3.4 函数的应用（一）分层同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学·分层作业系列 3.4 函数的应用（一）（分层作业，3层22题）（原卷版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 层级 定位 题量 建议用时 A 基础达标 人人必做：本节基本概念、基本方法的直接应用 10题 约45分钟 B 能力提升 建议完成：知识的综合运用与常见题型变化 8题 约55分钟 C 拓展创新 学有余力选做：综合性、创新性较强的问题 4题 约50分钟 A 基础达标（人人必做） 本层共10题，建议用时约45分钟 一、单选题（共3小题） 1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是（　　）（26-27高一上·全国·课后作业） A．一次函数 B．二次函数 C．分段函数 D．无法确定 2．某商场“国庆节”期间搞促销活动，规定：如果顾客购物的总金额不超过500元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过500元，那么超过500元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按下表计算．（25-26高一上·广西钦州·期末） 享受折扣的购物金额 折扣优惠 超过500元不超过1000元的部分 10％ 超过1000元的部分 20％ 王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，则王先生购物实际付款（    ）． A．1270元 B．1440元 C．1350元 D．1250元 3．某农业公司年初用98万元购进一辆大型农业多用途收割机，已知该收割机累计使用年所需的各种费用（单位：万元）与使用时间n（，单位：年）之间的函数关系式为，该收割机每年的总收入为50万元．问该收割机第几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有使用费用为正值）（    ）．（25-26高一上·北京延庆·期末） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（共1小题） 4．为积极响应国家“双碳”战略，推动重点领域节能降碳，某地区对年碳排放量超过一定规模的企业实行“基准配额与超额阶梯购买”相结合的管理机制．根据该地区2025年碳排放权交易实施细则，某中型数据中心的年度碳排放配额及超额购买价格标准如下表所示：（25-26高一上·广西崇左·期末） 年度碳排放量区间 收费标准 不超过24000吨 0元／吨（使用免费基准配额） 超过24000吨但不超过36000吨的部分 65元／吨（按市场均价购买） 超过36000吨的部分 90元／吨（惩罚性溢价） 若该数据中心受业务增长驱动，近期月均碳排放量稳定在2600吨，不考虑绿电使用抵扣及其他政策性减免，则该数据中心当年需支付的碳排放配额的购买费用为______元． 三、解答题（共6小题） 5．最近南京某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，南京卫健委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为50万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），，每件工具售价为50元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完，写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（2026高一·全国·专题练习） 6．在精准扶贫中，某村的李师傅在县政府的扶持下，去年下半年，他对家里的个温室大棚进行修整改造，然后，个大棚种植香瓜，另外个大棚种植甜瓜，今年上半年喜获丰收，现在他家的甜瓜和香瓜已全部售完，他高兴地说：“我的日子终于好了”.最近，李师傅在扶贫工作者的指导下，计划在农业合作社承包个大棚，以后就用个大棚继续种植香瓜和甜瓜，他根据种植经验及今年上半年的市场情况，打算下半年种植时，两个品种同时种，一个大棚只种一个品种的瓜，并预测明年两种瓜的产量、销售价格及成本如下：（26-27高一上·天津南开·开学考试） 品种项目 产量（斤/每棚） 销售价（元/每斤） 成本（元/每棚） 香瓜 甜瓜 现假设李师傅今年下半年香瓜种植的大棚数为个，明年上半年个大棚中所产的瓜全部售完后，获得的利润为元.根据以上提供的信息，请你解答下列问题： (1)求出与之间的函数关系式； (2)求出李师傅种植的个大棚中，香瓜至少种植几个大棚？才能使获得的利润不低于万元. 7．为帮助尚有90万元无息贷款没有偿还的某小微企业尽快脱贫，当地市政府继续为其提供30万元无息贷款，用以购买某种生产设备.已知该设备每生产1万件产品需再投入4万元的生产资料费，已知一年内生产该产品万件的销售收入为万元，且，该企业在经营过程中每月还要支付给职工每月3万元的最低工资保障.（25-26高一上·江西上饶·期末） (1)写出该企业的年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？并求出企业最早在几年后能偿还所有贷款？ 8．某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量．（25-26高三·全国·一轮复习） (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 9．某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元．设备使用年后，该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为万元．（26-27高一上·陕西商洛·阶段检测） (1)求关于的表达式． (2)求该设备的年平均盈利额的最大值，以及此时使用年数．（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数） 10．随着人们对交通安全的认识不断提高，骑电动车必须戴头盔，所以头盔已成为人们日常生活中不可或缺的物品．某商人将进货单价为8元的某种头盔按10元一个销售时，每天可卖出100个．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种头盔销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值．（26-27高一上·全国·课堂例题） B 能力提升（建议完成） 本层共8题，建议用时约55分钟 一、多选题（共1小题） 11．已知函数，下列说法正确的是（    ）（24-25高一上·福建厦门·期中） A． B．函数的值域为 C．函数的单调递增区间为 D．若方程有三个不等实根，则实数t的取值范围是 二、填空题（共1小题） 12．已知，则函数的最小值为_______________．（25-26高二下·天津静海·阶段检测） 三、解答题（共6小题） 13．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成），售出商品数量就增加成．要求售价不能低于成本价．（25-26高三·全国·一轮复习） (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围． 14．某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）分别满足，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）.（25-26高一上·山西忻州·期末） (1)求的表达式； (2)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大利润是多少万元？ 15．某公司为了节约成本，新设了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似表示为：.（25-26高一上·上海静安·期末） (1)设，求月处理量x的取值范围，使得月处理成本不超过30000元； (2)该项目月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低? 16．某企业为紧抓新能源发展带来的历史机遇，决定开发一款锂电池生产设备．生产此设备的年固定成本为280万元，且每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足40台时，（万元）；当年产量不少于40台时，（万元）．现该企业将每台设备的售价定为60万元，且生产的锂电池设备能全部售完．（25-26高一上·上海·阶段检测） (1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式； (2)年产量为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？ 17．鱼灯是黄山市传统民俗工艺品，深受广大游客喜爱.某厂家欲生产一款鱼灯，经过市场调研发现，生产该款鱼灯需投入固定成本10万元，每生产万盏鱼灯另需投入变动成本万元.若这款鱼灯的售价为80元／盏，且该厂家2026年生产的万盏鱼灯均能售完.（25-26高一上·安徽黄山·期末） (1)求该厂家2026年利润（单位：万元）的函数解析式； (2)求该厂家2026年产量为多少万盏时所获年利润最大？最大年利润是多少？ 18．中国队的熊猫受到了各国友人的喜爱，造成了一难求的局面，通过市场分析，对熊猫而言，某企业每生产（万件）获利（万元），且满足，2024年8月该企业计划引进新的生产设备和新的产品方案优化产品，优化后的产品的其他成本总投入为万元.由市场调查分析得知，当前熊猫供不应求.记该企业2024的8月优化后的产品的利润为（单位：万元）.（25-26高一上·宁夏银川·期末） (1)求函数的解析式； (2)当2024年8月优化后的产品产量为多少万件时，该企业8月的利润最大？最大利润是多少？请说明理由. C 拓展创新（学有余力选做） 本层共4题，建议用时约50分钟 一、解答题（共4小题） 19．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买台机器人的总成本万元.（25-26高一上·上海·期末） (1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？ (2)现购买台智能机器人，需要安排人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验可得，每台机器人的日平均分拣量（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为件，当机器人日平均分拣量达最大值时，若完成这些分拣任务，求所需要的传统的人工数量. 20．国产电影《哪吒2之魔童闹海》斩获2025年全球票房榜第一名.某企业借此契机推出一款“哪吒纪念玩偶”，前期研发与模具等固定成本为80（万元），每生产（万个）还需投入生产成本万元，且据测算，若该款玩偶年产量为万个每个售价50元且全部售完.（25-26高一上·江西景德镇·期末） (1)求出利润（万元）关于年产量万个的函数解析式； (2)当产量至少为多少个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本； (3)当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大？并求出最大利润. 21．在环保科技展览会上，某公司推出了一种新型环保材料供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场.已知该种材料年固定研发成本为50万元，每生产一吨需另投入90元.设该公司一年内生产该材料万吨且全部售完，总销售收入为（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式：.（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测） (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大?并求出最大利润. 22．若函数的定义域为，且，以为边长的三角形总存在，则称函数为“三角形函数”．现有函数（25-26高一上·四川德阳·期末） (1)当时，求不等式的解集； (2)求函数在内的最值； (3)若函数为“三角形函数”，求实数的取值范围． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·分层作业系列 3.4 函数的应用（一）（分层作业，3层22题）（解析版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 层级 定位 题量 建议用时 A 基础达标 人人必做：本节基本概念、基本方法的直接应用 10题 约45分钟 B 能力提升 建议完成：知识的综合运用与常见题型变化 8题 约55分钟 C 拓展创新 学有余力选做：综合性、创新性较强的问题 4题 约50分钟 A 基础达标（人人必做） 本层共10题，建议用时约45分钟 一、单选题（共3小题） 1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是（　　）（26-27高一上·全国·课后作业） A．一次函数 B．二次函数 C．分段函数 D．无法确定 【答案】C 【详解】A.一次函数图象是一条完整的直线，A错误， B.二次函数图象是一条抛物线，B错误， 此图象由若干段斜率不一样的线段组成，不同时间段有不同的对应法则， 由分段函数定义可知，C正确. 2．某商场“国庆节”期间搞促销活动，规定：如果顾客购物的总金额不超过500元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过500元，那么超过500元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按下表计算．（25-26高一上·广西钦州·期末） 享受折扣的购物金额 折扣优惠 超过500元不超过1000元的部分 10％ 超过1000元的部分 20％ 王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，则王先生购物实际付款（    ）． A．1270元 B．1440元 C．1350元 D．1250元 【答案】A 【分析】设顾客购物总金额为元，求出购物优惠金额的函数关系，再由给定条件求得答案. 【详解】设顾客购物总金额为元，购物实际付款为元， 当时，； 当时，，优惠金额； 当时，， 优惠金额为， 而王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，，因此， 解得，所以王先生购物实际付款（元）. 故选：A 3．某农业公司年初用98万元购进一辆大型农业多用途收割机，已知该收割机累计使用年所需的各种费用（单位：万元）与使用时间n（，单位：年）之间的函数关系式为，该收割机每年的总收入为50万元．问该收割机第几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有使用费用为正值）（    ）．（25-26高一上·北京延庆·期末） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由题意得，即，求解不等式估算即可. 【详解】由题意有：，即， 所以，解得， ，可得， 所以该收割机第3年开始盈利， 故选：B. 二、填空题（共1小题） 4．为积极响应国家“双碳”战略，推动重点领域节能降碳，某地区对年碳排放量超过一定规模的企业实行“基准配额与超额阶梯购买”相结合的管理机制．根据该地区2025年碳排放权交易实施细则，某中型数据中心的年度碳排放配额及超额购买价格标准如下表所示：（25-26高一上·广西崇左·期末） 年度碳排放量区间 收费标准 不超过24000吨 0元／吨（使用免费基准配额） 超过24000吨但不超过36000吨的部分 65元／吨（按市场均价购买） 超过36000吨的部分 90元／吨（惩罚性溢价） 若该数据中心受业务增长驱动，近期月均碳排放量稳定在2600吨，不考虑绿电使用抵扣及其他政策性减免，则该数据中心当年需支付的碳排放配额的购买费用为______元． 【答案】 【分析】算出年度碳排放量，然后结合收费标准计算即可. 【详解】由题知，该数据中心年度碳排放量为， 因为， 所以该数据中心当年需支付的碳排放配额的购买费用为元. 故答案为： 三、解答题（共6小题） 5．最近南京某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，南京卫健委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为50万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），，每件工具售价为50元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完，写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（2026高一·全国·专题练习） 【答案】 【分析】分和两种情况，由题意得到函数解析式； 【详解】当时， ， 当时， ， 故 6．在精准扶贫中，某村的李师傅在县政府的扶持下，去年下半年，他对家里的个温室大棚进行修整改造，然后，个大棚种植香瓜，另外个大棚种植甜瓜，今年上半年喜获丰收，现在他家的甜瓜和香瓜已全部售完，他高兴地说：“我的日子终于好了”.最近，李师傅在扶贫工作者的指导下，计划在农业合作社承包个大棚，以后就用个大棚继续种植香瓜和甜瓜，他根据种植经验及今年上半年的市场情况，打算下半年种植时，两个品种同时种，一个大棚只种一个品种的瓜，并预测明年两种瓜的产量、销售价格及成本如下：（26-27高一上·天津南开·开学考试） 品种项目 产量（斤/每棚） 销售价（元/每斤） 成本（元/每棚） 香瓜 甜瓜 现假设李师傅今年下半年香瓜种植的大棚数为个，明年上半年个大棚中所产的瓜全部售完后，获得的利润为元.根据以上提供的信息，请你解答下列问题： (1)求出与之间的函数关系式； (2)求出李师傅种植的个大棚中，香瓜至少种植几个大棚？才能使获得的利润不低于万元. 【答案】(1)（且） (2)香瓜至少种植个大棚 【分析】（1）根据题意，直接表示所获利润即可得到函数解析式； （2）根据函数值范围，直接求解自变量范围即可得到结果. 【详解】（1）由题知， ，且. （2）由（1）知，， 令，解得， 又且， 所以香瓜至少种植个大棚，才能使获得的利润不低于万元. 7．为帮助尚有90万元无息贷款没有偿还的某小微企业尽快脱贫，当地市政府继续为其提供30万元无息贷款，用以购买某种生产设备.已知该设备每生产1万件产品需再投入4万元的生产资料费，已知一年内生产该产品万件的销售收入为万元，且，该企业在经营过程中每月还要支付给职工每月3万元的最低工资保障.（25-26高一上·江西上饶·期末） (1)写出该企业的年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？并求出企业最早在几年后能偿还所有贷款？ 【答案】(1) (2)年产量为9万件时，企业获得的年利润最大，为24万元；该企业最早5年后能偿还所有贷款 【分析】（1）年利润等于销售收入减去生产成本与职工工资，并分情况讨论，由此可求年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （2）分情况考虑年利润，结合二次函数与基本不等式即可求得年利润的最大值，并以此值根据题意建立不等式，即可求得企业最早在几年后能偿还所有贷款. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以. （2）由（1）得当时，， 所以当时，该企业获得的利润最大，为14万元， 当时，， 当且仅当时，该企业获得的利润最大，为24万元， 故年产量为9万件时，企业获得年利润最大，为24万元， 由题意设最早年后还清所有贷款，则有，解得， 所以该企业最早5年后还清贷款. 8．某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量．（25-26高三·全国·一轮复习） (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出投入成本，出厂价，年销售量，利用年利润公式求解即可. （2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加得到，计算得解. 【详解】（1）投入成本为，出厂价为，年销售量为， 则， 整理得． （2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有， 即，解得， 所以投入成本增加的比例应在范围内． 9．某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元．设备使用年后，该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为万元．（26-27高一上·陕西商洛·阶段检测） (1)求关于的表达式． (2)求该设备的年平均盈利额的最大值，以及此时使用年数．（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数） 【答案】(1) (2) 年平均盈利额的最大值为22万元，此时使用年数为7年 【分析】（1）根据已知写出总收入和总成本，作差即可得盈利总额的表达式； （2）根据题意得到平均盈利额，应用基本不等式求其最大值并确定对应使用年数. 【详解】（1）由题意，设备使用年后的总收入为万元， 总成本包括购买设备的费用和总维修保养费用，即万元， 所以，化简得， 因为为设备使用的年数，所以， 因此，关于的表达式为； （2）设该设备的年平均盈利额为万元，则，​ 因为，得到， 因为，可得， 当且仅当时，等号成立， 因为，所以等号可以取到，此时的最大值万元， 所以该设备的年平均盈利额的最大值为22万元，此时使用年数为7年. 10．随着人们对交通安全的认识不断提高，骑电动车必须戴头盔，所以头盔已成为人们日常生活中不可或缺的物品．某商人将进货单价为8元的某种头盔按10元一个销售时，每天可卖出100个．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种头盔销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值．（26-27高一上·全国·课堂例题） 【答案】当售价定为14元时，可使每天所赚的利润最大，最大利润为360元． 【分析】根据给定条件，求出利润与售价的函数关系，再利用二次函数性质求出最大值. 【详解】设每个提价元（，），利润为元． 每天销售总额为元， 进货总额元，显然，即， 因此 ，当且仅当时取等号， 此时销售单价应为14元，最大利润为360元， 所以当售价定为14元时，可使每天所赚的利润最大，最大利润为360元． B 能力提升（建议完成） 本层共8题，建议用时约55分钟 一、多选题（共1小题） 11．已知函数，下列说法正确的是（    ）（24-25高一上·福建厦门·期中） A． B．函数的值域为 C．函数的单调递增区间为 D．若方程有三个不等实根，则实数t的取值范围是 【答案】ABD 【分析】根据函数解析式代值计算即可判断A；根据分段函数解析式，分别求得值域，求并集即可判断B；画出函数图象即可判断CD． 【详解】A选项，，A选项正确； B选项，当时，； 当时，，当且仅当时等号成立， 所以函数的值域为，B选项正确； C选项，由图象可知，函数的单调递增区间为，所以C选项错误； D选项，由图可知，若有三个不等实根，则直线与图象有三个不同交点，由数形结合得，当时符合，故D选项正确． 二、填空题（共1小题） 12．已知，则函数的最小值为_______________．（25-26高二下·天津静海·阶段检测） 【答案】11 【详解】令， 由，得，且． 将代入中， 可得， 因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立． 此时，则，满足题设条件， 故函数的最小值为11． 三、解答题（共6小题） 13．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成），售出商品数量就增加成．要求售价不能低于成本价．（25-26高三·全国·一轮复习） (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围． 【答案】(1)，定义域为 (2) 【分析】（1）求出售价降低成后每件售价的价钱，销售量增加成后售出商品的数量，列出关于的函数，利用售价不能低于成本价得到的不等式，从而得到函数的定义域. （2）列出关于的不等式，计算得解. 【详解】（1）售价降低成后，每件售价为元， 销售量增加成后售出商品的数量为件， 则． 因为售价不能低于成本价，所以． 所以，定义域为． （2）由题意得，化简得， 解得，所以的取值范围是． 14．某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）分别满足，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）.（25-26高一上·山西忻州·期末） (1)求的表达式； (2)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)甲投入万元，乙投入 万元时，利润最大是 万元 【分析】（1）根据题意，分情况列出关系式，写成分段函数形式即可； （2）分情况求出各段的最大值，利用换元法结合二次函数的性质、基本不等式计算最值并比较即可. 【详解】（1）甲产品的投入为（单位：万元），则乙产品的投入为（单位：万元）， 则乙产品的利润 当时，， 所以， 当时，， 所以， 综上所述，. （2）当时，令，则，， 则， 当时，函数有最大值， 即当时，函数有最大值. 当时， ， 当且仅当，即 因为. 所以当甲投入万元，乙投入 万元时，才能使总利润最大，最大利润是 万元. 15．某公司为了节约成本，新设了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似表示为：.（25-26高一上·上海静安·期末） (1)设，求月处理量x的取值范围，使得月处理成本不超过30000元； (2)该项目月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低? 【答案】(1) (2)110吨 【分析】（1）根据自变量范围和分段函数解析式，列出不等式，求出结果即可； （2）根据分段函数解析式，写出每吨的平均处理成本解析式，进而根据二次函数性质和基本不等式，求出最小值即可. 【详解】（1）由题意可得,月处理成本不超过30000元， 即为，解得， 可得月处理量x的取值范围为； （2）由题意可得每吨的平均处理成本为， 当时，， 当时，取得最小值； 当时， ， 当且仅当，即时取等号，取得最小值； 综上，当月处理量为110吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 16．某企业为紧抓新能源发展带来的历史机遇，决定开发一款锂电池生产设备．生产此设备的年固定成本为280万元，且每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足40台时，（万元）；当年产量不少于40台时，（万元）．现该企业将每台设备的售价定为60万元，且生产的锂电池设备能全部售完．（25-26高一上·上海·阶段检测） (1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式； (2)年产量为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)当年产量时，企业获利最大，最大值为 【分析】（1）根据题意，分别求得，和时的函数关系式，进而得到答案； （2）由（1）中的函数关系式，结合二次函数的性质，以及基本不等式，分别求得最大值，即可求解. 【详解】（1）时，； 时，. 即 （2），，时取得最大值； ， 因为，所以 当且仅当时，即时取得等号. 综上：当年产量时，企业获利最大，最大值为. 17．鱼灯是黄山市传统民俗工艺品，深受广大游客喜爱.某厂家欲生产一款鱼灯，经过市场调研发现，生产该款鱼灯需投入固定成本10万元，每生产万盏鱼灯另需投入变动成本万元.若这款鱼灯的售价为80元／盏，且该厂家2026年生产的万盏鱼灯均能售完.（25-26高一上·安徽黄山·期末） (1)求该厂家2026年利润（单位：万元）的函数解析式； (2)求该厂家2026年产量为多少万盏时所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)6万盏时所获年利润最大，最大年利润是110万元 【分析】（1）根据题设条件，求解分段函数的表达式即可； （2）利用二次函数和基本不等式求分段函数在各段的最大值，比较大小，即可求解. 【详解】（1）由题意知，鱼灯的售价为80元／盏，则2026年生产的万盏鱼灯售万元， 当时， ， 当时， ， 所以，. （2）当时时，， 所以时，取到最大值108. 当时，， 当且仅当时，取到最大值110. 综上可得：该厂家2026年的产量为6万盏时，所获年利润最大，最大年利润是110万元. 18．中国队的熊猫受到了各国友人的喜爱，造成了一难求的局面，通过市场分析，对熊猫而言，某企业每生产（万件）获利（万元），且满足，2024年8月该企业计划引进新的生产设备和新的产品方案优化产品，优化后的产品的其他成本总投入为万元.由市场调查分析得知，当前熊猫供不应求.记该企业2024的8月优化后的产品的利润为（单位：万元）.（25-26高一上·宁夏银川·期末） (1)求函数的解析式； (2)当2024年8月优化后的产品产量为多少万件时，该企业8月的利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 【答案】(1) (2)当2024年8月优化后的产品产量为万件时，该企业8月的利润最大，最大利润是万元 【分析】（1）由题意得，代入化简即可； （2）分别求出和时的最大值，将其比较即可得到答案. 【详解】（1）由题意得， 又， 所以. （2）当时，， 在上单调递减，在上单调递增，图象对称轴为， 则当时，取得最大值； 当时， ， 当且仅当，即时，取得最大值. 因为，所以的最大值为， 故当2024年8月优化后的产品产量为万件时，该企业8月的利润最大，最大利润是万元． C 拓展创新（学有余力选做） 本层共4题，建议用时约50分钟 一、解答题（共4小题） 19．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买台机器人的总成本万元.（25-26高一上·上海·期末） (1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？ (2)现购买台智能机器人，需要安排人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验可得，每台机器人的日平均分拣量（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为件，当机器人日平均分拣量达最大值时，若完成这些分拣任务，求所需要的传统的人工数量. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由总成本，得到平均成本，再利用基本不等式，求解即可. （2）引进台机器人后，求得分段函数的最大值，再除以，求解即可. 【详解】（1）购买台机器人的总成本万元， 每台机器人的平均成本， 当且仅当，即时，等号成立， 所以若使每台机器人的平均成本最低，应买台． （2）， 当时，， 当时，的最大值为件； 当时，件. 台机器人每日的总分拣量为件，完成这些分拣任务所需要的传统人工数为人. 20．国产电影《哪吒2之魔童闹海》斩获2025年全球票房榜第一名.某企业借此契机推出一款“哪吒纪念玩偶”，前期研发与模具等固定成本为80（万元），每生产（万个）还需投入生产成本万元，且据测算，若该款玩偶年产量为万个每个售价50元且全部售完.（25-26高一上·江西景德镇·期末） (1)求出利润（万元）关于年产量万个的函数解析式； (2)当产量至少为多少个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本； (3)当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)当产量至少为16162个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本 (3)当产量达到30万个时，该公司所获得的利润最大，最大利润为545万元 【分析】（1）根据利润等于销售收入减去固定成本再减去生产成本，分段求出的解析式即可得解； （2）由题意可知要收回成本，须满足，求解不等式，比较得到使不等式成立的的最小值即可得解； （3）分、和三种情况，结合函数单调性和基本不等式求出的最大值，再比较即可得解. 【详解】（1）由题意可知：总销售额为万元，总成本为万元，利润， 故当时，； 当时，； 当时，. 综上所述：利润G（万元）关于年产量x万个的函数解析式为. （2）由题意可知：要收回成本，须满足， 当时，则，解得， 且，所以当产量至少为16162个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本. （3）当时，则在内单调递增， 所以在内的最大值为； 当时，则， 因为的图象开口向下，对称轴为， 可知在内单调递增，所以在内的最大值为； 当时，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以在内的最大值为； 且，所以当产量达到30万个时，该公司所获得的利润最大，最大利润为545万元. 21．在环保科技展览会上，某公司推出了一种新型环保材料供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场.已知该种材料年固定研发成本为50万元，每生产一吨需另投入90元.设该公司一年内生产该材料万吨且全部售完，总销售收入为（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式：.（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测） (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大?并求出最大利润. 【答案】(1) (2)当年产量为万吨时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为1600万元. 【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式，（2）分别求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论． 【详解】（1）由， 可得， （2）当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元， 时，， ，，， 由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，万元， ， 当年产量为万吨时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为1600万元. 22．若函数的定义域为，且，以为边长的三角形总存在，则称函数为“三角形函数”．现有函数（25-26高一上·四川德阳·期末） (1)当时，求不等式的解集； (2)求函数在内的最值； (3)若函数为“三角形函数”，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 当时，； 当时，无最小值，； 当时，无最大值，． (3) 【分析】（1）代入参数解一元二次不等式，利用分母恒大于零的性质，去分母简化运算即可； （2）先将分式函数变形，再利用均值不等式，并结合参数进行分类讨论，从而确定函数的值域与最值； （3）将“三角形函数”的条件转化为“两倍最小值大于最大值”，结合第（2）问的最值结论，分情况求解参数的范围． 【详解】（1）当时，由于， 所以， 从而不等式的解集为． （2）变形得． 当时，； 当时，由于，所以， 当且仅当即时取等号， ①当时，， 从而，即无最小值，当且仅当时，； ②当时，， 从而，即无最大值，当且仅当时，． （3）当时，，符合题意； 当时，要使得函数为“三角形函数”，则，即， 所以； 当时，要使得函数为“三角形函数”，则，即， 所以． 综上，实数的取值范围为． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $