精品解析：陕西师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

陕西师大附中2024-2025学年度第一学期高三年级 期中考试数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知复数（i是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得，进而求得，得到答案. 【详解】因为复数，所以. 故选：C. 2. 已知直线与直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】直线与直线垂直， 则，解得或3， 故“”是“”的充分不必要条件. 3. 已知是单位向量，则的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】由为单位向量，可得，结合向量数量积公式计算即可得. 【详解】由为单位向量，则， 故. 故选：C. 4. 已知中，C为直角，若分别以边CA，CB，AB所在的直线为轴旋转一周，得到几何体的体积为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助锥体体积公式计算即可得. 【详解】设，，则由题意得，， ， 所以，，. 故选：A． 5. （ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式、同角三角函数的关系、两角差的正弦公式等，化简计算，即可得答案. 【详解】原式 . 6. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于，两点，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设过点的直线方程为，然后与抛物线方程联立，结合韦达定理得出，然后利用基本不等式的性质求出最小值即可. 【详解】由题意可知，，设过点的直线方程为. ，将直线方程代入抛物线方程可得. 化简得.根据韦达定理得. 又，所以. 由于抛物线的准线方程为，所以. 所以. 因为，所以. 当且仅当，即时，等号成立，此时取最小值为. 7. 若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】三角换元后结合辅助角公式和正弦函数的值域求解即可. 【详解】因为，设，，又由，不妨取， 所以， 因为，所以，所以， 所以的取值范围为. 8. 已知函数的定义域为，且，，记，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法，可求出a，b，c的值，利用作商法，可比较a，b的大小，利用作差法，可比较a，c的大小，即可得答案. 【详解】令，得，解得， 令，得，解得， 令，得， 所以，则， 所以，即， 令，得， 所以，则， 则，所以， 令，得，解得， 则， 因为，， 所以， 所以，即，则， 综上，. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 若随机变量，则（ ） A. B. C. D. 当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据方差和期望的性质判断AB，根据正态分布的对称性判断CD. 【详解】因为，故，故，故A错误； 由方差的性质可得，故B正确； 因为，由正态分布的对称性可得，故C正确； 因为，故，故，故D错误. 10. 四叶草又称“幸运草”，有一种说法是：第一片叶子代表希望，第二片叶子代表信心，第三片叶子代表爱，第四片叶子代表幸运．在平面直角坐标系中，“四叶草形”曲线的方程为（），则下列关于曲线的描述正确的有（ ） A. 曲线是中心对称图形 B. 曲线只有2条对称轴 C. 曲线绕坐标原点旋转与自身重合 D. 曲线上任意两点的距离不超过 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据曲线的方程，结合点关于原点、、的对称点，及旋转后的点的坐标逐一分析即可判断，曲线上任意两点的距离的最大值即为曲线的外接圆的直径，结合基本不等式可得，即曲线在圆的内部，即可判断D. 【详解】在方程中，以替换，替换， 方程不变，所以其图象是中心对称图形，故A正确； 在方程中， 以替换，方程不变，所以其图象关于直线轴对称， 以替换，方程不变，所以其图象关于直线轴对称， 以替换，替换，方程不变，所以其图象关于直线对称， 以替换，替换，方程不变，所以其图象关于直线对称， 所以其图象至少有4条对称轴，故B错误； 在方程中，以替换，以替换，方程不变， 设为曲线上任意一点， 则点绕坐标原点旋转得到的点为或， 将点或的坐标代入曲线的方程，方程不变， 所以图象绕坐标原点旋转可以重合，故C正确； 曲线上任意两点的距离的最大值即为曲线的外接圆的直径， ，， 所以曲线在圆的内部或边界上， 其上任意两点的距离的最大值为，故D正确. 11. 已知集合，记，则（ ） A. 中有个元素 B. 中的最大元素为2046 C. 当为偶数时，中有个元素 D. 当为奇数时，中的元素之和为 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A：的元素在区间内的正整数，所以元素个数为，故A错误； 对于B：当时，，所以表示在区间为3的倍数， 最大元素为小于的最大的3的倍数，所以最大元素为，故B正确； 对于C：当为偶数时，令，则， 所以中的倍数的个数为，故C正确； 对于D：当为奇数时，令，中元素的首项为，末项为的等差数列，项数为， 所以中的元素之和为，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若为奇函数，则a=_____． 【答案】 【解析】 【详解】由函数为上的奇函数，得，恒成立， 即，，所以. 13. 某大学的数学与统计学院有数学与应用数学、统计学和信息与计算科学三个专业，每个专业有两名男教授和两名女教授，现在每个专业选两名教授组成一个六人的委员会，并且委员会中男、女各三人，则组成这个委员会的所有可能的不同方法共有___________种． 【答案】 【解析】 【分析】分两种情况结合组合问题求解即可. 【详解】由题意知分两种情况： ①三个专业各选出1名男教授和1名女教授， 选法有：种； ②一个专业选出2名男教授，一个专业选出1名男教授和1名女教授，一个专业选出2名女教授， 选法有：先从3个专业中选出1个专业出2名男教授，有种选法； 再从剩下的2个专业中选出1个专业出2名女教授，有种选法； 最后剩下的1个专业中选出1名男教授和1名女教授，有种选法， 对于选出2名男教授的专业，有种选法； 对于选出2名女教授的专业，有种选法； 对于选出1男教授1女教授的专业，有种选法， 此时选法有：种， 所以组成这个委员会的所有可能的不同方法共有种. 14. 连接三角形三边中点所得的三角形称为该三角形的“中点三角形”．定义一个多面体的序列（）：是体积为1的正四面体，是以的每一个面上的中点三角形为一个面再向外作正四面体所构成的新多面体．设的体积为，则___________，___________． 【答案】 ①. #### ②. 【解析】 【分析】第一空：利用归纳法分析增加的小正四面体的个数与增加的每个小正四面体的体积关系，第二空：由第一空的结论，再利用等比数列求和公式即可. 【详解】如图， 画出了，因为有4个面，则有24个面，归纳可知有个面， 这个数即是到时增加的小正四面体的个数， 由于新增加的每一个小正四面体的体积是前一个小正四面体体积的， 归纳得到时增加的每个小正四面体的体积为， 所以比的体积增加了， 所以的体积为：； 所以的体积为： ， 所以 . 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理边角互化可得，即可由余弦定理求解，从而得到角C. （2）由正弦定理即可求解,进而即可得. 【小问1详解】 由余弦定理可得，有，有， 由余弦定理得， 因为，所以． 【小问2详解】 由正弦定理，有，即，有，因为，所以，从而有． 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，且存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程， （2）求导，可得函数的单调性，进而对与的大小讨论，即可分类求解. 【小问1详解】 当时，，有，由，有， 故曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 ，其中，， 时，，时，, 故在上单调递减，在上单调递增. 若，则时，，不符合题意； 若，则时，， 由题意，有，即， 因为，有，即，得， 故的取值范围是． 17. 如图，平面四边形中，，，，将沿翻折至，使得平面平面，是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成的角； （3）求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，根据中位线定理可得，再由线面平行的判定定理证明即可. （2）取的中点，连接，，由平面平面可得平面，从而知是直线与平面所成的角，再解三角形即可求出. （3）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用平面夹角公式计算即可. 【小问1详解】 ，， 又， ，即且， 四边形为平行四边形. 连接，交于点，则是的中点，连接， 是的中点，是的中点，. 平面，平面， 平面． 【小问2详解】 由（1）知，四边形为平行四边形， 又， 所以四边形是边长为的菱形，即， ， 是边长为的正三角形，则是边长为的正三角形. 取的中点，连接，，则， 平面四边形中， ， ，， 又，则， ， 平面平面，平面平面， 又，平面， 平面，则是在平面的射影， 是直线与平面所成的角， 也是边长为的正三角形， 又，，， 即直线与平面所成的角为. 【小问3详解】 由（2）知，，，， 如图所示，以为坐标原点， 以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 设平面的法向量为， 则，解得， 取，，， 平面的一个法向量为， 有，， 设平面的法向量为， 则，，解得， 取，则，， 平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 则. 18. 已知双曲线（，）的焦距为4，过右焦点且垂直于轴的直线交双曲线于，两点（在轴上方）， （1）求双曲线的标准方程； （2）过点的动直线交的左支于点，交的右支于点，直线和的交点为． （i）求证：的面积为定值； （ii）求面积的最小值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出即可求解； （2）（i）分直线与轴重合和不重合两种情况讨论，当直线不与轴重合时，设：，与双曲线方程联立，进而得，求直线的方程和直线的方程，进而求点的横坐标，最后利用三角形的面积公式即可得证； （ⅱ）当直线与轴重合时，求，当直线不与轴重合时，求，进而求解. 【小问1详解】 由题意，知，，，， 又，解得， 所以双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）当直线与轴重合时，有，， 进而得直线的方程为，直线的方程为， 由，解得，所以. 当直线不与轴重合时，设：， 所以，整理得， 设， 所以，，由题意得，即， 直线的方程为①， 直线的方程为②， 由①②相减有：， 即，有，即， 综上，可知点在直线上. 因此，的面积为； （ⅱ）当直线与轴重合时，，，， 所以； 当直线不与轴重合时，由 ， 即，有； 综上，有，即面积的最小值为． 19. “熵”常用来判断系统中信息含量的多少，也用来判断概率分布中随机变量的不确定性大小，熵越大表示随机变量的不确定性越明显．定义：随机变量对应取值的概率为，其单位为bit的熵为（当时，规定），其中． （1）若抛掷一枚硬币1次，正面向上的概率为（），记正面向上的次数为，比较与时对应的的大小． （2）抛掷一枚质地均匀的硬币次，用表示正面向上的总次数，表示第次反面向上的次数（0或1），表示正面向上次且第次反面向上次的概率，如时，．对于两个离散的随机变量，，其单位为bit的联合熵记为，其中． （i）当时，求的值； （ii）求证：． 【答案】（1）时的大于时的 （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分别求出与时的分布列后可求相应的的值； （2）（i）利用二项分布求出的分布列后可求的值；（ii）先根据二项分布求出、，再结合组合数的性质可化简，最后根据不等式的性质可证题设中的不等式. 【小问1详解】 当时，可取，且， 故当时，， 当时，可取，且， 故当时，， 由，知， 故时的大于时的． 【小问2详解】 （ⅰ）当时，可取值， 且，， ，， ， 故的分布列如下表： 故． （ⅱ）因为硬币质地均匀，故当时，（）， 当时，（）， 而 故 而，， 故 又，故， 因为，故，故， 故， 又，，故， 故（）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西师大附中2024-2025学年度第一学期高三年级 期中考试数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知复数（i是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线与直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知是单位向量，则的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 已知中，C为直角，若分别以边CA，CB，AB所在的直线为轴旋转一周，得到几何体的体积为，，，则（ ） A. B. C. D. 5. （ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 6. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于，两点，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 7. 若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且，，记，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 若随机变量，则（ ） A. B. C. D. 当时， 10. 四叶草又称“幸运草”，有一种说法是：第一片叶子代表希望，第二片叶子代表信心，第三片叶子代表爱，第四片叶子代表幸运．在平面直角坐标系中，“四叶草形”曲线的方程为（），则下列关于曲线的描述正确的有（ ） A. 曲线是中心对称图形 B. 曲线只有2条对称轴 C. 曲线绕坐标原点旋转与自身重合 D. 曲线上任意两点的距离不超过 11. 已知集合，记，则（ ） A. 中有个元素 B. 中的最大元素为2046 C. 当为偶数时，中有个元素 D. 当为奇数时，中的元素之和为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若为奇函数，则a=_____． 13. 某大学的数学与统计学院有数学与应用数学、统计学和信息与计算科学三个专业，每个专业有两名男教授和两名女教授，现在每个专业选两名教授组成一个六人的委员会，并且委员会中男、女各三人，则组成这个委员会的所有可能的不同方法共有___________种． 14. 连接三角形三边中点所得的三角形称为该三角形的“中点三角形”．定义一个多面体的序列（）：是体积为1的正四面体，是以的每一个面上的中点三角形为一个面再向外作正四面体所构成的新多面体．设的体积为，则___________，___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，，求． 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，且存在，使得成立，求的取值范围． 17. 如图，平面四边形中，，，，将沿翻折至，使得平面平面，是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成的角； （3）求平面与平面夹角的正弦值． 18. 已知双曲线（，）的焦距为4，过右焦点且垂直于轴的直线交双曲线于，两点（在轴上方）， （1）求双曲线的标准方程； （2）过点的动直线交的左支于点，交的右支于点，直线和的交点为． （i）求证：的面积为定值； （ii）求面积的最小值． 19. “熵”常用来判断系统中信息含量的多少，也用来判断概率分布中随机变量的不确定性大小，熵越大表示随机变量的不确定性越明显．定义：随机变量对应取值的概率为，其单位为bit的熵为（当时，规定），其中． （1）若抛掷一枚硬币1次，正面向上的概率为（），记正面向上的次数为，比较与时对应的的大小． （2）抛掷一枚质地均匀的硬币次，用表示正面向上的总次数，表示第次反面向上的次数（0或1），表示正面向上次且第次反面向上次的概率，如时，．对于两个离散的随机变量，，其单位为bit的联合熵记为，其中． （i）当时，求的值； （ii）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $