3.2.2 第1课时 函数的基本性质-函数的奇偶性同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2　函数的基本性质 3.2.2　奇偶性 第1课时　函数的奇偶性 一、概念自检 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）. （1）函数 f(x) 的定义域是 R，且 f(-1)=f(1)，f(-2)=f(2)，f(-3)=f(3)，则 f(x) 是偶函数. （2）函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且 f(4)=-5，则 f(-4)=5. （3）若 f(x) 是偶函数，则必有 f(x)=f(-x)=f(|x|). 【答案】（1）×　（2）√　（3）√ 【详解】（1）解析：所给关系式只对个别自变量成立，不满足任意性；（2）解析：因为 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，所以 f(-4)=-f(4)=5；（3）偶函数满足 f(-x)=f(x)，且 -x 与 x 同在定义域内，故 f(x)=f(|x|) 恒成立. 2.若函数 y=f(x)，（a>-2）是奇函数，则 a=（　　） A．-2 B．0 C．2 D．无法确定 【答案】C 【详解】解析：因为奇函数的定义域关于原点对称，所以 -2+a=0，即 a=2. 二、知识点自测 知识点1 函数奇偶性的判断 1.下列函数是奇函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，因为 f(x)=x²+2 的定义域为 R，且 f(-x)=(-x)²+2=x²+2=f(x)，所以 f(x)=x²+2 为偶函数；对于B，因为 f(x)=x³+1 的定义域为 R，且 f(-x)=(-x)³+1=-x³+1≠-f(x)，所以 f(x)=x³+1 不是奇函数；对于C，因为 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，且 ，所以 为奇函数；对于D，因为 f(x)=x⁴+3x² 的定义域为 R，且 f(-x)=(-x)⁴+3(-x)²=x⁴+3x²=f(x)，所以 f(x)=x⁴+3x² 为偶函数.故选C. 2.下列函数是偶函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，定义域为[-1,1)，不关于原点对称，故选项A不符合题意；对于B，定义域为[-1,+∞)，不关于原点对称，故选项B不符合题意；对于C，定义域为 R，且 f(-x)=3(-x)²-1=3x²-1=f(x)，是偶函数，故选项C符合题意；对于D，定义域为 R，且 f(-x)=(-x)⁵=-x⁵=-f(x)，是奇函数，故选项D不符合题意.故选C. 3.（多选）设函数 f(x)，g(x) 的定义域都为 R，且 f(x) 是奇函数，g(x) 是偶函数，则下列结论中正确的是（　　） A．f(x)g(x)是奇函数 B．|f(x)|g(x)是偶函数 C．f(x)+g(x)是偶函数 D．|f(x)g(x)|是偶函数 【答案】ABD 【详解】对于A，f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)，是奇函数，正确；对于B，|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x)，是偶函数，正确；对于C，f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)，既不恒等于 f(x)+g(x)，也不恒等于 -[f(x)+g(x)]，故 f(x)+g(x) 一般是非奇非偶函数，错误；对于D，|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|，是偶函数，正确.故选ABD. 知识点2 奇、偶函数图象的应用 1.已知函数 y=f(x) 是定义在 R 上的偶函数，且当 x≤0 时，f(x)=x²+4x.现已画出函数 f(x) 在 y 轴左侧的图象，如图所示. （1）请补全函数 y=f(x) 的图象； （2）根据图象写出函数 y=f(x) 的单调递增区间； （3）根据图象写出使 f(x)<0 的 x 的取值集合. 【答案】（1）如图　（2）单调递增区间为(-2,0)和(2,+∞)　（3） 【详解】（1）解：由偶函数的图象关于 y 轴对称，补全函数 y=f(x) 的图象如图所示. （2）由图可知，函数 y=f(x) 的单调递增区间为(-2,0)和(2,+∞). （3）由图可知，使 f(x)<0 的 x 的取值集合为 . 2.已知函数 y=f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x≤0 时，f(x)=x²+4x.现已画出函数 f(x) 在 y 轴左侧的图象，如图所示. （1）作出函数 y=f(x) 的图象； （2）写出函数 y=f(x) 的单调递增区间； （3）写出使 f(x)<0 的 x 的取值集合. 【答案】（1）如图　（2）(-2,2)　（3） 【详解】（1）提示：由奇函数的图象关于原点对称，作出函数 y=f(x) 的图象如图所示. （2）提示：由图可知，函数 y=f(x) 的单调递增区间为(-2,2). （3）提示：由图可知，使 f(x)<0 的 x 的取值集合为 . 3.已知奇函数 y=f(x) 的定义域为[-4,4]，且在区间[0,4]上的图象如图所示. （1）画出 y=f(x) 在区间[-4,0]上的图象； （2）写出使 f(x)<0 的 x 的取值范围. 【答案】（1）如图　（2）(-1,0)∪(1,4) 【详解】（1）解：因为函数 y=f(x) 是奇函数，所以 y=f(x) 在[-4,4]上的图象关于原点对称.由 y=f(x) 在[0,4]上的图象，可知它在[-4,0]上的图象如图所示. （2）由图象可知，使 f(x)<0 的 x 的取值范围为(-1,0)∪(1,4). 知识点3 利用函数的奇偶性求值 1.已知函数 y=f(x) 在 R 上是奇函数，且当 x>0 时，f(x)=x²-4x，则 f(-1)=（　　） A．-3 B．3 C．0 D．±3 【答案】B 【详解】f(1)=1²-4=-3，又 f(x) 在 R 上是奇函数，故 f(-1)=-f(1)=3.故选B. 2.若函数 f(x)=x²+ax+1 是定义在(1-b,2b)上的偶函数，则 =（　　） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】因为函数 f(x)=x²+ax+1 是定义在(1-b,2b)上的偶函数， 所以 1-b+2b=0 且 f(-x)=x²-ax+1=x²+ax+1=f(x)，则 所以 f(x)=x²+1，则 .故选B. 3.设函数 为奇函数，则实数 a=（　　） A．1 B．-1 C．0 D．2 【答案】A 【详解】（方法一）根据题意知，函数 为奇函数，则有 f(x)+f(-x)=0， 整理可得 2(a-1)x²=0，则有 a=1. （方法二）因为 f(x) 是奇函数，所以 f(-1)=-f(1)，即 -1+(a-1)-a=-(1+a-1+a)，即 -2=-2a，解得 a=1.经检验，此时 f(x) 是奇函数.所以 a=1.故选A. 4.已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时，.若 f(1)=2，则 f(-2)=（　　） A．7 B．-7 C．-6 D．6 【答案】B 【详解】解析：因为 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，所以 f(1)=4-a=2，得 a=2.故当 x>0 时，，则 f(-2)=-f(2)=-（8-1）=-7.故选B. 5.若函数 f(x)=x²+(a-3)x+2 为偶函数， 为奇函数，则 a+b 的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解析：因为函数 f(x)=x²+(a-3)x+2 为偶函数，所以 a=3. 因为 为奇函数，且定义域为 R，所以 ，b=1， 所以 a+b=4.故选C. 三、课后练习 A组 夯实基础 1.（多选）下列函数中，是奇函数的是（　　） A．y=x-1 B． C．y=x|x| D． 【答案】CD 【详解】对于A，令 f(x)=x-1，其定义域为 R，因为 f(-x)=-x+1，所以 f(-x)≠-f(x)，且当 x≠0 时，f(-x)≠f(x)，所以 f(x) 是非奇非偶函数，故选项A不符合题意；对于B，令 f(x)=-2x²，其定义域为 R，因为 ，f(-x)=-2(-x)²=-2x²=f(x)，所以 f(x) 是偶函数，故选项B不符合题意；对于C，令 f(x)=x|x|，其定义域为 R，因为 ，f(-x)=-x|x|=-f(x)，所以 f(x) 是奇函数，故选项C符合题意；对于D，令 ，其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，且 ，，所以 f(x) 是奇函数，故选项D符合题意.故选CD. 2.已知函数 f(x)=(x-3)²+kx 是偶函数，则 k=（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【详解】解析：由 f(x)=(x-3)²+kx 是偶函数，得 f(x)=x²+(k-6)x+9，满足二次函数图象的对称轴 ，解得 k=6.故选A. 3.已知 f(x)=(x-2)²，下列函数中为偶函数的是（　　） A．f(x)+2 B．f(x)-2 C．f(x+2) D．f(x-2) 【答案】C 【详解】对于A，f(x)+2=(x-2)²+2=x²-4x+6，不是偶函数，故选项A不符合题意；对于B，f(x)-2=(x-2)²-2=x²-4x+2，不是偶函数，故选项B不符合题意；对于C，f(x+2)=(x+2-2)²=x²，为偶函数，故选项C符合题意；对于D，f(x-2)=(x-2-2)²=(x-4)²，不是偶函数，故选项D不符合题意.故选C. 4.若函数 f(x)=ax²+bx+2a+b 是偶函数，定义域为[a-1,3a]，则 a=____，b=____. 【答案】1/4　0 【详解】解析：因为 f(x) 是偶函数，所以 a-1=-3a，解得 a=1/4.又函数 为偶函数，结合偶函数图象的特点，易得 b=0. 5.函数 f(x)=x⁴+|x| 的图象关于____对称. 【答案】y 轴 【详解】解析：因为 x∈R，且 f(-x)=(-x)⁴+|-x|=x⁴+|x|=f(x)，所以 f(x) 为偶函数，图象关于 y 轴对称. B组 能力提升 1.下列函数中，为偶函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A中，函数定义域是 {x|x≠-1}，不关于原点对称，函数为非奇非偶函数；选项B中，函数定义域是(-∞,+∞)，，是偶函数；选项C中，函数定义域是 {1}，函数为非奇非偶函数；选项D中，函数定义域是 {x|x≠0}，，函数是奇函数.故选B. 2.已知奇函数 f(x) 的定义域为 R，且当 x<-2 时，；当 0<x≤2 时，f(x)=x²-1，则 f(3)+f(0)+f(-1)=（　　） A．6 B．8 C．-6 D．-8 【答案】A 【详解】解析：因为 f(x) 是定义域为 R 的奇函数，所以 f(0)=0，，f(-1)=-f(1)=-(1²-1)=0， 所以 f(3)+f(0)+f(-1)=6.故选A. 3.函数 的图象大致为（　　） 【答案】A 【详解】解析：函数 f(x) 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，又 ，所以函数 f(x) 为奇函数，其图象关于原点对称，排除B；当 x>0 时，，且在(0,1]上单调递减，在[1,+∞)上单调递增，图象在第一象限先降后升且有最小值2，排除C、D.故选A. 4.已知函数 f(x)=ax⁵-bx+3，若 f(-1)=7，则 f(1)=____. 【答案】-1 【详解】解析：设 g(x)=ax⁵-bx，则 g(x) 的定义域为 R，且 g(-x)=-g(x)，所以 g(x) 为奇函数.由 f(-1)=7，得 g(-1)=4，所以 g(1)=-4，从而 f(1)=g(1)+3=-1. 5.已知函数 是奇函数，且 f(1)=4，f(2)=7，求 a，b，c 的值. 【答案】a=5，b=3/2，c=0 【详解】解：因为函数 是奇函数，所以 f(-x)=-f(x). 所以 -bx+c=-(bx+c)，即 c=-c，解得 c=0. 所以 . 因为 ，所以 a+1=4b①. 因为 ，所以 4a+1=14b②. 联立①②，得 故 a=5，b=3/2，c=0. C组 思考题 若 ，则 3x+y=（　　） A．1 B．0 C．2 D．-1 【答案】B 【详解】解析：构造函数. 由 ， 可得. 由于 的定义域为 R， 且有， 故 是奇函数，所以. 又易得 为 上的单调递增函数，故 ，所以.故选B 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2　函数的基本性质 3.2.2　奇偶性 第1课时　函数的奇偶性 一、概念自检 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）. （1）函数 的定义域是 ，且 ，，，则 是偶函数. （2）函数 是定义在 R 上的奇函数，且 ，则. （3）若 是偶函数，则必有 . A．-2 B．0 C．2 D．无法确定 二、知识点自测 知识点1 函数奇偶性的判断 1.下列函数是奇函数的是（　　） A． B． C． D． 2.下列函数是偶函数的是（　　） A． B． C． D． 3.（多选）设函数 的定义域都为 R，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结论中正确的是（　　） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是偶函数 D．是偶函数 知识点2 奇、偶函数图象的应用 1.已知函数) 是定义在 R 上的偶函数，且当时，.现已画出函数 在 y 轴左侧的图象，如图所示. （1）请补全函数 的图象； （2）根据图象写出函数 的单调递增区间； （3）根据图象写出使 的 的取值集合. 2.已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时，现已画出函数在 轴左侧的图象，如图所示. （1）作出函数 的图象； （2）写出函数 的单调递增区间； （3）写出使 的 x 的取值集合. 3.已知奇函数 的定义域为，且在区间上的图象如图所示. （1）画出 在区间[-4,0]上的图象； （2）写出使 的 x 的取值范围. 知识点3 利用函数的奇偶性求值 1.已知函数 在 R 上是奇函数，且当 时，，则（　　） A．-3 B．3 C．0 D．±3 2.若函数 是定义在上的偶函数，则 =（　　） A． B． C． D． 3.设函数 为奇函数，则实数 a=（　　） A．1 B．-1 C．0 D．2 4.已知 是定义在 上的奇函数，当 时，.若 ，则 （　　） A．7 B．-7 C．-6 D．6 5.若函数 为偶函数， 为奇函数，则 a+b 的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 三、课后练习 A组 夯实基础 1.（多选）下列函数中，是奇函数的是（　　） A． B． C． D． 2.已知函数 是偶函数，则 （　　） A．6 B．5 C．4 D．3 3.已知 ，下列函数中为偶函数的是（　　） A． B． C． D． 4.若函数 是偶函数，定义域为，则 a=____，b=____. 5.函数的图象关于____对称. B组 能力提升 1.下列函数中，为偶函数的是（　　） A． B． C． D． 2.已知奇函数 f(x) 的定义域为 R，且当 时，；当时，，则 （　　） A．6 B．8 C．-6 D．-8 3.函数 的图象大致为（　　） 4.已知函数 若 ，则____. 5.已知函数 是奇函数，且，求 的值. C组 思考题 若 ，则=（　　） A．1 B．0 C．2 D．-1 学科网（北京）股份有限公司 $