专题3.2代数式的概念（5大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题3.2代数式的概念 知识点1 ：代数式的概念 　　1. 定义：用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。 　　2. 特例：单独的一个数或一个字母也是代数式，如、都是代数式。 　　3. 判断方法：代数式中只含有数、字母、运算符号和括号，不含“”“”“”“”等关系符号；等式和不等式都不是代数式。 　　4. 注意：代数式中的字母所表示的数必须使代数式有意义，若是实际问题还需符合实际意义。 知识点2 ：代数式的书写规则 　　1. 数与字母相乘：乘号通常省略或写成“·”，并把数写在字母前面，如写成。 　　2. 字母与字母相乘：乘号省略，如写成。 　　3. 除法运算：通常写成分数的形式，如写成。 　　4. 数字因数：数字因数为或时，“”通常省略，如写成。 　　5. 带分数：带分数与字母相乘时，把带分数化为假分数。 　　6. 带单位：式子为“和”或“差”的形式且带单位时，整个式子用括号括起来。 知识点3 ：列代数式 　　1. 定义：把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来，叫做列代数式。 　　2. 步骤：抓住语句中的关键词语（和、差、积、商、比、倍、大、小等），分析数量关系，再列式。 　　3. 常见类型： 文字语言 代数式 说明 与的和是的数 “和”表示相加 比与的积少的数 先积后差 比的一半大的数 “一半”即除以2 与的平方的商 商写成分数 知识点4 ：代数式的意义 　　1. 定义：根据生活实际，将给定的代数式的意义用语言叙述出来，即把代数式中的字母及运算符号赋予具体的含义。 　　2. 方法：按代数式的运算顺序，用生活语言描述其实际意义；同一代数式可赋予多种不同含义。 知识点5 ：代数式的值 　　1. 概念：用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算所得的结果，叫做代数式的值。 　　2. 求值的步骤： 　　　　（1）代入：用具体数值代替代数式里的字母，其他运算符号、数字及运算顺序不变； 　　　　（2）计算：按照代数式中的运算计算出结果。 　　3. 注意：代数式的值随代数式中字母取值的变化而变化；求值时要注意运算顺序与负数、分数的代入需加括号。 【基础必考题型】 【题型1】识别代数式 1.核心知识点 　　判断一个式子是否为代数式。 2.解题方法技巧 　　①检查式子是否含“”“”“”等关系符号，含则不是代数式； 　　②单独的数、字母也是代数式； ③代数式可由数、字母、运算符号、括号组成。 【例题1】.（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）下列各式不是代数式的是（     ） A．127 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：代数式由数、字母和运算符号连接而成，不含等号、不等号等关系符号. 选项C中的含有等号，是等式，不是代数式. 【变式题1-1】.（26-27七年级上·四川达州·阶段检测）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中代数式有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：①是代数式． ②是代数式． ③含有等号，不是代数式． ④是代数式． ⑤含有等号，不是代数式． ⑥含有等号，不是代数式． ⑦是代数式． 代数式一共有个． 【变式题1-2】.（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）在下列各式中，哪一项不是代数式（     ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据代数式的定义：由数和字母用运算符号连接而成的式子，单独的数或字母也是代数式，判断选项，排除符合代数式定义的选项，选出带有不等关系、不属于代数式的选项即可． 【详解】解：、、均为代数式，含有不等号，不是代数式． 【变式题1-3】.（26-27七年级上·全国·周测）下列式子不是代数式的是（     ） A． B． C．2027 D． 【答案】B 【详解】解：选项A，C，D中的式子符合代数式的概念，是代数式．选项B中的式子是等式，不是代数式，则B选项符合题意． 【题型2】代数式的书写方法 1.核心知识点 　　判断代数式是否符合书写规范。 2.解题方法技巧 　　①数与字母相乘，数写在前面，乘号省略； 　　②除法写成分数形式； ③带分数化为假分数，带单位时和差整体加括号。 【例题2】.（26-27七年级上·湖北襄阳·阶段检测）下列代数式书写规范的是（     ） A．元 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A选项，元书写规范，故A正确； B选项，正确书写为，不规范，故B错误； C选项，正确书写为，不规范，故C错误； D选项，正确书写为，不规范，故D错误． 【变式题2-1】.（26-27七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）下列各式符合书写规范的是（     ） A． B． C． D．个 【答案】C 【分析】根据代数式的书写规范逐一核对每个选项：带分数需化为假分数、除法运算要写成分数形式、表示数量的含字母的和式需加括号，最终判断出仅符合书写要求． 【详解】解：∵带分数与字母相乘需化为假分数， ∴不符合规范，A错误． ∵代数式中除法运算应写成分数形式，不得使用除号， ∴不符合规范，B错误． ∵字母与字母相乘可省略乘号， ∴符合规范，C正确． ∵含加减运算的式子带单位时，需将式子加括号， ∴ 个不符合规范，D错误． 【变式题2-2】.（26-27七年级上·江苏无锡·阶段检测）下列代数式中，符合书写要求的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项，数字应写在字母前面且省略乘号，正确写法为，不符合要求. 选项，数字应写在字母前面且除法需写成分数形式，正确写法为，不符合要求. 选项，符合代数式书写要求. 选项，带分数需化为假分数，正确写法为，不符合要求. 【变式题2-3】.（26-27七年级上·全国·周测）下列式子中，符合代数式书写规范的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式书写规范：除法写成分数形式，带分数要化成假分数，数字在前字母在后，相同字母要写出乘方形式． 【详解】除法应写成分数的形式，故选项A不符合题意； 带分数应写成假分数，故选项B不符合题意； 数字应写在字母的前面，故选项C不符合题意； 符合书写要求，故选项D符合题意． 【题型3】代数式表示的实际意义 1.核心知识点 　　把代数式用生活语言叙述其实际意义。 2.解题方法技巧 　　①按代数式的运算顺序描述（先和后积、先差后商等）； 　　②给字母赋予具体的实际含义； ③同一个代数式可有多种实际意义。 【例题3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）甲、乙两人对赋予实际意义，甲：若正方形的边长为n，则表示正方形的面积．乙：若梨的单价为n元，则元表示梨的总价．那么下列选项的说法正确的是（     ） A．甲、乙都对 B．只有甲对 C．只有乙对 D．甲、乙都错 【答案】C 【分析】根据代数式的意义解答即可． 【详解】解：甲的说法中，正方形边长为，面积应为，表示正方形的周长，故甲错误． 乙的说法中，梨的单价为元，梨的总金额为元，故乙正确． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·江苏南通·期末）下列各项中，能用表示的是（   ） A．整条线段的长度： B．整条线段的长度： C．长方形的周长： D．整个图形的面积 ： 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的意义，熟练掌握线段长度的和，长方形周长，面积计算是解题的关键．根据线段的和，长方形的周长，长方形的面积的计算公式解答即可． 【详解】解：A、整条线段的长度：，表示为，不符合题意； B、整条线段的长度：，表示为，不符合题意； C、这个长方形的周长： ，表示为，不符合题意； D、这个图形的面积： ，表示为，符合题意． 故选：D． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·湖北孝感·阶段检测）请赋予实际意义_______． 【答案】 一个苹果的质量为a克，那么3个苹果的质量为克（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了用代数式表示，考虑表示a的3倍，因此赋予一个实际情境，其中a表示一个单位量，可得答案． 【详解】解：是a的3倍，在实际生活中，可以表示3个相同物品的总量，例如质量、价格、长度等， 这里选择质量为例，一个苹果的质量为a克，那么3个苹果的质量为克． 故答案为：一个苹果的质量为a克，那么3个苹果的质量为克．（答案不唯一）． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·四川南充·期末）请仔细分析下列赋予实际意义的例子，其中错误的是（   ） A．若一个长方形的长为0.8米，宽为米，则平方米表示长方形的面积 B．若一台电视机原价元，现按原价的八折出售，则元表示这台电视机的现在的售价 C．若一辆货车每分钟行驶0.8千米，行驶了分钟，则千米表示这辆货车所行驶的路程 D．若某河流涨潮前水位为米，涨潮时水位增加0.8米，则米表示涨潮后的水位 【答案】D 【分析】本题考查代数式的实际意义，理解各情境中的数量关系是关键． 分别根据长方形的面积=长×宽、售价=原价×折扣、路程=速度×时间、涨潮后的水位=涨潮前水位+增加水位判断是否合理表示所述量． 【详解】A、∵ 长方形的面积=长×宽， ∴ 长为0.8米，宽为a米时，面积为平方米， 正确． B、∵ 售价=原价×折扣， ∴ 原价a元，打八折（即0.8）出售，售价为元， 正确． C、∵ 路程=速度×时间， ∴ 速度0.8千米/分钟，时间a分钟，路程为千米， 正确． D、∵ 涨潮后的水位=涨潮前水位+增加水位， ∴ 涨潮前水位a米，增加0.8米，涨潮后水位为米，而不是米， 错误． 故选：D． 【题型4】列代数式 1.核心知识点 　　把文字语言中的数量关系用代数式表示。 2.解题方法技巧 　　①抓住关键词（和、差、积、商、倍、平方等）； 　　②分清运算顺序，需先算的整体加括号； ③严格遵循书写规则。 【例题4】.（26-27七年级上·湖北恩施·期中）利川红茶是国家地理标志产品．某商店的红茶每千克m元，现按八折优惠出售，购买2千克应付（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【详解】解：由题意可知，购买2千克应付（元）． 【变式题4-1】.（26-27七年级上·重庆江北·阶段检测）踏上研学之旅，从规划乘车人数到计算行程时间，每一步都有数学的智慧相伴．让我们用数学的眼光拆解实际问题——用代数式表达其中奥秘． 光明中学组织七年级学生搭乘大巴车前往延安革命纪念馆，经统计，若全部租用载客量（不包含司机）为28人的大巴车，需租辆，且差4人可全部坐满，则参加此次研学活动共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】B 【详解】解：辆载客28人的大巴满员可载人， ∵差4人可全部坐满， ∴总人数为人． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·河南周口·期中）某工厂现有工人名，若现有工人数比两年前减少，则该工厂两年前有工人（     ） A．名 B．名 C．名 D．名 【答案】A 【详解】解：现有工人数比两年前减少， 现有工人数是两年前的． 现有工人名， ∴该工厂两年前有工人名． 【变式题4-3】.（26-27七年级上·吉林长春·期中）一个两位数，十位数字是，个位数字是，这个两位数可以表示为________． 【答案】 / 【分析】两位数的数值由各数位数字与对应计数单位的乘积求和得到，十位对应计数单位10，个位对应计数单位1． 【详解】解：∵ 数位的计数单位从右到左依次为个位、十位，对应计数单位分别为1、10， ∴十位数字对应的数值为， ∵个位数字对应的数值为， ∴该两位数的整体数值为两部分之和，即． 【题型5】直接代入求代数式的值 1.核心知识点 　　把字母的取值代入代数式计算。 2.解题方法技巧 　　①代入时负数、分数加括号； 　　②注意乘方运算的符号； ③按运算顺序逐步计算。 【例题5】.（26-27七年级上·湖北恩施·期中）当时，代数式的值是（     ） A．4 B．6 C．2 D．0 【答案】B 【详解】解：当时，． 【变式题5-1】.（26-27七年级上·甘肃临夏·期中）当时，代数式的值为______________． 【答案】0 【详解】解：将代入代数式，可得． 【变式题5-2】.（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）若，，且，则的值是______． 【答案】7 【分析】根据绝对值的定义求出的所有可能取值，结合的条件筛选出符合要求的值，代入计算即可． 【详解】解：， 或， ∵，且， ∴， ． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·广东广州·期中）已知，，且，则值为________． 【答案】 或 【分析】先由绝对值的定义得到x、y的全部可能取值，再结合的异号条件筛选出符合要求的取值组合，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∵， ∴或， ∵， ∴x与y的符号相反， 当时，，代入得； 当时，，代入得． 【培优高频题型】 【题型6】整体代入求代数式的值 1.核心知识点 　　把某个式子（整体）作为一个整体代入求值。 2.解题方法技巧 　　①当无法求单个字母时，把已知等式看成一个整体； 　　②对目标式变形（提公因式、拆项），凑出已知整体； ③避免先解方程求单个字母。 【例题6】.（25-26七年级上·广东广州·期中）已知，则的值为________． 【答案】 【分析】对比已知等式与所求代数式的结构，可通过整体代入法简化计算，无需单独求解的具体值． 【详解】解：∵， ∴． ∴ ． 【变式题6-1】.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知 ，，则 __________． 【答案】 【分析】利用整体代入法求代数式的值，把和的值整体代入待求代数式计算即可． 【详解】解：， ． 【变式题6-2】.（26-27七年级上·广西南宁·期中）已知式子的值是，则式子的值为___________． 【答案】 【分析】将已知代数式的值代入未知代数式计算，得到的结果就是未知代数式的值． 【详解】解：将代入，得：． 【变式题6-3】.（26-27七年级上·河南漯河·阶段检测）已知、互为相反数，、互为倒数，是绝对值最小的数，的绝对值为5，求的值． 【答案】或 【分析】根据题意得到 或，代入代数式求值即可． 【详解】解：∵、互为相反数，、互为倒数，是绝对值最小的数，的绝对值为5， ∴， ∴或， 当时，， 当时，， 即的值为或． 【题型7】由非负数条件求代数式的值 1.核心知识点 　　由绝对值、平方等非负性质确定字母的值再求代数式的值。 2.解题方法技巧 　　①，则且； 　　②由非负性列方程求各字母值； ③代入所求代数式计算。 【例题7】.（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）若，则的值是 ___________． 【答案】 49 【分析】利用绝对值与平方的非负性求出a、b的值，代入目标式计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， 解得，， 将，代入，得． 【变式题7-1】.（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）若，求的值（     ） A．2 B．14 C． D． 【答案】B 【分析】利用绝对值的非负性，由几个非负数的和为推出每个绝对值内的式子均为，求出,,的值后代入代数式计算． 【详解】解：∵，，，且， ∴，，， ∴，，， ∴． 【变式题7-2】.（26-27七年级上·河南新乡·阶段检测）若与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】根据互为相反数的两个数的和等于列出方程，再根据非负数的性质列式求出、的值，然后相加即可得解． 【详解】解：与互为相反数， ， ，，解得，， ． 【变式题7-3】.（26-27六年级上·山东东营·阶段检测）计算： (1)如果，，且，求的值． (2)已知与互为相反数，求的值． 【答案】(1)的值为或 (2)的值为 【分析】（1）先求出，，结合，分情况求出结论； （2）由题意求出，，再代入求值； 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴当，时，； 当，时，； （2）解：∵与互为相反数，，， ∴，， ∴，， ∴． 【题型8】规律型：数字/图形的变化 1.核心知识点 　　观察数字/图形排列规律，用含的代数式。 2.解题方法技巧 　　①相邻差相同用等差数列； 　　②关注符号交替、正负号用表示； 　　③观形法：观察相邻图形变与不变，找基础图形； ④审数法：把图形数量转化为数组规律； 【例题8】.（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）一列数：，，，，，，根据这个规律，第99个数是___________． 【答案】 【分析】分子、分母、符号的规律分开来找，可快速作答． 【详解】解：由所给各数可知， ∵分子依次为，，，，， ∴第个数的分子可表示为； ∵分母依次为，，，，， ∴第个数的分母可表示为； 又∵第奇数个数为负数，第偶数个数为正数， ∴第个数可表示为． 当时，第99个数为． 【变式题8-1】.（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）下列图形都是由同样大小的按一定规律组成的，其中第个图形中一共有个，第个图形中一共有个，第个图形中一共有个，，按此规律排列，则第个图形中的个数为_______． 【答案】 【分析】写出各图形中三角形的个数和，然后根据变化规律写出第个图形中的个数，再取进行计算即可得解． 【详解】解：第①个图形中三角形有：（个）， 第②个图形中三角形有：（个）， 第③个图形中三角形有：（个）， ， 依此类推，第个图形中三角形有（个）， 所以，第⑥个图形中三角形个数一共是：（个）． 【变式题8-2】.（26-27七年级上·江苏徐州·阶段检测）用同样大小的黑色棋子按如图表示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第个图形需棋子（     ）枚． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】认真观察给出的第一个图，第二个图，第三个图，试猜想第个图，找到与点数的关系，再按照这个规律求出第个图所需棋子枚数． 【详解】解：第一个图，点数， 第二个图，点数， 第三个图，点数， 猜想第四个图，点数， 第五个图，点数， ． 第个图，点数， 第个图形需棋子：（枚）． 【变式题8-3】.（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）观察下面三行数： ，，，，，，；① ，，，，，，；② ，，，，，，；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题． (1)第①行的第个数是_____； (2)第②行的第个数是_____； (3)取每行数的第个数，计算这三个数的和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察第①行数字的变化规律，找到第项的表达式，把代入算出结果； （2）对比①②两行相同位置的数，找到数量关系，写出第项的表达式； （3）对比①③两行相同位置的数，找到倍数关系，分别求出三行的第个数，再相加． 【详解】（1）解：， ， ， 可知第①行的第个数为， 故第个数为． （2）解：观察可知，第②行的数比第①行对应位置的数大， 第①行的第个数是， 故第②行的第个数是． （3）解：观察可知，第③行的数为第①行对应位置的数的， 第①行的第个数是， 则第③行的第个数是， 第①行的第个数是， 第②行的第个数是， 第③行的第个数是， ， 故这三个数的和为． 【压轴素养题型】 【题型9】与几何图形有关的代数式求值 1.核心知识点 　　用代数式表示几何图形的面积、周长，再代入求值。 2.解题方法技巧 　　①用字母表示图形的面积、周长（含阴影部分）； 　　②代入给定数值计算； ③不规则图形用面积和差表示。 【例题9】.（26-27七年级上·江苏泰州·期中）如图，某小区有一块长为、宽为的长方形空地，物业计划在空地中修建一条横向和一条纵向的小路，两条小路的宽均为，其余部分铺草坪． (1)用含，的代数式表示铺草坪的面积； (2)当，时，求铺草坪的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把两条小路分别平移到空地的边上，剩下的草坪就能拼成一个长方形，它的长为，宽为，再结合长方形面积公式计算即可得出结果． （2）将，代入（1）中的式子计算即可得出结果 【详解】（1）解：把横向小路平移到空地上边、纵向小路平移到空地右边，剩下铺草坪的部分合起来是一个长为、宽为的长方形， 所以铺草坪的面积为； （2）解：当，时，． 故铺草坪的面积是． 【变式题9-1】.（26-27七年级上·吉林长春·阶段检测）如图，从一块长为米、宽为米的长方形铁皮的四个角各剪去一个边长为米的小正方形，再把四周折起，做成一个无盖的长方体水箱． (1)用含，，的代数式分别表示水箱底面的长和宽； (2)用含，，的代数式表示水箱的底面积； (3)当，，时，求水箱的底面积． 【答案】(1)长米，宽米 (2)平方米 (3)112平方米 【分析】（1）结合图形，列出代数式即可； （2）根据长方形面积公式求解即可； （3）将，，代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，水箱底面的长为米，宽为米． （2）结合（1），可得水箱的底面积（平方米）． （3）当，，时， ，， 所以（平方米）． 【变式题9-2】.（26-27七年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，一所住宅的建筑平面图（数据如图所示，图中长度单位为：米）． (1)用含的代数式表示这个住宅的面积； (2)房主要装修此房屋，客厅和卧室铺地板，厨房和卫生间铺瓷砖．地板每平米元，瓷砖每平米元；当时，求装修这个房屋一共需要花费多少钱？ 【答案】(1)这个住宅的面积为平方米 (2)装修这个房屋一共需要花费元 【分析】（1）根据图形的面积列出代数式，计算即可； （2）根据求代数式的值计算方法，解答即可． 【详解】（1）解： 平方米， 答：这个住宅的面积为平方米； （2）解：铺地板的面积为：（平方米）， 铺瓷砖的面积为：（平方米）， 当时， 铺地板的面积为：（平方米）， 铺瓷砖的面积为：（平方米）． 故总费用为（元）． 答：装修这个房屋一共需要花费元． 【变式题9-3】.（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）在数学活动课上，老师让同学们制作了一些边长为的正方形纸片，并要求各个小组利用这些纸片研究数学问题． (1)勤勉小组提出：将如图（1）所示的纸片的四个角各剪去一个边长为的正方形，得到图（1）中的阴影部分，请计算阴影部分的面积_________（用含x的式子表示），并求出当时，阴影部分的面积为_________． (2)创新小组将图（1）中的阴影部分折成一个无盖的长方体盒子，如图（2），设长方体的容积为，若用含有x的代数式表示V，则____________． (3)先补全表格，再观察表格中容积V的值是否随x值的增大而增大？此时当x取什么整数值时，容积V的值最大？ 1 2 3 4 5 6 7 324 512 500 384 252 (4)课后小英同学继续对这个问题作了以下探究： 当时，；当时，； 当时，：当时，． 小英同学发现使V最大的x的取值一定介于3.3和3.4之间，估计x的取值还能更精确些，小英再计算，3.333，3.3333…时，发现V的值还在逐渐增大．现请你也观察数据变化，能否推测x可以取到哪一个定值，容积V的值最大？最大值是多少？（直接写出结论） 【答案】(1)， (2) (3)，，V的值不随x值的增大而增大，此时当取3时，容积V的值最大 (4)能推测x取时，容积V的值最大，最大值是 【分析】（1）用正方形的面积减去剪去的4个小正方形的面积可得S的表达式，再将代入求解即可； （2）根据图中条件用含x的代数式表示出长方体的长、宽、高，利用长方体体积公式即可得答案； （3）根据表格信息和（2）中结论即可得答案； （4）根据小英取的x值的特点可得x的值无限接近，把代入（2）中所得结论即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意，， 当时，； （2）解：由题意，长方体的长和宽均为，高为， ∴； （3）解：当时，； 当时，， 观察表中数据可知V的值不随x值的增大而增大，此时当取3时，容积V的值最大． （4）解：根据小英取的x值的特点可得，x的值无限接近， ∵当时，， ∴能推测x取时，容积V的值最大，最大值是． 【题型10】实际问题中的代数式求值 1.核心知识点 　　列代数式表示实际问题中的数量，再代入求值。 2.解题方法技巧 　　①理解题意，列代数式表示数量关系； 　　②代入字母的具体取值求值； 　　③注意实际问题的单位与取值意义。 【例题10】.（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）某农机租赁公司共有台联合收割机，其中甲型台、乙型台．现将这台联合收割机派往A，B两地区收割小麦，其中台派往A地区，台派往B地区．两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表： 每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金 A地区 元 元 B地区 元 元 (1)设派往A地区台乙型联合收割机，租赁公司这台联合收割机一天获得的租金为y（元），用含的式子表示； (2)分别求出当等于28，29，30时租金的值． 【答案】(1) (2)当时，；当时，；当时， 【分析】（1）根据题意可知，派往地区的甲型收割机为台，派往地区的乙型收割机为台，派往地区的甲型收割机为（台），再根据表格求解y即可； （2）将，，代入y中求解即可． 【详解】（1）解：若派往地区的乙型收割机为台，则派往地区的甲型收割机为台，派往地区的乙型收割机为台，派往地区的甲型收割机为（台）， ∴； （2）解：当时，； 当时，； 当时，． 【变式题10-1】.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）某市出租车的收费标准是：3千米以内（含3千米）收起步价8元；超过3千米的部分，每千米收2.4元（不足1千米按1千米计算）． (1)小明乘出租车行驶了 8 千米，他应付多少元？ (2)小红乘出租车共付车费 32 元，她最多行驶了多少千米？ (3)若行驶 千米（且为整数），请用含的式子表示应付的车费． 【答案】(1)元 (2)千米 (3)元 【分析】（1）先算出超过3千米部分的里程数，再根据题意求出需要付的车费； （2）先计算出超出起步价部分的费用，再用超出费用除以超出部分的每千米费用即可得到对应里程数，最后即可计算出结果； （3）根据题意即可列出含有x的式子，表示出行驶x千米后应付的车费． 【详解】（1）解：超过 3 千米的部分为 （千米）， 应付（元）． （2）解：超出起步价的部分为 （元），对应里程（千米）， 所以最多行驶了 （千米）． （3）解：应付车费为 元． 【变式题10-2】.（26-27七年级上·全国·期中）为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费．收费标准如下表： 月用量 不超过180 超过180，不超过280的部分 超过280的部分 收费标准/[元] (1)如果恒恒家每月缴电费y元，每月用电量为，用含x的代数式表示电费y： ①当时，______； ②当时，______； ③当时，______． (2)若恒恒家6月份缴电费138元，求恒恒家6月份的用电量． 【答案】(1)①．②．③ (2) 【分析】（1）根据题意，直接分段列出相应的代数式即可； （2）根据（1）的结论；由交电费元可知在第二段，代入代数式可得用电量． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时， ． （2）解：当时，（元）； 当时，（元）； ， 故用电量处于第二段， 由时，得到， 解得：． 恒恒家6月份用电． 【变式题10-3】.（26-27七年级上·河南漯河·阶段检测）根据以下材料完成任务． 设计被子采购方案 每年“双12”某网上商城都会推出各种优惠活动进行促销．今年，某宾馆负责人张阿姨在“双12”到来之前准备在某网上商城三家店铺中选择一家购买原价均为1000元／条的被子若干条． 素材1 已知三家店铺在非活动期间，均按800元销售，“双12”活动期间在此基础上再分别给予优惠； 素材2 店铺：“双12”当天购买可以再享受8折优惠； 素材3 店铺：“双12”当天下单， ①每满800元可使用店铺优惠券50元； ②每满400元可使用商城“双12”购物津贴券50元； ③每单立减80元，但同一用户活动当天仅可享受1次立减优惠（即不可拆分订单重复享受）； （例：同一用户活动当天购买2条被子需支付元） 素材4 店铺：“双12”当天下单可享立减及满赠——所有订单都能享每条立减140元，当订单的实付数量达到10条及以上时，在立减的基础上还能再免费获赠1条同款商品． 问题解决 (1)任务1 付款方式1：若在店铺9条被子作一单购买，需支付______元； 付款方式2：若在店铺9条被子作一单购买，需支付______元； 付款方式3：若在店铺9条被子作一单购买，需支付______元； (2)任务2 对比方案：若张阿姨在“双12”当天下单，且实际购得条该款被子，请用含的代数式分别表示在这三家店铺购买的实际费用．（说明：张阿姨购得的条被子均作一单购买） (3)任务3 明确需求：已知张阿姨在“双12”当天需下单购得26条该款被子，且可分批次自主选择下单渠道． 最优方案设计：请结合各店铺优惠规则，请直接写出最省钱的方案，并写出该方案下的最终购买总金额 【答案】(1)；； (2)A店铺的费用为元；B店铺的费用为元；当（a为整数）时，C店铺的费用为元，当（a为整数）时，C店铺的费用为元； (3)最省钱的方案为在C店铺分两批购买，第一批购买10条，获得11条，第二批购买14条，获得15条，总金额为15840元 【分析】（1）根据题意分别列式得到三家店铺需要支付的费用； （2）根据题意可以用代数式表示出在三家店铺的购买费用，其中在C店铺的费用分当和两种情况求解； （3）根据（2）所求分别计算出A店铺和B店铺的费用，再计算出在C店铺购买，第一批10条，第二批14条的费用，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：付款方式1：若在店铺9条被子作一单购买，需支付元； 付款方式2：若在店铺9条被子作一单购买，需支付 元； 付款方式3：若在店铺9条被子作一单购买，需支付元； （2）解：A店铺的费用为元， B店铺的费用为元， 根据题意可知，无法通过C店铺一单购买刚好购得10条被子，即， 当（a为整数）时，C店铺的费用为元， 当（a为整数）时，C店铺的费用为元； （3）解：当时，， ， ∴A店铺的费用为元，B店铺的费用为元， 在C店铺分两批购买，第一批购买10条，获得11条，第二批购买14条，获得15条，总费用为， ∵， ∴最省钱的方案为在C店铺分两批购买，第一批购买10条，获得11条，第二批购买14条，获得15条，总金额为15840元． 易错点 　　1、误把等式、不等式当作代数式，如不是代数式。 　　2、数与字母相乘时数未写在前面，或漏写乘号，如误写为。 　　3、除法未写成分数形式，如应写为。 　　4、直接代入时负数、分数未加括号，如代时误写。 　　5、整体代入时不会对目标式变形（提公因式凑整体）。 　　6、忽视字母取值的实际意义与限制条件。 重点 　　1、掌握代数式的概念与判断方法。 　　2、掌握代数式的书写规则。 　　3、会正确列代数式。 　　4、掌握求代数式的值的步骤（代入、计算）。 难点 　　1、正确区分运算顺序，准确列代数式。 　　2、整体代入、非负数条件等特殊方法求代数式的值。 　　3、从图形、表格、规律中建立代数式并求值。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列各式中，符合代数式书写规范的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项，数字与字母相乘时，数字应写在字母左侧且省略乘号，正确写法为，故不符合规范； 选项，带分数与字母相乘时，需化为假分数，正确写法为，故不符合规范； 选项，代数式中除法运算需写成分数形式，正确写法为，故不符合规范； 选项，符合代数式书写规范． 2．观察下列一列数：，按此规律，第n个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可知，第n个数的符号由确定，绝对值依次为， ∴第n个数是． 3．有一种塑料杯子的高度是，两个以及三个这种杯子叠放时的高度如图所示，则个这种杯子叠放在一起时的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目中的图形，可知每增加一个杯子，高度增加，从而可以得到n个杯子叠在一起的高度，即可求解． 【详解】解：由图可得，每增加一个杯子，高度增加， 则n个这样的杯子叠放在一起高度是：． 二、填空题 4．已知，，且，则_________． 【答案】 或 【分析】先根据绝对值的定义得到x、y的所有可能取值，再结合判断x、y异号，筛选出符合条件的取值组合，代入计算的结果． 【详解】解：∵， ∴或， ∵， ∴或， ∵， ∴ x、y异号， 当时，，此时， 当时，，此时． 5．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，且，则_________． 【答案】7 【分析】先把，，的值分别求出来，再整体代入． 【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数， ∴，， ∴． 6．一本书，小明每天看页，天后还剩页没看完，这本书共有________页． 【答案】 【分析】总页数等于已阅读的页数加上未阅读的剩余页数，其中已阅读页数为每日阅读页数与阅读天数的乘积． 【详解】解：小明每天看页，连续看了天 累计已看的页数为页 看了天后还剩页未读 这本书的总页数为已看页数与剩余页数之和，即页． 三、解答题 7．已知． (1)求、的值； (2)若，求的值；若，求的值． 【答案】(1)或；或 (2)当时，或；当时，或 【详解】（1）解：由得或； 由得或． （2）解：若，则、异号： 当，时，；当，时，， 所以或． 若，则、同号； 当，时，；当，时，， 所以或． 8．学校礼堂第一排有个座位，后面每一排都比前一排多2个座位． (1)第二排、第三排各有多少个座位？（用含的式子表示） (2)第排有多少个座位？ (3)当时，第10排有多少个座位？ 【答案】(1)第二排有个座位，第三排有个座位 (2) (3)38 【分析】（1）根据题意即可列代数式； （2）列出前几排的座位数，找出规律即可求解； （3）把，代入（2）中的代数式求解即可． 【详解】（1）解：第二排有个座位，第三排有个座位； （2）解：由题意得，第二排有座位数：， 第三排有座位数， 第四排有座位数 ∴第排有个座位； （3）解：当，时， （个）， 答：第10排有38个座位． 9．根据记录，从地面向上及以内（含），高度每上升，气温降低；又知在距离地面以上的高空，气温几乎不变．今天小敏同学在咸阳机场准备乘飞机从西安飞往海南参加活动，此时地面气温为，设飞机飞行过程中距地面的高度为． (1)飞机距地面的高度在及以内（含）的机外温度为________；（用含x的式子表示） (2)当飞机距离地面12km时，求机外温度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）地面温度减去下降的温度，高度每上升1km降温，上升一共降温，即可列出温度代数式． （2）以上高空气温不变，所以高度的温度等于高度对应的温度，代入计算． 【详解】（1）解：地面气温，每升高，气温下降． ∵升高， ∴气温下降． ∴机外温度为． （2）解：由题意，高度超过11km后，气温几乎不变． 所以12km高度的温度等于11km高度的温度． 把代入， ， 答：机外温度为． 10．如图，某田径场的最内圈半圆弯道半径为，每条弯道都是半圆，每条直道均长，且每条跑道均宽． (1)请用代数式表示最内圈的周长（用含有，，的代数式表示）； (2)若弯道最内圈的半径，直道，请计算图中田径场最外圈的周长是多少（取3.14）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据最内圈跑道的长两段直道的长度一个半径为的圆的周长，即可求解； （2）先可得最外圈弯道半径为，再根据最外圈的周长为，即可求解． 【详解】（1）解：由图可得，最内圈的周长为． （2）解：由图可得，最外圈弯道半径为， ∴最外圈的周长为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2代数式的概念 知识点1 ：代数式的概念 　　1. 定义：用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。 　　2. 特例：单独的一个数或一个字母也是代数式，如、都是代数式。 　　3. 判断方法：代数式中只含有数、字母、运算符号和括号，不含“”“”“”“”等关系符号；等式和不等式都不是代数式。 　　4. 注意：代数式中的字母所表示的数必须使代数式有意义，若是实际问题还需符合实际意义。 知识点2 ：代数式的书写规则 　　1. 数与字母相乘：乘号通常省略或写成“·”，并把数写在字母前面，如写成。 　　2. 字母与字母相乘：乘号省略，如写成。 　　3. 除法运算：通常写成分数的形式，如写成。 　　4. 数字因数：数字因数为或时，“”通常省略，如写成。 　　5. 带分数：带分数与字母相乘时，把带分数化为假分数。 　　6. 带单位：式子为“和”或“差”的形式且带单位时，整个式子用括号括起来。 知识点3 ：列代数式 　　1. 定义：把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来，叫做列代数式。 　　2. 步骤：抓住语句中的关键词语（和、差、积、商、比、倍、大、小等），分析数量关系，再列式。 　　3. 常见类型： 文字语言 代数式 说明 与的和是的数 “和”表示相加 比与的积少的数 先积后差 比的一半大的数 “一半”即除以2 与的平方的商 商写成分数 知识点4 ：代数式的意义 　　1. 定义：根据生活实际，将给定的代数式的意义用语言叙述出来，即把代数式中的字母及运算符号赋予具体的含义。 　　2. 方法：按代数式的运算顺序，用生活语言描述其实际意义；同一代数式可赋予多种不同含义。 知识点5 ：代数式的值 　　1. 概念：用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算所得的结果，叫做代数式的值。 　　2. 求值的步骤： 　　　　（1）代入：用具体数值代替代数式里的字母，其他运算符号、数字及运算顺序不变； 　　　　（2）计算：按照代数式中的运算计算出结果。 　　3. 注意：代数式的值随代数式中字母取值的变化而变化；求值时要注意运算顺序与负数、分数的代入需加括号。 【基础必考题型】 【题型1】识别代数式 1.核心知识点 　　判断一个式子是否为代数式。 2.解题方法技巧 　　①检查式子是否含“”“”“”等关系符号，含则不是代数式； 　　②单独的数、字母也是代数式； ③代数式可由数、字母、运算符号、括号组成。 【例题1】.（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）下列各式不是代数式的是（     ） A．127 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：代数式由数、字母和运算符号连接而成，不含等号、不等号等关系符号. 选项C中的含有等号，是等式，不是代数式. 【变式题1-1】.（26-27七年级上·四川达州·阶段检测）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中代数式有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：①是代数式． ②是代数式． ③含有等号，不是代数式． ④是代数式． ⑤含有等号，不是代数式． ⑥含有等号，不是代数式． ⑦是代数式． 代数式一共有个． 【变式题1-2】.（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）在下列各式中，哪一项不是代数式（     ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据代数式的定义：由数和字母用运算符号连接而成的式子，单独的数或字母也是代数式，判断选项，排除符合代数式定义的选项，选出带有不等关系、不属于代数式的选项即可． 【详解】解：、、均为代数式，含有不等号，不是代数式． 【变式题1-3】.（26-27七年级上·全国·周测）下列式子不是代数式的是（     ） A． B． C．2027 D． 【答案】B 【详解】解：选项A，C，D中的式子符合代数式的概念，是代数式．选项B中的式子是等式，不是代数式，则B选项符合题意． 【题型2】代数式的书写方法 1.核心知识点 　　判断代数式是否符合书写规范。 2.解题方法技巧 　　①数与字母相乘，数写在前面，乘号省略； 　　②除法写成分数形式； ③带分数化为假分数，带单位时和差整体加括号。 【例题2】.（26-27七年级上·湖北襄阳·阶段检测）下列代数式书写规范的是（     ） A．元 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A选项，元书写规范，故A正确； B选项，正确书写为，不规范，故B错误； C选项，正确书写为，不规范，故C错误； D选项，正确书写为，不规范，故D错误． 【变式题2-1】.（26-27七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）下列各式符合书写规范的是（     ） A． B． C． D．个 【答案】C 【分析】根据代数式的书写规范逐一核对每个选项：带分数需化为假分数、除法运算要写成分数形式、表示数量的含字母的和式需加括号，最终判断出仅符合书写要求． 【详解】解：∵带分数与字母相乘需化为假分数， ∴不符合规范，A错误． ∵代数式中除法运算应写成分数形式，不得使用除号， ∴不符合规范，B错误． ∵字母与字母相乘可省略乘号， ∴符合规范，C正确． ∵含加减运算的式子带单位时，需将式子加括号， ∴ 个不符合规范，D错误． 【变式题2-2】.（26-27七年级上·江苏无锡·阶段检测）下列代数式中，符合书写要求的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项，数字应写在字母前面且省略乘号，正确写法为，不符合要求. 选项，数字应写在字母前面且除法需写成分数形式，正确写法为，不符合要求. 选项，符合代数式书写要求. 选项，带分数需化为假分数，正确写法为，不符合要求. 【变式题2-3】.（26-27七年级上·全国·周测）下列式子中，符合代数式书写规范的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式书写规范：除法写成分数形式，带分数要化成假分数，数字在前字母在后，相同字母要写出乘方形式． 【详解】除法应写成分数的形式，故选项A不符合题意； 带分数应写成假分数，故选项B不符合题意； 数字应写在字母的前面，故选项C不符合题意； 符合书写要求，故选项D符合题意． 【题型3】代数式表示的实际意义 1.核心知识点 　　把代数式用生活语言叙述其实际意义。 2.解题方法技巧 　　①按代数式的运算顺序描述（先和后积、先差后商等）； 　　②给字母赋予具体的实际含义； ③同一个代数式可有多种实际意义。 【例题3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）甲、乙两人对赋予实际意义，甲：若正方形的边长为n，则表示正方形的面积．乙：若梨的单价为n元，则元表示梨的总价．那么下列选项的说法正确的是（     ） A．甲、乙都对 B．只有甲对 C．只有乙对 D．甲、乙都错 【答案】C 【分析】根据代数式的意义解答即可． 【详解】解：甲的说法中，正方形边长为，面积应为，表示正方形的周长，故甲错误． 乙的说法中，梨的单价为元，梨的总金额为元，故乙正确． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·江苏南通·期末）下列各项中，能用表示的是（   ） A．整条线段的长度： B．整条线段的长度： C．长方形的周长： D．整个图形的面积 ： 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的意义，熟练掌握线段长度的和，长方形周长，面积计算是解题的关键．根据线段的和，长方形的周长，长方形的面积的计算公式解答即可． 【详解】解：A、整条线段的长度：，表示为，不符合题意； B、整条线段的长度：，表示为，不符合题意； C、这个长方形的周长： ，表示为，不符合题意； D、这个图形的面积： ，表示为，符合题意． 故选：D． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·湖北孝感·阶段检测）请赋予实际意义_______． 【答案】 一个苹果的质量为a克，那么3个苹果的质量为克（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了用代数式表示，考虑表示a的3倍，因此赋予一个实际情境，其中a表示一个单位量，可得答案． 【详解】解：是a的3倍，在实际生活中，可以表示3个相同物品的总量，例如质量、价格、长度等， 这里选择质量为例，一个苹果的质量为a克，那么3个苹果的质量为克． 故答案为：一个苹果的质量为a克，那么3个苹果的质量为克．（答案不唯一）． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·四川南充·期末）请仔细分析下列赋予实际意义的例子，其中错误的是（   ） A．若一个长方形的长为0.8米，宽为米，则平方米表示长方形的面积 B．若一台电视机原价元，现按原价的八折出售，则元表示这台电视机的现在的售价 C．若一辆货车每分钟行驶0.8千米，行驶了分钟，则千米表示这辆货车所行驶的路程 D．若某河流涨潮前水位为米，涨潮时水位增加0.8米，则米表示涨潮后的水位 【答案】D 【分析】本题考查代数式的实际意义，理解各情境中的数量关系是关键． 分别根据长方形的面积=长×宽、售价=原价×折扣、路程=速度×时间、涨潮后的水位=涨潮前水位+增加水位判断是否合理表示所述量． 【详解】A、∵ 长方形的面积=长×宽， ∴ 长为0.8米，宽为a米时，面积为平方米， 正确． B、∵ 售价=原价×折扣， ∴ 原价a元，打八折（即0.8）出售，售价为元， 正确． C、∵ 路程=速度×时间， ∴ 速度0.8千米/分钟，时间a分钟，路程为千米， 正确． D、∵ 涨潮后的水位=涨潮前水位+增加水位， ∴ 涨潮前水位a米，增加0.8米，涨潮后水位为米，而不是米， 错误． 故选：D． 【题型4】列代数式 1.核心知识点 　　把文字语言中的数量关系用代数式表示。 2.解题方法技巧 　　①抓住关键词（和、差、积、商、倍、平方等）； 　　②分清运算顺序，需先算的整体加括号； ③严格遵循书写规则。 【例题4】.（26-27七年级上·湖北恩施·期中）利川红茶是国家地理标志产品．某商店的红茶每千克m元，现按八折优惠出售，购买2千克应付（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【详解】解：由题意可知，购买2千克应付（元）． 【变式题4-1】.（26-27七年级上·重庆江北·阶段检测）踏上研学之旅，从规划乘车人数到计算行程时间，每一步都有数学的智慧相伴．让我们用数学的眼光拆解实际问题——用代数式表达其中奥秘． 光明中学组织七年级学生搭乘大巴车前往延安革命纪念馆，经统计，若全部租用载客量（不包含司机）为28人的大巴车，需租辆，且差4人可全部坐满，则参加此次研学活动共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】B 【详解】解：辆载客28人的大巴满员可载人， ∵差4人可全部坐满， ∴总人数为人． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·河南周口·期中）某工厂现有工人名，若现有工人数比两年前减少，则该工厂两年前有工人（     ） A．名 B．名 C．名 D．名 【答案】A 【详解】解：现有工人数比两年前减少， 现有工人数是两年前的． 现有工人名， ∴该工厂两年前有工人名． 【变式题4-3】.（26-27七年级上·吉林长春·期中）一个两位数，十位数字是，个位数字是，这个两位数可以表示为________． 【答案】 / 【分析】两位数的数值由各数位数字与对应计数单位的乘积求和得到，十位对应计数单位10，个位对应计数单位1． 【详解】解：∵ 数位的计数单位从右到左依次为个位、十位，对应计数单位分别为1、10， ∴十位数字对应的数值为， ∵个位数字对应的数值为， ∴该两位数的整体数值为两部分之和，即． 【题型5】直接代入求代数式的值 1.核心知识点 　　把字母的取值代入代数式计算。 2.解题方法技巧 　　①代入时负数、分数加括号； 　　②注意乘方运算的符号； ③按运算顺序逐步计算。 【例题5】.（26-27七年级上·湖北恩施·期中）当时，代数式的值是（     ） A．4 B．6 C．2 D．0 【答案】B 【详解】解：当时，． 【变式题5-1】.（26-27七年级上·甘肃临夏·期中）当时，代数式的值为______________． 【答案】0 【详解】解：将代入代数式，可得． 【变式题5-2】.（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）若，，且，则的值是______． 【答案】7 【分析】根据绝对值的定义求出的所有可能取值，结合的条件筛选出符合要求的值，代入计算即可． 【详解】解：， 或， ∵，且， ∴， ． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·广东广州·期中）已知，，且，则值为________． 【答案】 或 【分析】先由绝对值的定义得到x、y的全部可能取值，再结合的异号条件筛选出符合要求的取值组合，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∵， ∴或， ∵， ∴x与y的符号相反， 当时，，代入得； 当时，，代入得． 【培优高频题型】 【题型6】整体代入求代数式的值 1.核心知识点 　　把某个式子（整体）作为一个整体代入求值。 2.解题方法技巧 　　①当无法求单个字母时，把已知等式看成一个整体； 　　②对目标式变形（提公因式、拆项），凑出已知整体； ③避免先解方程求单个字母。 【例题6】.（25-26七年级上·广东广州·期中）已知，则的值为________． 【答案】 【分析】对比已知等式与所求代数式的结构，可通过整体代入法简化计算，无需单独求解的具体值． 【详解】解：∵， ∴． ∴ ． 【变式题6-1】.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知 ，，则 __________． 【答案】 【分析】利用整体代入法求代数式的值，把和的值整体代入待求代数式计算即可． 【详解】解：， ． 【变式题6-2】.（26-27七年级上·广西南宁·期中）已知式子的值是，则式子的值为___________． 【答案】 【分析】将已知代数式的值代入未知代数式计算，得到的结果就是未知代数式的值． 【详解】解：将代入，得：． 【变式题6-3】.（26-27七年级上·河南漯河·阶段检测）已知、互为相反数，、互为倒数，是绝对值最小的数，的绝对值为5，求的值． 【答案】或 【分析】根据题意得到 或，代入代数式求值即可． 【详解】解：∵、互为相反数，、互为倒数，是绝对值最小的数，的绝对值为5， ∴， ∴或， 当时，， 当时，， 即的值为或． 【题型7】由非负数条件求代数式的值 1.核心知识点 　　由绝对值、平方等非负性质确定字母的值再求代数式的值。 2.解题方法技巧 　　①，则且； 　　②由非负性列方程求各字母值； ③代入所求代数式计算。 【例题7】.（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）若，则的值是 ___________． 【答案】 49 【分析】利用绝对值与平方的非负性求出a、b的值，代入目标式计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， 解得，， 将，代入，得． 【变式题7-1】.（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）若，求的值（     ） A．2 B．14 C． D． 【答案】B 【分析】利用绝对值的非负性，由几个非负数的和为推出每个绝对值内的式子均为，求出,,的值后代入代数式计算． 【详解】解：∵，，，且， ∴，，， ∴，，， ∴． 【变式题7-2】.（26-27七年级上·河南新乡·阶段检测）若与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】根据互为相反数的两个数的和等于列出方程，再根据非负数的性质列式求出、的值，然后相加即可得解． 【详解】解：与互为相反数， ， ，，解得，， ． 【变式题7-3】.（26-27六年级上·山东东营·阶段检测）计算： (1)如果，，且，求的值． (2)已知与互为相反数，求的值． 【答案】(1)的值为或 (2)的值为 【分析】（1）先求出，，结合，分情况求出结论； （2）由题意求出，，再代入求值； 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴当，时，； 当，时，； （2）解：∵与互为相反数，，， ∴，， ∴，， ∴． 【题型8】规律型：数字/图形的变化 1.核心知识点 　　观察数字/图形排列规律，用含的代数式。 2.解题方法技巧 　　①相邻差相同用等差数列； 　　②关注符号交替、正负号用表示； 　　③观形法：观察相邻图形变与不变，找基础图形； ④审数法：把图形数量转化为数组规律； 【例题8】.（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）一列数：，，，，，，根据这个规律，第99个数是___________． 【答案】 【分析】分子、分母、符号的规律分开来找，可快速作答． 【详解】解：由所给各数可知， ∵分子依次为，，，，， ∴第个数的分子可表示为； ∵分母依次为，，，，， ∴第个数的分母可表示为； 又∵第奇数个数为负数，第偶数个数为正数， ∴第个数可表示为． 当时，第99个数为． 【变式题8-1】.（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）下列图形都是由同样大小的按一定规律组成的，其中第个图形中一共有个，第个图形中一共有个，第个图形中一共有个，，按此规律排列，则第个图形中的个数为_______． 【答案】 【分析】写出各图形中三角形的个数和，然后根据变化规律写出第个图形中的个数，再取进行计算即可得解． 【详解】解：第①个图形中三角形有：（个）， 第②个图形中三角形有：（个）， 第③个图形中三角形有：（个）， ， 依此类推，第个图形中三角形有（个）， 所以，第⑥个图形中三角形个数一共是：（个）． 【变式题8-2】.（26-27七年级上·江苏徐州·阶段检测）用同样大小的黑色棋子按如图表示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第个图形需棋子（     ）枚． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】认真观察给出的第一个图，第二个图，第三个图，试猜想第个图，找到与点数的关系，再按照这个规律求出第个图所需棋子枚数． 【详解】解：第一个图，点数， 第二个图，点数， 第三个图，点数， 猜想第四个图，点数， 第五个图，点数， ． 第个图，点数， 第个图形需棋子：（枚）． 【变式题8-3】.（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）观察下面三行数： ，，，，，，；① ，，，，，，；② ，，，，，，；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题． (1)第①行的第个数是_____； (2)第②行的第个数是_____； (3)取每行数的第个数，计算这三个数的和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察第①行数字的变化规律，找到第项的表达式，把代入算出结果； （2）对比①②两行相同位置的数，找到数量关系，写出第项的表达式； （3）对比①③两行相同位置的数，找到倍数关系，分别求出三行的第个数，再相加． 【详解】（1）解：， ， ， 可知第①行的第个数为， 故第个数为． （2）解：观察可知，第②行的数比第①行对应位置的数大， 第①行的第个数是， 故第②行的第个数是． （3）解：观察可知，第③行的数为第①行对应位置的数的， 第①行的第个数是， 则第③行的第个数是， 第①行的第个数是， 第②行的第个数是， 第③行的第个数是， ， 故这三个数的和为． 【压轴素养题型】 【题型9】与几何图形有关的代数式求值 1.核心知识点 　　用代数式表示几何图形的面积、周长，再代入求值。 2.解题方法技巧 　　①用字母表示图形的面积、周长（含阴影部分）； 　　②代入给定数值计算； ③不规则图形用面积和差表示。 【例题9】.（26-27七年级上·江苏泰州·期中）如图，某小区有一块长为、宽为的长方形空地，物业计划在空地中修建一条横向和一条纵向的小路，两条小路的宽均为，其余部分铺草坪． (1)用含，的代数式表示铺草坪的面积； (2)当，时，求铺草坪的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把两条小路分别平移到空地的边上，剩下的草坪就能拼成一个长方形，它的长为，宽为，再结合长方形面积公式计算即可得出结果． （2）将，代入（1）中的式子计算即可得出结果 【详解】（1）解：把横向小路平移到空地上边、纵向小路平移到空地右边，剩下铺草坪的部分合起来是一个长为、宽为的长方形， 所以铺草坪的面积为； （2）解：当，时，． 故铺草坪的面积是． 【变式题9-1】.（26-27七年级上·吉林长春·阶段检测）如图，从一块长为米、宽为米的长方形铁皮的四个角各剪去一个边长为米的小正方形，再把四周折起，做成一个无盖的长方体水箱． (1)用含，，的代数式分别表示水箱底面的长和宽； (2)用含，，的代数式表示水箱的底面积； (3)当，，时，求水箱的底面积． 【答案】(1)长米，宽米 (2)平方米 (3)112平方米 【分析】（1）结合图形，列出代数式即可； （2）根据长方形面积公式求解即可； （3）将，，代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，水箱底面的长为米，宽为米． （2）结合（1），可得水箱的底面积（平方米）． （3）当，，时， ，， 所以（平方米）． 【变式题9-2】.（26-27七年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，一所住宅的建筑平面图（数据如图所示，图中长度单位为：米）． (1)用含的代数式表示这个住宅的面积； (2)房主要装修此房屋，客厅和卧室铺地板，厨房和卫生间铺瓷砖．地板每平米元，瓷砖每平米元；当时，求装修这个房屋一共需要花费多少钱？ 【答案】(1)这个住宅的面积为平方米 (2)装修这个房屋一共需要花费元 【分析】（1）根据图形的面积列出代数式，计算即可； （2）根据求代数式的值计算方法，解答即可． 【详解】（1）解： 平方米， 答：这个住宅的面积为平方米； （2）解：铺地板的面积为：（平方米）， 铺瓷砖的面积为：（平方米）， 当时， 铺地板的面积为：（平方米）， 铺瓷砖的面积为：（平方米）． 故总费用为（元）． 答：装修这个房屋一共需要花费元． 【变式题9-3】.（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）在数学活动课上，老师让同学们制作了一些边长为的正方形纸片，并要求各个小组利用这些纸片研究数学问题． (1)勤勉小组提出：将如图（1）所示的纸片的四个角各剪去一个边长为的正方形，得到图（1）中的阴影部分，请计算阴影部分的面积_________（用含x的式子表示），并求出当时，阴影部分的面积为_________． (2)创新小组将图（1）中的阴影部分折成一个无盖的长方体盒子，如图（2），设长方体的容积为，若用含有x的代数式表示V，则____________． (3)先补全表格，再观察表格中容积V的值是否随x值的增大而增大？此时当x取什么整数值时，容积V的值最大？ 1 2 3 4 5 6 7 324 512 500 384 252 (4)课后小英同学继续对这个问题作了以下探究： 当时，；当时，； 当时，：当时，． 小英同学发现使V最大的x的取值一定介于3.3和3.4之间，估计x的取值还能更精确些，小英再计算，3.333，3.3333…时，发现V的值还在逐渐增大．现请你也观察数据变化，能否推测x可以取到哪一个定值，容积V的值最大？最大值是多少？（直接写出结论） 【答案】(1)， (2) (3)，，V的值不随x值的增大而增大，此时当取3时，容积V的值最大 (4)能推测x取时，容积V的值最大，最大值是 【分析】（1）用正方形的面积减去剪去的4个小正方形的面积可得S的表达式，再将代入求解即可； （2）根据图中条件用含x的代数式表示出长方体的长、宽、高，利用长方体体积公式即可得答案； （3）根据表格信息和（2）中结论即可得答案； （4）根据小英取的x值的特点可得x的值无限接近，把代入（2）中所得结论即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意，， 当时，； （2）解：由题意，长方体的长和宽均为，高为， ∴； （3）解：当时，； 当时，， 观察表中数据可知V的值不随x值的增大而增大，此时当取3时，容积V的值最大． （4）解：根据小英取的x值的特点可得，x的值无限接近， ∵当时，， ∴能推测x取时，容积V的值最大，最大值是． 【题型10】实际问题中的代数式求值 1.核心知识点 　　列代数式表示实际问题中的数量，再代入求值。 2.解题方法技巧 　　①理解题意，列代数式表示数量关系； 　　②代入字母的具体取值求值； 　　③注意实际问题的单位与取值意义。 【例题10】.（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）某农机租赁公司共有台联合收割机，其中甲型台、乙型台．现将这台联合收割机派往A，B两地区收割小麦，其中台派往A地区，台派往B地区．两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表： 每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金 A地区 元 元 B地区 元 元 (1)设派往A地区台乙型联合收割机，租赁公司这台联合收割机一天获得的租金为y（元），用含的式子表示； (2)分别求出当等于28，29，30时租金的值． 【答案】(1) (2)当时，；当时，；当时， 【分析】（1）根据题意可知，派往地区的甲型收割机为台，派往地区的乙型收割机为台，派往地区的甲型收割机为（台），再根据表格求解y即可； （2）将，，代入y中求解即可． 【详解】（1）解：若派往地区的乙型收割机为台，则派往地区的甲型收割机为台，派往地区的乙型收割机为台，派往地区的甲型收割机为（台）， ∴； （2）解：当时，； 当时，； 当时，． 【变式题10-1】.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）某市出租车的收费标准是：3千米以内（含3千米）收起步价8元；超过3千米的部分，每千米收2.4元（不足1千米按1千米计算）． (1)小明乘出租车行驶了 8 千米，他应付多少元？ (2)小红乘出租车共付车费 32 元，她最多行驶了多少千米？ (3)若行驶 千米（且为整数），请用含的式子表示应付的车费． 【答案】(1)元 (2)千米 (3)元 【分析】（1）先算出超过3千米部分的里程数，再根据题意求出需要付的车费； （2）先计算出超出起步价部分的费用，再用超出费用除以超出部分的每千米费用即可得到对应里程数，最后即可计算出结果； （3）根据题意即可列出含有x的式子，表示出行驶x千米后应付的车费． 【详解】（1）解：超过 3 千米的部分为 （千米）， 应付（元）． （2）解：超出起步价的部分为 （元），对应里程（千米）， 所以最多行驶了 （千米）． （3）解：应付车费为 元． 【变式题10-2】.（26-27七年级上·全国·期中）为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费．收费标准如下表： 月用量 不超过180 超过180，不超过280的部分 超过280的部分 收费标准/[元] (1)如果恒恒家每月缴电费y元，每月用电量为，用含x的代数式表示电费y： ①当时，______； ②当时，______； ③当时，______． (2)若恒恒家6月份缴电费138元，求恒恒家6月份的用电量． 【答案】(1)①．②．③ (2) 【分析】（1）根据题意，直接分段列出相应的代数式即可； （2）根据（1）的结论；由交电费元可知在第二段，代入代数式可得用电量． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时， ． （2）解：当时，（元）； 当时，（元）； ， 故用电量处于第二段， 由时，得到， 解得：． 恒恒家6月份用电． 【变式题10-3】.（26-27七年级上·河南漯河·阶段检测）根据以下材料完成任务． 设计被子采购方案 每年“双12”某网上商城都会推出各种优惠活动进行促销．今年，某宾馆负责人张阿姨在“双12”到来之前准备在某网上商城三家店铺中选择一家购买原价均为1000元／条的被子若干条． 素材1 已知三家店铺在非活动期间，均按800元销售，“双12”活动期间在此基础上再分别给予优惠； 素材2 店铺：“双12”当天购买可以再享受8折优惠； 素材3 店铺：“双12”当天下单， ①每满800元可使用店铺优惠券50元； ②每满400元可使用商城“双12”购物津贴券50元； ③每单立减80元，但同一用户活动当天仅可享受1次立减优惠（即不可拆分订单重复享受）； （例：同一用户活动当天购买2条被子需支付元） 素材4 店铺：“双12”当天下单可享立减及满赠——所有订单都能享每条立减140元，当订单的实付数量达到10条及以上时，在立减的基础上还能再免费获赠1条同款商品． 问题解决 (1)任务1 付款方式1：若在店铺9条被子作一单购买，需支付______元； 付款方式2：若在店铺9条被子作一单购买，需支付______元； 付款方式3：若在店铺9条被子作一单购买，需支付______元； (2)任务2 对比方案：若张阿姨在“双12”当天下单，且实际购得条该款被子，请用含的代数式分别表示在这三家店铺购买的实际费用．（说明：张阿姨购得的条被子均作一单购买） (3)任务3 明确需求：已知张阿姨在“双12”当天需下单购得26条该款被子，且可分批次自主选择下单渠道． 最优方案设计：请结合各店铺优惠规则，请直接写出最省钱的方案，并写出该方案下的最终购买总金额 【答案】(1)；； (2)A店铺的费用为元；B店铺的费用为元；当（a为整数）时，C店铺的费用为元，当（a为整数）时，C店铺的费用为元； (3)最省钱的方案为在C店铺分两批购买，第一批购买10条，获得11条，第二批购买14条，获得15条，总金额为15840元 【分析】（1）根据题意分别列式得到三家店铺需要支付的费用； （2）根据题意可以用代数式表示出在三家店铺的购买费用，其中在C店铺的费用分当和两种情况求解； （3）根据（2）所求分别计算出A店铺和B店铺的费用，再计算出在C店铺购买，第一批10条，第二批14条的费用，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：付款方式1：若在店铺9条被子作一单购买，需支付元； 付款方式2：若在店铺9条被子作一单购买，需支付 元； 付款方式3：若在店铺9条被子作一单购买，需支付元； （2）解：A店铺的费用为元， B店铺的费用为元， 根据题意可知，无法通过C店铺一单购买刚好购得10条被子，即， 当（a为整数）时，C店铺的费用为元， 当（a为整数）时，C店铺的费用为元； （3）解：当时，， ， ∴A店铺的费用为元，B店铺的费用为元， 在C店铺分两批购买，第一批购买10条，获得11条，第二批购买14条，获得15条，总费用为， ∵， ∴最省钱的方案为在C店铺分两批购买，第一批购买10条，获得11条，第二批购买14条，获得15条，总金额为15840元． 易错点 　　1、误把等式、不等式当作代数式，如不是代数式。 　　2、数与字母相乘时数未写在前面，或漏写乘号，如误写为。 　　3、除法未写成分数形式，如应写为。 　　4、直接代入时负数、分数未加括号，如代时误写。 　　5、整体代入时不会对目标式变形（提公因式凑整体）。 　　6、忽视字母取值的实际意义与限制条件。 重点 　　1、掌握代数式的概念与判断方法。 　　2、掌握代数式的书写规则。 　　3、会正确列代数式。 　　4、掌握求代数式的值的步骤（代入、计算）。 难点 　　1、正确区分运算顺序，准确列代数式。 　　2、整体代入、非负数条件等特殊方法求代数式的值。 　　3、从图形、表格、规律中建立代数式并求值。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列各式中，符合代数式书写规范的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项，数字与字母相乘时，数字应写在字母左侧且省略乘号，正确写法为，故不符合规范； 选项，带分数与字母相乘时，需化为假分数，正确写法为，故不符合规范； 选项，代数式中除法运算需写成分数形式，正确写法为，故不符合规范； 选项，符合代数式书写规范． 2．观察下列一列数：，按此规律，第n个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可知，第n个数的符号由确定，绝对值依次为， ∴第n个数是． 3．有一种塑料杯子的高度是，两个以及三个这种杯子叠放时的高度如图所示，则个这种杯子叠放在一起时的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目中的图形，可知每增加一个杯子，高度增加，从而可以得到n个杯子叠在一起的高度，即可求解． 【详解】解：由图可得，每增加一个杯子，高度增加， 则n个这样的杯子叠放在一起高度是：． 二、填空题 4．已知，，且，则_________． 【答案】 或 【分析】先根据绝对值的定义得到x、y的所有可能取值，再结合判断x、y异号，筛选出符合条件的取值组合，代入计算的结果． 【详解】解：∵， ∴或， ∵， ∴或， ∵， ∴ x、y异号， 当时，，此时， 当时，，此时． 5．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，且，则_________． 【答案】7 【分析】先把，，的值分别求出来，再整体代入． 【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数， ∴，， ∴． 6．一本书，小明每天看页，天后还剩页没看完，这本书共有________页． 【答案】 【分析】总页数等于已阅读的页数加上未阅读的剩余页数，其中已阅读页数为每日阅读页数与阅读天数的乘积． 【详解】解：小明每天看页，连续看了天 累计已看的页数为页 看了天后还剩页未读 这本书的总页数为已看页数与剩余页数之和，即页． 三、解答题 7．已知． (1)求、的值； (2)若，求的值；若，求的值． 【答案】(1)或；或 (2)当时，或；当时，或 【详解】（1）解：由得或； 由得或． （2）解：若，则、异号： 当，时，；当，时，， 所以或． 若，则、同号； 当，时，；当，时，， 所以或． 8．学校礼堂第一排有个座位，后面每一排都比前一排多2个座位． (1)第二排、第三排各有多少个座位？（用含的式子表示） (2)第排有多少个座位？ (3)当时，第10排有多少个座位？ 【答案】(1)第二排有个座位，第三排有个座位 (2) (3)38 【分析】（1）根据题意即可列代数式； （2）列出前几排的座位数，找出规律即可求解； （3）把，代入（2）中的代数式求解即可． 【详解】（1）解：第二排有个座位，第三排有个座位； （2）解：由题意得，第二排有座位数：， 第三排有座位数， 第四排有座位数 ∴第排有个座位； （3）解：当，时， （个）， 答：第10排有38个座位． 9．根据记录，从地面向上及以内（含），高度每上升，气温降低；又知在距离地面以上的高空，气温几乎不变．今天小敏同学在咸阳机场准备乘飞机从西安飞往海南参加活动，此时地面气温为，设飞机飞行过程中距地面的高度为． (1)飞机距地面的高度在及以内（含）的机外温度为________；（用含x的式子表示） (2)当飞机距离地面12km时，求机外温度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）地面温度减去下降的温度，高度每上升1km降温，上升一共降温，即可列出温度代数式． （2）以上高空气温不变，所以高度的温度等于高度对应的温度，代入计算． 【详解】（1）解：地面气温，每升高，气温下降． ∵升高， ∴气温下降． ∴机外温度为． （2）解：由题意，高度超过11km后，气温几乎不变． 所以12km高度的温度等于11km高度的温度． 把代入， ， 答：机外温度为． 10．如图，某田径场的最内圈半圆弯道半径为，每条弯道都是半圆，每条直道均长，且每条跑道均宽． (1)请用代数式表示最内圈的周长（用含有，，的代数式表示）； (2)若弯道最内圈的半径，直道，请计算图中田径场最外圈的周长是多少（取3.14）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据最内圈跑道的长两段直道的长度一个半径为的圆的周长，即可求解； （2）先可得最外圈弯道半径为，再根据最外圈的周长为，即可求解． 【详解】（1）解：由图可得，最内圈的周长为． （2）解：由图可得，最外圈弯道半径为， ∴最外圈的周长为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $