甘肃兰州西北中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

《2024-2025兰州西北中学高二上期中考试试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B D C A AB BD 题号 11 答案 BC 1.A 【分析】运用诱导公式，逆用两角和的正弦公式进行求解即可 【详解】eos56cos264sin56%n2645m34cos264cos34%in26in34265 故选：A 2.C 【分析】利用等比数列的通项公式列式即可得解 【详解】因为数列{an}为等比数列，4=1，q=2,a=128, 所以a=4g-1=2-1=128,解得n=8. 故选：C 3.B 【分析】根据等比数列的单调性结合充分条件和必要条件的定义即可得解。 【详解】当4>4>0，则公比q=2>1, 所以4=aq-1>0, 则2=q>1,所以aH>a,所以{a}为递增数列， a 若a=- 此时数列{a}为递增数列，而0>凸>4， 所以“4>4>0”是“{a}为递增数列的充分不必要条件. 故选：B. 4.B 【分析】根据斜率的计算公式求相应的斜率，结合图形分析斜率的取值范围. 【详解】如图所示： 答案第1页（共10页） 则号6标专 3-2 若过点P(3,3)的直线1与线段MN相交，所以sk≤6. 6 故选：B. 5.D 【分析】根据题意，求得直线1的倾斜角为120，得到1的斜率为k=-√3，结合直线的点斜式方程，即可 求解 【详解】设直线y=√5x+√5的倾斜角为a,其中0≤u<180 由直线y=√3x+√3，可得斜率为k=√3，即tanu=√5，可得=60， 根据题意，可得直线1的倾斜角为2a=120←，所以直线1的斜率为k=tan120=-√5， 因为直线1经过点P(3,4),可得直线l的方程为y-4=-V3(x-3). 故选：D 6.C 【分析】由直线垂直的判定列方程求参数即可. 【详解】由题设(3-m)1-2m+(2-1)m+5)=0,，整理得(m+1)(2m-1)=0, 1 所以m=-1或= 2 故选：C 7.C 【分析】根据题意分析可得P点的轨迹是圆心为M(2,2),半径为5=√2的圆，结合圆的性质运算求解 【详解】圆C:(x+1)+(y+1)=1的圆心C(-1,-1),半径1=1， 因为x1+(-1)xm=0, 所以直线：x-y-31+1=0与直线2：x+0y-3m-1=0互相垂直， 由：x-y-3m+1=0，得m(x-3)-y+1=0,所以直线过定点W(3,1), 答案第2页（共10页） 由l2:x+y-3-1=0得x-1+(y-3)=0,所以直线过定点N(1,3), 因为v中点为M22),M-wM=23-旷+0-y=万. 所以P点的轨迹方程为(x-2)+(y-2)=2,其圆心为M(2,2),半径为5=√2， 所以2点的轨迹是以C(-1,-1)为圆心，1为半径的圆， 且MC=V(2+1)2+(2+1=35, 故PO的最小值为PO=MC-1-√2=2√2-1. 故选：C 8.A 【分析】设AB的中点为M,得到AM=BM=PM,连接AO,BO,MO,根据OM⊥AB, 得到OM+PM=16,设M(x,y),求得(x-1)2+(y-1)2=6,得出点M的轨迹，再由AB=2PM|,得到 当PM取最大值时，结合圆的性质，即可求解 【详解】如图所示，设AB的中点为M,连接PM, 由PA⊥PB,可得AM=BM=PM=)AB, 连接AO,BO,MO,则AO=|BO=4,所以OM⊥AB, 所以OM+AM=oM+|PM=OA=16, 设M(x,y),则x2+y2+(x-2+(y-2)2=16,整理得(x-1+(y-12-6, 所以点M的轨迹是以点(1,1)为圆心，√6为半径的圆， 因为A=2PM,所以当PM取最大值时，AB取最大值， 又因为PM=V(2-1'+(2-1+6=V2+V6, 故AB到的最大值为2(V2+√6)： 故选：A. 答案第3页（共10页） O B 9.AB 【分析】根据给定条件，列出方程求解即得。 【详解】等比数列}中，4=6，前三项和，=18，则受++4=18，于是己+2=0， 解得-2或2=1， 9 1 所以公比q的值为-。或1， 2 故选：AB 10.BD 【分析】计算直线定点即可判断A项，计算截距为-1即可判断B项，计算两直线斜率的乘积，并将点代 入方程验证即可判断C项.，举反例即可判断D项，从而求解 【详解】对于A:y=a(x-2)+3得直线过定点(2,3)，故A项正确，不符合题意： 对于B:令x=0,得y=-1,故在y轴上的截距为-1，故B项错误，满足题意： 对于C白2x+y1=0,￥-2y3=0的斜率分别为-2，分则有-2兮-1，故树直线互相至直， 将(-2,3)代入直线方程2x+y+1=0得2×(-2)+3+1=0，故(-2,3)在直线上，故C项正确，不符合题意： 对于D:y=x过点P(1,1),且与坐标轴截距相等，故D项错误，符合题意： 故选：BD 11.BC 【分析】对于A,设’=k,利用直线y=:与圆C有公共点，可求得上的最大值，判断出A;对于B,把点代 入圆C的方程即可判断：对于C,先判断出两圆相交，利用两圆方程相减求得公共弦所在直线方程，利用弦 长公式求解即可；对于D,求得圆心到直线的距离即可判断： 【详解】因为圆C:x2+y2-6x+5=0可化为(x-3}+y2=4, 所以圆心C3,0),半径r=2, 对于A,设兰=k,则y=:与圆C有公共点， 3k-0 故 2，解得-25sk≤25 V2+1 5 答案第4页（共10页） 则的大相为2兰度A倍系 对于B,把点2，V2)代入得(2-3)2+(2)2=3<4， 则点(2，√2)在圆C内，故B正确： 对于C,圆E:x2+y2-4x-2y+4=0的方程可化为： (x-2)2+0y-1)2=1, 圆心坐标为(2,1)，半径片=1， 则r-=1<CE到=V3-2)+(0-1)=V2<r+万=3， 故两圆相交， 则两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程为2x-2y-1=0, 6-0-15√2 故圆心C3,0)到直线的距离d= √22+(-2)24 所以公共弦长为24-(Y-4,故C正确： 4 2 对于D,圆心C3,0)到直线V5x-2y-√5=0的距离d= 5x3-2x0-_25≠2，故D错误， V5+4 3 故选：BC 2月 【分析】先分析q≠1，再由等比数列的前项和公式和平方差公式化简即可求出公比q. 【详解】若q=1, 则由8S%=7S3得8.64=7·34，则4=0，不合题意. 所以q≠1 当q≠1时，因为8S6=7S, 所以841-4）-7.a(1-） 1-9 1-9 即8(1-q)=7(1-q),即8(1+4)1-q)=7.1-q),即8(1+4)=7， 解得q=1 2 故答案为：一2 1 答案第5页（共10页） 13.(x-2)+y2=9 【分析】根据圆的方程可得圆心与半径，求得圆心连线的斜率与中点，结合题意，建立方程组，可得答案 【详解】由圆C:x2+(y-)=9,则圆心C(0,1),半径r=3, 设C2(x,y),由题意可得圆C2的半径为3， 直线CC的斜率k=y=",线段CC的中点为；，巴 0-xx 2’2 由直线1：4x-2y-3=0,则其斜率k=2, 2.y-1=-1 可得 ，解得 4.X-2.1+y-3=0 =0则9(2,0). x=2 (2 2 圆C3:(x-2+y2=9 故答案为：（x-2)}+y2=9. 14.35-5 【分析】(x,y)在以(-2,1)为圆心，3为半径的圆上，设2x-y=t,根据圆心到直线的距离小于等于半径得 到不等式，求出答案 【详解】x2+y2+4x-2y-4=0,即(x+2)+(y-1)=9, 故(x,y)在以(-2,1)为圆心，3为半径的圆上， 设2x-y=t,即2x-y-t=0,2x-y-t=0表示直线， 2x-y-t=0要与(x+2)+(y-1)=9有公共点， 故4-1-4≤3，解得-35-5≤1≤3N5-5, V4+1 故2x-y的最大值为3√5-5 9 15.()a=2n (2)8,n=4 【分析】(1)由等差数列基本量的计算即可求解公差和首项，进而可求通项， (2)根据等差数列求和公式，结合二次函数的性质即可求解最值 [S2=24+d=6 7 【详解】(1)由题意， s=5a+10d=15 \422 2d--1 答案第6页（共10页） a子(-)}n 2 ∴.当n=4时，Sn取最大值为8. 16.(1) i=(ian)(amti-a)=aan 因为4>0，所以a+1+a>0, 所以4+H1-a=1, 所以数列{a}是以2为首项，以1为公差的等差数列. (2)☒= n+1 【分析】(1)根据题中等式因式分解后化简，根据等差数列定义证明即可： 1 (2)根据(1)中证明过程得到数列{a}通项公式，得到数列 通项公式，再裂项相消求和即 a(4-1) 可 【详解】（1)略 (2)由(1)知，a.=2+(n-1)x1=n+1, 1 所以。 111 4.(a.-1)n(n+1)nn+1' (nn+1 n+1n+1 17.(1)5x+3y+1=0: (2)3x-5y+14=0: 号 【分析】(1)利用直线的两点式方程即可求得BC所在直线的方程； (2)先求得直线AD的斜率，再利用直线的点斜式方程即可求得AD所在直线的方程： (3)利用点到直线距离公式求得BC边上的高，再利用两点间距离公式求得BC边的长，进而求得三角形 ABC的面积， 【详解】(1)因为B(1,-2),C(-2,3), 所以直线BC的两点式方程为)+2-x-1 3+2-2-19 化简得5x+3y+1=0: 答案第7页（共10页） -2-35 (2)因为c1-2-3叉4DLBC, 则kck知=-1，所以k知亏 3 3 则直线AD的方程为y-4=(x-2), 即3.x-5y+14=0 (3)点A(2,4)到直线BC:5x+3y+1=0的距离 4D=5x2+3×4+1_23-23Na V52+32 V34 34 又ABC的底边BC=V3+2)2+(-2-1)2=√34， 所以A8C的面积为S=}×54×23√34_23 34-2 18.1)证明见解析：定点的坐标(1-1)：(2)4B-3 二：(3)答案见解析. 4 【分析】(1)利用恒等式可得直线所过的定点： (2)由条件可知两直线平行，代入两平行线间距离公式计算即求： (3)由垂直的直线斜率乘积为-1，可得直线1的斜率，再结合所选条件即求. 【详解】(1)证明：由直线：x+y+a+1=0变形得：a(x+1)+y+1=0, x+1=0 该式为恒等式，故 y+1=0 所以x=-1,y=-1, .直线过定点，该定点的坐标为(1,1) (2)因为，2不重合，且垂直于同一条直线， 所以，44， a(a-1)=2x1 所以有 a×3≠2×(a+1)1 从而a=-1. 1:-x+y=0即：x-y=0 4:2x-2y+3=0,即：x-y+2=0, 3 所以AB\= 235 V12+12 4 答案第8页（共10页） (3),a=0,直线1与l垂直， .直线l:2x-y+3=0, 可得直线马的斜率为2，则直线1的斜率为 3 选①：直线1过坐标原点 故直线1的方程为：y=号即x+2=0: 选②：坐标原点到直线1的距离为1， 设直线1的方程为x+2y+c=0, 21,得。=5 由 所以直线1的方程为：x+2y±√5=0： 选③：直线1与交点的横坐标为2， 又4：y+1=0,可知交点为(2，-1)， 所以直线1的方程为：41=-2)，即x+2y=0 19.(1)2W2 (2)存在点P(1,1)或(3，-3)满足题意 【分析】(1)求出直线所过的定点M,根据圆的几何条件可得AB取最小值时，AB⊥CM,根据再根据 圆的弦长公式即可得解： (2)由题意可得直线，山的斜率都存在且都不等于零，设直线4的斜率为k,则的斜率为，两弦长相 等转化为对应圆心到直线的距离相等，根据点到直线距离公式展开得关于斜率k的恒等式，再根据恒等式 成立的条件解出点P坐标 【详解】(1)直线x-y+(m-1)=0(∈R)过定点M(-1,-1), AB取最小值时，AB⊥CM, CM=V(0+1)2+(-2+1)2=√2， ABlin =2V4-ICM=2; (2)设P(a,b), 由题意可得直线，l,的斜率都存在且都不等于零， 答案第9页（共10页） 设直线的方程为y-b=k(x-a(k≠O),即x-y-ak+b=0, 则直线5的方程为y-b=-ak≠0，即x+为-k-a=0. 圆C1:x2+(y+2)2=4的圆心C1(0,-2),半径1=2， 圆C2:(x-4)2+y2=4的圆心C2(4,0),半径5=2， 则圆心C(0,-2)到直线4的距离d=2-k+4 Vk2+1 圆心C(4,0)到直线马的距离d=4-bk-d Vk+11 因为直线1被圆CG所截得的弦长等于直线被圆C2所截得的弦长且5=5， 所以d=d, 即2-k+A_4--d,即lp-k+-4-bt-d小， Vk2+1Vk2+1 整理得a2-b2)k2+(-4ab-4a+8b)k+b2-a2+4b+8a-12=0对任意k恒成立， 「2-b2=0 所以-4ab-4a+8b=0,解得 a=1「a=3 b2-d2+4b+&a-12=0 6-1或6=3 所以存在点P(1,1)或(3，-3)满足题意. YA C, 【点睛】关键点点睛：解决第二问的关键是将两弦长相等转化为对应圆心到直线的距离相等，根据点到直 线距离公式展开得关于斜率k的恒等式， 答案第10页（共10页） 2024-2025兰州西北中学高二上期中考试试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．的值为（    ） A． B． C． D． 2．等比数列中，，公比，若，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．已知是等比数列，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．过点的直线与线段MN相交，，则的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 5．直线经过点，它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 6．若直线与直线互相垂直，则的值为（    ） A． B．1或 C．或 D．1 7．已知直线：mx－y－3m＋1＝0与直线：x＋my－3m－1＝0相交于点P，点Q是圆C：上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知是圆上的两个动点，点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在等比数列中，，前三项和，则公比q的值为（    ） A．1 B． C． D． 10．下列说法错误的是（    ） A．直线必过定点 B．直线在轴上的截距为1 C．过点且垂直于直线的直线方程为 D．过点，且在两坐标轴的截距相等的直线方程为 11．已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．若点为圆上一点，则的最大值为 B．点在圆内 C．圆与圆的公共弦长为 D．直线与圆相切 三、填空题 12．记为等比数列的前项和．若，则的公比为________． 13．若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为_____. 14．如果实数，满足等式，那么的最大值是________． 四、解答题 15．已知等差数列，是数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值，并求取最大值时的值. 16．已知数列. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和. 17．如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： (1)所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程； (3)三角形的面积. 18．已知两条直线，． （1）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标； （2）若，不重合，且垂直于同一条直线，将垂足分别记为A，B，求； （3）若，直线l与垂直，且________，求直线l的方程． 从以下三个条件中选择一个补充在上面问题中，使满兄条件的直线l有且仅有一条，并作答． 条件①：直线l过坐标原点； 条件②：坐标原点到直线l的距离为1； 条件③：直线l与交点的横坐标为2． 19．已知圆与圆. (1)若直线与圆相交于两个不同点，求的最小值； (2)是否存在点，满足经过点有无数对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，并且直线被圆所截得的弦长等于直线被圆所截得的弦长？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $