高二数学上学期期中分层模拟·素养提升卷（人教A版选必一第1～3章：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）

2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由直线的一个方向向量为可得，又因为，所以. 2．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】由得到，从而得到，利用向量的数量积求解. 【详解】，，，，. 故选：A. 3．如果，那么直线不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】将直线的一般式方程转化为斜截式方程即可. 【详解】由可得，, 所以直线的斜率纵截距， 所以直线经过一、二、四象限， 故选:C. 4．短轴长为，离心率的椭圆两焦点为，，过作直线交椭圆于，两点，则的周长为（    ） A．24 B．12 C．6 D．3 【答案】B 【分析】根据题意，联立方程组解得，再根据椭圆的定义，即可求得周长. 【详解】设椭圆方程为， 由题可知：，结合， 解得. 由椭圆的定义可知，三角形的周长为. 故选：B. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆的简单性质，属基础题. 5．在直三棱柱中，为中点，为靠近的四等分点，点，，所确定的平面把三棱柱分割成体积不同的两部分，则较小部分的体积与较大部分的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直三棱柱补形成直四棱柱，设出各个长度，根据体积公式，求出四棱锥的体积，进而可求出直三棱柱中，剩余部分的体积，分析计算，即可得答案. 【详解】将直三棱柱补形成直四棱柱，使底面ABCD为平行四边形，如图所示， 设底面面积为S，AC边上的高为，， 则直四棱柱的体积，， 四边形AEFC的面积， 所以四棱锥的体积， 所以直三棱柱中，剩余部分的体积， 所以较小部分的体积与较大部分的体积之比为. 故选：C 6．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可画出曲线C图象，结合直线过定点与图形可得答案. 【详解】曲线即表示如图所示的半圆， 又过定点：. 当与半圆相切时，圆心到直线距离为1，则， 当直线过如图点时，斜率为：， 则实数的取值范围是. 故选：B 7．设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且，球体O表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立直角坐标系，根据确定轨迹为圆，转化到空间得到轨迹为两球的交线，计算球心距，对应圆的半径为，再计算周长得到答案. 【详解】以所在的平面建立直角坐标系，为轴，的垂直平分线为轴， ，则，，设，， 则，整理得到， 故轨迹是以为圆心，半径的圆， 转化到空间中：当绕为轴旋转一周时，不变，依然满足， 故空间中的轨迹为以为球心，半径为的球， 同时在球上，故在两球的交线上，为圆. 球心距为， 为直角三角形，对应圆的半径为， 周长为. 故选：D 8．已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，．若椭圆C上存在点P，使得的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由正弦定理表示出的外接圆半径，由三角形面积公式、余弦定理、正弦面积公式表示出的内切圆半径， 根据同时结合倍角公式化简整理得到，再根据范围得到的最大值，即可列不等式求解. 【详解】设，的外接圆半径和内切圆半径分别为，, 由椭圆定义得； 由正弦定理， 由得， 由正弦面积公式得，所以 在中，由余弦定理得， 即， 所以，代入得； 又，即，则， 又因为，代入上式得 ， 又因为当为椭圆的上下顶点时，取最大值，即取最大值，所以此时取最大值， ，因此； 所以， 因为，所以，不等式整理得，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知圆方程为，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．若已知在圆内，则 C．若，则直线与圆相离 D．若，圆关于直线对称的圆方程为 【答案】BD 【分析】对于A，给圆的方程配方即可求解；对于B，根据点在圆内即可列方程；对于C，比较圆心到直线的距离与半径的大小即可；对于D，只需求出圆心关于直线的对称点即可. 【详解】对于A，圆的方程为，所以，得，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，当，时圆C方程为， 此时圆心C到直线的距离，所以与圆相切，故C错误； 对于D，当时，可得圆C的方程为，则圆心，半径为2， 设圆D的方程为，由， 对称圆D方程为即，故D正确. 故选：BD. 10．如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方体上底面上的动点，则（    ）    A．满足平面的点的轨迹长度为 B．满足的点的轨迹长度为 C．存在唯一的点满足 D．存在点满足 【答案】ABC 【分析】利用线面平行的判定定理可以证得点的轨迹，进而判断A；建立空间直角坐标系，得到，，且，，进而对BCD各个选项进行计算验证即可判断并得到答案． 【详解】对于A，取的中点，的中点，又点为的中点， 由正方体的性质知，平面，平面 所以平面，同理平面，，平面， 所以平面平面，又平面，平面， 故点的轨迹为线段，故A正确；    以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，设且，， ，，，    对于B，，即， 又，，则点的轨迹为线段， ，且，故B正确； 对于C，， 显然，只有，时，，即，故存在唯一的点满足，故C正确； 对于D，点关于平面的对称点的为，三点共线时线段和最短， 故，故不存在点满足，故D错误． 故选：ABC． 11．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点在上，点，点在直线上，则下列说法正确的是（    ） 附：双曲线在其上一点处的切线方程为. A． B． C．作于点，则（为坐标原点） D．若的延长线交于点，则的内心在定直线上 【答案】BCD 【分析】设点在第一象限，根据离心率求出，可得选项A错误；根据得，结合双曲线方程可得B正确；分析得直线与双曲线相切，是切点，结合等腰三角形性质及双曲线定义可得选项C正确；分析得直线是双曲线的切线，切点分别为点，联立两切线方程表示点坐标可得选项D正确. 【详解】设双曲线的半焦距为.根据双曲线的对称性，不妨设点在第一象限. 对于A，由题意得，，，解得， 故，，A错误. 对于B，由题可知双曲线右顶点坐标为，故，则， ∴直线的斜率存在， ∵点在直线上，∴， ∴，则， ∵，∴，故，解得，故B正确. 对于C，由题意得，点处的切线方程为，切线斜率为， ∵，故直线与双曲线相切，是切点. 由双曲线的光学性质可知，双曲线上任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角， 则平分，延长，与的延长线交于点，连接， 则为等腰三角形，， ∵为的中点，为的中点， ∴，故C正确. 对于D，记的内心为，则是的平分线，是的平分线， 由选项C可得，直线是双曲线的切线，切点分别为点，设， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立两式，解得， 由得，，设直线， 则式可化为，即点在定直线上，故D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点是直线上一点，则的最小值是__________. 【答案】 【分析】先将代数式转化为，记，进而将问题转化为求的最小值，数形结合即可. 【详解】， 记，则原代数式表示， 作点关于直线的对称点，则， 所以，当三点共线时等号成立， 所以的最小值为5. 故答案为：5 13．已知三棱锥，如图所示，为重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，若四点共面，则 _________． 【答案】4 【分析】先得到，进一步有，结合四点共面的充要条件即可求解. 【详解】如图所示：    设中点为，连接，因为点G为重心， 所以点在线段上面， 因为 ， 所以， 所以， 若M，D，E，F四点共面，则，解得， 故答案为：4. 14．如图，棱长为4的正方体中，点为中点，点在正方体内（含表面）运动，且满足，则点在正方体内运动所形成的图形的面积为_________________；若在正方体内有一圆锥，圆锥底面圆内切于正方形，圆锥顶点与正方体上底面中心重合，则点运动所形成的图形截圆锥表面得到的椭圆的离心率为_____________________. 【答案】 【分析】取，的中点连接，证明平面，从而得出在正方体内运动所形成的图形为四边形内，得出答案；作出截面椭圆，过截面椭圆的中心作与圆锥底面平行的截面，由圆中的相交弦定理结合正弦定理可得出离心率. 【详解】取，的中点，连接，则且， 则点在正方体内运动所形成的图形为四边形， 又在正方体中平面，且平面，则， 所以四边形为矩形. 又，则 又，所以，即， 由上可知平面，且平面，则， 由，且平面，平面，所以平面. 当点在正方体内运动所形成的图形为四边形时，平面，所以满足， 此时，，面积为. 由上可知为平面与底面所成角. 则，则，故， 设截面椭圆的中心为，长轴为，短轴为， 过椭圆的短轴作与圆锥的底面平行的截面分别交母线于两点. 设该截面与圆锥的轴所成角为，则，则， 设圆锥的母线于圆锥的轴所成角为，则.， 由相交弦定理可得：， 在中，， 所以，即， 在中，， 所以，即， 设椭圆的离心率为，则 ， 所以. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是证明平面，从而得出在正方体内运动所形成的图形为四边形内；以及在圆锥的截面椭圆中过截面椭圆的中心作与圆锥底面平行的截面，从而结合圆的相交弦定理得到，由正弦定理得出，，从而得出离心率. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知锐角的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求A的值． (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为， 所以， 即，（2分） 由余弦定理， 所以，又，所以；(5分) （2）由正弦定理得， ∴，. ∴ （9分） 在锐角中，，， 又∵，∴，∴， 综上可得， ∴， ∴ ∴周长的取值范围为.（13分） 16．（15分）如图所示，正四棱锥中，点是棱的中点． (1)证明：∥平面； (2)已知异面直线与所成角的余弦值为，求二面角的正弦值． 【答案】(1)见详解 (2). 【解析】（1） 连接AC，BD，AC∩BD=O，连接OE， 因为O是BD中点，点E是棱PB的中点， 则∥， 因为PD不在平面AEC内，EO⊂平面AEC， 所以∥平面AEC．（4分） （2）因为PO⊥平面ABCD，AC⊥BD，所以OP，OA，OB两两垂直， 以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz, 设， 则， 所以， 又异面直线PD与AE所成角的余弦值为， 所以，解得，（9分） 故， 所以， 设平面PAC的一个法向量为， 设平面ACE的法向量为， 则， 取，得．（12分） 设二面角的平面角为θ，观察图形可知θ为锐角， 所以.（15分） 17．（15分） 设，，，圆Q过A，B，D三个点. (1)求圆Q的方程； (2)设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； (3)设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）由题意可得，圆心Q为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点， ，直线的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即 又线段的垂直平分线的方程为， 联立方程组，解得，所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为.（4分） （2）设，因为， 所以， 化简得，所以． 则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即两圆相交. 又， 则，解得.（9分）    (3) 设直线的方程为， 由得，， 所以， 所以， 所以，所以直线方程为，令，解得，即直线过定点．（15分）    18．（17分） 已知抛物线上的一点到焦点的距离为1，直线交于两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)为坐标原点，已知： （i）作垂足为，则是否存在定点，使为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （ii）若在处的切线恰好平分直线与的夹角，求的方程. 【答案】(1) (2)（i）存在，；（ii） 【详解】（1）到的距离等于到准线的距离， 故， 故；（2分） （2）（i）设直线， 联立方程，得， 由韦达定理知，， 而， . 因为，所以，有， 即，解得或（舍去）， 所以直线，即直线过定点， 结合，所以在以为直径的圆上， 所以到定点的距离为定值1；（7分） （ii）因为，所以. 设切线方程为， 联立方程组得 令，得， 所以切线方程为， 斜率的倾斜角. 由（i）可知，直线， 联立方程，消得， 则，故. 不妨设直线的倾斜角分别为，则由恰好平分直线与的夹角可知，. ， ，即 ，即 化简得，（14分） 即 代入得，即， 解得. 当时，直线过点，舍去. 所以直线.（17分） 19．（17分） 已知椭圆，点，，其中，是椭圆上的一点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，椭圆在两点处的切线与相交于点，线段的中点为，设直线，的斜率分别为，. (1)证明：直线的方程为； (2)求的取值范围（用表示）； (3)若点的坐标为，求. （附：若是椭圆上一点，则椭圆在点处的切线方程为.） 【答案】(1)见解析 (2) (3)1 【详解】(1) 设， 椭圆在点处的切线的方程为， 在点处的切线的方程为， 因为切线与相交于点， 所以，且， 说明均在直线上， 所以直线的方程为.（4分） （2）由，，， 可得，所以， 又在椭圆上， 则，得， 因此， 因为，所以，则， 所以， 即的取值范围是.（9分） （3）的方程为，的方程为， 联立，可得，即， 点的坐标为，则， 直线的方程为：，即， 直线的方程为：，即， 联立，得， 由题意，此方程的两根为，则，即， 联立，得， 由题意，此方程的两根为，则，即，（11分） 又，， 所以 ，（15分） 所以点的横坐标，所以， 又为线段的中点，故，可得.（17分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数学·参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 2 6 7 P C B B D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 10 11 BD ABC BCD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.5 13.4 14.8v5 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解析】(1)因为c2sin4sinB-V5sinC-V5((bsin B-asin)A 2bcsin A-3c2=3b2-3a2 所以 2 即 besin A=b+c2-d2,(2分) 2besin A 由余弦定理cosA-+2-d2_5 2bc 2be 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以mA=,又4(0，，所以4=号：6分》) b c a 243 (2)由正弦定理得sin B sinC sinA sin π3， 23 sinc=4 :6=4m8c=45m 3 =3s(4+BA)=45n 43m（+B v5 a+b+c=2+ 。.43. sin B+- 3 sinB+π） 3 3 2+4 -sin B+43 sin Bcos+cos Bsin 3 3 =2+2v3 sin B+2cos B 1 =2+4 sin B+cosB 2 2+4sinB+6)(9分) 在锐角6HBC中，0<B<至，0<C<号 2 又C--A,0<5-8<5, 3 :<B<2如 3 2,61 3 综上可得名<B<受 2, 8+<经5 +63,之<sinB+}s 6 2+23<2+4simB+Ts6 6 ∴.△ABC周长的取值范围为 2+25,6].13分) 16.(15分) 【解析】(1) 2/10 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 连接AC,BD,AC∩BD=O,连接OE, B 因为O是BD中点，点E是棱PB的中点， 则OE∥PD, 因为PD不在平面AEC内，EOc平面AEC, 所以PD∥平面AEC.(4分) (2)因为PO1平面ABCD,AC1BD,所以OP,OA,OB两两垂直， 以O为坐标原点，OA,OB,OP所在直线分别为x,z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xz, B 设04=0B=22,0P=21 则P0,021）D0-22,04220,0),E02,. 所以P历-0-22，-24）4E-(-22,2,) √65 又异面直线PD与AE所成角的余弦值为13， 4+212 所以V8+4xV10+213,解得1=√5，(9分) 故P0,025,c-22,0o4(22,00),E02,5) 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以-(4w5,0.0.c正=(222，) m=(0,1,0) 设平面PAC的一个法向量为 设平面ACE的法向量为 n=(x,y,2) n⊥CA. iCA=42x=0 LCECE=2x+2y+3z=0 取y=5,得i=05,-同）.12分) 设二面角P-AC-E的平面角为8，观察图形可知日为锐角， 所以c0s0= m列。35 5. (15分) 17.(15分) 【解析】(1)由题意可得，圆心Q为线段AB的垂直平分线和线段AD垂直平分线的交点， A3·直线B的中点为2？】 所以线段AB的垂直平分线的方程为'- 9、5 即5x-y-25=0 又线段AD的垂直平分线的方程为y=0, V3x-y-2V3=0 x=2 联立方程组y=0 ,解得y=0,所以圆心为Q(2,0),半径为0B=2, 所以圆的方程为：-2+少=44分) (2)设P(x）,因为P+PC=2, 所以(-+y-v3+x+3+-5=2元， 化简得x++(0-V5矿=元-4，所以元>4. 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则点P在以M1)为圆心，反-4为半径的圆上，依盟意该圆M与圆2有两个交点，即两圆相交 又Mg=V-1-2}+(3=25, 则小-4-2k25<V=4+2,解得20-85<1<20+8V5.(9分) B (3) 设直线'的方程为'=c+m,E(G,片)，F(,bx5≠0 y=kx+m 由(x-2)2+y2=4得，(（1+k2）x2+2(m-2)x+m2=0, 所以古+5 2(kam-2) 1+2,x2=1tP 2kamn(2-kam）+m 所4-=低+m+园_西+++mk,起 =1+4k=3 xx2 xx2 m2 m 1+k2 [x+2=0 [x=-2 所以m=2k,所以直线1方程为y=k(x+2),令y=0,解得y=0,即直线1过定点(-2,0).(15 分) P4￡ 18.(17分) 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解折】（④）C到r的距离等干C到准线=-号的距离。 枚号=Lp=1 放2=2x ；(2分) (2)(i)设直线 :x=my+tA(x,),B(x2,2) x=my+t 联立方程y2=2x,得y2-2my-21=0, 由韦达定理知，+乃=2m,2=-21 而+3=my+1+m+1=my+⅓)+21=2m2+21 %=片公=2 22 因为0M10B,所以O1-Oi=0,有45+5=0， 即2-2t=0,解得1=2或1=0（舍去）， 所以直线：x=m+2,即直线4B过定点P20) 结合OD⊥AB,所以D在以OP为直径的圆上， 所以D到定点 91,0) 的距离为定值1；(7分) D 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 西因为0，商9行-小 设切线g方程为x=n(0+)+ 2, x=n(+)+ 2 联立方程组y2=2x 得y-2wy-2m-1=0, 令4=4m-4(-2n-1)=0 得n=-1, 所以切线方程为=x-) 2, 斜率k=-1g的倾斜角a=3弧 4 由(i)可知，直线 :x=my+2,A(x,y),B(x2,y2） [x=my+2 联立方程y2=2x，消x得y2-2my-4=0, 则A=4(m+2)>0%+为=2m%=4,故+5=2m+4,6=4 不妨设直线AC,BC的倾斜角分别为B,?,则由8恰好平分直线AC与BC的夹角可知，B-a=α-Y. tanB=kc=当 ,tany=kc=当+l 1 为2 x2-2 tanB-tana tana-tany tan(B-a)=tan(a-y）y即i+tanBtand1+tangtany kxc-(-1) 。-1-kc kxc+1--I-kw.(k.c+l)(1-kxc)-(1-knc)(-l-kwc) 1+kic(-1)1+(-1)-knc,1-kac 1-kgc kac:kgc =1 化简得 ,(14分) 即++)5飞》+g+1=5+)+号 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 代入得4+2m+1=4m+4到+，即+2m-0, 1 2 3 7 解得m=2m=一2 3 当m=2时，直线过点C,舍去 24 所以直线：y=气x+7(17分) B 19.(17分) 【解析】(1) 设E(,)F(3,) +号=1在E点处的切线！的方程为8+？ 椭圆8 +以=1， 2 +2以=1 在F点处的切线，的方程为8+2 因为切线1与相交于点 P(m,n) m+=1,且8+2 所以82 月m+2”=1 m+四=1上 说明E(:,y),F(3,)均在直线8+2 m+四=1.(4分) 所以直线EF的方程为8+2 (2)由B(-a,0).C(a,0).D() k=为k=为1+1-2西 可得x+a -a,所以kk, 8/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又DKW0<气<a6>0在霜时若+苦=1上。 则普+号1，得发-2学 4 1+1-2=2。=4 /2、 2 8 因此 8-17 8 因为0<6<a0<a<25,所以0<<a,则号l>-1>0, 0< 4 =< 8 8 所以 V-Va-1 v8-a2 11 4a 0, 即飞飞的取值范围是（√8-a2 (9分) +2y-1, （)4的方程为苦+学-山，飞的方程为装+号 +2=1 8(y2-) x= 82 xy2-x2乃 联立 +22=1 可得2(x-x2),即。_8(y-y), y= Xp= 82 Xy2-x2y1 Xy2-X2Y1 1k3=2-a' 1 点D的坐标为(2，)，则-2+ 自线0B的方程为：y-0=2a+a),即x-2+oy-a: 2+a 自线0C的方程为：y-02-o小.即x=亿-dy+a x=(2+a)y-a 联立 +少=1’得 =1 [(2+a'+4]y2-2a(2+ay+a2-8=0 a2-8 a2-8 ×y= 由题意，此方程的两根为1，y,则 (2+a+4,即12+a+4. 9/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=(2-a)y+a 联立 号+号-1·0[-o+4]y+2a(2-a+d-8=0 得 82 a2-8 a2-8 由腿意，此方程的两根为Ly,则X%2-a+4,即片2a+4,1分) 又=(2+ay-a.5=(2-a)yta =8(y-y) 8(2-) 所以，=%-2+a)y-ay2-a%+ay a2-8 a2-8 (2-a}2+4(2+a}2+4 2a. a2-8 a2-8 a2-8 a2-8 - (2+a2+4(2-a}+4(2+a2+4(2-a2+4 8(a2-8x(8a) (a2-8)x(-32a） =-2,(15分) 所以友G的陕标。=-220 22 ,所以OG⊥BC, GB 又0为线段BC的中点，故GB=|GC,可得GC.(17分) y D B O G 10/10………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册第1章~第3章。 5．难度系数：0.6 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（    ） A． B． C． D． 2．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D． 3．如果，那么直线不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．短轴长为，离心率的椭圆两焦点为，，过作直线交椭圆于，两点，则的周长为（    ） A．24 B．12 C．6 D．3 5．在直三棱柱中，为中点，为靠近的四等分点，点，，所确定的平面把三棱柱分割成体积不同的两部分，则较小部分的体积与较大部分的体积之比为（   ） A． B． C． D． 6．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且，球体O表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，．若椭圆C上存在点P，使得的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆方程为，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．若已知在圆内，则 C．若，则直线与圆相离 D．若，圆关于直线对称的圆方程为 10．如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方体上底面上的动点，则（    ）    A．满足平面的点的轨迹长度为 B．满足的点的轨迹长度为 C．存在唯一的点满足 D．存在点满足 11．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点在上，点，点在直线上，则下列说法正确的是（    ） 附：双曲线在其上一点处的切线方程为. A． B． C．作于点，则（为坐标原点） D．若的延长线交于点，则的内心在定直线上 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点是直线上一点，则的最小值是__________. 13．已知三棱锥，如图所示，为重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，若四点共面，则 _________． 14．如图，棱长为4的正方体中，点为中点，点在正方体内（含表面）运动，且满足，则点在正方体内运动所形成的图形的面积为_________________；若在正方体内有一圆锥，圆锥底面圆内切于正方形，圆锥顶点与正方体上底面中心重合，则点运动所形成的图形截圆锥表面得到的椭圆的离心率为_____________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知锐角的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求A的值． (2)若，求周长的取值范围． 16．（15分） 如图所示，正四棱锥中，点是棱的中点． (1)证明：∥平面； (2)已知异面直线与所成角的余弦值为，求二面角的正弦值． 17．（15分） 设，，，圆Q过A，B，D三个点. (1)求圆Q的方程； (2)设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； (3)设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 18．（17分） 已知抛物线上的一点到焦点的距离为1，直线交于两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)为坐标原点，已知： （i）作垂足为，则是否存在定点，使为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （ii）若在处的切线恰好平分直线与的夹角，求的方程. 19．（17分） 已知椭圆，点，，其中，是椭圆上的一点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，椭圆在两点处的切线与相交于点，线段的中点为，设直线，的斜率分别为，. (1)证明：直线的方程为； (2)求的取值范围（用表示）； (3)若点的坐标为，求. （附：若是椭圆上一点，则椭圆在点处的切线方程为.） 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册第1章~第3章。 5．难度系数：0.6 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（    ） A． B． C． D． 2．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D． 3．如果，那么直线不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．短轴长为，离心率的椭圆两焦点为，，过作直线交椭圆于，两点，则的周长为（    ） A．24 B．12 C．6 D．3 5．在直三棱柱中，为中点，为靠近的四等分点，点，，所确定的平面把三棱柱分割成体积不同的两部分，则较小部分的体积与较大部分的体积之比为（   ） A． B． C． D． 6．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且，球体O表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，．若椭圆C上存在点P，使得的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆方程为，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．若已知在圆内，则 C．若，则直线与圆相离 D．若，圆关于直线对称的圆方程为 10．如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方体上底面上的动点，则（    ）    A．满足平面的点的轨迹长度为 B．满足的点的轨迹长度为 C．存在唯一的点满足 D．存在点满足 11．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点在上，点，点在直线上，则下列说法正确的是（    ） 附：双曲线在其上一点处的切线方程为. A． B． C．作于点，则（为坐标原点） D．若的延长线交于点，则的内心在定直线上 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点是直线上一点，则的最小值是__________. 13．已知三棱锥，如图所示，为重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，若四点共面，则 _________． 14．如图，棱长为4的正方体中，点为中点，点在正方体内（含表面）运动，且满足，则点在正方体内运动所形成的图形的面积为_________________；若在正方体内有一圆锥，圆锥底面圆内切于正方形，圆锥顶点与正方体上底面中心重合，则点运动所形成的图形截圆锥表面得到的椭圆的离心率为_____________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知锐角的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求A的值． (2)若，求周长的取值范围． 16．（15分） 如图所示，正四棱锥中，点是棱的中点． (1)证明：∥平面； (2)已知异面直线与所成角的余弦值为，求二面角的正弦值． 17．（15分） 设，，，圆Q过A，B，D三个点. (1)求圆Q的方程； (2)设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； (3)设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 18．（17分） 已知抛物线上的一点到焦点的距离为1，直线交于两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)为坐标原点，已知： （i）作垂足为，则是否存在定点，使为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （ii）若在处的切线恰好平分直线与的夹角，求的方程. 19．（17分） 已知椭圆，点，，其中，是椭圆上的一点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，椭圆在两点处的切线与相交于点，线段的中点为，设直线，的斜率分别为，. (1)证明：直线的方程为； (2)求的取值范围（用表示）； (3)若点的坐标为，求. （附：若是椭圆上一点，则椭圆在点处的切线方程为.） 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $