2026-2027学年高二数学上学期期中考试模拟卷三（人教A版适用 ）

2026-2027学年高二数学上学期期中考试模拟卷三（人教A版适用 ） 范围：高中数学人教A版选择性必修一第一章+直线部分 考试注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 2．不重合的两点与在某一坐标平面内的射影点相同，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为两点的值不同，在平面上的射影不受值影响， 只有在平面上射影可以相同，将两点向平面投影，纵坐标化为， 可得，即， 所以. 3．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，，得. 4．若直线：与直线：（）平行，则这两条直线间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，∴由两直线平行的一般方程 关系可得，解得，则， 由两平行直线距离公式可得. 5．设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【详解】已知，，由两点斜率公式得； 已知，，同理得. 直线过定点，当绕点旋转时，若直线与线段相交， 结合图象分析可得：或，即或. 6．如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为基底向量，再用向量法求线线角可得. 【详解】因为正三棱柱中，，所以平面， 又面，所以， 因此. 设，由勾股定理得，且 又因为， 所以 . . 因此异面直线与所成角的余弦值是. 7．如图，正方体的棱长为，若在正方体内部且满足，则到直线的距离最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量及配方法求解即可． 【详解】以A为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系： 则，，，，， 所以，，， 所以，所以， 又因为P在正方体内部，所以， 又因为，， 令， 设P到直线的距离为d， 则 ， 所以当时，取最小值，为， 所以P到直线的距离最小值为． 8．已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则的最大值为（    ） A． B． C．10 D．5 【答案】C 【分析】先求出两个定点坐标，再根据两直线系数关系，易判断两直线垂直，由勾股定理可得，再设，则，最后令，转化为关于的一元二次方程，利用判别式法求出的最大值，即的最大值. 【详解】由题可知，，，则， 由，则，又直线的方程为， 易知，所以，因此是以为直角顶点的直角三角形， 则由勾股定理可得，设，又，所以， 因为，令，则，代入得， 化简整理得，则关于的一元二次方程有解，所以，即， 化简得，解得，又，所以，所以的最大值为10，即的最大值为10. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题为真命题的是（   ） A．已知是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B．已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为 C．“存在实数，使”是“与，共面”的充分不必要条件 D．已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心 【答案】ACD 【分析】对于A，设，再判断是否有实数解即可；对于B，根据向量的夹角公式计算；对于C，根据命题条件的判定，结合向量的性质判断即可；对于D，由重心的向量表示即可判断． 【详解】对于A选项，设， 因为是空间的一组基底， 所以，无实数解，故不共面， 所以也是空间的一组基底，A正确； 对于B：因为，， 所以向量与的夹角余弦值为，B错误； 对于C：“存在实数，使”可以推出“与，共面”， “与，共面”不一定能推出“存在实数，，使”， 因为当，共线但与，不共线时，与，共面成立， 但不存在实数，，使，C正确； 对于D：因为，所以， 即，即， 所以，，共面且有公共点，所以点在平面内， 取中点，则有， 同理取中点，则有， 所以为的重心，D正确． 10．下列说法正确的有（ ） A．直线过定点 B．若两直线与平行，则实数的值为1 C．若，，则直线不经过第二象限 D．点，直线与线段相交，则实数的取值范围是或 【答案】ACD 【分析】A选项，将直线变形为点斜式，求出所过定点；B选项，根据两直线平行，得到方程，求出实数的值，检验后得到答案；C选项，直线变形为斜截式，得到斜率与在轴上的截距；D选项，求出过定点，画出图象，数形结合得到实数的取值范围. 【详解】，故直线恒过定点，A正确； 两直线与平行，则，解得或， 当时，两直线与满足要求， 当时，两直线与满足要求， 综上，或，B错误； 若，，则直线变形为， 直线斜率，与轴截距为 直线经过一，三，四象限，不经过第二象限，C正确； 直线，直线经过定点， 画出坐标系，如下： 其中，， 则要想直线与线段相交，则直线斜率或， 解得或，故D正确. 11．下列说法正确的是（     ） A．若平面的法向量，，则点到平面的距离是 B．直线的方向向量，平面的法向量，则 C．