陕西汉中市多校2026-2027学年高三上学期期中考试数学试卷

高三数学参考答案 1.C因为(1一√3i)2=一2-2√3i,所以(1一√3i)2在复平面内对应的点位于第三象限. 2.B因为f(x-1)十1=x4,(-x)=x4,所以y=f(x-1)十1为偶函数. 3.C设每个圆锥的母线长为1cm,则l=√22十1.5=2.5，所以每个圆锥的表面积为πr2+ πrl=4π十5π=9πcm2,故这200个零件需要喷漆的总面积为1800πcm2. 4.B因为f(x+)=(x+)-2,所以xf(x)=x(x2-2).设g(x)=x(x2-2),则 g'(x)=3x2-2,则g'(W7)=19,故曲线y=xf(x)在点(W7,W7f(W7)处的切线斜率为19. 5.A因为G币-AC,所以Ad-号Ad.又花-A店+AC,所以A证=i+号Aò. 因为BE,D三点共线，所以1=+号，解得X-名 4 6.C若矩形ABCD的周长为18，则2(AB+BC)-=18,即AB+BC=9,则AB十BC=g(AB +BC(启+是)=(+器+瓷)≥6+2④)=1，当且仅当器-提，即= 2AB=6时，等号成立，所以AB十BC的最小值为1.反之也成立，故“矩形ABCD的周长为 18”是品+急的最小值为1“的充要条件. 7.DA=(x4x2>1=(-o,-2)U(分，+o) 因为1rad≈57.3°，2rad≈114.6°，3rad≈171.9°，4rad≈229.2° 所以as1>cos60°-7sim2>sin150=分6as3<0s120'= 2 tan4≈tan(180°+49.2)=tan49.2>tan45°=1， 所以A∩B={cos1,sin2,cos3,tan4},故A∩B的元素个数为4. 8.D由Ve<a(x-hnx,得V区 <a,易证x一lnx≥l,所以当x>0时， √x(x-lnx) 1 √e et-Iz y=z(x-lnx） >0,y2=,e x(x-Inx)(x-Inx)2(x-Inx)2 设g)=≥1，则g'0)=2》, t3 当1≤t<2时，g'(t)<0,g(t)单调递减，当t>2时，g'(t)>0,g(t)单调递增， 所以808e号则n的最小N值为分，则>号 √(x-lnx) 【高三数学·参考答案第1页（共7页）】 9.BCD由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=(m-1)2+(m十1)2 +(m-1)(m+1)=3m2+1.当m=2时，AC=√13Z;当m= 2√6 时，AC=3∈Z: 当m=4时，AC=7∈Z;当m=√5时，AC=4∈Z. 10.ABD连接AC,则AC∩BD=O.以O为坐标原点，OB,OC, OP所在直线分别为x,y,之轴，建立空间直角坐标系，如图所 示，则O(0,0,0),P(0,0,2√2)，E(0,0√2)，A(0,-2√2,0)，B (2W2,0,0),C(0,2√2,0)，则PA=(0,-22,-2√2)，PC= (0,2√2，-2√2)，BE=(-2√2,0，N2), 所以时·心-0成应1-：A正确，C贷说易证G0l平佰 PBD,则直线CE与平面PBD所成的角为∠CEO.因为tan∠CEO=CO OE =2>√3，所以 ∠CEO>60°，B正确.设BC,PB的中点分别为F,G,连接OF,OG,则OF⊥BC,OG⊥PB, 且OP=OG=2,所以正四棱锥P-ABCD的棱切球的球心为O,半径为2，该球的体积为智 X2-琴，D正确 1.AC对于A,由a.=3n,得S.-na主a）_3m0+,易知2n,+1D为正整数，取m 2 2 2 nntD,则S.=3m,则am=S,{a,}为“封闭数列”，A正确。 2 对于B,取a,=n,则(a,}为“封闭数列”，且S.=n(a1十a_n(n十1)】 2 2 则S十S,=1+3=4,若{S,}为“封闭数列”，则存在正整数m,使得S.=4,则m(m+1D- 2 4,即m(m十1)=8，显然该方程无正整数解，B错误. 对于C,Sm=2十a十22+a十…十2"十a=2+1一2十na.若{an}为“封闭数列”，则存在正整 数m,使得2”+a=21-2+,得a-公，2十.由M的任意性，不妨取m=2和3， 存在正被数m,和使得2”2之”十2_产2十 2-1 3-1 ,整理得21十2=2-1+1，由2m +2为偶数，得21+1为偶数，则m2-1=0,得m2=1,此时2+1=2，然而21+2> 2,则与21十2=2”-1+1矛盾，故不存在常数a,使得{an}为“封闭数列”，C正确. 对于D,设a,=3m,b.=1,n=1 显然{am}和{bn}均为“封闭数列”， 0,n≥2， cn=an十bn= 4,m=1,当n=2时，S,=c1十c:=10, 3n,n≥2， 【高三数学·参考答案第2页（共7页）】 由于c1=4,则c1≠S2,对任意大于1的正整数m,cm=3m为3的倍数，则cm≠S2, 即当n=2时，不存在正整数m,使得cm=Sn,则{cn}不是“封闭数列”，D错误. 12 6 能后+盖1的离心率为1码-5 13 3元 8 sin (in cossinincos 2 sm2z=+号m(2z F）.设f(x)=sin(2x-平)，则f(x十m)=sin(2x+2m-F).依题意可得sin(2x+2m )=-cos 2x sin(2x+2m-)=cos 2x, 则2m景-受十kxa∈Z,即m-经十经EZ.因为m>0,所以m的最小值为竖 8 14.(-1,3)设t=f(x),令g(x)=f(f(x)-a=0,则a= f(t).在同一平面直角坐标系内作出y=a,y=f(t)的大致 图象，如图所示 当-1<a<3时，直线y=a与y=f(t)的图象有三个交点， 设交点的横坐标为t1,t2,t3(不妨设t1<t2<t3),则t1<一1， -1<t2<1,1<t3<3,方程f(x)=t1有2个解，方程f(x) =t2有3个解，方程f(x)=t3有3个解，此时g(x)有8个零点. 当a=一1时，直线y一a与y=f0的图象的交点的横坐标为-1-号。，-1,3，方程了() =-1-是有2个解，方程f(x)=-1有3个解，方程f(x)=3有2个解，此时gx)有7个 零点 当a≥3或a<一1时，直线y=a与y-f(t)的图象的公共点的个数不超过2，由图可知，对 于每个实数t,方程f(x)=t最多有3个解，所以g(x)的零点不超过6个. 综上所述，a的取值范围是（一1,3）. 15.解：1)由题意得X~B(10,), 2分 所以DX)=10×号×1)-号 …5分 (2)由(1)知E(X)=10×号=6. …7分 因为Y=5X-3(10-X)=8X-30,… 10分 所以E(Y)=E(8X-30)=8E(X)-30=18. …13分 16.(1)解：因为A,B,C三点共线，所以AB∥AC, …1分 所以一m一(m十2)=0，解得m=-1.…3分 (2)证明：BC=AC-AB=(1-m,-3-m). …5分 【高三数学·参考答案第3页（共7页）】 假设AB⊥BC,则AB.BC=0, 6分 所以m(1一m)-(m十2)(3十m)=0,整理得m2十2m十3=0.…8分 因为△=22-3×4<0，所以该方程无解，所以假设不成立，则对任意的m∈R,AB与BC均 不垂直 年。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。事。。。 (3)解：cos〈AB,AC)= AB.AC m-(m+2) -√2 IABIACI √m2+(m+2).√2 √2m2+4m+4 1 …11分 √m2+2m+2 因为m2+2m+2=(m+1)2+1≥1，… …12分 所以Wm+2m十2≥1，则0< 1 ≤1，所以-1≤cos(AB,AC)<0.…13分 /m2+2m+2 又(A亩，AC)∈[0，π]，所以(A言，AC)∈(，π]，即A亩与AC的夹角的取值范围是(， 15分 17.解：(1)因为os(A+B) sin(-B) 6 =0 所以-cosC+cosB-=0. b 2分 由正弦定理得0s Bcos C sin C sin B' 3分 所以sin2B=sin2C. 4分 因为0<B<π，0<C<π，所以2B=2C或2B+2C=π，… 6分 所以B=C或B十C=,则B=C或A=乏，故△ABC是等腰三角形或直角三角形. 8分 (2)因为A=石≠父，所以B=C,从而6=C. …10分 asin(+》 (方法一)B=π二2=2，由sin Bsin A,得6=0 a 2 =1十√5，… sin A sin 6 …14分 所以△ABC的周长为2(1十√3)十√2=2√3十√2十2.…15分 （方法二)设b=(=,由余弦定理得2=x2十x2-2x2c0s石，…11分 2 解得x2= =4十2W5,…13分 2-√3 【高三数学·参考答案第4页（共7页）】 所以x=1十√3.…14分 所以△ABC的周长为2(1十√3)十√2=2W3十√2十2.…15分 18.1)解：易知D(2士)： …1分 2分 因为△ODF的面积为1，所以)··力=1，…2分 2 解得力=2，…3分 故C的方程为y2=4x.…4分 (2)(1)证明：由(1)知E(-1,0),F(1,0). 设直线AB的方程为x=y十1(2≠号)，A(y),B(42.…5分 x=ty十1， 由 消去x得y4y4=0,…… 所以y1十y2=4t,y1y2=一4，则A,B两点的纵坐标之积为定值.…7分 ()解：直线EA的方程为y=十z+),= 8分 设1的方程为x=3y+m,Gx,yg）.H9m> 1 3y十n, 3(m+1)y1 3(m+1)y2 由 得y6=3-1Dy,+6,同理得yH-3-Dy2十6 …10分 y=- y1 1+1x+1), 1 3(m-1) 设M(xM,yM).由 =3y十m,得w- 3t-1· …11分 (x=ty+1, MN HN 因为GN=M,所以MNI2=GNI·HNI, 则呢=一oyH,化简得m-1)-m+1D F(3t-1)29t2+8 …13分 易知m≠1，所以m-1)-(3e-1D2 (m+1)2-9t2+8 …14分 因为8=（十号+88（当=号时等号成立），…15分 9t2+8 t3 所以m+1)2、8 m-1)≥9，解得m≤-17-12/2或m≥-17+122且m≠1. 故1在x轴上的截距的取值范围为(-∞，一17-12√2]U[一17+12√2,1)U(1,十∞). …17分 【高三数学·参考答案第5页（共7页）】 19.(1)解：f'(x)=e“(atan x+ 1分 因为yx(-吾0小，高>0，所以f:)的符号由1十号如2x决定 …2分 当x∈(-，0）时，2x∈(-x,0),sin2x∈[-1,0). 当a<0时，号in2x≥0，f'(x)>0,当0<a<2时，号sin2x∈[-1,0)，f'(x)≥0，所以当 a≤2时，f(x)在(-受，0)上单调递增，fx)在(-受，0)上无极值点： …3分 当a>2时，由fx)=0,得m2x=-总，因为-名∈(-1,0，且y=m2x在(- -牙)上单调递减，在(-牙，0)上单调递增，所以f'(x)有两个异号零点xx,则f(x)有 两个极值点 综上，a的取值范围为(2，十∞). 5分 (2)证明：由（1)蜘，-<x,<-开<，<0，且sn2z1=sin2x,=- a 6分 由正弦曲线的对称性，得2x1十2红：=一受×2，即x1十x:=一受 …7分 因为一名随a的增大而增大，且)y=sin2x在(-受，一)上单调递波， 所以x1随a的增大而减小.…8分 又x2一x1=- 受-2x,所以x一21随a的增大而增大.…9分 (3)证明：由(2)知x1十x:=-受，则cos(z1十x,)=0,即cosx1c0sx=sinx1inx 因为cosx1cosx2>0,所以tanx1tanx2=1,则f(x1)f(x2)=e+'tanx1tanx2= e 04000*000000*0******4440**…0分 f(x)<0对x∈(-，0)恒成立，若f(x),f(x),f(x2)成等比数列，则[f(x3)]= f(x)f(x2),则f(x)=√e罗=-e号 ..0.0 …11分 由(1)知f(x)在(-不，x2)上单调递减，在(x2,0)上单调递增，…12分 所以f(x)<f(一不)=一e宁<f(0)=0.由函数零点存在定理知，存在唯一的x∈(x2, 【高三数学·参考答案第6页（共7页）】 0),使得f(x3)=-e罗，即f(x1),f(x3)f(x2)成等比数列.…13分 m(+培 由tan=一e号，得e （-tanx)=1,则a= In(-tan x3) …14分 x+开 2(x+) 设g(x)= n(-tan2,x∈(-平，o）,则g'(x) In(-tan z)-- sin 2x (+) 2(x+) 4(x+F）cos2 令h(x)=ln(-tanx)- sin2zx∈(-于，0），则h'(x) sin22 -.…15分 当x∈(-平，0)时，x+F∈(0，F),cos2x>0,则h'(x)>0,所以h(x)在(-平，0)上单 调递增，则n(x)>h(-开)=0，从而g'(x)>0,因此，g(x)在(-不，0）上单调递增.… 又a=g(x),且x∈(-牙，0），所以x随a的增大而增大. 综上，存在唯一的x3∈(x2,),使得f(x1),f(x3),f(x2)成等比数列，且x3随a的增大而 增大。…17分 ▣源回 可 【高三数学·参考答案第7页（共7页）】高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.(1一√3)2在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C,第三象限 D.第四象限 2.若函数f(x)=(x十1)4一1，则 的 A.y=f(x一1)十1为奇函数 B.y=f(x-1)十1为偶函数 欧 C.y=f(x十1)一1为奇函数 D.y=f(x十1)十1为偶函数 3.现有200个圆锥形（每个圆锥的底面半径为2cm,高为1.5cm)金属零件，为了防止零件生 锈，需要对每个零件的表面进行喷漆，则这200个零件需要喷漆的总面积为 A.1600πcm B.1700πcm C.1800πcm D.2000πcm2 如 4若函数fz)满足f(x+)=z2+是，则曲线)y=zf2)在点7W7fT)处的切线斜率为 A.17 B.19 C.20 D.21 5.如图，在△ABC中，点D在AC的延长线上，点E在线段BD上，若 应=a+AC,ci=AC,则入= A号 B. C. 3 D.5 龄 6已知四边形ABCD为矩形，则矩形ABCD的周长为18是“B+亮的最小值为1的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知集合A=(x|4x2>1),B=(cos1,sin2,cos3,tan4),则A∩B的元素个数为 线 A.1 B.2 C.3 D.4 8.若]x∈(0，十∞)，√e<a√F(x一lnx),则a的取值范围是 A(急，+oo) B(2,+o) c(,+∞) D.(,+∞) 折 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.在△ABC中，AB=m一1，BC=m+1,∠ABC=120°，且AC为整数，则m的值可以为 A.2 C.4 D.5 【高三数学第1页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 10.在高为2√2的正四棱锥P-ABCD中，AB=4,底面ABCD的中心为O,且E为线段PO的 中点，则 A.PA·PC=0 B.直线CE与平面PBD所成的角大于60° C异面直线PC与BE所成角的余弦值为√四 5 ,正四棱锥P-ABCD的棱切球（与所有棱都相切的球）的体积为 11.设数列{an)的前n项和为Sn,若对于任意的正整数n,存在正整数m,使得am=Sn,则称 {an)为“封闭数列”.下列结论正确的是 A.若an=3n,则(an}为“封闭数列” B.若{an}为“封闭数列”，则(Sn}一定为“封闭数列” C.若an=2”十a,则不存在常数a,使得{an)为“封闭数列” D.若{an}和(bn)均为“封闭数列”，则(an十bn》一定为“封闭数列” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12椭圆弱+货-1的离心率为▲一 l3.将曲线y=sinx(sinx+cosx)向左平移m(m>0)个单位长度后，所得曲线与曲线y= cos2x的对称轴相同，则m的最小值为▲， ln(-x-1),x<-1, 14.已知函数f(x)= -x2+2x+2,x≥-1， 若函数g(x)=f(f(x)一a恰有8个零点，则a 的取值范围是▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 小明参加某次科技知识竞赛，需解答10个题目，已知小明答对每道题目的概率均为，设小 明答对的题数为X. (1)求D(X); (2)已知每答对一题得5分，答错一题扣3分，小明最后的得分为Y分，求E(Y). 【高三数学第2页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 16.（15分) 已知向量AB=(m,m十2)，AC=(1,-1). (1)若A,B,C三点共线，求m的值 (2)证明：对任意的m∈R,AB与BC均不垂直. (3)求AB与AC的夹角的取值范围. 17.(15分) 记△ABC的内角AB,C的对边分别是a6c,已知9sCA+B)sm(分-B) =0 b (1)判断△ABC的形状； (2)若A=吾a=反，求△ABC的周长. 【高三数学第3页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 8.(17分) 已知抛物线C:y2=2x（>0)的焦点为F,点D在C上，DF⊥OF(O为坐标原点)， △ODF的面积为1. (1)求C的方程. (2)设C的准线与x轴的交点为E,过F的直线与C交于A,B两点，若斜率为3的直线L 与直线EA,EB,AB,z轴依次交于点G,H,MN,且- (1)证明：A,B两点的纵坐标之积为定值. (ⅱ)求1在x轴上的截距的取值范围. A G D 苏 1.(17分) 封 设a∈R,函数f(x)=etan x在区间（一交，0）内有两个极值点x1,x2,且x1<. (1)求a的取值范围 (2)证明：x2一x1随a的增大而增大 (3)证明：存在唯一的x3∈(x2,0),使得f(x1),f(x3),f(x2)成等比数列，且x3随a的增 大而增大， 【高三数学第4页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP