第3章 代数式 单元复习（10大知识点+12大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年苏科版七年级数学上册
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精品
内容正文：
第3章 代数式
知识点1：用含字母的式子表示数
1.用字母或含有字母的式子表示数和数量关系，可以为学习和研究带来极大方便。
2.书写规则：字母与字母相乘时，""号通常省略不写或写成""；字母与数相乘时，数通常写在字母的前面；带分数与字母相乘时通常化带分数为假分数；字母与字母相除时要写成分数形式；式子为几个数的和或差的形式且结果带单位时，式子整体加括号。
知识点2：代数式的概念
1.定义：用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式；单独的一个数或字母也是代数式，如0、都是代数式。
2.代数式的意义：根据生活实际，将给定代数式的意义用语言叙述出来，就是把代数式的字母及运算符号赋予具体的含义。
知识点3：列代数式
1.定义：把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来叫做列代数式，关键是正确理解数量关系和运算顺序。
2.注意：正确把握"和、差、积、商、倍、分、多、少"等关键词；理清运算顺序，先读的先算，注意"的"字的层次和括号的使用。
知识点4：代数式的值
1.定义：用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值，这个过程叫做求代数式的值。
2.求值的步骤（代入和计算两步）：第一步用数值代替代数式里的字母，其他运算符号、数字及运算顺序都不改变；第二步按照代数式中给出的运算计算出结果，代入的值不同，结果也可能不同。
知识点5：单项式
1.定义：如果一个代数式是数或字母的积，那么这个代数式叫做单项式；单独的一个数或一个字母也是单项式。
2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，对于一个非零的数，规定它的次数为0。
知识点6：多项式
1.定义：几个单项式的和叫做多项式；在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，一个多项式含有几项就叫几项式。
2.多项式的次数：多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式按某一字母的指数从大到小排列叫做降幂排列，反之叫做升幂排列。
知识点7：整式
1.定义：单项式与多项式统称整式。
2.判断方法：单项式不含加减运算，多项式必含加减运算；多项式是几个单项式的和；单项式和多项式都是整式，分母中含有字母的都不是整式。
知识点8：同类项与合并同类项
1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项；几个常数项也是同类项。
2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，合并后所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变。
知识点9：去括号与添括号
1.去括号法则：括号外的乘数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来相同；括号外的乘数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来相反；依据是分配律。
2.多层括号的去法：一般由内向外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号；添括号时，括号前是""号各项不变号，是""号各项都变号。
知识点10：整式的加减
1.运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。
2.化简求值步骤：一般先去括号、合并同类项，再代入字母的值进行计算，简记为"一化、二代、三计算"。
【基础必考题型】
【题型1】代数式的概念与书写规范
1.核心知识点
代数式的定义；代数式的书写规则；代数式与等式、不等式的区别
2.解题方法技巧
① 判断代数式：用运算符号连接数或字母的式子，单独的数或字母也是代数式，等式、不等式不是代数式
② 书写规范：数在前字母在后，乘号省略，带分数化假分数，除法写成分数形式，带单位的和差式子加括号
③ 逐一检查式子是否符合书写要求，注意系数、乘号、单位等细节
【例题1】.（25-26七年级上·广东茂名·阶段检测）下列式子不是代数式的是（ ）
A． B． C．2025 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了代数式的定义，代数式是由数字、字母和运算符号组成的表达式，单独的一个数或一个字母也是代数式，不包含等号或不等号，据此可得答案．
【详解】解：根据代数式的定义可知，只有式子不是代数式，
故选：B．
【变式题1-1】.（25-26六年级上·上海·期末）下列代数式中符合书写要求的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了代数式的规范书写要求，解决本题的关键是熟练掌握代数式的规范书写．
代数式的规范书写要求包括数字系数的写法、除法的表示等，由此判断选项即可．
【详解】解：代数式书写要求数字系数省略1，避免带分数，除法用分数形式，
选项A中的1不应写出，不符合；
选项B中是带分数形式，应化为假分数，不符合；
选项C中使用除号，应写成分数形式，不符合；
选项D中符合规范．
故选：D．
【变式题1-2】.（25-26七年级上·山东临沂·期中）下列各式中，代数式的个数是（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥a
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】本题考查了代数式的概念，代数式是由数字、字母和运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）组成的数学表达式，不能包含等号或不等号．
根据代数式的概念求解即可．
【详解】解：①是常数，属于代数式；
②含有等号，是等式，不是代数式；
③由数字、字母和运算符号组成，是代数式；
④是分式，由数字、字母和运算符号组成，是代数式；
⑤由数字、字母和运算符号组成，是代数式；
⑥是字母，属于代数式，
∴ 代数式的个数为5，
故选：A．
【变式题1-3】.（25-26七年级上·江苏无锡·期中）下列各式中，符合代数式书写规则的有（ ）个．
，，，，，，，米
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】依据代数式书写规则，逐一判断每个式子是否符合规范．本题主要考查了代数式的书写规则，熟练掌握“数字与字母相乘省略乘号、除法写成分数形式、带分数化为假分数”是解题的关键．
【详解】解：：符合（数字在前，乘号省略）；
：不符合（含乘号）；
：符合（乘号省略）；
：符合（单独的数是代数式）；
：不符合（带分数未化为假分数）；
：不符合（含除号）；
：符合（除法写成分数形式）；
米：不符合（含单位）．
故符合规则的有4个．
故选：C．
【题型2】代数式的意义
1.核心知识点
代数式的语言叙述；代数式的实际意义；数量关系的理解
2.解题方法技巧
① 叙述意义时按运算顺序叙述，注意"的"字的层次和先读先算原则
② 实际意义：给字母赋予实际含义（如单价、数量、速度、时间），解释代数式的含义
③ 同一代数式可有多种合理表述，只要符合数量关系即可；注意关键词与运算的对应
【例题2】.（25-26七年级上·河北衡水·期末）代数式的意义可以是（ ）
A．2026与的和 B．2026与的积
C．2026与的差 D．2026与的商
【答案】B
【分析】本题考查代数式的意义，明确数字与字母相乘时省略乘号的表示方法对应的运算，即可求解．
【详解】解：代数式的意义可以是2026与的积，
故选：B．
【变式题2-1】.（25-26七年级上·河北邯郸·期末）代数式的意义为（ ）
A．与的差的平方 B．与的平方差
C．与的平方的差 D．的平方与的差
【答案】C
【分析】本题考查代数式表示的意义，表示y的平方，表示x减去y的平方，据此可得答案．
【详解】解：表示y的平方，表示x减去y的平方，即x与y的平方的差．
故选：C．
【变式题2-2】.（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）代数式的意义是（ ）
A．与的和 B．与的差 C．与的积 D．与的商
【答案】C
【分析】本题考查代数式的意义；
依据代数式的书写规则判断其代表的运算关系即可．
【详解】解：∵数字与字母相乘时，乘号可省略不写，
∴表示与的积，
故选：C．
【变式题2-3】.（25-26七年级上·黑龙江七台河·期中）下列说法：①a是代数式，1不是代数式；②表示数a，b，的积的代数式是；③代数式的意义是a与4的差除以b的商；④a，b两数平方的差与两数的积的4倍的和用代数式表示是，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查代数式的定义、书写规范及含义的理解，逐一判断各说法的正确性．
【详解】∵ 代数式是由数字、字母和运算符号组成的式子，单独的数字或字母也是代数式，
∴ 说法①中“a是代数式”正确，但“1不是代数式”错误，故①错误；
∵ 带分数在代数式中应化为假分数，应写为，
∴ 表示a，b，的积的代数式应为，而非，故②错误；
∵ 代数式的运算顺序是先求差再求商，
∴ 其含义是a与4的差除以b的商，故③正确；
