3.4 函数的应用（一）同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.4　函数的应用（一） 一、概念自检 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）. (1)日利润＝销售单价×日销售量.　(　　) (2)实际应用问题中，自变量的取值范围只需使所得的函数解析式有意义.　(　　) (3)解函数应用题的基本步骤可概括为“四步八字”，即“审题、建模、解模、还原”.　(　　) 2.一辆摩托车在一段公路上的行驶路程 （单位：km）关于时间 （单位：h）变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是（　　） A．一次函数模型 B．二次函数模型 C．分段函数模型 D．幂函数模型 3.某人开汽车从甲地出发，以 90 km/h 的速度行驶 2 h 到达乙地，在乙地停留 1 h.若汽车与甲地的距离 （单位：km）是时间 （单位：h）的函数，则该函数的解析式是 . 二、知识点自测 知识点1 一次函数模型 1.一辆匀速行驶的汽车 30 min 行驶的路程为 40 km，则这辆汽车行驶的路程 （单位：km）关于时间 （单位：h）的函数解析式是（　　） A． B． C． D． 2.某厂日生产保温杯的总成本 （单位：元）与日产量 （单位：只）之间的关系为 ，而保温杯的出售价格为每只 13 元.要使该厂不亏本，每日至少生产保温杯（　　） A．2 000只 B．3 000只 C．4 000只 D．5 000只 3.一定范围内，某种产品的购买量 （单位：t）与单价 （单位：元/t）之间满足一次函数关系.若购买 1 200 t，则每吨 900 元；若购买 2 400 t，则每吨 800 元.某客户购买 600 t，其价格为每吨______元. 知识点2 二次函数模型 1.某水果批发商销售每箱进价为 50 元的橙子，假设每箱售价不得低于 60 元且不得高于 65 元.市场调查发现，若每箱以 60 元的价格销售，则平均每天销售 80 箱，且价格每提高 1 元，平均每天少销售 2 箱. (1)求平均每天的销售量 （单位：箱）与销售单价 （单位：元/箱）之间的函数关系式. (2)求该批发商平均每天的销售利润 （单位：元）与销售单价 （单位：元/箱）之间的函数关系式. (3)当每箱橙子的售价为多少元时，该批发商可以获得最大日利润？最大日利润是多少？ 2.某种商品的进价为 5 元/件，当售价为 7 元/件时，日均销售 120 件.若每件的售价增加 1 元，则日均销售量减少 15 件.已知每天的固定成本为 30 元，则该商品在销售过程中，售价为______元/件时，日利润最大. 知识点3 幂函数及分段函数模型 1.按照《全国人民代表大会常务委员会关于实施渐进式延迟法定退休年龄的决定》，我国自 2025 年 1 月 1 日起，逐步将男职工的法定退休年龄从原 60 周岁延迟至 63 周岁.对于男职工，新方案按照出生时间延迟法定退休年龄，每 6 个月延迟 1 个月，当不满 6 个月时仍按延迟 1 个月计算.男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下： 出生时间 1965年1月至6月 1965年7月至12月 1966年1月至6月 1966年7月至12月 … 改革后法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 … 那么 1972 年 3 月出生的男职工退休年龄为（　　） A．61岁 B．61岁1个月 C．61岁3个月 D．61岁6个月 2.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如表所示.若某户居民某月缴纳水费 82 元，则该月用水量为______. 每户每月用水量 水价 不超过 10 的部分 2 元/ 超过 10 但不超过 16 的部分 5 元/ 超过 16 的部分 8 元/ 三、课后练习 A组 夯实基础 1.把长为 16 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正方形，那么这两个正方形面积之和的最小值是（　　） A． B． C． D． 2.某公司为降低成本、提高效益，引进智能机器人系统开展工作.已知购买 台机器人的总成本为 （单位：万元）.要使每台机器人的平均成本最低，则应购买机器人______台. 3.某乡镇为提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为 m、长为 m 的长方形展牌，其中 ，其面积为 . (1)求 关于 的函数解析式，并求出 的取值范围. (2)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小？并求出周长的最小值. B组 能力提升 1.(多选)生活经验告诉我们，当把水注进容器时（设单位时间内进水量相同），容器内水的高度会随着时间的变化而变化.如图，下列选项中容器与图象匹配正确的是（　　） A．甲—④ B．乙—② C．丙—③ D．丁—① 2.某辆汽车以 km/h（考虑到高速公路行车安全，要求 ）的速度在高速公路上匀速行驶时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为 L，其中 为常数.若汽车以 90 km/h 的速度行驶，每小时的油耗为 10 L，则 ＝______. 欲使每小时的油耗不超过 10 L，则速度 的取值范围为______. 3.(多选)同一条公路连接 ，， 三地， 地在 ， 两地之间.甲、乙两车分别从 地、 地同时出发前往目的地 地.甲车速度始终保持不变，乙车中途停车休息一次，随后继续匀速行驶.甲、乙两车从出发到目的地过程中两车之间的距离 （单位：km）与时间 （单位：h）的函数关系如图所示.下列结论正确的是（　　） A．4h后两车同时到达C地　　B．乙车中途休息40min　　 C．甲车的速度是90km/h D．甲车行驶 h 与乙车相遇 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4　函数的应用（一） 一、概念自检 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）. (1)日利润＝销售单价×日销售量.　(　　) (2)实际应用问题中，自变量的取值范围只需使所得的函数解析式有意义.　(　　) (3)解函数应用题的基本步骤可概括为“四步八字”，即“审题、建模、解模、还原”.　(　　) (1)×　解析：日利润＝日销售收入－日成本，题中漏减了成本. (2)×　解析：自变量的取值范围除使解析式有意义外，还需符合问题的实际意义. (3)√　解析：解函数应用题的一般步骤为审题、建模、解模、还原. 2.一辆摩托车在一段公路上的行驶路程 （单位：km）关于时间 （单位：h）变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是（　　） A．一次函数模型 B．二次函数模型 C．分段函数模型 D．幂函数模型 【答案】C 【详解】解析：由图象可知，在自变量 的不同时间段内，路程 与时间 的对应关系不同（两段线段的斜率不同），不能用同一个一次函数解析式表示，故该图象对应的函数模型是分段函数模型. 3.某人开汽车从甲地出发，以 90 km/h 的速度行驶 2 h 到达乙地，在乙地停留 1 h.若汽车与甲地的距离 （单位：km）是时间 （单位：h）的函数，则该函数的解析式是 . 解析：前 2 h 汽车匀速行驶，距离 ＝90；2 h 后到达乙地并停留，距离保持 180 km 不变，故为分段函数. 二、知识点自测 知识点1 一次函数模型 1.一辆匀速行驶的汽车 30 min 行驶的路程为 40 km，则这辆汽车行驶的路程 （单位：km）关于时间 （单位：h）的函数解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解析：因为 30 min＝0.5 h，所以汽车的速度为 40÷0.5＝80（km/h）. 所以路程 与时间 之间的函数解析式是 （）. 2.某厂日生产保温杯的总成本 （单位：元）与日产量 （单位：只）之间的关系为 ，而保温杯的出售价格为每只 13 元.要使该厂不亏本，每日至少生产保温杯（　　） A．2 000只 B．3 000只 C．4 000只 D．5 000只 【答案】D 【详解】解析：设利润 ＝13－（5＋40 000），所以 ＝8－40 000. 由 ，解得 . 故每日至少生产保温杯 5 000 只. 3.一定范围内，某种产品的购买量 （单位：t）与单价 （单位：元/t）之间满足一次函数关系.若购买 1 200 t，则每吨 900 元；若购买 2 400 t，则每吨 800 元.某客户购买 600 t，其价格为每吨______元. 【答案】950 【详解】解析：设 ，由 ，解得 . 所以 . 令 ，解得 . 知识点2 二次函数模型 1.某水果批发商销售每箱进价为 50 元的橙子，假设每箱售价不得低于 60 元且不得高于 65 元.市场调查发现，若每箱以 60 元的价格销售，则平均每天销售 80 箱，且价格每提高 1 元，平均每天少销售 2 箱. (1)求平均每天的销售量 （单位：箱）与销售单价 （单位：元/箱）之间的函数关系式. (2)求该批发商平均每天的销售利润 （单位：元）与销售单价 （单位：元/箱）之间的函数关系式. (3)当每箱橙子的售价为多少元时，该批发商可以获得最大日利润？最大日利润是多少？ 解：(1)根据题意，得 ，即 （，）. (2)（，）. (3)因为 ，所以当 时， 随 的增大而增大. 又 ，，所以当 时， 有最大值，最大值为 1 050. 所以当每箱橙子的售价为 65 元时，该批发商可以获得最大日利润，且最大日利润为 1 050 元. 2.某种商品的进价为 5 元/件，当售价为 7 元/件时，日均销售 120 件.若每件的售价增加 1 元，则日均销售量减少 15 件.已知每天的固定成本为 30 元，则该商品在销售过程中，售价为______元/件时，日利润最大. 【答案】10 【详解】解析：设售价为 元/件，则日均销售量为 件，则日利润 ＝，，所以当 时，. 即售价为 10 元/件时，日利润最大. 知识点3 幂函数及分段函数模型 1.按照《全国人民代表大会常务委员会关于实施渐进式延迟法定退休年龄的决定》，我国自 2025 年 1 月 1 日起，逐步将男职工的法定退休年龄从原 60 周岁延迟至 63 周岁.对于男职工，新方案按照出生时间延迟法定退休年龄，每 6 个月延迟 1 个月，当不满 6 个月时仍按延迟 1 个月计算.男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下： 出生时间 1965年1月至6月 1965年7月至12月 1966年1月至6月 1966年7月至12月 … 改革后法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 … 那么 1972 年 3 月出生的男职工退休年龄为（　　） A．61岁 B．61岁1个月 C．61岁3个月 D．61岁6个月 【答案】C 【详解】解析：设男职工出生于 年 月，，，. 设退休延迟月数为 ，当 时，；当 时，. 所以 1972 年 3 月出生的男职工退休延迟的时间为 （月），即延迟 1 岁 3 个月，退休年龄为 61 岁 3 个月. 故选 C. 2.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如表所示.若某户居民某月缴纳水费 82 元，则该月用水量为______. 每户每月用水量 水价 不超过 10 的部分 2 元/ 超过 10 但不超过 16 的部分 5 元/ 超过 16 的部分 8 元/ 【答案】20 【详解】解析：设用水量为 ，缴纳水费为 元. 由题意可知 . 当 时，最大值为 20；当 时，最大值为 50，所以 ，解得 . 三、课后练习 A组 夯实基础 1.把长为 16 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正方形，那么这两个正方形面积之和的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解析：设铁丝的一段长度为 cm（其中 ），则另一段铁丝长为 cm，两个正方形的面积之和为 ，根据题意，可得 ，当且仅当 时， 取得最小值，最小值为 8 . 故选 B. 2.某公司为降低成本、提高效益，引进智能机器人系统开展工作.已知购买 台机器人的总成本为 （单位：万元）.要使每台机器人的平均成本最低，则应购买机器人______台. 【答案】400 【详解】解析：每台机器人的平均成本为 ，当且仅当 ，即 时，等号成立. 因此应购买 400 台机器人，可使每台机器人的平均成本最低. 3.某乡镇为提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为 m、长为 m 的长方形展牌，其中 ，其面积为 . (1)求 关于 的函数解析式，并求出 的取值范围. (2)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小？并求出周长的最小值. 解：(1)由题意，得 ，整理得 . 由 ，得 ，即 ，解得 . 所以 关于 的函数解析式是 ，. (2)展牌的周长 ， 当且仅当 ，即 时取等号，此时 ， 所以设计展牌的长为 6 m、宽为 2 m 时，才能使展牌的周长最小，最小周长为 16 m. B组 能力提升 1.(多选)生活经验告诉我们，当把水注进容器时（设单位时间内进水量相同），容器内水的高度会随着时间的变化而变化.如图，下列选项中容器与图象匹配正确的是（　　） A．甲—④ B．乙—② C．丙—③ D．丁—① 【答案】AC 【详解】甲容器下粗上细，水高变化为逐渐变快，故甲应匹配④，A正确. 乙容器为球形，水高变化为先逐渐变慢，再逐渐变快，故乙不可能对应直线，B错. 丙、丁容器都是柱形，水高变化的速度都应是不变的，所以丙、丁对应的是直线；但丙容器细，丁容器粗，故丙容器水高变化快，丁容器水高变化慢，丙应匹配③，丁应匹配②，C正确，D错. 故选 AC. 2.某辆汽车以 km/h（考虑到高速公路行车安全，要求 ）的速度在高速公路上匀速行驶时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为 L，其中 为常数.若汽车以 90 km/h 的速度行驶，每小时的油耗为 10 L，则 ＝______. 欲使每小时的油耗不超过 10 L，则速度 的取值范围为______. 【答案】120　[80,90] 【详解】解析：设每小时的油耗为 L，根据题意得 ，则当 时，，解得 ，所以 . 若 ，即 ，即 ，去分母得 ，解得 . 又因为 ，所以 的取值范围为 [80,90]. 3.(多选)同一条公路连接 ，， 三地， 地在 ， 两地之间.甲、乙两车分别从 地、 地同时出发前往目的地 地.甲车速度始终保持不变，乙车中途停车休息一次，随后继续匀速行驶.甲、乙两车从出发到目的地过程中两车之间的距离 （单位：km）与时间 （单位：h）的函数关系如图所示.下列结论正确的是（　　） A．4h后两同时到达C地　　B．乙车中途休息40min　　C．甲车的速度是75km/h D．甲车行驶 h 与乙车相遇 【答案】ACD 【详解】解析：如图所示. 设甲速为（km/h），乙速为（km/h） 根据函数图象可得 ， 两地之间的距离为 30 km，两车行驶了 4 小时，同时到达 地，故选项 A 正确； D－E 段：甲、乙同向行驶，甲在后追赶乙；,所以① E－F－G 段：乙休息，其中在 E－F 段，甲在后追赶乙，在点 F 时甲、乙相遇，在 F－G 段，甲超过乙的休息地继续行驶，乙车中途休息 1 h，故选项 B 错误； G－H 段：乙在后追赶甲，在点 H 时，甲、乙同时到达 地. 在 E－F 段，乙休息，②； 在 E－F 段，乙继续休息，③ G－H 段：乙在后追赶甲，在点 H 时，甲、乙同时到达 地, =④ 由①②③④解得：. 故选 学科网（北京）股份有限公司 $