31.3 相似三角形的应用 课件2026-2027学年人教版数学九年级下册

该初中数学课件聚焦相似三角形的应用，通过“想一想”“思考”等问题导入，结合路灯杆影子、镜子反射等生活情境，引导学生从相似三角形判定与性质过渡到实际测高、测宽应用，搭建理论到实践的学习支架。 其亮点在于以情境化问题驱动，让学生用数学眼光观察现实中的相似关系，通过证明三角形相似、列比例式培养推理能力，用数学语言表达解决过程。实例涵盖影子测高、河宽测量等，助力学生提升应用意识，教师教学可高效落实核心素养。

相似三角形的应用 例1 如图，左、右并排的两棵大树的高分别为AB = 8 m和CD = 12 m， 两树底部的距离BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距地面1. 6 m. 她 沿着正对这两棵树的一条水平直路l 从左向右前进，当她与左边较低 的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了？ 分析：如图 ，设观察者眼睛的位置为点F，画出观察者的水平视线FG， 分别交AB，CD 于点H，K．视线FA 与FG 的夹角∠AFH 是观察点 A 时的仰角．类似地，∠CFK 是观察点C 时的仰角．由于树的遮 挡， 区域Ⅰ和Ⅱ ，观察者都看不到. 解：如图，假设观察者从左向右走到点E 时，她的眼睛的位 置点E 与两棵树的顶端A，C 恰在一条直线上. ∵AB⊥l，CD ⊥l，∴AB∥CD. ∴△AEH ∽△CEK. ∴ 即 解得EH=8(m). 由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距 离小于8 m时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的 顶端C. 例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一 　　 个目标点P，在近岸取点Q 和 S，使点P，Q，S 共线且 直线PS 与河垂直，接着在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T，确定PT 与 过点Q 且垂直PS 的直线b 的交 点R．已 测得QS = 45 m， ST = 90 m，QR = 60 m，请 根据这些数据，计算河宽PQ. 1.济南大明湖畔的“超然楼”被称为“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60 m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，3≈1.7，结果精确到1 m，则该楼的高度CD约为(　　) A．47 m B．51 m C．53 m D．54 m B 2.如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的高度，下午课外活动时她测得一根长为1 m的竹竿的影长是0.8 m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，她先测得留在墙壁上的影高为1.2 m，又测得地面上的影长为2.6 m，请你帮她算一下，树高是(　　) A．3.25 m B．4.25 m C．4.45 m D．4.75 m C 3.如图，铁路道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m．当短臂端点下降0.5 m时，长臂端点升高(杆的宽度忽略不计)(　　) A．4 m B．6 m C．8 m D．12 m C 4.如图，小明为了测量一凉亭的高度AB (顶端A 到水平地面BD 的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC 等高的台阶DE (DE＝BC＝0.5米，A，B，C 三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G 处，测得CG＝15米，然后沿直线CG 后退到点E 处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝3米，小明身高1.6米，则凉亭的高度AB 约为(　　) A．8.5米 B．9米 C．9.5米 D．10米 A 5.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF 离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树高AB＝________m．　 5.5 6.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P 处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB⊥BD，CD⊥BD， 测得AB＝2 m，BP＝3 m，PD＝12 m，那么该古城墙的高度CD 是________． 8 m 7. 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD 的高度，先在教学楼的底端A 点处，观测到旗杆顶端C 的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B 处，观测到旗杆底端D 的俯角是30°，已知教学楼AB 高4 m． (1)求教学楼与旗杆的水平距离AD (结果保留根号)； (2)求旗杆CD 的高度. 　解： (1)求教学楼与旗杆的水平距离AD (结果保留根号)； ∵在教学楼上的B 处观测到旗杆底端D 的俯角是30°， ∴∠ADB＝30°. 在Rt△ABD 中，∠BAD＝90°，∠ADB＝30°， AB＝4 m， ∴BD＝2AB＝8 m． ∴AD＝　　　　　　　　　　　　　(m)． 即教学楼与旗杆的水平距离AD 是　　 m. (2)求旗杆CD 的高度. 　解： ∵在Rt△ACD 中，∠ADC＝90°，∠CAD＝60°，∴∠ACD＝30°. ∴△ABD∽△DAC. ∴ 即 ∴CD＝12 m. 即旗杆CD 的高度是12 m. 8 某中学平整的操场上有一根旗杆(如图)，一数学兴趣小组欲测量其高度，现有测量工具(皮尺、标杆)可供选用，请你用所学的知识，帮助他们设计测量方案．要求： (1)画出你设计的测量平面图； (2)简述测量方法，并写出测量的数据(长度用a，b，c…表示)． (1)画出你设计的测量平面图； 解： 如图，沿着旗杆的影子竖立标杆，使标杆影子的顶端正好与旗杆影子的顶端重合． (2)简述测量方法，并写出测量的数据(长度用a，b，c …表示)． 解： 用皮尺测量旗杆的影长BE＝a m，标杆CD 的影长DE ＝b m，标杆高CD＝c m. 根据△EDC∽△EBA，得 即 ， 所以AB＝　 m， 即旗杆AB 的高为　 m. 相似三角形的应用举例 利用相似三角形测量高度 利用相似三角形测量宽度 利用相似解决有遮挡物问题 $