∵ “两数平方的差”指，“两数的积的4倍”指，
∴ 它们的和应为，而，
两者不等，故④错误．
故选：A．
【题型3】列代数式
1.核心知识点
列代数式的方法；数量关系分析；运算顺序的把握；字母表示规律
2.解题方法技巧
① 抓住关键词：和、差、积、商、倍、分、多、少、增加、减少等
② 理清运算顺序，"的"字分层，先读的先算，注意括号的使用
③ 实际问题：理清数量关系，如路程=速度×时间、总价=单价×数量等，建立数学模型
④ 规律问题：从特殊到一般，观察变化规律，用含字母的式子表示，代入特殊值验证
【例题3】.（26-27七年级上·云南·期中）买一个篮球需要m元，买一个排球需要n元，则买1个篮球和2个排球共需_______元．
【答案】/
【分析】根据题意得，1个篮球需要m元，2个排球需要元，则共需元．
【详解】解：买1个篮球和2个排球共需要元．
【变式题3-1】.（26-27七年级上·云南·期中）某商品的进价为元，先按进价的倍标价后又降价元出售，现在的售价是（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】D
【详解】解：根据题意得，商品现在的售价为元．
【变式题3-2】.（26-27七年级上·新疆喀什·开学考试）小花家造房子，买进水泥m吨，预计每天用0.8吨，用了n天，余下多少吨．算式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用买进水泥的数量减去用掉的数量即为余下的数量．
【详解】解：已用水泥吨数为吨，余下水泥吨数为吨．
【变式题3-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）填空：
（1）配制浓度为的盐水需要盐_______；
（2）某同学军训期间打靶成绩为10环、8环、8环、7环、a环，则他的平均成绩为________环；
（3）甲以、乙以 的速度同时同地出发，同向行走，后他们之间的距离是________；
（4）一枚古币的正面是一个半径为的圆形，中间有一个边长为的正方形孔，则这枚古币正面的面积为________．
【答案】
【分析】（1）根据溶质＝溶液×浓度列出式子即可；
（2）将5次打靶成绩之和除以5即可；
（3）将两人的速度差乘以时间即可；
（4）将圆形的面积减去正方形孔的面积即可．
【详解】解：（1）配制浓度为的盐水需要盐；
（2）他的平均成绩为（环）；
（3）后他们之间的距离是；
（4）这枚古币正面的面积为．
【题型4】整式及整式有关的概念
1.核心知识点
单项式的系数与次数；多项式的项与次数；整式的概念辨析；升降幂排列
2.解题方法技巧
① 单项式的系数是数字因数（含符号），是常数不是字母
② 单项式的次数是所有字母的指数和，不包括数字的指数
③ 多项式的次数是次数最高的项的次数，不是所有项的次数和
④ 判断多项式项数和次数时，先分清各项再求最高次，注意常数项与系数符号
【例题4】.（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列式子中：，，，，，整式有______个．
【答案】/四
【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握单项式和多项式的定义是解题的关键．根据整式的定义，判断所给式子是否为整式，从而确定整式的个数．
【详解】解：：分母含有字母，是分式，不是整式；
：单独的一个字母，是单项式，属于整式；
：字母的乘积，是单项式，属于整式；
：两个单项式的和，是多项式，属于整式；
：三个单项式的和，是多项式，属于整式；
故答案为：．
【变式题4-1】.（25-26七年级上·河南鹤壁·期中）将下列各式的序号填入相应的大括号中：
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧．
单项式：{ …}；
多项式：{ …}；
三次多项式：{ …}；
整式：{ …}．
【答案】
单项式：{①⑤⑧…}；
多项式：{②③⑦…}；
三次多项式：{⑦…}；
整式：{①②③⑤⑦⑧…}．
【分析】本题考查了单项式、多项式、三次多项式和整式的定义进行判断；单项式是由数字或字母的积组成的代数式，单独的一个数或字母也是单项式；多项式是几个单项式的和；三次多项式是多项式中最高次项的次数为3；整式是单项式和多项式的统称，据此求解即可．
【详解】略
【变式题4-2】.（25-26七年级上·河南郑州·期中）下列关于单项式和多项式的说法中，正确的是（ ）
A．单项式的系数是，次数是4
B．单项式的次数是1，没有系数
C．多项式 是二次三项式
D．与是同类项
【答案】C
【详解】解：A、单项式的系数是，次数是，原说法错误；
B、单项式的系数是，次数是，原说法错误；
C、多项式的最高次项次数为，共个项，是二次三项式，说法正确；
D、与的相同字母指数不对应相等，不是同类项，原说法错误．
【变式题4-3】.（2026七年级上·全国·专题练习）填表：
多项式
次数
项数
项
表内（按行）依次填入_________，_________，_________，_________，_________，_________，_________，_________，_________．
【答案】 2 2 3 2 3 2 ， ，， ，
【分析】多项式的次数：多项式里次数最高项的次数；项数：多项式中单项式的个数；项：组成多项式的每一个单项式，要带上前面符号．逐个分析每一个多项式，找出最高次项得到多项式次数，数出单项式个数得到项数，再写出全部的项．
【详解】解：：最高次项是，次数为，共有项，故次数为，项数为，项为，；
：最高次项是，次数为，共有项，故次数为，项数为，项为，，；
：的次数是，的次数是，最高次数为，共有项，故次数为，项数为，项为，．
【题型5】同类项与合并同类项
1.核心知识点
同类项的定义；合并同类项的法则；合并同类项的步骤
2.解题方法技巧
① 判断同类项：两相同（所含字母相同、相同字母指数相同），与系数无关，几个常数项也是同类项
② 合并同类项：系数相加，字母和字母的指数不变，即"一加两不变"
③ 合并步骤：一找（找同类项）、二移（移项带符号）、三并、四写；不是同类项的照抄
【例题5】.（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）下列各选项中，两项是同类项的是（ ）
A．和 B．和
C．4和 D．和
【答案】D
【详解】解：A、与，所含字母不同，不是同类项，不符合题意；
B、与相同字母的指数不同，不是同类项，不符合题意；
C、与所含字母不同，不是同类项，不符合题意；
D、与所含字母相同，且相同字母的指数均相同，是同类项，符合题意．
【变式题5-1】.（25-26七年级下·北京·阶段检测）如果单项式与是同类项那么等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查同类项的定义，根据同类项中所含字母相同，且相同字母的指数相等列出一元一次方程，求解即可得到的值．
【详解】解：∵单项式与是同类项，同类项要求所含字母相同，且相同字母的指数相等，
∴两个单项式中的指数均为，的指数相等，
∴可列方程，移项、合并同类项得，解得．
【变式题5-2】.（26-27七年级上·天津·期中）合并同类项：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
=；
（2）解：
=
=．
【变式题5-3】.（2026七年级上·全国·专题练习）先合并同类项，再求式子的值： ，其中．
【答案】；
【分析】根据合并同类项的法则进行化简，然后再代值求解即可．
【详解】解：原式 ，
当时，则原式 ．
【培优高频题型】
【题型6】去括号与添括号
1.核心知识点
去括号法则；添括号法则；分配律的应用；多层括号的去法
2.解题方法技巧
① 去括号：括号前是""号各项不变号，是""号各项都变号
② 括号前有数字因数时，用分配律乘括号内的每一项，不要漏乘
③ 多层括号由内向外，先去小括号再去中括号最后去大括号
④ 添括号：括号前是""号各项不变号，是""号各项都变号，可用特殊值检验
【例题6】.（25-26七年级下·河南南阳·期末）解方程，去括号正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用乘法分配律计算，括号前是负号时，去括号后括号内各项要改变符号，据此即可判断正确结果．
【详解】解：∵ 对原方程去括号，需将乘括号内的每一项，
∴ 乘得，乘得，
因此去括号后结果为．
【变式题6-1】.（25-26六年级上·山东烟台·期末）在（ ）中，括号内应填的代数式为_________．
【答案】
【分析】本题考查去括号，添括号．
根据去括号和添括号法则，即可求解．
【详解】解：
．
故答案为：．
【变式题6-2】.（25-26六年级上·山东淄博·期末）下列各式中，添括号或去括号正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了去括号与添括号的法则，按照去括号或添括号的法则进行即可．
【详解】解：A、，故添括号错误；
B、，故添括号错误；
C、，故去括号错误；
D、，故去括号正确．
故选：D．
【变式题6-3】.（25-26七年级上·江苏扬州·期末）化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是整式的加减运算，掌握去括号，合并同类项的法则是解本题的关键；
（1）先去括号，再合并同类项即可；
（2）先去括号，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【题型7】整式的加减运算与化简求值
1.核心知识点
整式加减的运算法则；化简求值的步骤；运算律的应用
2.解题方法技巧
① 整式加减实质：去括号、合并同类项
② 化简求值：先化简（去括号、合并同类项），再代入求值，计算更简便
③ 注意符号：去括号和移项时特别注意符号变化，避免漏项或变号错误
④ 整体思想：将某个代数式看作整体进行运算，可简化复杂计算
【例题7】.（26-27七年级上·安徽·期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】先去括号，再合并同类项，得到化简的结果，再把，代入计算即可．
【详解】解： ；
当，时，
原式．
【变式题7-1】.（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）先化简，再求值：，其中，满足．
【答案】，．
【分析】先去括号，然后合并同类项可得化简结果，再根据绝对值的非负性求，的值，最后代值求解即可．
【详解】解：
；
∵，
∴，，
当，时，
原式
．
【变式题7-2】.（26-27七年级上·安徽·期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】本题考查了整式的加减化简求值，先利用去括号和合并同类项法则进行化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式 ，
当，时，原式 ．
【变式题7-3】.（26-27七年级上·安徽·期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】；10
【分析】先去括号，再合并同类项，得到最简表达式后代入数值计算．
【详解】解：原式．
当，时，原式．
【题型8】整体代入法求代数式的值
1.核心知识点
整体思想；代数式的变形；整体代入求值
2.解题方法技巧
① 观察已知式与所求式的关系，寻找共同的整体部分
② 对已知式变形得到需要的整体，或对所求式变形使之能用已知整体表示
③ 将已知整体的值代入变形后的代数式计算，注意代数式的恒等变形
④ 注意：整体代入时确保整体的值已知或可求，有时需先求整体再代入
【例题8】.（25-26七年级上·湖南湘西·期中）已知，则的值是________．
【答案】
【详解】解：∵，
∴
．
【变式题8-1】.（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若互为相反数，互为倒数，是最大的负整数，则的值为（ ）
A．0 B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】根据相反数与倒数的意义得到、的值，结合m的取值代入代数式计算．
【详解】解：∵a，b互为相反数，
∴，
∵c，d互为倒数，
∴，
∵m是最大的负整数，
∴，
∴．
【变式题8-2】.（25-26七年级上·四川宜宾·期中）若，则的值是（ ）
A．5 B．1 C． D．
【答案】D
【详解】解：∵ ，
∴ ．
【变式题8-3】.（2026·四川成都·三模）代数式的值为8，则代数式的值为________．
【答案】
【分析】先根据已知代数式的值得到的值.再将所求代数式变形后整体代入计算即可．
【详解】解：由题意得：
移项得：
对所求代数式变形得：，
将代入得．
【题型9】几何图形中求代数式的值
1.核心知识点
用代数式表示几何量；图形的分割与面积；整式加减的应用
2.解题方法技巧
① 用含字母的代数式表示几何图形的边长、面积、周长
② 利用图形的割补关系列代数式，如阴影面积=大图形面积-空白面积
③ 代入具体数值求值，检验是否符合几何意义，边长、面积取正值
【例题9】.（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，大长方形的长为m，宽为n，将6个完全相同的小长方形如图所示放置（不重叠无缝隙），那么图中的阴影部分的周长之和是_______ ．
【答案】
【分析】本题考查整式的加减法，熟练掌握整式的加减法运算法则，根据图形求周长是解题的关键．
设长方形的长为a，宽为b，根据图形求阴影部分的周长即可．
【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b，
∴阴影的周长，
故答案为：．
【变式题9-1】.（25-26七年级上·陕西安康·期末）对联是中华传统文化的瑰宝，由上联、下联和横批三部分组成．如图①，上联（阴影部分）装裱后，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为侧边，一般情况下，天头长是上联长的，地头长是天头长的，侧边宽是天头长的，左、右的侧边宽相等．如图②，若上联长为，宽为．
(1)上联装裱后的天头长为_________，地头长为________，侧边宽为________；
(2)求上联装裱后的周长（用含，的代数式表示），并求出当时，上联装裱后的周长．
【答案】(1)
(2)当时，上联装裱后的周长为
【分析】本题考查整式加减的应用，关键是正确地列代数式；
（1）根据“天头长是上联长的，地头长是天头长的，侧边宽是天头长的”列代数式即可；
（2）列代数式表示出装裱后的长和宽，再求周长即可；
【详解】（1）解：∵天头长是上联长的，地头长是天头长的，侧边宽是天头长的，
∴天头长为，地头长为：，侧边宽为：，
故答案为：；
（2）解：上联装裱后的长为：，
上联装裱后的宽为：，
∴上联装裱后的周长为：．
当时，，
答：当时，上联装裱后的周长为．
【变式题9-2】.（25-26八年级上·广东阳江·期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪裁并拼接成一个长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了整式加减的应用，根据题意得出长方形的长和宽，进而即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意得，拼成的长方形的长为，宽为，
∴拼成的长方形的面积是，
故选：．
【变式题9-3】.（25-26六年级上·山东威海·期末）某公园的一块长为米，宽为米长方形空地造型如图所示，其中，阴影部分(两个扇形和一个半圆，它们的半径相等)种花，其余部分种草．种花的费用为每平方米元，种草的费用为每平方米元．
(1)种花的面积是______平方米，种草的面积是______平方米；(用含有，，的式子表示)
(2)若米，米时，美化这块空地共需多少元？(取)
【答案】(1)；()；
(2)元
【分析】本题考查列代数式及代数式求值，涉及长方形和圆的面积计算，关键是通过图形拼接将分散的阴影部分转化为规则图形，简化面积计算．
（1）阴影部分是由两个半径为的四分之一扇形和一个半径为的半圆，据此求出种花面积；再用长方形面积减去种花面积得到种草面积．
（2）先根据种花和种草的单价列出总费用的代数式，再代入已知数值计算总费用．
【详解】（1）解：由题意得，两个扇形和半圆的半径均为，扇形是圆心角为的四分之一圆，
∴两个扇形面积和为；半圆面积为；
∴种花的面积为（平方米）；
∵长方形空地的面积为（平方米），
∴种草的面积为（平方米）；
故答案为：；．
（2）解：美化空地的总费用；
当，，时，原式(元)；
答：美化这块空地共需元．
【题型10】整式加减中的无关项问题
1.核心知识点
合并同类项；无关项的意义；系数为0的条件；参数求解
2.解题方法技巧
① 无关项含义：代数式值与某个字母无关，说明该字母的系数为0
② 步骤：先化简合并同类项，再令无关字母的系数为0，解方程求参数
③ 常见题型：不含某项、与某字母无关、结果为常数等，注意先化简再判断
【例题10】.（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知两个多项式A，B，其中，的结果为．
(1)求多项式A；
(2)求多项式；
(3)若多项式的值与x的取值无关，求y的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了整式加减运算与无关型问题，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则，准确计算．
（1）根据题意代入计算求解即可；
（2）根据题意直接代入计算即可；
（3）根据的值与的取值无关时，x的系数为0，即可求出y的值．
【详解】（1）解：∵，的结果为，
∴
；
（2）解：
；
（3）解： ，
∵多项式的值与x的取值无关，
∴，
解得：．
【变式题10-1】.（25-26七年级上·江苏泰州·期末）已知，，为多项式，，，，其中，，为非零常数，．
(1)当时，
①，，，求W的值；
②，，，求、的值；
(2)若W的值与x无关，且，求m的值．
【答案】(1)①；②，
(2)
【分析】本题考查整式的化简和求值，掌握整式的化简的步骤是解题的关键．
（1）①根据题意，化简即可求解； ②根据题意，先计算，再根据，即得，求解即可；
（2）化简，根据题意，可得一次项系数和常数项都为零，计算即可求解．
【详解】（1）解：当时，
①当，，时，
；
即；
② ，，
，，
则 ，
，
，
解得，
则；
（2）
与x无关， ，即，
，
，即，
，即，
，
．
【变式题10-2】.（2025七年级上·湖北·专题练习）甲、乙两种型号长方体纸盒，尺寸如下（单位：）：
纸盒
长
宽
高
甲型
乙型
(1)做甲、乙两种型号的封闭长方体纸盒各一个分别用料多少平方厘米？（用含x、y、z的式子表示）
(2)做4个甲型长方体纸盒的用料为，做3个乙型长方体纸盒的用料为，当时，比较S1与S2的大小；
(3)若各做一个甲、乙两种型号长方体纸盒的用料之差与长方体纸盒的宽的大小无关，试探究x与z之间的数量关系．
【答案】(1)甲型封闭纸盒的用料为；做一个乙型封闭纸盒的用料为；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了列代数式、长方体的表面积，关键是掌握长方体表面积公式．
（1）根据长方体的表面积公式列式即可；
（2）算出、，相减，代入，结果是否大于0，决定与的大小；
（3）将甲、乙两种型号长方体纸盒的用料的差化简，由于与宽的大小无关，所以，即求得与的数量关系．
【详解】（1）解：做一个甲型封闭纸盒的用料为；
做一个乙型封闭纸盒的用料为；
（2）解：，
，
，
当时，，
．
（3）做一个甲、乙两种型号长方体纸盒的用料之差为：
，
该差与宽无关，即与无关，
故令，得．
【变式题10-3】.（25-26七年级上·福建福州·期中）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，学习以上内容解决问题：
(1)若数轴上A、B两点表示的数分别为x、1，若A、B两点之间的距离为5，那么x的值为______；
(2)若数轴上A、B两点表示的数分别为x、y．
①的最小值为______；
②且x为整数，求的最大值；
(3)若数轴上A、B两点表示的数分别为x、y，O为原点，当，时，动点P、Q分别从点A、点B出发，动点R从原点O同时出发，均沿着数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，点R速度为每秒个单位长度．记点P与点R之间的距离为，点A与点Q之间的距离为，点O与点R之间的距离为，设运动时间为t秒，请问，是否存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出n的值和这个定值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)或；
(2)①；②；
(3)不存在n的值，使得在运动过程中的值是定值．
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式求解即可；
（2）①表示数到和的距离之和，当数在和之间时，有最小值，即可求解；
②由①可知，当时，的最小值为，同理可得，当时，的最小值为，再分两种情况讨论：若，则，此时，求出的值，再代入计算最大值；若，则，不符合题意，即可得解；
（3）设运动时间为t秒，由题意可知，动点P、Q、R表示的数分别为、，，则，，再分两种情况求解：当时，点在点右侧，此时；当时，点在点左侧，此时，分别代入合并化简，再结合题意求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：或，
故答案为：或；
（2）解：①表示数到和的距离之和，
当时，有最小值，最小值为，
故答案为：；
②由①可知，当时，的最小值为，
同理可得，当时，的最小值为，
，且x为整数，
若，则，此时，
的最小值为，
或，
当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
此时，的最大值为；
若，则，不符合题意，
综上可知，的最大值为；
（3）解：存在n的值，使得在运动过程中的值是定值，
设运动时间为t秒，
由题意可知，动点P、Q、R表示的数分别为、，，
，，
当时，点在点右侧，此时，
，
的值是定值，
，
解得：，
对于所有，不成立，不符合题意；
当时，点在点左侧，此时，
，
的值是定值，
，
解得：，
当，时，不成立，舍去，
综上可知，不存在n的值，使得在运动过程中的值是定值．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离公式，绝对值的几何意义，数轴上的动点问题，整式的无关型问题等，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．
【压轴素养题型】
【题型11】整式加减的实际应用
1.核心知识点
列代数式；整式的加减运算；实际问题中的数量关系；数学建模思想
2.解题方法技巧
① 理解题意，弄清数量关系和已知条件，用字母表示未知量
② 列出相关的代数式，根据问题要求进行整式的加减运算、化简结果
③ 代入具体数值求值，检验结果是否符合实际意义
④ 生活情境：分段计费、方案比较、增长率等，注意各段单价与取值范围的对应
【例题11】.（24-25七年级上·江苏淮安·期中）某超市在中秋期间进行优惠促销活动，规定一次性购物优惠方案：根据优惠方案解决下列问题：
消费金额
少于200元
高于200元但低于400元
400元或超过400元
优惠办法
不予优惠
九折优惠
其中400元部分给予九折优惠，超过400元部分给予八折优惠
(1)王老师一次性购物300元，她实际付款__________元；
(2)王老师在该超市一次性购物元，她实际付款多少元？（用含的代数式表示）
(3)如果王老师两次购物货款合计800元，第一次购物的货款为元，用含的代数式表示王老师两次购物实际付款多少元？
【答案】(1)270
(2)
(3)
【分析】本题考查了列代数式，分析题意并列出代数式是解题关键．
（1）300元处于中间档次，按九折计算即可；
（2）处于第三档，根据对应的优惠办法列代数式计算；
（3）分析出第二次购物的货款不超过400元，第一次购物的钱数高于400元，再分两段求出二次购物的钱数，再相加即可．
【详解】（1）解：由题得，，
∴她实际付款270元；
故答案为：270；
（2）解：由题得，，
∴她实际付款元；
（3）解：∵第一次购物的货款为元，
∴第二次购物的货款为元，，享受9折优惠，
∴王老师两次购物实际付款元．
【变式题11-1】.（25-26七年级上·湖北荆州·期末）敦煌莫高窟是世界文化遗产，其壁画修复工程需要精确计算材料用量．某洞窟有一面壁画墙，因年代久远，墙面需分层修复：最内层为核心修复区，面积为m平方米，每平方米修复费用为30元；中间层为加固区，面积比核心修复区多6平方米，需涂两层保护涂料，每平方米每层费用为50元；最外层为覆盖区，面积是中间层面积的3倍，需覆盖透明防护膜，每平方米费用为60元．一位参与修复的学者触景生情，吟咏道：“大漠石窟岁月深，壁画修复需匠心．核心面积定为基，中层加六护其心．外层三倍覆其上，总面积数可厘清．试问匠心巧运处，十五平方米需多少元？”
(1)最外层需要覆盖防护膜的面积为 平方米，需修复的总面积为 平方米．（用含m的式子表示）
(2)请解答诗中最后提出的问题：“试问匠心巧运处，十五平方米需多少元？”即时，完成全部修复需多少钱？
【答案】(1)；
(2)6330元．
【分析】（1）根据题意，用含m的代数式表示出最外层需要覆盖防护膜的面积，进一步表示出需修复的总面积即可；
（2）根据题意，求出完成全部修复需要的费用即可．
【详解】解：（1）由题知，
中间区域的面积为平方米，最外层的面积为平方米，
则需修复的总面积为：平方米．
故答案为：；
（2）当时，
核心区域的面积为15平方米，中间层的面积为21平方米，最外层的面积为63平方米，
所以完成全部修复需要的费用为：（元）．
【变式题11-2】.（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）甲、乙两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50千米/时，水流速度是a千米/时（其中）．
(1)两船相距多远?（结果化为最简）
(2)后甲船比乙船多航行多少千米?（结果化为最简）
【答案】(1)200千米
(2)千米
【分析】本题考查了整式的加减的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键．
（1）先表示出顺水航速和逆水航速，再列式计算即可得解；
（2）根据题意列式计算即可得解．
【详解】（1）解：顺水航速船速水速，
逆水航速船速水速．
由．可知，后两船相距．
（2）解：由．可知，后甲船比乙船多航行．
【变式题11-3】.（25-26七年级上·四川达州·期末）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地面：
(1)观察图形，填写下表：
图形
（1）
（2）
（3）
…
黑色瓷砖的块数
4
7
…
黑白两种瓷砖的总块数
15
25
…
(2)依上推测，第n个图形中黑色瓷砖的块数为________；黑白两种瓷砖的总块数为________（用含n的代数式表示）
(3)白色瓷砖的块数可能比黑色瓷砖的块数多3020块吗？若能，求出是第几个图形；若不能，请说明理由．
【答案】(1)10，35
(2)，
(3)
解：不能，
理由：假设白色瓷砖的块数比黑色瓷砖的块数多3020块，则可得：
，即，
解得：
∵n为整数，
∴假设不成立，故不能．
【分析】本题考查了图形的变化规律．
（1）观察图形可得出第三个图形的黑色瓷砖数量和黑白两种瓷砖数量的总数；
（2）通过观察图形找出黑色瓷砖块数、黑白瓷砖总块数的规律即可列出代数式；
（3）结合（2）的代数式列出方程，求解方程判断是否为整数，若为整数，则能，否则不能．
【详解】（1）解：由图形（3）可知，黑色瓷砖的块数为10，白色瓷砖的块数为25，
∴黑白两种瓷砖的总块数为，
故答案为：10，35．
（2）解：根据表格中的信息可得出：第n个图形中黑色瓷砖的块数为，黑白两种瓷砖的总块数为，
故答案为：，．
（3）略
【题型12】新定义运算与阅读理解
1.核心知识点
新定义运算的理解；整式的运算；阅读理解与知识迁移能力
2.解题方法技巧
① 读懂新定义，圈出限定条件，理解新运算的规则和运算顺序
② 将新定义转化为熟悉的整式加减运算，严格按照定义计算
③ 遵循常规运算顺序与括号规则，勿凭固有经验代替题干条件
④ 可先代入特殊值验证对定义的理解是否正确
【例题12】.（26-27七年级上·广西崇左·阶段检测）定义一种新运算，观察下列等式：
(1)请你想一想：________；
(2)若，请计算的值．（新定义）
【答案】(1)；
(2)6
【分析】（1）观察给出的新运算实例，对比运算前后的数字变化，归纳新运算的通用表达式，找到⊙前后的数与运算结果中各项的对应关系．
（2）先根据第一问得到的新运算规则，将展开，整理得到与的数量关系．再将按照新运算规则展开化简，代入上述与的数量关系计算结果．
【详解】（1）解： ；
（2）解：∵，
∴，
，
．
【变式题12-1】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）若一个四位正整数M的十位数字比个位数字大1，百位数字是千位数字与个位数字的平均数，则称这样的数为千丝数．把千丝数M的四个数字按从小到大的顺序从左到右进行排列后得到的新数叫作千丝数M的万缕数，例如：2598，其十位数字，百位数字，所以2598是千丝数，2589就是千丝数2598的万缕数，对于千丝数M，定义：．
(1)判断：4376________千丝数；7787________千丝数．（填“是”或者“不是”）
(2)请证明：任意一个千丝数与它的个位数字的6倍之差能被5整除．
【答案】(1)不是；是
(2)证明：设任意一个千丝数的个位数字是，千位数字是（不能为，且为偶数）．
根据千丝数的定义：十位数字是，百位数字是．
这个千丝数M可以表示为：
千丝数与它的个位数字的6倍之差为：
∴
所以能被5整除．
即任意一个千丝数与它的个位数字的6倍之差能被5整除．
【分析】（1）根据千丝数的定义，分别验证所给数的十位数字是否比个位数字大1，以及百位数字是否等于千位数字与个位数字的平均数．
（2）利用用字母表示数的方法，设个位数字和千位数字分别为未知数，根据定义表示出十位和百位数字，进而表示出这个四位数的值．通过代数运算计算该数与个位数字6倍的差，最后根据能被5整除的数的特征进行判断．
【详解】（1）解：对于4376：
个位数字是，十位数字是，，符合条件：十位数字比个位数字大1；
千位数字是4，个位数字是6，千位与个位数字的平均数是；
百位数字是3，，不符合条件：百位数字是千位数字与个位数字的平均数．
所以不是千丝数．
对于7787：
个位数字是，十位数字是，，符合条件：十位数字比个位数字大1；
千位数字是，个位数字是，它们的平均数是；
百位数字是，，符合条件：百位数字是千位数字与个位数字的平均数．
所以是千丝数．
（2）略
【点睛】①千丝数需要同时满足两个判定条件；②各数位数字的取值范围：千位数字是1到9的整数，个位、十位、百位数字是0到9的整数．③证明整除时，需将代数式整理为5与某个整数的乘积形式，确保变形过程的严谨性．
【变式题12-2】.（25-26七年级下·山西·期中）下面是小明关于“完美积式”的研究性学习报告的一部分，请认真阅读并完成相应的任务．
概念理解：
如果一个多项式可以写成两个一次二项式的乘积，即的形式，其中a、b、c、d均为整数，且，，则称这个多项式为“完美积式”．
例如，，因此是一个“完美积式”．
特例构造：
根据定义，可从整数a、b、c、d入手，构造“完美积式”，思路如下：
当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为1的“完美积式”，如；
当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为2的“完美积式”，如；
当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为6的“完美积式”，
以此类推…
规律剖析：
在特例构造的过程中可以发现，对于“完美积式”：，其系数之间存在特定的关系．
设二次项系数，一次项系数，常数项．
则，且是完全平方数（一个整数的平方）．因此，“完美积式”的判别式一定是完全平方数．
反过来，对于一个二次三项式，如果是完全平方数，且存在整数分解，那么它就可以表示为两个一次二项式的乘积，即为“完美积式”．
根据以上材料，回答下列问题：
(1)当，，b、d互为相反数时，请写出一个符合要求的完美积式：______；
(2)下列二次三项式中，是“完美积式”的是（ ）；
A． B． C． D．
(3)若二次三项式是“完美积式”，且k为正整数，则k的所有可能值的和为_____．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)B
(3)
【分析】（1）根据题意不妨取即可；
（2）根据“完美积式”的判定为一个整数的平方，逐项判断即可；
（3）根据题意可知要为一个整数的平方，再列举即可．
【详解】（1）解：，，b、d互为相反数,
，即，
则“完美积式”式为，
不妨取，则“完美积式”为；
（2）解：对于A，，不是一个整数的平方，故A不符合；
对于B，，故B正确；
对于C，，不是一个整数的平方，故C不符合题意；
对于D，，故D不符合题意；
（3）解：，
要为一个整数的平方，且k为正整数，
，解得（负值已舍去），
，解得（负值已舍去），
，解得（负值已舍去），
故k的所有可能值的和为．
【变式题12-3】.（25-26七年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考
如图是年月份的日历，乐乐在其中画出一个的方框（阴影框），框住九个数，计算其中如图所示位置的四个数“”的值，探索其运算结果的规律．
(1)初步分析：计算图中的结果为 ．
将的方框移动到图的其他位置，通过计算可以发现的值为 ．
(2)数学思考：乐乐认为（1）中的猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整．
解：设，则， ， ．
所以，的值为 ．
(3)迁移应用：某天，乐乐不小心将日历表撕掉了一块，使得某个方框中的日期看不到了，但他记得在探究过程中方框中，请你类比（2）中探究思路帮乐乐求出的值．
【答案】(1)，
(2)，
，
，
，
(3)
【分析】（1）根据有理数的运算规则运算即可；平移的方框，任选与图1位置不同的位置将值代入运算即可；
（2）根据图像将表示出来，再代入进行运算即可；
（3）根据（2）将用表示出来，再代入求解即可．
【详解】（1）解：；
当，
则．
（2）解：设，则，，．
，
，
，
；
所以，的值为．
（3）解：设，则，，，
∵，
∴，
解得，
∴．
易错点
1. 代数式书写不规范，如数写在字母后面、带分数未化成假分数、除法未写成分数形式等。
2. 混淆单项式的系数和次数，认为是字母，或忽略系数包括前面的符号。
3. 同类项判断错误，认为字母顺序不同或系数不同就不是同类项，或合并时字母指数也相加。
4. 去括号时符号错误，括号前是负号只改变第一项符号，或数字因数漏乘后面的项。
5. 代数式求值时，负数或分数代入乘方忘记加括号，导致符号或运算顺序错误。
重点
1. 代数式的概念与书写规范，列代数式的方法，是本章的基础。
2. 单项式、多项式、整式的有关概念，包括系数、次数、项等。
3. 同类项的概念与合并同类项的法则，是整式加减的基础。
4. 去括号法则与整式的加减运算，是本章的核心内容。
5. 化简求值与整体代入思想，以及数式、图形规律探究。
难点
1. 列代数式，特别是复杂数量关系和运算顺序的把握，需要较强的阅读理解能力。
2. 整体代入法求代数式的值，需要观察和变形能力，灵活运用整体思想。
3. 探索与表达规律问题，包括数式规律和图形规律，需要观察、归纳、推理能力。
4. 整式加减中的无关项问题和新定义运算、多结论问题，需要较强的逻辑推理能力。
5. 整式加减的实际应用与跨学科情境问题，需要数学建模能力。
【对应练习题】
一、单选题
1．已知，，且，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或2
【答案】C
【分析】先根据绝对值的意义确定的值，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴不符合条件，舍去，
即，
当，时，，
当，时，，
综上，的值为或．
2．已知关于的多项式不含项，那么的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查的多项式的定义，根据题意令的系数为即可求出的值．
【详解】解：∵关于x的多项式不含项，
∴
解得：
故选：D．
3．若，互为相反数，，互为倒数，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据相反数的定义和倒数的定义可知、，整体代入求值即可．
【详解】解：，互为相反数，
，
，互为倒数，
，
将，代入则，
可得：
．
二、填空题
4．多项式是________次________项式．
【答案】 三 三
【详解】解：∵多项式中，的次数为 的次数为，常数项的次数为，
∴最高次数为，故为三次多项式，
∵共有项，
∴是三项式，
∴多项式是三次三项式．
5．若与是同类项，则的值是________．
【答案】4
【详解】∵与是同类项，
∴相同字母的指数相等，
∴，，
∴，
∴．
6．已知，则代数式的值为________．
【答案】
【分析】将所求代数式变形，得到含的式子，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴
．
三、解答题
7．按要求完成下列各题：
(1)已知，，且，求的值．
(2)已知，，且，求的值．
【答案】(1)的值为或
(2)的值为或
【分析】（1）根据绝对值定义确定m，n的所有可能取值，结合得出为非负数，筛选符合条件的取值后代入计算．
（2）根据绝对值定义确定x，y的所有可能取值，结合的条件，筛选符合条件的取值后代入计算．
【详解】（1）解：，．
，．
．
．
当，时，，符合题意．
∴．
当，时，，不符合题意，舍去．
当，时，，符合题意．
∴．
当，时，，不符合题意，舍去．
综上所述，的值为或．
（2）解：，．
，．
．
，．
当，时，
．
当，时，
．
综上所述，的值为或．
8．先化简，再求值：，其中，．
【答案】，2
【详解】解：
，
当，时，
原式
．
9．已知，．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)14
(2)或
【分析】（1）根据且，可知，然后代入求值即可；
（2）根据题意可知，，然后分情况讨论，分别代入求值即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
；
（2），，，
，，
当，时，；
当，时，，
的值是或．
10．某厂的某生产合作小组每天平均组装个某型号电子产品（每周工作五天），而实际产量与计划产量相比有出入，下表记录了某周的五个工作日每天实际产量情况（超过计划产量记为正，少于计划产量记为负）．
日期
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
实际生产量
(1)用含的代数式表示合作小组本周五天生产电子产品的总量为________个；
(2)该厂实行每日计件工资制，每组装生产一个电子产品可得元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖元，少生产一个扣元，当时，请求出该小组这一周的工资总额；
(3)若将上面第（2）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，当时，在此方式下这一周此小组的工资总额与按日计件的工资哪个多？请说明理由．
【答案】(1)
(2)元
(3)，
，
∵，
∴实行每周计件工资制此小组的工资总额更多
【分析】（1）根据正负数的意义分别表示出5天的生产电子产品的数量，再求和即可；
（2）天的生产电子产品的总数元超出部分的奖励罚款，可得工人这一周的工资总额；
（3）计算出一周的工资，然后与（2）中数据进行比较即可．
【详解】（1）解：，
∴本周天生产电子产品的总量为个；
（2）解：当时，，
，
∴该厂工人这一周的工资总额是9250元；
（3）略
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第3章 代数式
知识点1：用含字母的式子表示数
1.用字母或含有字母的式子表示数和数量关系，可以为学习和研究带来极大方便。
2.书写规则：字母与字母相乘时，""号通常省略不写或写成""；字母与数相乘时，数通常写在字母的前面；带分数与字母相乘时通常化带分数为假分数；字母与字母相除时要写成分数形式；式子为几个数的和或差的形式且结果带单位时，式子整体加括号。
知识点2：代数式的概念
1.定义：用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式；单独的一个数或字母也是代数式，如0、都是代数式。
2.代数式的意义：根据生活实际，将给定代数式的意义用语言叙述出来，就是把代数式的字母及运算符号赋予具体的含义。
知识点3：列代数式
1.定义：把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来叫做列代数式，关键是正确理解数量关系和运算顺序。
2.注意：正确把握"和、差、积、商、倍、分、多、少"等关键词；理清运算顺序，先读的先算，注意"的"字的层次和括号的使用。
知识点4：代数式的值
1.定义：用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值，这个过程叫做求代数式的值。
2.求值的步骤（代入和计算两步）：第一步用数值代替代数式里的字母，其他运算符号、数字及运算顺序都不改变；第二步按照代数式中给出的运算计算出结果，代入的值不同，结果也可能不同。
知识点5：单项式
1.定义：如果一个代数式是数或字母的积，那么这个代数式叫做单项式；单独的一个数或一个字母也是单项式。
2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，对于一个非零的数，规定它的次数为0。
知识点6：多项式
1.定义：几个单项式的和叫做多项式；在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，一个多项式含有几项就叫几项式。
2.多项式的次数：多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式按某一字母的指数从大到小排列叫做降幂排列，反之叫做升幂排列。
知识点7：整式
1.定义：单项式与多项式统称整式。
2.判断方法：单项式不含加减运算，多项式必含加减运算；多项式是几个单项式的和；单项式和多项式都是整式，分母中含有字母的都不是整式。
知识点8：同类项与合并同类项
1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项；几个常数项也是同类项。
2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，合并后所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变。
知识点9：去括号与添括号
1.去括号法则：括号外的乘数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来相同；括号外的乘数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来相反；依据是分配律。
2.多层括号的去法：一般由内向外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号；添括号时，括号前是""号各项不变号，是""号各项都变号。
知识点10：整式的加减
1.运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。
2.化简求值步骤：一般先去括号、合并同类项，再代入字母的值进行计算，简记为"一化、二代、三计算"。
【基础必考题型】
【题型1】代数式的概念与书写规范
1.核心知识点
代数式的定义；代数式的书写规则；代数式与等式、不等式的区别
2.解题方法技巧
① 判断代数式：用运算符号连接数或字母的式子，单独的数或字母也是代数式，等式、不等式不是代数式
② 书写规范：数在前字母在后，乘号省略，带分数化假分数，除法写成分数形式，带单位的和差式子加括号
③ 逐一检查式子是否符合书写要求，注意系数、乘号、单位等细节
【例题1】.（25-26七年级上·广东茂名·阶段检测）下列式子不是代数式的是（ ）
A． B． C．2025 D．
【变式题1-1】.（25-26六年级上·上海·期末）下列代数式中符合书写要求的是（ ）
A． B． C． D．
【变式题1-2】.（25-26七年级上·山东临沂·期中）下列各式中，代数式的个数是（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥a
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式题1-3】.（25-26七年级上·江苏无锡·期中）下列各式中，符合代数式书写规则的有（ ）个．
，，，，，，，米
A．2 B．3 C．4 D．5
【题型2】代数式的意义
1.核心知识点
代数式的语言叙述；代数式的实际意义；数量关系的理解
2.解题方法技巧
① 叙述意义时按运算顺序叙述，注意"的"字的层次和先读先算原则
② 实际意义：给字母赋予实际含义（如单价、数量、速度、时间），解释代数式的含义
③ 同一代数式可有多种合理表述，只要符合数量关系即可；注意关键词与运算的对应
【例题2】.（25-26七年级上·河北衡水·期末）代数式的意义可以是（ ）
A．2026与的和 B．2026与的积
C．2026与的差 D．2026与的商
【变式题2-1】.（25-26七年级上·河北邯郸·期末）代数式的意义为（ ）
A．与的差的平方 B．与的平方差
C．与的平方的差 D．的平方与的差
【变式题2-2】.（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）代数式的意义是（ ）
A．与的和 B．与的差 C．与的积 D．与的商
【变式题2-3】.（25-26七年级上·黑龙江七台河·期中）下列说法：①a是代数式，1不是代数式；②表示数a，b，的积的代数式是；③代数式的意义是a与4的差除以b的商；④a，b两数平方的差与两数的积的4倍的和用代数式表示是，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型3】列代数式
1.核心知识点
列代数式的方法；数量关系分析；运算顺序的把握；字母表示规律
2.解题方法技巧
① 抓住关键词：和、差、积、商、倍、分、多、少、增加、减少等
② 理清运算顺序，"的"字分层，先读的先算，注意括号的使用
③ 实际问题：理清数量关系，如路程=速度×时间、总价=单价×数量等，建立数学模型
④ 规律问题：从特殊到一般，观察变化规律，用含字母的式子表示，代入特殊值验证
【例题3】.（26-27七年级上·云南·期中）买一个篮球需要m元，买一个排球需要n元，则买1个篮球和2个排球共需_______元．
【变式题3-1】.（26-27七年级上·云南·期中）某商品的进价为元，先按进价的倍标价后又降价元出售，现在的售价是（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【变式题3-2】.（26-27七年级上·新疆喀什·开学考试）小花家造房子，买进水泥m吨，预计每天用0.8吨，用了n天，余下多少吨．算式是（ ）
A． B． C． D．
【变式题3-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）填空：
（1）配制浓度为的盐水需要盐_______；
（2）某同学军训期间打靶成绩为10环、8环、8环、7环、a环，则他的平均成绩为________环；
（3）甲以、乙以 的速度同时同地出发，同向行走，后他们之间的距离是________；
（4）一枚古币的正面是一个半径为的圆形，中间有一个边长为的正方形孔，则这枚古币正面的面积为________．
【题型4】整式及整式有关的概念
1.核心知识点
单项式的系数与次数；多项式的项与次数；整式的概念辨析；升降幂排列
2.解题方法技巧
① 单项式的系数是数字因数（含符号），是常数不是字母
② 单项式的次数是所有字母的指数和，不包括数字的指数
③ 多项式的次数是次数最高的项的次数，不是所有项的次数和
④ 判断多项式项数和次数时，先分清各项再求最高次，注意常数项与系数符号
【例题4】.（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列式子中：，，，，，整式有______个．
【变式题4-1】.（25-26七年级上·河南鹤壁·期中）将下列各式的序号填入相应的大括号中：
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧．
单项式：{ …}；
多项式：{ …}；
三次多项式：{ …}；
整式：{ …}．
【变式题4-2】.（25-26七年级上·河南郑州·期中）下列关于单项式和多项式的说法中，正确的是（ ）
A．单项式的系数是，次数是4
B．单项式的次数是1，没有系数
C．多项式 是二次三项式
D．与是同类项
【变式题4-3】.（2026七年级上·全国·专题练习）填表：
多项式
次数
项数
项
表内（按行）依次填入_________，_________，_________，_________，_________，_________，_________，_________，_________．
【题型5】同类项与合并同类项
1.核心知识点
同类项的定义；合并同类项的法则；合并同类项的步骤
2.解题方法技巧
① 判断同类项：两相同（所含字母相同、相同字母指数相同），与系数无关，几个常数项也是同类项
② 合并同类项：系数相加，字母和字母的指数不变，即"一加两不变"
③ 合并步骤：一找（找同类项）、二移（移项带符号）、三并、四写；不是同类项的照抄
【例题5】.（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）下列各选项中，两项是同类项的是（ ）
A．和 B．和
C．4和 D．和
【变式题5-1】.（25-26七年级下·北京·阶段检测）如果单项式与是同类项那么等于（ ）．
A． B． C． D．
【变式题5-2】.（26-27七年级上·天津·期中）合并同类项：
(1)
(2)
【变式题5-3】.（2026七年级上·全国·专题练习）先合并同类项，再求式子的值： ，其中．
【培优高频题型】
【题型6】去括号与添括号
1.核心知识点
去括号法则；添括号法则；分配律的应用；多层括号的去法
2.解题方法技巧
① 去括号：括号前是""号各项不变号，是""号各项都变号
② 括号前有数字因数时，用分配律乘括号内的每一项，不要漏乘
③ 多层括号由内向外，先去小括号再去中括号最后去大括号
④ 添括号：括号前是""号各项不变号，是""号各项都变号，可用特殊值检验
【例题6】.（25-26七年级下·河南南阳·期末）解方程，去括号正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式题6-1】.（25-26六年级上·山东烟台·期末）在（ ）中，括号内应填的代数式为_________．
【变式题6-2】.（25-26六年级上·山东淄博·期末）下列各式中，添括号或去括号正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式题6-3】.（25-26七年级上·江苏扬州·期末）化简：
(1)；
(2)．
【题型7】整式的加减运算与化简求值
1.核心知识点
整式加减的运算法则；化简求值的步骤；运算律的应用
2.解题方法技巧
① 整式加减实质：去括号、合并同类项
② 化简求值：先化简（去括号、合并同类项），再代入求值，计算更简便
③ 注意符号：去括号和移项时特别注意符号变化，避免漏项或变号错误
④ 整体思想：将某个代数式看作整体进行运算，可简化复杂计算
【例题7】.（26-27七年级上·安徽·期中）先化简，再求值：，其中，．
【变式题7-1】.（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）先化简，再求值：，其中，满足．
【变式题7-2】.（26-27七年级上·安徽·期中）先化简，再求值：，其中，．
【变式题7-3】.（26-27七年级上·安徽·期中）先化简，再求值：，其中，．
【题型8】整体代入法求代数式的值
1.核心知识点
整体思想；代数式的变形；整体代入求值
2.解题方法技巧
① 观察已知式与所求式的关系，寻找共同的整体部分
② 对已知式变形得到需要的整体，或对所求式变形使之能用已知整体表示
③ 将已知整体的值代入变形后的代数式计算，注意代数式的恒等变形
④ 注意：整体代入时确保整体的值已知或可求，有时需先求整体再代入
【例题8】.（25-26七年级上·湖南湘西·期中）已知，则的值是________．
【变式题8-1】.（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若互为相反数，互为倒数，是最大的负整数，则的值为（ ）
A．0 B． C．2 D．4
【变式题8-2】.（25-26七年级上·四川宜宾·期中）若，则的值是（ ）
A．5 B．1 C． D．
【变式题8-3】.（2026·四川成都·三模）代数式的值为8，则代数式的值为________．
【题型9】几何图形中求代数式的值
1.核心知识点
用代数式表示几何量；图形的分割与面积；整式加减的应用
2.解题方法技巧
① 用含字母的代数式表示几何图形的边长、面积、周长
② 利用图形的割补关系列代数式，如阴影面积=大图形面积-空白面积
③ 代入具体数值求值，检验是否符合几何意义，边长、面积取正值
【例题9】.（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，大长方形的长为m，宽为n，将6个完全相同的小长方形如图所示放置（不重叠无缝隙），那么图中的阴影部分的周长之和是_______ ．
【变式题9-1】.（25-26七年级上·陕西安康·期末）对联是中华传统文化的瑰宝，由上联、下联和横批三部分组成．如图①，上联（阴影部分）装裱后，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为侧边，一般情况下，天头长是上联长的，地头长是天头长的，侧边宽是天头长的，左、右的侧边宽相等．如图②，若上联长为，宽为．
(1)上联装裱后的天头长为_________，地头长为________，侧边宽为________；
(2)求上联装裱后的周长（用含，的代数式表示），并求出当时，上联装裱后的周长．
【变式题9-2】.（25-26八年级上·广东阳江·期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪裁并拼接成一个长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式题9-3】.（25-26六年级上·山东威海·期末）某公园的一块长为米，宽为米长方形空地造型如图所示，其中，阴影部分(两个扇形和一个半圆，它们的半径相等)种花，其余部分种草．种花的费用为每平方米元，种草的费用为每平方米元．
(1)种花的面积是______平方米，种草的面积是______平方米；(用含有，，的式子表示)
(2)若米，米时，美化这块空地共需多少元？(取)
【题型10】整式加减中的无关项问题
1.核心知识点
合并同类项；无关项的意义；系数为0的条件；参数求解
2.解题方法技巧
① 无关项含义：代数式值与某个字母无关，说明该字母的系数为0
② 步骤：先化简合并同类项，再令无关字母的系数为0，解方程求参数
③ 常见题型：不含某项、与某字母无关、结果为常数等，注意先化简再判断
【例题10】.（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知两个多项式A，B，其中，的结果为．
(1)求多项式A；
(2)求多项式；
(3)若多项式的值与x的取值无关，求y的值．
【变式题10-1】.（25-26七年级上·江苏泰州·期末）已知，，为多项式，，，，其中，，为非零常数，．
(1)当时，
①，，，求W的值；
②，，，求、的值；
(2)若W的值与x无关，且，求m的值．
【变式题10-2】.（2025七年级上·湖北·专题练习）甲、乙两种型号长方体纸盒，尺寸如下（单位：）：
纸盒
长
宽
高
甲型
乙型
(1)做甲、乙两种型号的封闭长方体纸盒各一个分别用料多少平方厘米？（用含x、y、z的式子表示）
(2)做4个甲型长方体纸盒的用料为，做3个乙型长方体纸盒的用料为，当时，比较S1与S2的大小；
(3)若各做一个甲、乙两种型号长方体纸盒的用料之差与长方体纸盒的宽的大小无关，试探究x与z之间的数量关系．
【变式题10-3】.（25-26七年级上·福建福州·期中）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，学习以上内容解决问题：
(1)若数轴上A、B两点表示的数分别为x、1，若A、B两点之间的距离为5，那么x的值为______；
(2)若数轴上A、B两点表示的数分别为x、y．
①的最小值为______；
②且x为整数，求的最大值；
(3)若数轴上A、B两点表示的数分别为x、y，O为原点，当，时，动点P、Q分别从点A、点B出发，动点R从原点O同时出发，均沿着数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，点R速度为每秒个单位长度．记点P与点R之间的距离为，点A与点Q之间的距离为，点O与点R之间的距离为，设运动时间为t秒，请问，是否存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出n的值和这个定值；若不存在，请说明理由．
【压轴素养题型】
【题型11】整式加减的实际应用
1.核心知识点
列代数式；整式的加减运算；实际问题中的数量关系；数学建模思想
2.解题方法技巧
① 理解题意，弄清数量关系和已知条件，用字母表示未知量
② 列出相关的代数式，根据问题要求进行整式的加减运算、化简结果
③ 代入具体数值求值，检验结果是否符合实际意义
④ 生活情境：分段计费、方案比较、增长率等，注意各段单价与取值范围的对应
【例题11】.（24-25七年级上·江苏淮安·期中）某超市在中秋期间进行优惠促销活动，规定一次性购物优惠方案：根据优惠方案解决下列问题：
消费金额
少于200元
高于200元但低于400元
400元或超过400元
优惠办法
不予优惠
九折优惠
其中400元部分给予九折优惠，超过400元部分给予八折优惠
(1)王老师一次性购物300元，她实际付款__________元；
(2)王老师在该超市一次性购物元，她实际付款多少元？（用含的代数式表示）
(3)如果王老师两次购物货款合计800元，第一次购物的货款为元，用含的代数式表示王老师两次购物实际付款多少元？
【变式题11-1】.（25-26七年级上·湖北荆州·期末）敦煌莫高窟是世界文化遗产，其壁画修复工程需要精确计算材料用量．某洞窟有一面壁画墙，因年代久远，墙面需分层修复：最内层为核心修复区，面积为m平方米，每平方米修复费用为30元；中间层为加固区，面积比核心修复区多6平方米，需涂两层保护涂料，每平方米每层费用为50元；最外层为覆盖区，面积是中间层面积的3倍，需覆盖透明防护膜，每平方米费用为60元．一位参与修复的学者触景生情，吟咏道：“大漠石窟岁月深，壁画修复需匠心．核心面积定为基，中层加六护其心．外层三倍覆其上，总面积数可厘清．试问匠心巧运处，十五平方米需多少元？”
(1)最外层需要覆盖防护膜的面积为 平方米，需修复的总面积为 平方米．（用含m的式子表示）
(2)请解答诗中最后提出的问题：“试问匠心巧运处，十五平方米需多少元？”即时，完成全部修复需多少钱？
【变式题11-2】.（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）甲、乙两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50千米/时，水流速度是a千米/时（其中）．
(1)两船相距多远?（结果化为最简）
(2)后甲船比乙船多航行多少千米?（结果化为最简）
【变式题11-3】.（25-26七年级上·四川达州·期末）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地面：
(1)观察图形，填写下表：
图形
（1）
（2）
（3）
…
黑色瓷砖的块数
4
7
…
黑白两种瓷砖的总块数
15
25
…
(2)依上推测，第n个图形中黑色瓷砖的块数为________；黑白两种瓷砖的总块数为________（用含n的代数式表示）
(3)白色瓷砖的块数可能比黑色瓷砖的块数多3020块吗？若能，求出是第几个图形；若不能，请说明理由．
【题型12】新定义运算与阅读理解
1.核心知识点
新定义运算的理解；整式的运算；阅读理解与知识迁移能力
2.解题方法技巧
① 读懂新定义，圈出限定条件，理解新运算的规则和运算顺序
② 将新定义转化为熟悉的整式加减运算，严格按照定义计算
③ 遵循常规运算顺序与括号规则，勿凭固有经验代替题干条件
④ 可先代入特殊值验证对定义的理解是否正确
【例题12】.（26-27七年级上·广西崇左·阶段检测）定义一种新运算，观察下列等式：
(1)请你想一想：________；
(2)若，请计算的值．（新定义）
【变式题12-1】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）若一个四位正整数M的十位数字比个位数字大1，百位数字是千位数字与个位数字的平均数，则称这样的数为千丝数．把千丝数M的四个数字按从小到大的顺序从左到右进行排列后得到的新数叫作千丝数M的万缕数，例如：2598，其十位数字，百位数字，所以2598是千丝数，2589就是千丝数2598的万缕数，对于千丝数M，定义：．
(1)判断：4376________千丝数；7787________千丝数．（填“是”或者“不是”）
(2)请证明：任意一个千丝数与它的个位数字的6倍之差能被5整除．
【变式题12-2】.（25-26七年级下·山西·期中）下面是小明关于“完美积式”的研究性学习报告的一部分，请认真阅读并完成相应的任务．
概念理解：
如果一个多项式可以写成两个一次二项式的乘积，即的形式，其中a、b、c、d均为整数，且，，则称这个多项式为“完美积式”．
例如，，因此是一个“完美积式”．
特例构造：
根据定义，可从整数a、b、c、d入手，构造“完美积式”，思路如下：
当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为1的“完美积式”，如；
当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为2的“完美积式”，如；
当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为6的“完美积式”，
以此类推…
规律剖析：
在特例构造的过程中可以发现，对于“完美积式”：，其系数之间存在特定的关系．
设二次项系数，一次项系数，常数项．
则，且是完全平方数（一个整数的平方）．因此，“完美积式”的判别式一定是完全平方数．
反过来，对于一个二次三项式，如果是完全平方数，且存在整数分解，那么它就可以表示为两个一次二项式的乘积，即为“完美积式”．
根据以上材料，回答下列问题：
(1)当，，b、d互为相反数时，请写出一个符合要求的完美积式：______；
(2)下列二次三项式中，是“完美积式”的是（ ）；
A． B． C． D．
(3)若二次三项式是“完美积式”，且k为正整数，则k的所有可能值的和为_____．
【变式题12-3】.（25-26七年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考
如图是年月份的日历，乐乐在其中画出一个的方框（阴影框），框住九个数，计算其中如图所示位置的四个数“”的值，探索其运算结果的规律．
(1)初步分析：计算图中的结果为 ．
将的方框移动到图的其他位置，通过计算可以发现的值为 ．
(2)数学思考：乐乐认为（1）中的猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整．
解：设，则， ， ．
所以，的值为 ．
(3)迁移应用：某天，乐乐不小心将日历表撕掉了一块，使得某个方框中的日期看不到了，但他记得在探究过程中方框中，请你类比（2）中探究思路帮乐乐求出的值．
易错点
1. 代数式书写不规范，如数写在字母后面、带分数未化成假分数、除法未写成分数形式等。
2. 混淆单项式的系数和次数，认为是字母，或忽略系数包括前面的符号。
3. 同类项判断错误，认为字母顺序不同或系数不同就不是同类项，或合并时字母指数也相加。
4. 去括号时符号错误，括号前是负号只改变第一项符号，或数字因数漏乘后面的项。
5. 代数式求值时，负数或分数代入乘方忘记加括号，导致符号或运算顺序错误。
重点
1. 代数式的概念与书写规范，列代数式的方法，是本章的基础。
2. 单项式、多项式、整式的有关概念，包括系数、次数、项等。
3. 同类项的概念与合并同类项的法则，是整式加减的基础。
4. 去括号法则与整式的加减运算，是本章的核心内容。
5. 化简求值与整体代入思想，以及数式、图形规律探究。
难点
1. 列代数式，特别是复杂数量关系和运算顺序的把握，需要较强的阅读理解能力。
2. 整体代入法求代数式的值，需要观察和变形能力，灵活运用整体思想。
3. 探索与表达规律问题，包括数式规律和图形规律，需要观察、归纳、推理能力。
4. 整式加减中的无关项问题和新定义运算、多结论问题，需要较强的逻辑推理能力。
5. 整式加减的实际应用与跨学科情境问题，需要数学建模能力。
【对应练习题】
一、单选题
1．已知，，且，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或2
2．已知关于的多项式不含项，那么的值（ ）
A． B． C． D．
3．若，互为相反数，，互为倒数，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．多项式是________次________项式．
5．若与是同类项，则的值是________．
6．已知，则代数式的值为________．
三、解答题
7．按要求完成下列各题：
(1)已知，，且，求的值．
(2)已知，，且，求的值．
8．先化简，再求值：，其中，．
9．已知，．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
10．某厂的某生产合作小组每天平均组装个某型号电子产品（每周工作五天），而实际产量与计划产量相比有出入，下表记录了某周的五个工作日每天实际产量情况（超过计划产量记为正，少于计划产量记为负）．
日期
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
实际生产量
(1)用含的代数式表示合作小组本周五天生产电子产品的总量为________个；
(2)该厂实行每日计件工资制，每组装生产一个电子产品可得元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖元，少生产一个扣元，当时，请求出该小组这一周的工资总额；
(3)若将上面第（2）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，当时，在此方式下这一周此小组的工资总额与按日计件的工资哪个多？请说明理由．
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