3.2.1 函数的单调性与最大（小）值 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册（河南专用）

**基本信息** 以“基础巩固+能力拔高”分层设计，通过河南本地化考题构建从单调性定义到综合应用的知识路径，培养数学推理能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础题|单调性定义、单调区间判断、最值计算|结合河南期中/期末真题，题型全面，如解答题14用定义证明单调性，强化概念理解| |拔高题|含参数单调性、综合最值问题|通过抽象函数单调性（单选8）、参数范围讨论（解答15），发展逻辑推理与问题解决能力|

3.2.1函数的单调性与最大（小）值同步练（河南专用） 教材知识梳理 单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为I，区间，如果， 当时，都有_______________，那么就称函数在区间D上单调递增 当时，都有_______________，那么就称函数在区间D上单调递减 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 【答案】 2．（2026高三·全国·专题练习）函数的最大值和最小值 一般地，设函数的定义域为D，且： （1）如果对任意，都有______，则称的最大值为，而称为的______； （2）如果对任意，都有______，则称的最小值为，而称为的______． 【答案】 最大值点 最小值点 同步练（最新河南同步考题，题号前加“★”的为拔高题目） 一、单选题 1．（2026高一上·河南郑州·期中）函数在区间上单调递减，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为 ，所以不能判断的大小关系； B：因为，且函数在区间上单调递减， 所以有，因此本选项不正确； C：因为 ，所以不能判断的大小关系； D：由B可知本选项正确， 故选：D 2．（25-26高一上·河南驻马店·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】由，解得或， 所以函数的定义域为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又因为为单调递增函数， 所以函数的单调递增区间是. 故选：D. 3．（25-26高一上·河北石家庄·期中）函数在区间上的最大值､最小值分别为（    ） A．最大值为1，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 【答案】B 【分析】根据给定函数，确定其单调性，进而求出其最值. 【详解】函数在上单调递增， 当时，，当时，. 故选：B 4．（25-26高一上·河南信阳·期中）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的单调性列式求解. 【详解】由， 因为是R上的单调函数，所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：C. 5．（25-26高一上·河南洛阳·期中）已知函数，若有最小值-2，则的最大值为（    ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 【答案】D 【分析】根据二次函数性质可知函数在上单调递增，根据最小值求出a，再求出最大值. 【详解】由二次函数易得在上单调递增， 所以在的的最小值为，故， 所以，故在的的最大值为， 故选：D. 6．（2025·河南信阳·模拟预测）已知在区间上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求函数的对称轴，要使函数在区间上不单调，则必有对称轴在区间内，列出不等式即可. 【详解】由已知，函数的对称轴为， 又因为函数在区间上不单调， 则必有，即. 故选：C 7．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）已知在上是增函数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，即可由分段函数的单调性求解. 【详解】由于在上是增函数， 所以，解得：， 故选：C ★8．（25-26高一上·河南信阳·期中）函数，满足对、且，都有，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，函数在上为减函数，根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】不妨设，由，可得， 所以函数在上为减函数， 依题意得， 解得，所以. 所以实数a的取值范围是. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高一上·河南信阳·期中）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用二次函数，函数单调性和基本不等式求最小值，就可作出判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因为在上单调递增，所以，故B错误； 对于C，当时，，当且仅当取到等号，故C正确； 对于D，，当且仅当取到等号，故D正确； 故选：ACD. ★10．（25-26高一上·河南商丘·阶段检测）函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】变形给定函数，再利用反比例函数单调性，分类讨论求出单调区间，进而判断列式求解. 【详解】函数的定义域为， 当，即时，函数在上单调递减，不符合题意； 当，即时，为常数函数，不符合题意； 当，即时，函数在上单调递增， 由函数在上单调递增，得，且， 因此，且，AC错误，BD正确. 故选：BD 三、填空题 11．（25-26高一上·河南周口·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是________. 【答案】 【详解】函数的对称轴为， 若函数在区间上单调递增， 所以，. 则实数的取值范围是. 12．（25-26高一上·河南·阶段检测）函数的值域为_______. 【答案】 【分析】根据二次函数的图象及对称性计算求解最值即可求解值域. 【详解】函数对称轴为，作出函数的图象，观察图象可知 ，，所以函数的值域为 . 故答案为： . 13．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）定义在上的函数为增函数，满足：，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】利用定义域和单调性即可求解参数范围. 【详解】由定义在上的函数为增函数，满足：， 则， 故答案为： 四、解答题 14．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知函数． (1)用定义法证明：是增函数； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据定义法证明单调性的步骤，取值、作差、整理、变形、得结论，结合解析式，化简整理，即可得证. （2）由（1）得在R上单调递增，所以，代入解析式，即可得证. 【详解】（1）证明：任取，且， 则 ， 因为，所以， 所以，即， 所以在R上单调递增. （2）由（1）得在R上单调递增，且， 所以，则，得证. ★15．（25-26高一上·河南信阳·期中）已知函数 (1)若在区间上是单调函数，求实数m的取值范围； (2)试求在区间上的最大值 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据二次函数的性结合函数在区间上是单调函数求出实数的取值范围； （2）根据二次函数的性质，结合函数单调性对对称轴与区间位置关系分情况讨论得出． 【详解】（1）图象开口向上，对称轴为，在区间上是单调函数， 或，即或， 实数m的取值范围为或． （2），函数图象开口向上，对称轴为， 当，即时，在区间上单调递增，最大值为； 当，即时，在区间上单调递减，最大值为； 当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 若，即时，，故函数最大值为， 若，即时，，故函数最大值为， 综上所述，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $3.2.1函数的单调性与最大（小)值同步练（河南专用） 教材知识梳理 单调函数的定义 增函数 减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为，区间DCI,如果Vx1,x2∈D 定 当X1<X2时，都有 义 当1<X2时，都有 那 那么就称函数f(x)在区间D上单调递 么就称函数fx)在区间D上单调递减 增 f(x) 图 小fx2) y=f(x) 象 f1)片 fD :fx2) 描 X2 OX1 X2 自左向右看图象是 自左向右看图象是下 述 上升的 降的 2.(2026高三·全国·专题练习)函数的最大值和最小值 一般地，设函数fx的定义域为D,且x,∈D: (1)如果对任意x∈D都有一，则称fx的最大值为fx小而x称为fx的一： (2)如果对任意x∈D都有一，则称fx的最小值为fx而x称为fx的 同步练（最新河南同步考题，题号前加“★”的为拔高题目） 一、单选题 1.(2026高一上·河南郑州·期中)函数f(x)在区间(-1,3]上单调递减，则有() A.f(-2)>f(2)B.f(0)<f(3) c.f(-1>f3)D.f0)>f3) 2.(25-26高一上：河南驻马店期中)函数fx-3X-5x-2的单调递增区间是（） A. 56 B. g+ -0, D.2,+o 试卷第1页，共3页 3.(25-26高一上河北石家庄期中)函数y=,X在区间2,4上的最大值、最小值分别为 1+X () A,最大值为1，最小值为 片最人监为最公值为号 C.最大值为1，最小值为 1 D,最大值为最小值为 4.(25-26高一上河南信阳·期中)若函数fx=ax+2x是R上的单调函数，则a的取值 范围是() A.-00,2 B.-2,+0o) C.-2,2 D -0,-2U2,+∞ 5.（25:26高一上-河南洛阳期中)已知函数fx=-X2+4x+a,x∈10,1若fx有最 小值-2，则fx的最大值为() A.-2 B.2 C.-1 D.1 6.(2025-河南信阳：模拟预测)已知fx=4X2-kx-8在区间5,20上不单调，则k的取 值范围是() A.k≤40 B.k≥160 C.40<k<160D.40≤k≤160 7.(25-26高一上·河南南阳·阶段检测) 已知fx=a-1x+1,X<1在R上是增函数， 3-2ax+1,x≥1 则a的取值范围是() B.1,+o C D.4 ★8。(25-26高一上河南信阳期中)函数fx)=X-(a+4x+5,x<2 满足对Vx1 （2a-3)x+1,x≥2 试卷第2页，共3页 龙∈R且x,≠x'都有fx1-fx》(x-x)<0:则实数a的取值范围是() A. o. B. 3 0 c.0,1 D.0,1 二、多选题 9.(25-26高一上·河南信阳·期中)下列函数中最小值为4的是() A. .y=x2-6x+13 B.y=2x+xE12.31 C.y=x+-1 x2+5 -2,>2 D.y=8x+1 ★10（2526商上河南商丘阶段检测)画数fx=2X,在区间n,+0上单调选 增，则下列说法正确的是(). A.m<-2 B.m>-2 c.n≤-1 D.n≥-1 三、填空题 11.(25-26高一上河南周口期末)若函数fx=X-ax-1在区间1，+0上单调递增， 则实数a的取值范围是 12.(25-26高一上-河南阶段检测)函数fx=X2+x-2-1≤x≤2的值域为 13.(25-26高一上·河南郑州·阶段检测)定义在0,4上的函数fx为增函数，满足： fa2kf2a+3'则a的取值范围是 四、解答题 14,(2526高一上·河南阶段检测)已知函数fx=x2+x 试卷第3页，共3页 (1)用定义法证明：fx是增函数： (2)证明：π3+π>18V2. ★15.(25-26高一上河南信阳期中)已知函数fx=x2+2mx-6 (1)若fx在区间[-1,2]上是单调函数，求实数m的取值范围； (2)试求fx在区间[-1,2]上的最大值gm 试卷第4页，共3页