3.2.2 第2课时 函数的基本性质-函数奇偶性的应用同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2　函数的基本性质 3.2.2　奇偶性 第2课时　函数的奇偶性的应用 一、知识点自测 知识点1 分段函数、抽象函数的奇偶性的判断 1.已知函数，若对于任意实数 都有，则不恒为0的函数 （　　） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数 【答案】A 【详解】解析：令，则 ，所以 再令则 .所以，且定义域关于原点对称，所以是奇函数. 2.如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解析：因为是奇函数，所以.令 . 对于A，)，由于，所以 y=x²+f(x) 既不是奇函数也不是偶函数； 对于B，，所以 是偶函数； 对于C，，所以 是奇函数； 对于D，，所以 是奇函数.故选B. 3.判断函数 的奇偶性. 【答案】奇函数 【详解】（方法一：图象法） 的定义域为，画出函数 的图象如图所示.由图知函数 是奇函数. （方法二：定义法） 的定义域为. ①当 时，，所以； ②当 时，，所以； ③当时，，，所以 . 由①②③可知，当 时，都有 ，所以 为奇函数. 知识点2 利用函数的奇偶性求解析式 1.（1）若 是定义在 上的偶函数，当 时，，则当 时，____. （2）设 是偶函数， 是奇函数，且 ，求函数 的解析式. 【答案】（1）　（2）， 【详解】（1）解析：当 时，.由于是定义在上的偶函数，故，所以当 时， （2）解：因为 是偶函数 是奇函数，所以. 2.在1(1)中，若把“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，你能求出 的解析式吗？ 提示：当时，，.由于 是奇函数，故 ，所以当 时，. 又因为 是定义在 R 上的奇函数，所以. 故 . 3.在2(2)中，若把“ 是偶函数， 是奇函数”改为“ 是奇函数， 是偶函数”，还能求出 的解析式吗？ 提示：能.因为 是奇函数， 是偶函数，所以 . 4.已知函数是偶函数，它在上的图象如图所示，则它在上的解析式为____. 【答案】 【详解】解析：由题意知 在上的图象为一条线段，且过点.设 ，代入解得 ，所以 . 5.已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，，则当 时，（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解析：因为函数 是定义在上的奇函数，当 时，.当 时，则 ， 所以 .故选C. 知识点2 函数的单调性与奇偶性的综合应用 1.（1）已知定义在 上的奇函数 在上单调递增，若，则实数 a 的取值范围是____. （2）定义在上的偶函数 在上单调递减，若，则实数的取值范围是____. 【答案】（1）　（2） 【详解】（1）解析：由题意可知，函数 是 R 上的增函数，所以，即. （2）解析：因为 是定义在上的偶函数，且在上单调递减，因此 ，等价于，所以 由 得 ，即，.结合 得 ，又 ， 解得 .所以实数 的取值范围是. 2.设偶函数 的定义域为，当 时， 单调递增，则 ，， 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解析：由于 为偶函数，故 ，.由于 时， 单调递增，且 ，因此 .故选A. 3.已知函数 在定义域上既是奇函数又是减函数，，则实数 的取值范围是____. 【答案】 【详解】解析：由 ，得. 因为在定义域上是奇函数，所以. 又 在上单调递减，所以 解得 ，，， 所以.所以 的取值范围是. 二、课后练习 A组 夯实基础 1.下列函数是偶函数，且在区间上单调递减的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，令，则 ，是偶函数，且在区间上单调递减，故选项A正确； 对于B，令，则，是偶函数，但在区间(0,+∞)上单调递增，故选项B错误； 对于C，令 ，则 ，是非奇非偶函数， 故选项C错误；对于D，令 ，则 ，是非奇非偶函数，故选项D错误.故选A. 2.已知是奇函数，且在区间上单调递增，则 ，， 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解析：因为函数 为奇函数，且在区间上单调递增，所以 在 上单调递增，所以 .故选. 3.（多选）已知函数 是定义在 R 上的奇函数，则下列说法正确的有（　　） A． B．若 在上有最小值-3，则在有最大值3 C．若 在上单调递增，则 在上单调递减 D． 【答案】AB 【详解】对于A，因为是定义在 R 上的奇函数，所以 ，故A正确；对于B，若 f(x) 在上有最小值-3，即当 时，，所以当 时，，所以 ，因为 为奇函数，所以，即 在上有最大值3，故B正确；对于C，根据奇函数在对称区域内的单调性一致，可知若 在上单调递增，则 在上也单调递增，故C错误；对于D，，故D错误.故选AB. 4.已知函数对一切实数 x 都满足，且当 时，，则 ____. 【答案】 【详解】解析：函数 对一切实数 x 都满足，所以 . 设 ，则 又因为，即 ，所以， 所以 . 5.已知 是定义在 R 上的奇函数，且.当 时，. （1）求 的值； （2）求函数 在 上的解析式； （3）解方程. 【答案】（1）　（2）　（3）{，} 【详解】（1）解： 是定义在 上的奇函数，，解得 . （2）当 时， 是定义在 上的奇函数，则当 时，，则 时也满足， 所以 . （3）f(x)=-6，即 或 解得或 或 ， B组 能力提升 1.已知函数 是奇函数，则 （　　） A．-2025 B．0 C．2025 D．4050 【答案】B 【详解】解析：当时，， 此时 ，. 因为函数 为奇函数，所以 ，所以， 即，则，所以 .故选B. 2.已知定义在上的偶函数 在上为减函数，且 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解析：因为 为定义在上的偶函数，且，可得 ，且 在上为减函数，则，解得，所以实数 的取值范围是.故选C. 3.数学课上老师引导学生复习函数的性质，让三个学生分别说出某个函数的一个性质.第一个学生说 是偶函数，第二个学生说 ) 在上单调递增，第三个学生说 在上有最小值2.同时满足前面三个学生所说性质的一个函数是____. 【答案】（答案不唯一） 【详解】解析：因为函数是偶函数，且在上单调递增，最小值为，所以把函数 的图象向上平移2个单位长度即可满足题意最小值为2. 所以 同时满足前面三个学生所说性质.故答案为：（答案不唯一）. C组 思考题 （多选）已知函数 的定义域是，对任意实数 都有 ，且，则（　　） A． B． C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】AD 【详解】解析：令，则， 所以 ，故选项A正确. 令，则 ，所以， 即 ，故选项B错误. 赋 为 ， 为，则， 即 ， 所以 . 若 ，则 ，与 不符，所以，于是 ，即，所以 为偶函数，故选项C错误，选项D正确.故选AD. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2　函数的基本性质 3.2.2　奇偶性 第2课时　函数的奇偶性的应用 一、知识点自测 知识点1 分段函数、抽象函数的奇偶性的判断 1.已知函数，若对于任意实数 都有，则不恒为0的函数 （　　） A．是奇函数 B．是偶函数 2.如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（　　） A． B． C． D． 3.判断函数 的奇偶性. 知识点2 利用函数的奇偶性求解析式 1.（1）若 是定义在 上的偶函数，当 时，，则当 时，____. （2）设 是偶函数， 是奇函数，且 ，求函数 的解析式. 2.在1(1)中，若把“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，你能求出 的解析式吗？ 3.在2(2)中，若把“ 是偶函数， 是奇函数”改为“ 是奇函数， 是偶函数”，还能求出 的解析式吗？ 4.已知函数是偶函数，它在上的图象如图所示，则它在上的解析式为____. 5.已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，，则当 时，（　　） 知识点2 函数的单调性与奇偶性的综合应用 1.（1）已知定义在 上的奇函数 在上单调递增，若，则实数 a 的取值范围是____. （2）定义在上的偶函数 在上单调递减，若，则实数的取值范围是____. 2.设偶函数 的定义域为，当 时， 单调递增，则 ，， 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 3.已知函数 在定义域上既是奇函数又是减函数，，则实数 的取值范围是____. 二、课后练习 A组 夯实基础 1.下列函数是偶函数，且在区间上单调递减的是（　　） A． B． C． D． 2.已知是奇函数，且在区间上单调递增，则 ，， 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 3.（多选）已知函数 是定义在 R 上的奇函数，则下列说法正确的有（　　） A． B．若 在上有最小值-3，则在有最大值3 C．若 在上单调递增，则 在上单调递减 D． 4.已知函数对一切实数 x 都满足，且当 时，，则 ____. 5.已知 是定义在 R 上的奇函数，且.当 时，. （1）求 的值； （2）求函数 在 上的解析式； （3）解方程. B组 能力提升 1.已知函数 是奇函数，则 （　　） A．-2025 B．0 C．2025 D．4050 2.已知定义在上的偶函数 在上为减函数，且 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3.数学课上老师引导学生复习函数的性质，让三个学生分别说出某个函数的一个性质.第一个学生说 是偶函数，第二个学生说 ) 在上单调递增，第三个学生说 在 C组 思考题 （多选）已知函数 的定义域是，对任意实数 都有 ，且，则（　　） A． B． C．为奇函数 D．为偶函数 学科网（北京）股份有限公司 $