已知三向量，，共面，则 D．若空间向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】对A选项直接由向量法计算点到平面的距离可得；对B选项直接判断向量与平面的法向量是否平行可得；对C选项直接由空间向量基本定理列方程组，解方程组可得；对D选项由向量夹角为锐角可得且不能同向共线，再代入坐标计算可得. 【详解】选项A，由平面的法向量，， 所以点到平面的距离，故A正确； 选项B，由直线的方向向量，平面的法向量， 因为，所以与不平行，故不成立，故B错误； 选项C，已知三向量，，共面， 则存在实数，使得， 得， 得，解得，故C正确； 选项D，若空间向量与的夹角为锐角， 则且不能同向共线， 由，解得， 若共线，令，即， 故，方程组无解，所以不同向共线， 综上，实数的取值范围是，故D正确. 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若，，为空间两两夹角都是的三个单位向量，则________． 【答案】 【详解】已知，，为空间两两夹角都是的三个单位向量， 则，，，， ， 代入数值可得， 所以 13．在正三棱柱中，，是线段上的一动点，则点到直线的距离的最小值是________. 【答案】 【分析】以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量求法得出距离表达式，并根据二次函数性质即可求出距离最小值. 【详解】以为原点，，所在直线分别为轴、轴，在平面内过并垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如下图：    因为，所以，，，， 所以，，. 设，则， 故点到直线的距离. 当时，等号成立； 因此点到直线的距离的最小值是. 故答案为： 14．已知直线过点，且与直线平行，交轴、轴于，两点，为坐标原点，则的最小面积为_______． 【答案】4 【分析】根据三角形面积公式结合基本不等式求解. 【详解】由直线平行关系，可设过点的直线方程为：，则，， 因为，所以，， ， 当且仅当，即：时等号成立，此时的最小面积为4. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知直线． (1)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； (2)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点．设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)直线的方程为或； (2)的最小值为，此时直线的方程为. 【分析】（1）对直线是否过原点进行分类讨论，求出参数的值，综合可得出直线的方程； （2）求出直线所过定点的坐标，设直线的截距式方程为，将定点坐标代入直线的截距式方程，结合基本不等式可求出的最小值，利用等号成立的条件求出、的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）若直线过原点，则有，解得，此时直线的方程为，即； 若直线不过原点，可设直线的方程为，整理可得， 此时直线的斜率为，故直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. （2）对直线的方程变形得，由，解得， 故直线过定点， 由题意，设直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的截距式方程可得， 因为，则，由基本不等式可得，整理可得， 故， 当且仅当时，即当时，等号成立， 此时直线的方程为，即. 16．（15分）空间中，两两垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系.如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它的任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”，类比空间直角坐标系，分别为“斜坐标系”下三条数轴轴，轴，轴）正方向上的单位向量，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标.若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作在平行六面体中，，，，建立“空间斜坐标系”如图所示.若，，且. (1)求向量的斜坐标； (2)求； (3)求 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先用基底写出与，作差即得的斜坐标； （2）把斜坐标还原为、的组合，利用三个单位向量两两成展开数量积（交叉项系数为），由垂直条件解出，再用模长公式求； （3）把两向量的斜坐标都写成、、的组合后逐项展开数量积，注意、都等于. 【详解】（1）设、、分别为、、轴正方向的单位向量， 由、得，，， 且. 由知是的中点，. 又， 所以，其斜坐标为. （2）由得，且. 由得， 解得. 所以，. （3） . 17．（15分）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，E，F，G分别是PA，PC，PD上的点，且． (1)证明：； (2)已知B，E，G，F四点共面，求的长． (3)与相交于点O，是否存在点G，使得平面，若存在，求出长度． 【答案】(1)证明：如图 连接与，因为底面是正方形，所以， 又因为平面，且平面，所以， 因为，且，平面，所以平面， 又因为平面，所以． (2) (3)存在， 【分析】（1）连接与，根据题意，分别证得，，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得； （2）以D为原点，建立空间直角坐标系，设，求得平面的一个法向量，结合，列出方程，求得h的值，即可求解． 【详解】（1）略 （2）如图，以D为坐标原点，以，，分别为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系， 因为，，所以， 又因为，所以E，F分别是PA和PC上的三分点， 可得，，， 设，则，，， 设平面的法向量，则， 令，可得，，所以， 因为平面，所以，即，解得， 所以的长为． （3）建立与（2）相同的空间直角坐标系，可得平面的法向量，设， 因为平面，所以． ． ． 因为，所以存在这样的点． 此时． 18．（17分）如图，在三棱锥中，，，，，平面平面． (1)求证：平面； (2)求异面直线和所成角的余弦值； (3)在线段上有一点，，，求的值，使得平面和平面所成的角的大小为． 【答案】(1)在平面中作于点， 因为平面平面，平面平面 所以平面． 过点作的平行线，交于点，则平面，则， 由于，故， 如图，以为原点，直线，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系． 设．因为，所以，． 因为，，所以． 所以，，，，， 则，， 所以，所以， 又，平面，所以平面； (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用向量数量积证明，再结合线面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）利用异面直线所成角的向量求法，即可求解； （3）根据，可得，从而求出平面的法向量，利用向量夹角公式结合平面和平面所成的角的大小为可列出关于的方程，即可求得答案. 【详解】（1）略 （2）因为，， 所以， 结合异面直线所成角的范围为， 所以直线与所成角的余弦值为． （3）因为，所以，， 所以， 设平面的一个法向量，则， 所以，令，则， 则 平面的一个法向量为， 所以， 整理得，解得或，又因为点在线段上，， 所以 19．（17分）已知动直线恒过定点. (1)求点的坐标. (2)设动直线与直线交于点，与轴交于点，过点作轴的垂线，垂足为，求证：直线过定点. (3)已知点和，设是边上一动点，且点到，的距离分别为，，若是定值，求实数的值. 【答案】(1) (2)由，得， 解得，所以. 所以. 所以. 对， 令，得， 得. 所以. 所以直线的方程为， 化简得，， 即， 由，得. 所以直线恒过定点. (3) 【分析】（1）对直线分离参数，得，令，可得点的坐标； （2）分别表示出的坐标，从而得的方程，分离参数，可证得直线过定点； （3）分别求得边，直线的方程，设 ，用表示出，根据是定值，得的系数为，从而求得实数的值. 【详解】（1）由， 得. 由，得. 所以动直线恒过定点，即. （2）略 （3）因为，，， 所以边的方程为， 即. 直线的方程为，即； 直线的方程为，即. 设，则， 所以， ， 若是定值，则为定值， 所以，解得. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高二数学上学期期中考试模拟卷三（人教A版适用） 范围：高中数学人教A版选择性必修一第一章+直线部分 考试注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位 置 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.如图，在三棱锥A-BCD中，DA+AC-DC=() D B C 可经口互薄 动弱 A.0 B.2CD c.2DC 讲诊 题断 AD 2.不重合的两点A1,0,a与Bb,1,3在某一坐标平面内的射影点相 同，则 AB=() A.1 B.2 c.V3 D.2 3.已知向量a=-2,-1,16=1,t0若a+i1d则t=（） A.4 B.-2 c.0 D.2 4.若直线l1:x+2y-3=0与直线l2:k-2y+2=0(k∈R)平行，则这两条直线间的距离为() A. B.2S5 5 c.3 D.45 5 试卷第1页（共3页） 5.设点A4,-3,B-2,-2,直线过点P1,1且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是() A.k≥1或k≤-4 B.k≥1或k≤-3 C.-4≤k≤1 0.子k5- PI P AB 直线过定点，当绕点旋转时，若直线与线段 相交， 结合图象分析可得：k之k或K≤K,即k≥1或k≤-号 6.如图，在正三棱柱ABC-A1BC1中，AB=AA1,则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值是 () A B A.0 2 B.4 c.6 4 7.如图，正方体ABCD-EFGH的棱长为4，若P在正方体内部且满足花-3AB+号AD+tA花，则P 到直线BH的距离最小值为() E G D 试卷第2页（共3页） B c.6 2 D.2 8.己知m∈R,若过定点A的动直线l1:x-my+2m-1=0和过定点B的动直线l2:y-4=-mx+3 交于点P(P与A,B不重合)，则PA+2PB的最大值为() A.210 B.25 C.10 D.5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列命题为真命题的是() A.已如a6,e是空间的一组基底，则日-88,8-2也是空间的一组基底 B.已知空间三点A1,11,B2,22.C3,24,则向量A店与AC的夹角余弦值为314 14 C.“存在实数x,y,使=xa+yb”是“c与a,b共面”的充分不必要条件 D.己Oi,0成，0花是空间的-个基底，且OD=号Oi+号O丽+号OC,则点D在平面ABC内， 且D为△ABC的重心 10.下列说法正确的有() A.直线y=ax-2a+3a∈R过定点2,3 B.若两直线ax+2y=0与x+a+1y+4=0平行，则实数a的值为1 C.若AB>0,BC>0,则直线Ax-y-C=0不经过第二象限 D.点A2,-3,B-3,-2,直线l:mx+y-m-1=0与线段AB相交，则实数m的取值范围是 m≥4或m≤ 3 11.下列说法正确的是() A.若平面ABC的法向量市=11,0=11,1则点p到平面ABC的距离是2 B.直线l的方向向量ā=0,3，-6，平面c的法向量i=1,2,1,则l⊥c 0已向a=2.1,-36-12ar8-76,号引类m.则2=-18 试卷第3页（共3页） D.若空间向量m=(x,2,0与i=3,4-x,x的夹角为锐角，则实数x的取值范围是-8，+o∞ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.若粒，万。c为空间两两夹角都是写的三个单位向量，则后+5-2 13.在正三棱柱ABC-A1B,C1中，AB=2AA1=2,P是线段AB1上的一动点，则点P到直线BC1的距 离的最小值是 14.已知直线l过点A2,1,且与直线kx-y+4=0(k<0)平行，交x轴、y轴于B,C两点，O为坐标原 点，则△COB的最小面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)己知直线l:kx-y+2+4k=0k∈R. (1)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； (2)若直线I交X轴的负半轴于点A,交y轴的正半轴于点B,O为坐标原点.设△AOB的面积为S,求S的 最小值及此时直线的方程 16.(15分)空间中，两两垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系如果坐标系中有两条坐标轴不 垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”现有一种空间斜坐标系，它的任意两条数轴的夹角均为60°， 我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”，类比空间直角坐标系，i,j,分别为“斜60°坐标系”下三条数 轴(x轴，y轴，z轴)正方向上的单位向量，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标若向量 n=xi+yj+zk,则与有序实数组x,y,z一一对应，称向量n的斜60°坐标为x,y,z,记作 n=x,y,z在平行六面体ABCD-A1B,C,D1中，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，AA1=3, AB=AD=2建立“空间斜60坐标系”如图所示.若=E:A成=3，t,0'且AM1AC ZA D (1)求向量ED的斜60坐标： (2)求1AM 试卷第4页（共3页） 3)求AM·ED1 17.(15分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD, PA=PC=3,E,F,G分别是PA,PC,PD上的点，且AE=CF=1. B (1)证明：BG⊥AC: (2)已知B,E,G,F四点共面，求DG的长. (③)AC与BD相交于点O,是否存在点G,使得OG/平面BEP,若存在，求出DG长度 18.(17分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB,PA⊥PB,AB⊥BC,∠BAC=30°，平面 PAB⊥平面ABC. (1)求证：PA⊥平面PBC: (2)求异面直线AB和PC所成角的余弦值： (3)在线段PC上有一点E,PE=PC,入∈(0,1，求的值，使得平面ABC和平面ABE所成的角的大小 为60° 19.(17分)己知动直线l:m+3x+m-1y+2m+6=0m∈R恒过定点A (1)求点A的坐标. (2)设动直线l与直线x+y=0交于点M,与y轴交于点P,过M点作x轴的垂线，垂足为Q,求证：直线 PQ过定点 (3)已知点B0,1和C1,-2,设H是AC边上一动点，且H点到AB,BC的距离分别为d1,d2,若 d1+入d2是定值，求实数入的值 试卷第5页（共3页）