3.2.1 第1课时 函数的单调性 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2　函数的基本性质 3.2.1　单调性与最大(小)值 第1课时　函数的单调性 一、概念自检 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）. （1）所有函数在其定义域上都具有单调性. （2）若函数 y=f(x) 在定义域上有 f(1)<f(2)<f(3)，则该函数是增函数. （3）若函数 y=f(x) 在(-∞,0)和(0,+∞)上都单调递增，则 f(x) 在其定义域上单调递增. 【答案】（1）×　（2）×　（3）× 【详解】（1）函数的单调性是针对定义域内某个区间而言的，并非所有函数在其定义域上都具有单调性；（2）单调性定义中的 x₁，x₂ 具有任意性，仅凭个别函数值的大小关系不能判定函数的单调性；（3）反例： 在(-∞,0)和(0,+∞)上都单调递增，但在其定义域上不具有单调性. 2.（多选）函数 y=f(x) 的图象如图所示，则下列区间中，是函数的单调递增区间的有（　　） A．[-4,-2] B．[-2,1] C．[1,3] D．[3,4] 【答案】AC 【详解】根据函数单调性的定义及题图可知，f(x) 在[-4,-2]和[1,3]上图象从左至右上升，单调递增；在[-2,1]和[3,4]上图象从左至右下降，单调递减.故选AC. 二、知识点自测 知识点1 函数单调性 1.若函数 f(x) 的定义域为 R，且满足 f(-1)<f(0)<f(1)，则函数 f(x) 在 R 上的单调性为（　　） A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．不能确定 【答案】D 【详解】由于函数单调性的定义突出了 x₁，x₂ 的任意性，所以仅凭区间内几个函数值的关系，不能作为判断函数单调性的依据，也就是说函数单调性定义的三个特征缺一不可. 2.下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是（　　） A．y=2|x| B．y=4-x C． D． 【答案】A 【详解】对于B，一次函数 y=4-x=-x+4 的 k=-1<0，在 R 上单调递减，不符合；对于C，反比例函数 在(0,+∞)上单调递减，不符合；对于D，二次函数 的图象开口向下，对称轴为直线 x=0，在(0,1)上单调递减，不符合；对于A，当 x>0 时 y=2|x|=2x，在(0,1)上单调递增.故选A. 3.函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D．(-1,1] 【答案】A 【详解】因为 ，所以函数 f(x) 的单调递减区间为(-∞,-1].故选A. 知识点2 函数单调性的证明 1.证明：函数 在区间[-2,2]上单调递增. 证明：，且 ， 因为 -2≤x₁<x₂≤2，所以 ，，，，所以 ，即 ， 所以 f(x) 在[-2,2]上单调递增. 2.证明：函数 在区间(3,+∞)上单调递减. 证明：，且 ， 因为 3<x₁<x₂，所以 ，，，， 所以 ，即 ，所以函数 在区间(3,+∞)上单调递减. 知识点3 根据单调性解不等式及求参数范围 1.已知函数 f(x) 在 R 上单调递增，若 f(3-2m)<f(m)，则实数 m 的取值范围是________. 【答案】(1,+∞) 【详解】由 f(3-2m)<f(m) 及 f(x) 在 R 上单调递增，得 3-2m<m，解得 m>1.所以实数 m 的取值范围是(1,+∞). 2.已知函数 ，若函数 f(x) 在区间(-∞,3]上单调递减，则实数 a 的取值范围是________. 【答案】(-∞,-1] 【详解】函数 的图象开口向上，对称轴为直线 x=2-a.因为 f(x) 在区间(-∞,3]上单调递减，所以 2-a≥3，即 a≤-1.所以实数 a 的取值范围为(-∞,-1]. 3.（多选）已知 f(x) 为区间(-∞,+∞)上的减函数，且 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为 a∈(0,+∞)，所以 a<3a，又 f(x) 为区间(-∞,+∞)上的减函数，所以 f(a)>f(3a)，故A正确；因为 a²-a=a(a-1) 与 0 的大小关系不定，所以无法比较 f(a²) 与 f(a) 的大小，故B错误；因为 ，所以 a²+2>a，又 f(x) 为区间(-∞,+∞)上的减函数，所以 f(a²+2)<f(a)，故C正确；因为 a²+3a-a=a²+2a=a(a+2)>0，所以 a²+3a>a，又 f(x) 为区间(-∞,+∞)上的减函数，所以 f(a²+3a)<f(a)，故D正确. 4.已知函数 在[1,3]上是单调函数，则实数 k 的取值范围是（　　） A．(6,18) B．[6,18] C． D． 【答案】D 【详解】函数 的图象为开口向上的抛物线，对称轴为直线 .因为该函数在[1,3]上单调，因此，需满足 或 ，解得 k≤6 或 k≥18.故选D. 三、课后练习 A组 夯实基础 1.设函数 f(x) 是定义在 R 上的增函数，则 f(-4)，f(1)，f(-5) 的大小关系是（　　） A．f(1)>f(-4)>f(-5) B．f(1)>f(-5)>f(-4) C．f(-5)>f(-4)>f(1) D．f(-4)>f(-5)>f(1) 【答案】A 【详解】因为函数 f(x) 是定义在 R 上的单调递增函数，且 -5<-4<1，所以 f(1)>f(-4)>f(-5).故选A. 2.函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知函数 的图象开口向下，其对称轴为直线 x=2，所以该函数的单调递减区间是(2,+∞).故选C. 3.（多选）下列函数中满足“对任意 ，都有 ”的是（　　） A． B．f(x)=3x-1 C． D．f(x)=-x+1 【答案】ACD 【详解】因为对任意 ，都有 ，所以 f(x) 在(0,+∞)上单调递减.对于A，根据反比例函数的性质可知， 在(0,+∞)上单调递减，符合题意；对于B，根据一次函数的性质可知，f(x)=3x-1 在(0,+∞)上单调递增，不符合题意；对于C，二次函数 的图象开口向下，对称轴为直线 x=-2，在(0,+∞)上单调递减，符合题意；对于D，根据一次函数的性质可知，f(x)=-x+1 在(0,+∞)上单调递减，符合题意.故选ACD. 4.设 f(x)=|x+2|，则 f(x) 的单调递减区间为________. 【答案】(-∞,-2] 【详解】因为 ，所以函数 f(x) 的图象如图所示.由图象可知，函数 f(x) 的单调递减区间为(-∞,-2]. 5.已知函数 ，且 f(1)=3. （1）求函数 f(x) 的解析式； （2）用定义证明函数 f(x) 在(1,+∞)上是增函数. 【答案】（1）　（2）见详解 【详解】（1）解：因为 ，所以 a=2，所以 . （2）证明：，且 ， 因为 1<x₁<x₂，所以 x₁-x₂<0，x₁+x₂>2；又 x₁x₂>1，所以 ，于是 ，所以 ，即 ， 所以函数 f(x) 在(1,+∞)上是增函数. B组 能力提升 1.函数 的单调递减区间为（　　） A．[1,2] B．[1,3] C． D． 【答案】B 【详解】由 -x²+2x+3≥0，得 -1≤x≤3，所以函数 的定义域为[-1,3].因为二次函数 图象的对称轴为直线 x=1，所以函数 f(x) 的单调递减区间为[1,3].故选B. 2.已知 f(x) 是定义在[-2,2]上的减函数，且 f(3a-1)<f(a-2)，则实数 a 的取值范围是（　　） A．(0,1] B．[0,1] C．(1,2] D． 【答案】B 【详解】因为 f(x) 是定义在[-2,2]上的减函数，且 f(3a-1)<f(a-2)，所以 解得 ，0≤a≤4，，取交集得 0≤a≤1.故选B. 3.已知函数 f(x)=x|2x-5|，若 f(x) 在区间 I 上单调递减，则区间 I 可能为（　　） A． B．(3,4) C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，画出 f(x) 的图象如图所示.由图象可知 f(x) 在 和 上单调递增，在 上单调递减.故选D. 4.函数 f(x) 对任意 a，b∈R，都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-2，并且当 x>0 时，f(x)>2. （1）求证：f(x) 在 R 上是增函数； （2）若 f(4)=8，解不等式 f(2m+1)<5. 【答案】（1）见详解　（2） 【详解】（1）证明：，且 x₁<x₂，则 x₂-x₁>0，f(x₂-x₁)>2. 所以 f(x₂)-f(x₁)=f((x₂-x₁)+x₁)-f(x₁)=f(x₂-x₁)+f(x₁)-2-f(x₁)=f(x₂-x₁)-2>0. 所以 f(x₂)>f(x₁)，故 f(x) 在 R 上是增函数. （2）解：因为 f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-2=8，所以 f(2)=5. 所以原不等式可化为 f(2m+1)<f(2).由(1)可知 f(x) 在 R 上是增函数，所以 2m+1<2，解得 . 故原不等式的解集为 . C组 思考题 已知函数 是 R 上的减函数，则 a 的取值范围是（　　） A．(0,2) B．[1,2) C．(0,2] D．(1,2) 【答案】B 【详解】由于函数 f(x) 是定义在 R 上的减函数，所以函数 y=(2a-4)x+3 在区间(-∞,1]上为减函数，函数 在区间(1,+∞)上为减函数，且有 (2a-4)×1+3≥a，即 解得 1≤a<2.因此，实数 a 的取值范围是[1,2).故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2　函数的基本性质 3.2.1　单调性与最大(小)值 第1课时　函数的单调性 一、概念自检 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）. （1）所有函数在其定义域上都具有单调性. （2）若函数 y=f(x) 在定义域上有 f(1)<f(2)<f(3)，则该函数是增函数. （3）若函数 y=f(x) 在(-∞,0)和(0,+∞)上都单调递增，则 f(x) 在其定义域上单调递增. 2.（多选）函数 y=f(x) 的图象如图所示，则下列区间中，是函数的单调递增区间的有（　　） A．[-4,-2] B．[-2,1] C．[1,3] D．[3,4] 二、知识点自测 知识点1 函数单调性 1.若函数 f(x) 的定义域为 R，且满足 f(-1)<f(0)<f(1)，则函数 f(x) 在 R 上的单调性为（　　） A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．不能确定 2.下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是（　　） A．y=2|x| B．y=4-x C． D． 3.函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D．(-1,1] 知识点2 函数单调性的证明 1.证明：函数 在区间[-2,2]上单调递增. 2.证明：函数 在区间(3,+∞)上单调递减. 知识点3 根据单调性解不等式及求参数范围 1.已知函数 f(x) 在 R 上单调递增，若 f(3-2m)<f(m)，则实数 m 的取值范围是________. 2.已知函数 ，若函数 f(x) 在区间(-∞,3]上单调递减，则实数 a 的取值范围是________. 3.（多选）已知 f(x) 为区间(-∞,+∞)上的减函数，且 ，则（　　） A． B． C． D． 4.已知函数 在[1,3]上是单调函数，则实数 k 的取值范围是（　　） A．(6,18) B．[6,18] C． D． 三、课后练习 A组 夯实基础 1.设函数 f(x) 是定义在 R 上的增函数，则 f(-4)，f(1)，f(-5) 的大小关系是（　　） A．f(1)>f(-4)>f(-5) B．f(1)>f(-5)>f(-4) C．f(-5)>f(-4)>f(1) D．f(-4)>f(-5)>f(1) 2.函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 3.（多选）下列函数中满足“对任意 ，都有 ”的是（　　） A． B．f(x)=3x-1 C． D．f(x)=-x+1 4.设 f(x)=|x+2|，则 f(x) 的单调递减区间为________. 5.已知函数 ，且 f(1)=3. （1）求函数 f(x) 的解析式； （2）用定义证明函数 f(x) 在(1,+∞)上是增函数. B组 能力提升 1.函数 的单调递减区间为（　　） A．[1,2] B．[1,3] C． D． 2.已知 f(x) 是定义在[-2,2]上的减函数，且 f(3a-1)<f(a-2)，则实数 a 的取值范围是（　　） A．(0,1] B．[0,1] C．(1,2] D． 3.已知函数 f(x)=x|2x-5|，若 f(x) 在区间 I 上单调递减，则区间 I 可能为（　　） A． B．(3,4) C． D． 4.函数 f(x) 对任意 a，b∈R，都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-2，并且当 x>0 时，f(x)>2. （1）求证：f(x) 在 R 上是增函数； （2）若 f(4)=8，解不等式 f(2m+1)<5. C组 思考题 已知函数 是 R 上的减函数，则 a 的取值范围是（　　） A．(0,2) B．[1,2) C．(0,2] D．(1,2) 学科网（北京）股份有限公司 $