椭圆经典解答题专练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题练习：椭圆经典解答题 题型一：三角形面积的最值问题 1．已知点A（0，﹣2），椭圆E：1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点． （1）求E的方程； （2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程． 2．已知椭圆E：的离心率为，点在椭圆E上，F为其左焦点，过F的直线l与椭圆C交于A，B两点． （1）求椭圆E的标准方程； （2）试求△OAB面积的最大值以及此时直线l的方程． 3．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，F1、F2分别为左右焦点，短轴一个端点到右焦点F2的距离为． （1）求椭圆C的方程； （2）斜率为1的直线l被椭圆C截得的弦长为，求直线l的方程； （3）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值． 4．已知椭圆C的两个焦点F1（﹣2，0），F2（2，0），过F1点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，△MNF2的周长等于16． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点P（﹣8，0）的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线AF1，BF1的斜率分别为k1，k2． （Ⅰ）求证：k1+k2为定值； （Ⅱ）求△ABF1面积的最大值． 题型二：四边形面积的最值问题 5．设圆x2+y2+2x﹣15＝0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E． （1）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程； （2）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围． 6．已知椭圆，若点P1（2，0）、在椭圆C上． （1）求C的方程； （2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A、B，当动点M在定直线x＝4上运动时，直线AM、BM分别交椭圆于两点P、Q． （i）证明：点B在以PQ为直径的圆内； （ii）求四边形APBQ面积的最大值． 7．已知椭圆的离心率为，焦距为2c，以a，b，c为三边的三角形面积为． （1）求C的方程； （2）过右焦点F作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M，N，P，Q，求四边形MPNQ面积的最小值． 8．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的焦点与短轴两个顶点所成三角形的面积为，离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）设A（4，0），B（0，2），点P是椭圆上且在第三象限内的一点． （Ⅰ）当△PAB的面积取最大值时，求点P的坐标； （Ⅱ）记直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求四边形ABNM面积的最大值． 题型三：知面积求直线方程问题 9．已知A（0，3）和P（3，）为椭圆C：1（a＞b＞0）上两点． （1）求C的离心率； （2）若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程． 10．已知椭圆的离心率为． （1）求E的方程； （2）过E的右焦点F的直线l交E于A，B两点，若△OAB（O为坐标原点）的面积为，求l的方程． 11．已知A（4，0）和B（0，3）分别是椭圆C：上两点． （1）求椭圆C的方程及离心率； （2）若过点B的直线l交C于另一点P，且△ABP的面积为6，求直线l的方程． 题型四：直线过定点问题 12．已知A，B分别为椭圆E：y2＝1（a＞1）的左、右顶点，G为E的上顶点，•8．P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点． 13．已知焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且过点A（2，1）． （1）求椭圆C的标准方程； （2）点M，N在C上，且AM⊥AN，证明：直线MN过定点． 14．已知椭圆E：的长轴为双曲线的实轴，且离心率为． （1）求椭圆E的标准方程； （2）已知椭圆在其上一点Q（x0，y0）处的切线方程为．过直线x＝4上任意一点P作椭圆E的两条切线，切点分别为A，B．M为椭圆的左顶点． ①证明：直线AB过定点； ②求△ABM面积的最大值． 15．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且F1，F2与短轴的一个端点Q构成一个等腰直角三角形，点在椭圆E上，过点F2作互相垂直且与x轴不重合的两直线AB，CD分别交椭圆E于A，B，C，D，且M，N分别是弦AB，CD的中点． （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线MN过定点； （3）求△MNF2面积的最大值． 16．已知椭圆的离心率为，点P（0，2）在椭圆C上，过点P的两条直线PA，PB分别与椭圆C交于另一点A，B，且直线PA，PB，AB的斜率满足kPA+kPB＝4kAB（kAB≠0）． （1）求椭圆C的方程； （2）证明直线AB过定点； （3）椭圆C的焦点分别为F1，F2，求凸四边形F1AF2B面积的取值范围 17．如图，已知椭圆M：1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A、B，P是椭圆M上异于A、B的动点，满足kPA•kPB，当P为上顶点时，△ABP的面积为2． （1）求椭圆M的方程； （2）若直线AP交直线l：x＝4于C点，直线CB交椭圆于Q点，求证：直线PQ过定点． 题型五：斜率之和（或之积）为定值问题 18．已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆C的方程． （2）已知是椭圆内一点，过点M任作一条直线与椭圆交于A，B两点，求以M为中点的弦AB所在的直线方程． （3）设点D为椭圆的右顶点，是否存在过点G（﹣1，0）的直线l交椭圆C于P，Q两点，使得直线DP，DQ的斜率之和等于﹣1？