光可近似看为平行线 太阳光与地面夹角不变，所以∠BAO与∠EDF相等 （3）同一时刻在太阳光下，木杆与它的影子、金字塔的高与它的影子有什么关系？ ►在同一时刻太阳光下，由物体高、太阳光、地面影子三者构成的直角三角形相似，即 Rt△BAO∽Rt△ EDF 所以对应边成比例，即 探究点1 利用相似构建物高与影长测高模型 （4）你能利用所给的数据求出金字塔高度吗？ 已知：木杆 EF 长 2 m，测得木杆的影子 FD = 3 m，OA = 201 m。 求：金字塔的高度 BO。 解：太阳光是平行光线， ∴∠BAO = ∠EDF。 又 ∠AOB = ∠DFE = 90°， 所以 △ABO ∽ △DEF。 答：金字塔的高度为 134 m。 思考 新知探究 同一时刻在阳光的照射下,物体所产生的影子长度与物体的高度成正比例 先测出金字塔底面正方形的边长，算出底面正方形中心O到金字塔底面边中点的距离（底面边长的一半）； 再测量影子顶端A到金字塔底面边的距离； 把两段长度相加，就得到OA的总长。 简单概括： OA=金字塔底面边长的一半+影子顶端A到金字塔底面边的距离 新知探究 探究点1 利用相似构建物高与影长测高模型 （4）如何测出OA的长是201米？ 思考 O是金字塔底面正方形的中心，在金字塔内部，不能直接量O到影子顶端A的距离。 测量方法： 新知探究 探究点1 利用相似构建物高与影长测高模型 ∵AC∥A′C′， ∴∠ACB＝∠A′C′B′． 又∠ABC＝∠A′B′C′＝90°， ∴△ABC∽△A′B′C′． ∴． 利用阳光下的影子测量物体的高度 测量原理 测量物体的影长BC＝a， 观测者的身高A′B′＝b， 观测者的影长B′C′＝c． 设该物体的高度为h，得 或 解得： ． 测量数据 计算方法 归纳 b a c 新知探究 探究点1 利用相似构建物高与影长测高模型 等量关系 （1）同一时刻物体的高度与影长成正比，同一物体在不同的时刻影长不相等。 （2）由于太阳相对于地面的位置在不停地改变，影长也随着太阳位置的变化而发生变化，因此，测量影子的长一定要在同一地点、同一时刻下进行，否则就会影响结果的准确性； 注 意 利用阳光下的影子测量物体的高度 归纳 b a c （3）竖直物体、地面影子、太阳光线构成直角三角形；在同一时刻，计算公式 ， 同一时刻太阳光下， 总结：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决。 新知探究 探究点1 利用相似构建物高与影长测高模型 利用阳光下的影子测量顶端不能到达的物体的高度的方法： 利用阳光下的影子测量物体的高度 归纳 1 立参照：用一根已知高度的杆，测出它的影长。 测对象：在同一时刻测出待测物体的影长。 列比例： 待测高 ∶ 待测影 = 已知高 ∶ 已知影， 2 3 代数据求解：解出高度。 4 b a c A F E B O ┐ ┐ 新知探究 探究点1 利用相似构建物高与影长测高模型 你还可以用什么方法来测量金字塔的高度？(如用身高等) 如图，点A是个小镜子，根据光的反射定律,入射角等于反射角 ∴∠BAO=FAE 追问 OB EF = OA AF ∴△ABO∽△AEF ∴OB = OA · EF AF 平面镜 解法二：用镜面反射． 新知探究 探究点2 利用视线构建相似三角形模型(盲区问题) 左、右并排的两棵树的高分别为 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人眼睛距地面 1.6 m。她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于或等于多少米时，就看不到右边较高的树的顶端 C 了？ 新知探究 探究点2 利用视线构建相似三角形模型(盲区问题) 如图，设观察者眼睛的位置为点F，画出观察者的水平视线FG，分别交AB，CD于点H，K．视线FA与FG的夹角∠AFH是观察点A时的仰角．类似地，∠CFK是观察点C时的仰角．由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ，观察者都看不到． 解：设观察者眼睛位置为点 E， 水平线 EG 交 AB、CD 于 H、K。 AB⊥l，CD⊥l，所以 AB∥CD，△AEH ∽ △CEK。 AH = 8 − 1.6 = 6.4 m，CK = 12 − 1.6 = 10.4 m， HK = BD = 5 m。 解得：EH = 8。 答：当她与左边树的距离小于或等于 8 m 时， 看不到右边树顶端 C。 新知探究 探究点2 利用视线构建相似三角形模型(盲区问题) 借助标杆测量物体的高度 测量数据有四个，分别是： 眼晴距地面的高度EF＝a， 标杆的高度CD＝b， 标杆底端到物体底端的距离BC＝c， 观测者底端到物体底端的距离BE＝d．　 测量原理 ∵CD∥AB， ∴△AGF∽△DHF． ∴． ∵四边形FECH、四边形FEBG是矩形， ∴BG＝EF，EC＝FH，EB＝FG． ∴AB＝AG＋EF， 测量数据 新知探究 探究点2 利用视线构建相似三角形模型(盲区问题) （1）利用标杆测量物体的高度，在日常生活中有着广泛的应用，必要时可用自已的身高和臂长等作为测量工具； （2）使用这种方法时，观测者的眼睛必须与标杆的顶端、物体的顶端“三点共线”，标杆必须与地面垂直； （3）该测量方法和“利用阳光下的影子测量物体的高度”的方法类似，都是构造相似三角形，但构造相似三角形的方法不同； （4）注意利用标杆测量物体的高度时，不要漏加观测者眼晴的高度． 计算方法 设该物体的高度为h，得： ． 特别提醒 借助标杆测量物体的高度 新知探究 探究点3 构建相似三角形测量应用模型步骤 解题步骤 1.审题，找平行线（太阳光线平行 / 竖直物体都垂直地面，互相平行）； 2.找出相似三角形； 3.写出对应边比例式； 4.代入数据计算，作答。 借助标杆测量物体的高度 典例分析 例1、我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义.如图1，身高1.5m的小王晚上在路灯灯柱AH下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，小王的步间距保持一致. (1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置. (2)估计路灯AO的高，并求影长PQ的步数. (3)无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题.如图2，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.测得 小明眼睛到地面的距离为 1.5m，则树高AB为 m. 典例分析 例1、我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义.如图1，身高1.5m的小王晚上在路灯灯柱AH下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，小王的步间距保持一致. (1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置. (2)估计路灯AO的高，并求影长PQ的步数. 解：(1)路灯O和影子端点Q的位置如图所示. ∴△PMN∽△PAO, 即 解得：∵PB∥OA, ∴△QPB∽△QAO, 即 解得 ∴路灯AO的高为9m，影长PQ为 步. 典例分析 例1、我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义.如图1，身高1.5m的小王晚上在路灯灯柱AH下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度， (3)无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题.如图2，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.测得 小明眼睛到地面的距离为 1.5m，则树高AB为 m. (3) 如图, ∵△DEF∽△DCB, ∵四边形ACDG是矩形， ∴DG=AC=1.5m, ∴AB=AC+BC=7.5m+1.5m=9m, 9 新知巩固 教材 P20 1.在同一时刻，测得一根高为 1.8 m 的竹竿的影长为 3 m，一栋楼的影长为 60 m，这栋楼的高度是多少？ 解：设楼高为 x m。同一时刻太阳光平行， 竖直物体与影子构成的直角三角形相似： 答：这栋楼的高度是 36 m。 新知巩固 教材 P20 2.如图，AB⊥BC，CE⊥BC，垂足分别为 B、C。测得 BD = 120 m，DC = 60 m，EC = 50 m。求河宽 AB。 解：因为 AB⊥BC，CE⊥BC，所以 ∠B = ∠C = 90°， 又 ∠ADB = ∠EDC（对顶角相等）， 所以 △ABD ∽ △ECD。 ∴ ∴ ∴ 答：河宽 AB 为 100 m。 拓展提升 1.某高中为高一新生设计的学生板凳从正面看到的平面图形如图所示，其中BA＝CD，BC＝20 cm，BC与EF平行于AD，且到AD的距离分别为40 cm，8 cm．为使板凳两腿底端A，D之间的距离为30 cm，那么横梁EF应为多长？（材质及其厚度等忽略不计） 解：如图，过点C作CM∥AB，分别交EF，AD于点N，M．作CP⊥AD，分别交EF，AD于点Q，P．∵BC∥AD，EN∥AD， ∴四边形ABCM、四边形AENM是平行四边形． ∴EN＝AM＝BC＝20 cm． ∴MD＝AD－AM＝30－20＝10（cm）． 由题意知CP＝40 cm，PQ＝8 cm， ∴CQ＝CP－PQ＝32 cm． ∵EF∥AD， ∴△CNF∽△CMD． ∴，即． 解得NF＝8 cm． ∴EF＝EN＋NF＝20＋8＝28（cm）． 答：横梁EF应为28 cm． 真题感知 1.（2026•贵州）如图，小红利用标杆DE测量学校旗杆BC的高度，标杆DE高3m，测得AE＝6m，BE＝18m，则旗杆BC的高度是（　　） 解：由题意可知： DE⊥AB，BC⊥AB， DE＝3m，AE＝6m，BE＝18m， ∴DE∥BC，AB＝AE+BE＝6+18＝24（m）， ∴△ADE∽△ACB， ∴，即， 解得：BC＝12 A. B. 12 C. D B 真题感知 2.（2026•广西）图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度MN． 如图2，MN所在直线垂直地面于点A．甲把光源放置于点B处，BC垂直地面于点C，点A，C在同一水平线上．乙沿CA方向移动平面镜，移到点D时，从点B发出的光线反射到点M处；移到点E时，从点B发出的光线反射到点N处．经测量：BC＝1.5米，AC＝12米，CD＝2米，DE＝2米．记点D，E处的法线分别为SD，TE，即SD⊥AC，TE⊥AC，根据光的反射定律，∠MDS＝∠BDS，∠NET＝∠BET． （1）求证：∠MDA＝∠BDC； （2）求此公益广告牌的高度MN． （1）证明：∵SD⊥AC， ∴∠SDA＝∠EDC＝90°， ∴∠SDM+∠MDA＝∠SDB+∠BDC＝90°， ∵∠MDS＝∠BDS， ∴∠MDA＝∠BDC； 真题感知 2.（2026•广西）如图2，MN所在直线垂直地面于点A．甲把光源放置于点B处，BC垂直地面于点C，点A，C在同一水平线上．乙沿CA方向移动平面镜，移到点D时，从点B发出的光线反射到点M处；移到点E时，从点B发出的光线反射到点N处．经测量：BC＝1.5米，AC＝12米，CD＝2米，DE＝2米．记点D，E处的法线分别为SD，TE，即SD⊥AC，TE⊥AC，根据光的反射定律，∠MDS＝∠BDS，∠NET＝∠BET． （2）求此公益广告牌的高度MN． （2）解：∵TE⊥AC， ∴∠TEA＝∠TEC＝90°， ∴∠TEN+∠NEA＝∠TEB+∠BEC＝90°， ∵∠NET＝∠BET， ∴∠BEC＝∠NEA， ∵BC⊥AC，MA⊥AC， ∴∠BCA＝∠MAC＝90°， ∴△BCE∽△NAE， ∴， ∴， 解得：NA＝3， ∵∠MDA＝∠BDC， ∴△BCD∽△MAD， ∴，∴， 解得：MA＝7.5， ∴MN＝MA﹣AN＝7.5﹣3＝4.5（m）， ∴此公益广告牌的高度MN约为4.5m． 课堂小结 知识点总结 （1）测量不能到达的物体的两点之间的距离时，常构造“A”字型或“X”字型的相似三角形，并测量出必要的数据，然后根据相似三角形的性质求出要求的两点之间的距离； （2）测量不能到达的物体的两点之间的距离时，常根据公共角相等或对顶角相等构造相似三角形求解． (3)通用解题四步法：找平行、证相似、列比例、求线段。 课堂小结 方法思想总结 建模思想：读懂实际情境 → 剥离无关文字信息，提取垂直、平行条件 → 画出几何图形，找到相似三角形 → 列出比例式计算， 转化思想：把现实中不能直接测量的长度，转化为可以测量的线段进行计算，体现转化思想； 数形结合思想：借助图形分析边角关系、找准对应边，是数形结合思想的应用。 通用解题四步法：找平行、证相似、列比例、求线段。 课堂小结 易错提醒 找相似三角形对应边时极易出错，平行投影、盲区、河宽测量三类模型的对应边各不相同，一定要依据平行线找准对应顶点，比例式上下对应； 盲区问题中，不能直接使用树的总高参与计算，需要减去人眼距离地面的高度，只用高出人眼的部分作为相似三角形的竖直直角边； 注意区分 A 字型和 8 字型（对顶型）相似，河宽题目就是 8 字型，不要混淆； 计算前统一单位，比例式书写规范，求出结果后要写答，回归实际问题。 课后练习 1.比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚 AD 和 BC 交叉构成。利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短。如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使 OA = 3OD，OB = 3OC），然后张开两脚，使 A、B 两个尖端分别在线段 l 的两个端点上，这时 CD 与 AB 有什么关系？为什么？ 解：AB = 3CD，AB ∥ CD。 理由：因为 OA = 3OD，OB = 3OC， 又 ∠AOB = ∠DOC（对顶角相等）， 所以 △AOB ∽ △DOC。 所以 AB = 3CD，且 ∠A = ∠D，所以 AB ∥ CD。 教材 P22 课后练习 2.如图，利用标杆 BE 测量建筑物的高度。已知标杆 BE 高 1.2 m，测得 AB = 1.6 m，BC = 12.4 m，楼高 CD 是多少？ 解：BE⊥AC，CD⊥AC，∴ BE∥CD，∴△ABE ∽ △ACD。 ∴ ∵AC = AB + BC = 1.6 + 12.4 = 14 m ∴ ∴ 答：楼高 CD 是 10.5 m。 教材 P22 课后练习 3.如图，为了测量池塘两端 A、B 的距离，在地面上取一点 C，在 AC、BC 上分别取点 D、E，使得 DE∥AB，测量出 CD = 20 m，AD = 40 m，DE = 15 m。求 AB 的长。 解：∵DE∥AB， ∴△CDE ∽ △CAB。 ∴ ∵CA = CD + AD = 20 + 40 = 60 m ∴ ∴ 答：AB 长 45 m。 教材 P23 谢谢聆听 $