31.4 位似 课件 2026-2027学年人教版数学九年级下册

该初中数学课件围绕位似图形的概念、性质及画法展开，通过对比相似图形引出位似的特殊性，以学习支架形式衔接旧知，帮助学生构建从相似到位似的知识脉络。 其亮点在于通过实例剖析（如小孔成像问题）和分层能力训练，结合几何直观与推理意识，强化对位似性质的理解。采用概念辨析与作图实践结合的教学方法，学生能提升空间观念和应用能力，教师可借助系统内容高效开展教学。

位 似 模块一： 位似图形的概念及画法 1.位似多边形定义: 如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图， OA′= k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心. 要点诠释： 位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形. 2.位似图形的性质: （1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心； 　（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； 　（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同： 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的． 4. 作位似图形的步骤 　　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 　　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　　第四步：顺次连接各对应点. 要点诠释： 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 例1： 下列每组的两个图形不是位似图形的是（　　）. 【解析】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； 而D的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形． 故选D． 【总结升华】位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点． 例2： 在小孔成像问题中， 根据如图4所示，若O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则像CD的长是物AB长的（ ）. c 例3： 利用位似图形的方法把五边形ABCDE放大1.5倍. A B C D E 例4：如图△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（3，0）． （1）以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2． （2）在（1）的条件下，若M（a，b）为△ABC边上的任意一点，则△DEF的边上与点M对应的点M′的坐标为　 　． 【答案与解析】 解：（1）如图，△DEF和△D′E′F′为所作； （2）点M对应的点M′的坐标为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）． 故答案为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）． 1.判断如图所示的各图中的两个图形是否是位似图形， 如果是，请指出其位似中心． 解：(1)是位似图形，位似中心为点A； (2)是位似图形，位似中心为点P； (3)不是位似图形； (4)是位似图形，位似中心为点O； (5)不是位似图形． 2.如图所示两个四边形是位似图形，它们的位似中心是(　　) A．点M B．点N C．点O D．点P D 3.对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P ′，Q ′，保持PQ＝P′Q ′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是(　　) A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似 D 4.利用位似图形将一个图形放大或缩小时，首先要选取一点作为位似中心，那么位似中心可以在(　　) A．图形外　 B．图形内　 C．图形上 　D．以上都可以 D 5.△ABC 与△A′B ′C ′是位似图形，且△ABC 与△A′B ′C ′的位似比 是1∶2，已知△ABC 的面积是3，则△A′B ′C ′的面积是(　　) A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 导引：∵△ABC 与△A′B ′C ′是位似图形，且△ABC 与 △A′B ′C ′的位似比是1∶2， ∴△ABC 与△A′B ′C ′相似，且相似比为1∶2. ∴△ABC 与△A′B ′C ′的面积比为1∶4. ∵△ABC 的面积是3，∴△A′B ′C ′的面积是12. D 6. 如图，△OAB 和△OCD 是位似图形，AB 与CD 平行吗？为什么？ 解：AB∥CD. 理由如下： ∵△OAB 和△OCD 是位似图形， ∴△OAB∽△OCD. ∴∠OAB＝∠C. ∴AB∥CD.　 A B O D C 7. 如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O 和 △ABC 的顶点均为小正方形的顶点． (1)以O 为位似中心，在网格图中作△A′B ′C ′，使△A′B ′C ′和 △ABC 位似，且位似比为 1∶2； (2) 连接(1)中的AA′，求四边形AA′C ′C 的周长．(结果保留根号) 分析:(1)根据位似比是1∶2，画出以O 为位似中心的△A′B ′C ′； (2)根据勾股定理求出AC，A′C ′的长，由于AA′，CC ′的 长易得，相加即可求得四边形AA′C ′C 的周长． 解：(1)如图所示： (2)AA′=CC ′=2． 在Rt△OA′C ′中， OA′=OC ′=2，得A′C ′= 同理可得AC= ∴四边形AA′C′C的周长= 8.如图，▱ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，点E，F，G，H 分别是线段OA，OB，OC，OD 的中点，那么 ▱ABCD 与四边形EFGH 是否是位似图形？为什么？ 解： 是． 理由：∵点E，F 分别是OA，OB 的中点，∴FE＝ AB，FE∥AB. ∵点G，H 分别是OC，OD 的中点，∴HG＝ CD，HG∥CD. ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD. ∴EF＝HG，FE∥HG. ∴四边形EFGH 是平行四边形． ∵FE∥AB，∴∠OEF＝∠OAB. 同理∠OEH＝∠OAD，∴∠HEF＝∠DAB， 同理∠EFG＝∠ABC，∠FGH＝∠BCD，∠GHE＝∠CDA. 又易得 ，∴▱EFGH∽▱ABCD. 又 ∵它们的对应顶点的连线相交于点O， ∴▱ABCD 与四边形EFGH 是位似图形，O为位似中心． 位似的概念及画法 位似图形的概念 位似图形的性质 画位似图形