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由． 19．已知椭圆C：的焦距为2，且过点． （1）求C的标准方程； （2）过点作两条斜率存在且不为零的直线l1，l2分别交C于P，Q和S，T，满足|NP||NQ|＝|NS||NT|． （i）证明：l1，l2的斜率之和为定值； （ii）求四边形PSQT面积的最大值． 20．已知点在椭圆上，设A，B，F分别为椭圆C的上，下顶点和右焦点，且点B到直线AF的距离为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线l经过点，且与椭圆C交于M，N两点，求直线AM和AN的斜率之和． （3）过点E（0，3）的直线与椭圆C交于P，Q两点，分别过点P，Q作直线y＝2的垂线，垂足分别为P′，Q′，设△EPP′，△EP′Q′，△EQQ′的面积分别为S1，S2，S3，是否存在实数λ，使得λS1，S2，S3总成等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 21．已知点A（，）在椭圆C：1（a＞b＞0）上，椭圆C的离心率e，O为坐标原点． （1）求椭圆C的方程； （2）M，N为椭圆C上异于点A的两点，若直线AM与直线AN的斜率之和为，求△OMN面积的最大值． 22．已知椭圆E：的焦距为，点A（2，1）在椭圆E上． （1）求椭圆E的标准方程； （2）若直线l与椭圆E交于B，C两点（均异于点A），且直线AB与AC的斜率之和为0．证明：直线l的斜率为定值，并求出该定值． 23．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点A是C的上顶点，∠F1AF2，△F1AF2的面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）已知B（，），若直线l：y与椭圆C相交于M，N两点（异于点B），求证：直线BM，BN的斜率之和为0． 24．已知椭圆的右焦点F在直线x+2y﹣1＝0上，A，B分别为C的左、右顶点，且|AF|＝3|BF|． （1）求C的标准方程； （2）设C的右顶点为D，点P，Q是C上的两个动点，且直线DP与DQ的斜率之和为﹣1，证明：直线PQ过定点． 25．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点P（2，0）． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线y＝kx+m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，直线OM，ON的斜率之积等于，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由． 26．已知A，B两点的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是． （1）求点M的轨迹E的方程； （2）已知点F（1，0），设过点T（4，0）的直线l与E交于P，Q两点． ①若PF，QF的斜率分别为k1，k2，证明：k1+k2＝0； ②若点D在线段PQ上，且|TP||DQ|＝|TQ||DP|．证明：DF⊥x轴． 27．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B．椭圆上任意一点T（不与A，B重合），满足直线TA，TB的斜率之积等于．当点T在椭圆的上顶点时，△ATB的面积为2． （1）求C的方程； （2）已知不在x轴上的动点M在定直线x＝4上运动时，直线AM、BM分别交椭圆于两点P，Q． （i）求证：∠PBQ为钝角； （ii）求四边形APBQ面积的最大值． 题型六：线段长为定值问题 28．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（2，1）． （1）求C的方程； （2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值． 29．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（2，1）． （1）求C的方程； （2）过点A作一条不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于点P，且△AOP的面积为2，O为坐标原点，求l的方程； （3）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．问：是否存在定点Q，使得|DQ|为定值．若存在，求出Q点坐标以及|DQ|的值；若不存在，说明理由． 30．已知椭圆的C的方程：． （1）设P为椭圆C异于椭圆左、右顶点A1、A2上任一点，直线PA1的斜率为k1，直线PA2的斜率为k2，试证明k1•k2为定值； （2）求椭圆中所有斜率为1的平行弦的中点轨迹方程； （3）设椭圆上一点A（2，1），且点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题练习：椭圆经典解答题 题型一：三角形面积的最值问题 1．已知点A（0，﹣2），椭圆E：1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点． （1）求E的方程； （2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程． 【解析】 （1） 设F（c，0），由条件知，得，又，所以a＝2，b2＝a2﹣c2＝1，故E的方程． （2）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y＝kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y＝kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12＝0，当Δ＝16（4k2﹣3）＞0，即时， 从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积，设，则t＞0，，当且仅当t＝2，k＝±等号成立，且满足Δ＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：yx﹣2或yx﹣2． 2．已知椭圆E：的离心率为，点在椭圆E上，F为其左焦点，过F的直线l与椭圆C交于A，B两点． （1）求椭圆E的标准方程； （2）试求△OAB面积的最大值以及此时直线l的方程． 【解析】 （1）根据题意可得：，，又a2＝b2+c2，解得a2＝4，b2＝3，c2＝1，故椭圆C的标准方程为：． （2）①当直线l斜率为零时，显然不满足题意；②直线l的斜率不为零，设其方程为：x＝my﹣1，联立椭圆方程：可得：（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，，，点O到直线AB的距离，，令，则m2＝t2﹣1，故，对函数，t∈[1，+∞），易知在[1，+∞）单调递增，所以在[1，+∞）单调递减，故，当且仅当t＝1，即m＝0时取得等号；故△OAB面积的最大值为，此时直线l的方程x＝﹣1． 3．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，F1、F2分别为左右焦点，短轴一个端点到右焦点F2的距离为． （1）求椭圆C的方程； （2）斜率为1的直线l被椭圆C截得的弦长为，求直线l的方程； （3）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值． 【解析】 （1）设椭圆的半焦距为c，依题意，又，解得，b＝1， 所以所求椭圆方程为； （2）由题，设交点A（x1，y1），B（x2，y2），l的方程为：y＝x+m，联立，化简得4x2+6mx+3m2﹣3＝0，则Δ＝36m2﹣48（m2﹣1）＞0，即m2＜4，所以，，则•，解得：m＝±1，满足m2＜4，所以l的方程为：y＝x±1； （3）设A（x1，y1），B（x2，y2），当AB⊥x轴时，直线AB：，联立，解得；当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx+m，依题意，， 联立，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3＝0，则Δ＝36k2m2﹣4（3k2+1）（3m2﹣3）＝12（3k2﹣m2+1）＞0，即3k2﹣m2+1＞0，所以，，当k≠0时，|AB| ，当且仅当，即时等号成立，当k＝0时，直线AB：，联立，得，综上，|AB|max＝2， 所以△AOB面积，即△AOB面积的最大值． 4．已知椭圆C的两个焦点F1（﹣2，0），F2（2，0），过F1点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，△MNF2的周长等于16． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点P（﹣8，0）的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线AF1，BF1的斜率分别为k1，k2． （Ⅰ）求证：k1+k2为定值； （Ⅱ）求△ABF1面积的最大值． 【解析】 （1）由椭圆C的两个焦点F1（﹣2，0），F2（2，0）可得椭圆焦点在x轴上，因为过F1点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，△MNF2的周长等于16．则，即a＝4，c＝2，所以b2＝a2﹣c2＝12，所以椭圆的方程为； （2）（i）证明：由题意可知直线斜率存在，当直线斜率为0时，显然k1＝k2＝0，所以k1+k2＝0； 当直线斜率不为0时，设直线方程为x＝my﹣8，联立可得（3m2+4）y2﹣48my+144＝0， 则Δ＝（﹣48m）2﹣4（3m2+4）×144＝576m2﹣2304＞0，即m2＞4，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1＝my1﹣8，x2＝my2﹣8，所以，因为，所以k1+k2＝0，为定值； （ii）由（i）可得， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以△ABF1面积的最大值为． 题型二：四边形面积的最值问题 5．设圆x2+y2+2x﹣15＝0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E． （1）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程； （2）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围． 【解析】 （1）证明：圆x2+y2+2x﹣15＝0即为（x+1）2+y2＝16，可得圆心A（﹣1，0），半径r＝4， 由BE∥AC，可得∠C＝∠EBD，由AC＝AD，可得∠D＝∠C，即为∠D＝∠EBD，即有EB＝ED， 则|EA|+|EB|＝|EA|+|ED|＝|AD|＝4＞|AB|，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且有2a＝4，即a＝2，c＝1，b，则点E的轨迹方程为1（y≠0）； （2）椭圆C1：1，设直线l：x＝my+1，由PQ⊥l，设PQ：y＝﹣m（x﹣1），由可得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2，y1y2， 则|MN|•|y1﹣y2|••12•， A到PQ的距离为d，|PQ|＝22，则四边形MPNQ面积为S|PQ|•|MN|••12•＝24•24，当m＝0时，S取得最小值12，又0，可得S＜24•8，即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8）． 6．已知椭圆，若点P1（2，0）、在椭圆C上． （1）求C的方程； （2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A、B，当动点M在定直线x＝4上运动时，直线AM、BM分别交椭圆于两点P、Q． （i）证明：点B在以PQ为直径的圆内； （ii）求四边形APBQ面积的最大值． 【解析】 （1）因为点P1、P2在椭圆上，所以，解得，则椭圆C的方程为； （2）（i）证明：易知A（﹣2，0）、B（2，0），设M（4，t），t＞0，P（xP，yP）、Q（xQ，yQ）， 易知直线AM、BM斜率均存在，且，，所以直线AM的方程为，BM的方程为，联立，消去y并整理得（27+t2）x2+4t2x+4t2﹣108＝0，由韦达定理得，解得，所以，联立，消去y并整理得（3+t2）x2﹣4t2x+4t2﹣12＝0，由韦达定理得，解得，所以，此时，，所以，则∠PBQ为钝角，故点B在以PQ为直径的圆内； （ii）易知四边形APBQ的面积为，设，此时，当且仅当t＝3时，等号成立， 由对勾函数性质可知在[6，+∞）上单调递增，所以，此时．由对称性可知，当点M的坐标为（4，3）或（4，﹣3）时，四边形APBQ的面积最大，最大值为6． 7．已知椭圆的离心率为，焦距为2c，以a，b，c为三边的三角形面积为． （1）求C的方程； （2）过右焦点F作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M，N，P，Q，求四边形MPNQ面积的最小值． 【解答】 （1）由已知可得， 则所求椭圆方程C：． （2）当直线MN的斜率不存在时，|MN|＝3，此时PQ的长即为椭圆长轴长，|PQ|＝4，从而．设直线MN的斜率为k，则k≠0，直线MN的方程为：y＝k（x﹣1），直线PQ的方程为，设M（x1，y1）．N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），由，消去y得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，所以，，从而，由，消去y得（3k2+4）x2﹣8x+4﹣12k2＝0， 所以，，从而|PQ|，所以，因为k2＞0，则4k2+3＞0，3k2+4＞0， 则，所以，当且仅当4k2+3＝3k2+4，即k2＝1时取得最小值，所以四边形PMQN面积的最小值为． 8．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的焦点与短轴两个顶点所成三角形的面积为，离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）设A（4，0），B（0，2），点P是椭圆上且在第三象限内的一点． （Ⅰ）当△PAB的面积取最大值时，求点P的坐标； （Ⅱ）记直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求四边形ABNM面积的最大值． 【解析】 （1）∵已知椭圆C：的焦点与短轴两个顶点所成三角形的面积为， ∴，∵离心率为，∴，又a2＝b2+c2，解得a＝2，b＝1，∴椭圆C的方程为C：． （2）（Ⅰ）设直线AB的直线方程为y＝kx+t，代入A（4，0），B（0，2），得到，解得， ∴直线AB的直线方程为，点P是椭圆上且在第三象限内的一点，∴过P作直线l∥AB且与椭圆相切，切点为P，此时△PAB的面积取最大值，设过P的直线l的方程为，直线l：与椭圆联立方程组，消去y，得到关于x的一元二次方程2x2﹣4mx+4m2﹣4＝0，∵直线l与椭圆相切，∴Δ＝0，∴16m2﹣4×2（4m2﹣4）＝0，∴， ∵P是第三象限的点，∴，此时2x2﹣4mx+4m2﹣4＝0的解为，代入直线l方程为，得到，∴； （Ⅱ）设P（x0，y0），∵P是第三象限的点，∴x0＜0，y0＜0，将P（x0，y0）代入椭圆C：中，得到，整理得．∵P（x0，y0），A（4，0），∴，∴直线PA的方程为，令x＝0，解得，∴．∵P（x0，y0），B（0，2），∴， ∴直线PB的方程为，令y＝0，解得，∴，∵、，设四边形ABNM的面积为S，∴．设x0＝2cosθ，y0＝sinθ，，∴， 设sinθ+cosθ＝t，，，∴，当时，，即时，也即，时，四边形ABNM的面积的最大值为． 题型三：知面积求直线方程问题 9．已知A（0，3）和P（3，）为椭圆C：1（a＞b＞0）上两点． （1）求C的离心率； （2）若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程． 【解析】 （1）依题意，，解得，则离心率； （2）由（1）可知，椭圆C的方程为，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，易知此时，点A到直线PB的距离为3，则，与已知矛盾； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，设P（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y整理可得，（4k2+3）x2﹣（24k2﹣12k）x+36k2﹣36k﹣27＝0， 则，由弦长公式可得，，点A到直线l的距离为，则，解得或，经检验均符合题意，则直线l的方程为或． 10．已知椭圆的离心率为． （1）求E的方程； （2）过E的右焦点F的直线l交E于A，B两点，若△OAB（O为坐标原点）的面积为，求l的方程． 【解析】 （1）设椭圆E的半焦距为c，因为椭圆的离心率为，所以，解得a2＝4，所以椭圆E的方程为． （2）由（1）可得，所以右焦点F（1，0），显然直线l的斜率不为零，则设l的方程为x＝my+1，联立，消去x并整理得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，Δ＝（6m）2﹣4（3m2+4）×（﹣9）＝144m2+144＞0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以，又由点O到l的距离，所以△OAB的面积， 整理得36m4+21m2﹣11＝0，解得或（舍），所以，所以l的方程为或，即直线l的方程为或． 11．已知A（4，0）和B（0，3）分别是椭圆C：上两点． （1）求椭圆C的方程及离心率； （2）若过点B的直线l交C于另一点P，且△ABP的面积为6，求直线l的方程． 【解析】 （1）因为A（4，0）和B（0，3）是椭圆上两点，所以，解得，所以椭圆的方程为；所以c2＝a2﹣b2＝7，所以，所以椭圆C的离心率为； （2）因为A（4，0）和B（0，3），所以，设P到AB边上的高为h，又△ABP的面积为6，所以，解得，又AB所在直线方程为， 整理得3x+4y﹣12＝0，设P的坐标为（m，n），所以，解得3m+4n＝0或3m+4n﹣24＝0，当3m+4n＝0，又点P在椭圆上，所以，解得或，当3m+4n﹣24＝0时，又点P在椭圆上，所以，代入得（24﹣4n）2+16n2＝144，整理得32n2﹣8×24n+242﹣144＝0，即2n2﹣12n+27＝0，因为Δ＝（﹣12）2﹣4×2×27＜0，所以方程无解，所以点P的坐标为或，当点P的坐标为，可得， 所以直线l的方程为，即；当点P的坐标为， 可得，所以直线l的方程为，即；综上所述：直线线l的方程为或． 题型四：直线过定点问题 12．已知A，B分别为椭圆E：y2＝1（a＞1）的左、右顶点，G为E的上顶点，•8．P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点． 【解析】如图所示： （1）由题意A（﹣a，0），B（a，0），G（0，1），∴（a，1），（a，﹣1），•a2﹣1＝8，解得：a＝3故椭圆E的方程是y2＝1； （2）由（1）知A（﹣3，0），B（3，0），设P（6，m），则直线PA的方程是y（x+3），联立⇒（9+m2）x2+6m2x+9m2﹣81＝0，由韦达定理﹣3xC⇒xC，代入直线PA的方程为y（x+3）得：yC，即C（，），直线PB的方程是y（x﹣3），联立方程⇒（1+m2）x2﹣6m2x+9m2﹣9＝0，由韦达定理3xD⇒xD，代入直线PB的方程为y（x﹣3）得yD，即D（，），则①当xC＝xD即时，有m2＝3，此时xC＝xD，即CD为直线x，②当xC≠xD时，直线CD的斜率kCD，∴直线CD的方程是y（x），整理得：y（x），直线CD过定点（，0）．综合①②故直线CD过定点（，0）． 13．已知焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且过点A（2，1）． （1）求椭圆C的标准方程； （2）点M，N在C上，且AM⊥AN，证明：直线MN过定点． 【解析】 （1）因为椭圆C的焦点在x轴上，不妨设椭圆C的方程为，又椭圆C的离心率为，且过点A（2，1），可得，①又a2＝b2+c2，②联立①②，解得a2＝6，b2＝3，则椭圆C的标准方程为； （2）证明：不妨设M（x1，y1），N（x2，y2），因为AM⊥AN，所以，整理得y1y2﹣（y1+y2）+1＝﹣x1x2+2（x1+x2）﹣4，③当直线MN的斜率k存在时，不妨设直线MN的方程为y＝kx+m，联立，消去y并整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣6＝0，此时Δ＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣6）＞0，解得6k2﹣m2+3＞0，由韦达定理得，所以，，④ 联立③④，可得4k2+8km+（m﹣1）（3m+1）＝0，即（2k+m﹣1）（2k+3m+1）＝0，解得m＝1﹣2k或， 则直线方程为y＝kx+1﹣2k＝k（x﹣2）+1或，所以直线过定点（2，1）或，因为（2，1）和A点重合，不符合题意；当直线MN的斜率k不存在时，此时x1＝x2，y2＝﹣y1，可得，即，因为点M在椭圆C上，所以， 解得或x1＝2（舍去），此时直线MN的方程为，过点．综上所述，直线MN过定点． 14．已知椭圆E：的长轴为双曲线的实轴，且离心率为． （1）求椭圆E的标准方程； （2）已知椭圆在其上一点Q（x0，y0）处的切线方程为．过直线x＝4上任意一点P作椭圆E的两条切线，切点分别为A，B．M为椭圆的左顶点． ①证明：直线AB过定点； ②求△ABM面积的最大值． 【解析】 （1）由题意知，2a＝4，即a＝2，因为椭圆的离心率，所以c＝1，， 所以椭圆E的标准方程为． （2）①证明：直线AB过定点（1，0），证明过程如下：设切点A（x1，y1），B（x2，y2），P（4，t）， 则椭圆E在点A处的切线方程为，在点B处的切线方程，所以直线PA的方程为，直线PB的方程为，所以A、B两点都在直线上，所以切点弦AB所在的直线方程为，故直线AB过定点（1，0）． ②解：由题意知，M（﹣2，0），设直线AB过定点为K（1，0），显然直线AB的斜率不可能为0，设直线AB方程为x＝my+1，联立，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，所以，，Δ＝144（m2+1）＞0恒成立，所以，令n1，则，当n∈[1，+∞]时，S△MAB为减函数，所以当n＝1时，S△MAB取得最大值． 15．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且F1，F2与短轴的一个端点Q构成一个等腰直角三角形，点在椭圆E上，过点F2作互相垂直且与x轴不重合的两直线AB，CD分别交椭圆E于A，B，C，D，且M，N分别是弦AB，CD的中点． （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线MN过定点； （3）求△MNF2面积的最大值． 【解析】 （1）因为椭圆E：（a＞b＞0）经过点P（），且F1，F2与短轴的一个顶点Q构成一个等腰直角三角形，则b＝c，a2＝b2+c2＝2b2，所以，解得a2＝2，b2＝1，所以椭圆方程为：； （2）证明：设直线AB的方程为x＝my+1，m≠0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线CD的方程为xy+1， 联立，消去x得（m2+2）y2+2my﹣1＝0，点（0，1）点在椭圆上，所以Δ＞0，则y1+y2，y1y2，所以x1+x2＝（my1+1）+（my2+1）＝m（y1+y2）+2，由中点坐标公式得M（，），将M的坐标中的m用代换，得CD的中点N（，），kMN， 直线MN的方程为y（x），即为y（x﹣1），令x﹣1，可得x，则有y＝0，则直线MN过定点R，且为R（，0）； （3）△F2MN面积为S|F2R|•|yM﹣yN|，（1）•||||||，令mt（t≥2），则有S••在[2，+∞）递减，所以当t＝2，即m＝1时，S取得最大值，且为；则△MNF2面积的最大值为． 16．已知椭圆的离心率为，点P（0，2）在椭圆C上，过点P的两条直线PA，PB分别与椭圆C交于另一点A，B，且直线PA，PB，AB的斜率满足kPA+kPB＝4kAB（kAB≠0）． （1）求椭圆C的方程； （2）证明直线AB过定点； （3）椭圆C的焦点分别为F1，F2，求凸四边形F1AF2B面积的取值范围 【解析】 （1）因为点P（0，2）在椭圆C上，且椭圆C的离心率为，所以， 解得a2＝12，b2＝4，则椭圆C的方程为； （2）证明：不妨设直线AB的方程为y＝kx+m（m≠2），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y并整理得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣12＝0，此时Δ＝36k2m2﹣4（1+3k2）（3m2﹣12）＝12（12k2﹣m2+4）＞0，由韦达定理得，，因为kPA+kPB＝4kAB，所以，即，整理得2mk（m﹣2）＝2（4﹣m2）k，因为k≠0，所以m2﹣m﹣2＝0，解得m＝2或m＝﹣1，当m＝2时，直线AB过定点P（0，2），不符合题意；所以m＝﹣1，当m＝﹣1时，满足Δ＝36（4k2+1）＞0，故直线AB过定点（0，﹣1）； （3）由（2）得直线AB的方程为y＝kx﹣1，即，联立，消去x并整理得，此时，而凸四边形F1AF2B面积S，因为，所以，解得，不妨令，，此时S，易知函数y在（2，2）上单调递减，所以凸四边形F1AF2B的面积的取值范围为． 17．如图，已知椭圆M：1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A、B，P是椭圆M上异于A、B的动点，满足kPA•kPB，当P为上顶点时，△ABP的面积为2． （1）求椭圆M的方程； （2）若直线AP交直线l：x＝4于C点，直线CB交椭圆于Q点，求证：直线PQ过定点． 【解析】 （1）不妨设椭圆上顶点P0（0，b），此时，①因为△ABP的面积为2，所以2，② 联立①②，解得a＝2，b＝1，则椭圆M的方程为； （2）证明：不妨设P（x1，y1），Q（x2，y2），C（4，t），当直线PQ斜率不存在时，x1＝x2，y1＝﹣y2， 此时，，联立，解得x1＝1，此时直线PQ方程为x＝1，过定点（1，0）；下面证明当斜率存在时，直线PQ也经过（1，0），联立，消去y并整理得（t2+9）x2+4t2x+4t2﹣36＝0，此时Δ＝16t4﹣4（t2+9）（4t2﹣36）＞0，由韦达定理得，即，所以，则P，同理得Q， 不妨设点M（1，0），可得，，因为0，则，故直线PQ过定点M（1，0），证毕． 题型五：斜率之和（或之积）为定值问题 18．已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆C的方程． （2）已知是椭圆内一点，过点M任作一条直线与椭圆交于A，B两点，求以M为中点的弦AB所在的直线方程． （3）设点D为椭圆的右顶点，是否存在过点G（﹣1，0）的直线l交椭圆C于P，Q两点，使得直线DP，DQ的斜率之和等于﹣1？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由． 【解析】 （1）由题意得，将代入椭圆方程得，又c2＝a2﹣b2，解得a2＝4，b2＝3，故椭圆C的方程为． （2）根据题意得中点弦AB所在直线的斜率存在，且M在椭圆内，设A（x1，y1），B（x2，y2），因此，，两式作差，得，因此， 由M是AB的中点，得，，因此，因此，因此，以M为中点的弦AB所在的直线方程为，即6x+16y﹣19＝0； （3）当直线l的斜率为0时，此时D和P重合或D和Q重合，显然不满足条件kDP+kDQ＝﹣1， 当直线l的斜率不为0时，如图，设直线l的方程为x＝my﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2）， 由消去x，化简得（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，Δ＝36m2﹣4×（3m2+4）×（﹣9）＝144m2+144＞0，则，．由题意，D（2，0），则，由kDP+kDQ＝﹣1，得m＝1，故存在满足条件的直线l，直线l的方程为x﹣y+1＝0． 19．已知椭圆C：的焦距为2，且过点． （1）求C的标准方程； （2）过点作两条斜率存在且不为零的直线l1，l2分别交C于P，Q和S，T，满足|NP||NQ|＝|NS||NT|． （i）证明：l1，l2的斜率之和为定值； （ii）求四边形PSQT面积的最大值． 【解析】 （1）由焦距2c＝2，即c＝1，可知两焦点坐标分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）， 则2a4，即a＝2，b2＝a2﹣c2＝3， 所以C的标准方程为． （2）（i）证明：设P，Q的坐标分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），设l1的方程为，联立，整理得，所以，， ， 设l2的方程为，同理有，所以，即， 由于k1≠k2，所以k1＝﹣k2，即k1+k2＝0，所以l1，l2的斜率之和为定值0． （ⅱ）不妨设l1的斜率k1＞0，其倾斜角为α，则四边形PSQT的面积为， |PQ||x1﹣x2|，同理得，由k1+k2＝0，得，又，所以，设，由基本不等式得，当且仅当等号成立，设，，，所以f（t）在区间上单调递减，当时，f（t）取得最大值，所以四边形PSQT的面积最大值为，或， 设，由基本不等式得，当且仅当等号成立，设，可知f（t）在区间上单调递增，当时，f（t）取得最大值，所以四边形PSQT的面积最大值为． 20．已知点在椭圆上，设A，B，F分别为椭圆C的上，下顶点和右焦点，且点B到直线AF的距离为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线l经过点，且与椭圆C交于M，N两点，求直线AM和AN的斜率之和． （3）过点E（0，3）的直线与椭圆C交于P，Q两点，分别过点P，Q作直线y＝2的垂线，垂足分别为P′，Q′，设△EPP′，△EP′Q′，△EQQ′的面积分别为S1，S2，S3，是否存在实数λ，使得λS1，S2，S3总成等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 【解析】 （1）设椭圆C半焦距为c，因为A（0，b），B（0，﹣b），F（c，0），直线， 即bx+cy﹣bc＝0，又点B到直线AF的距离为，解得，， 因为椭圆C过点，所以，解得c2＝3，则椭圆C的标准方程； （2）易知直线MN不垂直于y轴，设直线MN方程为，M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立，消去x并整理得， 由韦达定理得，所以 ； （3）设直线PQ的方程为y＝kx+3，P（x3，y3），Q（x4，y4），联立，消去y并整理得（3k2+2）x2+18kx+9＝0，由韦达定理得，直线， 即，联立，消去x并整理得y2﹣4y+4＝0，此时Δ＝0，则直线DE与相切于点D，因为直线PQ与椭圆交于两点，所以点P，Q在y轴同侧，在直线y＝2两侧， 令，此时， 所以， ， 则当λ＝4时，．即λS1，S2，S3成等比数列． 21．已知点A（，）在椭圆C：1（a＞b＞0）上，椭圆C的离心率e，O为坐标原点． （1）求椭圆C的方程； （2）M，N为椭圆C上异于点A的两点，若直线AM与直线AN的斜率之和为，求△OMN面积的最大值． 【解析】 （1）由题意知，，解得a＝2，b＝1，所以椭圆C的方程为y2＝1． （2）当直线MN的斜率存在时，设其方程为y＝kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，消去y得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，所以x1+x2，x1x2，Δ＝16（4k2﹣m2+1）＞0， 因为A（，），所以直线AM的斜率kAM，直线AN的斜率为kAN，因为直线AM与直线AN的斜率之和为，所以kAM+kAN，所以，所以x1x2（x1+x2）﹣240，所以••240，整理得（）（4km）＝0，当0时，m，此时直线MN的方程为y＝k（x），经过点A（，），不符合题意；当4km＝0时，m，此时直线MN的方程为y＝k（x），恒过定点（，0），且Δ＝16（4k2﹣m2+1）＝16（1）＞0，解得k∈（，），所以△OMN面积S|k|•|x1﹣x2|，令t＝4k2+1∈[1，4），则S，当，即t时，S取得最大值1； 当直线MN的斜率不存在时，设其方程为x＝n，则y＝±，不妨取M（n，），N（n，）， 则kAM+kAN，解得n，此时10，不符合题意，综上所述，△OMN面积的最大值为1． 22．已知椭圆E：的焦距为，点A（2，1）在椭圆E上． （1）求椭圆E的标准方程； （2）若直线l与椭圆E交于B，C两点（均异于点A），且直线AB与AC的斜率之和为0．证明：直线l的斜率为定值，并求出该定值． 【解析】 （1）因为椭圆E：的焦距为，点A（2，1）在椭圆E上， 所以，解得，则椭圆E的方程为． （2）证明：当直线l斜率不存在时，直线AB与AC的斜率之和不会为0．设点B（x1，y1），C（x2，y2），直线BC：y＝kx+m，由，消去y并整理，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣8＝0，则， 则 ，则﹣4k+2km﹣m+4k2+1＝0，整理，得（2k﹣1）（m+2k﹣1）＝0，因直线BC不过点A，则2k+m≠1，所以．故直线l的斜率为定值，定值为． 23．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点A是C的上顶点，∠F1AF2，△F1AF2的面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）已知B（，），若直线l：y与椭圆C相交于M，N两点（异于点B），求证：直线BM，BN的斜率之和为0． 【解析】 （1）根据题意，得F2（c，0），F1（﹣c，0），A（0，b），c2＝a2﹣b2，由于，三角形F1AF2的面积为，因此，所以， 因此a2＝b2+c2＝4，因此C的方程为． （2）设N（x2，y2），M（x1，y1），根据化简得，因此根的判别式Δ＝3m2﹣4（m2﹣1）＞0，解得m∈（﹣2，2），根据韦达定理可得x1x2＝m2﹣1，x1+x2m， 由于M，N两点异于点B，因此，因此，又因为，因此 ，把代入上式，可得．因此BM，BN的斜率之和为0． 24．已知椭圆的右焦点F在直线x+2y﹣1＝0上，A，B分别为C的左、右顶点，且|AF|＝3|BF|． （1）求C的标准方程； （2）设C的右顶点为D，点P，Q是C上的两个动点，且直线DP与DQ的斜率之和为﹣1，证明：直线PQ过定点． 【解析】 （1）因为直线x+2y﹣1＝0与x轴的交点为（1，0），所以椭圆C右焦点F的坐标为（1，0），即c＝1，易知|AF|＝a+c，|BF|＝a﹣c，因为|AF|＝3|BF|，所以a+c＝3（a﹣c），解得a＝2，c＝1， 则b2＝a2﹣c2＝4﹣1＝3．故椭圆C的方程为； （2）证明：易知D（2，0），若直线PQ的斜率不存在，此时P，Q关于x轴对称，直线DP与DQ的斜率互为相反数，不符合题意；直线PQ的方程为y＝kx+t，P（x1，y1），Q（x2，y2），且P，Q均不与D重合，联立，消去y并整理得（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣12＝0，此时Δ＝64k2t2﹣4（3+4k2）（4t2﹣12）＝48（4k2﹣t2+3）＞0，由韦达定理得， 因为，所以，因为， 所以kDP+kDQ，令，解得t＝3﹣2k， 此时直线PQ的方程为y＝kx﹣2k+3，即y＝k（x﹣2）+3．故直线PQ过定点（2，3）． 25．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点P（2，0）． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线y＝kx+m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，直线OM，ON的斜率之积等于，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由． 【解答】 （1）椭圆过P（2，0），故a＝2，又，联立解得c2＝1，b2＝3，a2＝4，故椭圆C的方程为； （2）△OMN的面积为定值，理由如下，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，Δ＝（8km）2﹣4（k2+3）（4m2﹣12）＝48（4k2+3﹣m2）＞0，， ，即2m2＝4k2+3， ，原点到直线的距离，故，所以△OMN的面积为定值． 26．已知A，B两点的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是． （1）求点M的轨迹E的方程； （2）已知点F（1，0），设过点T（4，0）的直线l与E交于P，Q两点． ①若PF，QF的斜率分别为k1，k2，证明：k1+k2＝0； ②若点D在线段PQ上，且|TP||DQ|＝|TQ||DP|．证明：DF⊥x轴． 【解析】 （1）设M（x，y），动点M满足直线MA和直线MB的斜率乘积为，因此，因此，因此，（x≠±2）．因此曲线E的方程为． （2）①证明：由题意，直线l的斜率不为0，设直线l：x＝my+4（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2）， 联立直线l与椭圆E的方程消去x整理得（3m2+4）y2+24my+36＝0，则Δ＞0，因此m2﹣4＞0，可得：m＞2或m＜﹣2，则，因此2my1y2＝﹣3（y1+y2），因此．综上所述，k1+k1＝0． ②证明：因为点D在线段PQ上，且|TP||DQ|＝|TQ||DP|，因此，且D为PQ内比分点， 由题意P，Q在x轴的上方或下方，根据对称性不妨取P，Q在x轴的上方，如图， 因此存在实数λ，使得，设D（x0，y0），因此，化简得2y1y2＝y0（y1+y2），由①知2my1y2＝﹣3（y1+y2），因此，因此，因此x0＝xF，因此DF⊥x轴． 27．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B．椭圆上任意一点T（不与A，B重合），满足直线TA，TB的斜率之积等于．当点T在椭圆的上顶点时，△ATB的面积为2． （1）求C的方程； （2）已知不在x轴上的动点M在定直线x＝4上运动时，直线AM、BM分别交椭圆于两点P，Q． （i）求证：∠PBQ为钝角； （ii）求四边形APBQ面积的最大值． 【解析】 （1）设T（x0，y0），则，即，又A（﹣a，0），B（a，0）， 于是，当点T为椭圆的上顶点时，，解得，所以椭圆C的方程为． （2）（i）证明：由（1）知A（﹣2，0），B（2，0），由椭圆对称性，不妨设M（4，t），t＞0，P（xP，yP），Q（xQ，yQ），直线AM斜率，直线BM的斜率，直线AM的方程为，直线BM的方程为，联立方程组，可得（27+t2）x2+4t2x+4t2﹣108＝0， 则，即，，联立方程组，可得（3+t2）x2﹣4t2x+4t2﹣12＝0，则，即，，则，，因此，所以∠PBQ为钝角． （ii）由（i）四边形APBQ面积为：， 设，则，当且仅当t＝3时取等号，由对勾函数性质知在[6，+∞）上单调递增，则，，因此当t＝3时．四边形APBQ的面积最大为6，此时点M的坐标为（4，3），由对称性知，当点M的坐标为（4，3）或（4，﹣3）时，四边形APBQ的面积最大，最大值为6． 题型六：线段长为定值问题 28．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（2，1）． （1）求C的方程； （2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值． 【解析】 （1）∵离心率，∴ac，又a2＝b2+c2，∴b＝c，ab，把点A（2，1）代入椭圆方程得，，解得b2＝3，故椭圆C的方程为． （2）①当直线MN的斜率存在时，设其方程为y＝kx+m，联立，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣6＝0，由Δ＝（4km）2﹣4（2k2+1）（2m2﹣6）＞0，知m2＜6k2+3，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2，x1x2，∵AM⊥AN，∴（x1﹣2，y1﹣1）•（x2﹣2，y2﹣1）＝0，即（k2+1）x1x2+（km﹣k﹣2）（x1+x2）+m2﹣2m+5＝0，∴（k2+1）•（km﹣k﹣2）（）+m2﹣2m+5＝0，化简整理得，4k2+8km+3m2﹣2m﹣1＝（2k+m﹣1）（2k+3m+1）＝0，∴m＝1﹣2k或m， 当m＝1﹣2k时，y＝kx﹣2k+1，过定点A（2，1），不符合题意，舍去；当m时，y＝kx，过定点B．∵AD⊥MN，∴点D在以AB为直径的圆上，故当点Q为AB的中点，即Q（，）时，|DQ|，为定值；②当直线MN的斜率不存在时，设其方程为x＝t，M（t，s），N（t，﹣s），且，∵AM⊥AN，∴（t﹣2，s﹣1）•（t﹣2，﹣s﹣1）＝t2﹣4t﹣s2+50，解得t或2（舍2），∴D（，1），此时|DQ|，为定值．综上所述，存在定点Q（，），使得|DQ|为定值，且该定值为． 29．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（2，1）． （1）求C的方程； （2）过点A作一条不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于点P，且△AOP的面积为2，O为坐标原点，求l的方程； （3）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．问：是否存在定点Q，使得|DQ|为定值．若存在，求出Q点坐标以及|DQ|的值；若不存在，说明理由． 【解析】 （1）因为圆C的离心率为，且过点A（2，1），所以，解得a，b， 则椭圆C的方程为； （2）设直线l的方程为y＝k（x﹣2）+1＝kx+1﹣2k，令1﹣2k＝n，此时直线l的方程为y＝kx+n，P（x0，y0），联立，消去y并整理得（1+2k2）x2+4knx+2n2﹣6＝0，此时Δ＝16k2n2﹣4（1+2k2）（2n2﹣6）＝8（6k2+3﹣n2）＝16（k+1）2＞0，由韦达定理得，所以，因为原点到直线l的距离为， 所以，解得k＝2或或k＝0，因为l不与坐标轴垂直， 所以k≠0，则k＝2或．故直线l的方程为y＝2x﹣3或； （3）设M（x1，y1），N（x2，y2），若直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx+m， 联立，消去y并整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣6＝0，此时Δ＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣6）＝8（6k2+3﹣m2）＞0，由韦达定理得，因为AM⊥AN， 所以，即（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）＝0，因为y1＝kx1+m，y2＝kx2+m． 所以（x1﹣2）（x2﹣2）+（kx1+m﹣1）（kx2+m﹣1）＝0，即，因为，整理得（2k+3m+1）（2k+m﹣1）＝0，因A（2，1）不在直线MN上，所以2k+m﹣1≠0，此时2k+3m+1＝0，解得m，所以直线MN方程为，此时直线MN过定点；当直线MN斜率不存在时，设M（x1，y1）， 此时N（x1，﹣y1），因为，所以，又，整理得（3x1﹣2）（x1﹣2）＝0，解得x1或x1＝2（舍去），此时直线MN过点，综上所述，直线MN过定点，因为△ADH为直角三角形，∠ADH为直角．所以当Q为斜边AH中点时，．故存在点Q，使得． 30．已知椭圆的C的方程：． （1）设P为椭圆C异于椭圆左、右顶点A1、A2上任一点，直线PA1的斜率为k1，直线PA2的斜率为k2，试证明k1•k2为定值； （2）求椭圆中所有斜率为1的平行弦的中点轨迹方程； （3）设椭圆上一点A（2，1），且点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值． 【解析】 （1）设P（x0，y0），A1（，0），，因为P为椭圆 C 上一点，所以， 所以，所以，，所以k1k2•， 故k1•k2为定值． （2）设弦的两个端点分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为M（x，y），则，① ，②所以①﹣②得：0，即（y1+y2）＝0，因为x1+x2＝2x，y1+y2＝2y，1，所以x+2y＝0．由于弦中点轨迹在已知椭圆内，，解得x＝±2， 故斜率为1的平行弦中点的轨迹方程：x+2y＝0（﹣2≤x≤2）． （3）设M（x1，y1），N（x2，y2），若直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为：y＝kx+m，代入椭圆方程消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣6＝0，所以x1+x2，x1x2，因为AM⊥AN，所以0，即（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）＝0，即（k2+1）x1x2+（km﹣k﹣2）（x1+x2）+（m﹣1）2+4＝0，所以（k2+1）•（km﹣k﹣2）（）+（m﹣1）2+4＝0，整理化简可得：（2k+3m+1）（2k+m﹣1）＝0，因为A（2，1）不在直线MN上，所以2k+m﹣1≠0，所以2k+3m+1＝0，k≠1，于是MN的方程为y＝k（x）（k≠1），所以直线过定点直线过定点P（，）．若直线MN斜率不存在时，可得N（x1，﹣y1），由0得：（x1﹣2）（x1﹣2）+（y1﹣1）（﹣y1﹣1）＝0，即（x1﹣2）2+10，结合可得：38x1+4＝0，解得或x2＝2（舍）． 此时直线MN过点P（，）．令Q为AP的中点，即Q（，），若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边，故|DQ||AP|；若D与P重合，则|DQ||AP|，故存在点Q（，），使得|DQ|为定值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $