第二章 《一元二次方程》单元测试培优试卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第二章《一元二次方程》 单元检测培优卷 【新教材北师大版】 满分：100分；考试时间：90分钟 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共20题，单选8题，填空5题，解答7题，满分100分，限时90分钟。本卷题型针对性高，覆盖面广，选题有深度，难度分布合理，可量化学生的掌握程度！ 一、单选题（共8题，每小题3分，共24分） 1．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）下列方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·全国·单元复习）若是关于x的一元二次方程，则（     ） A． B． C． D．且 3．（26-27九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知m是方程的一个根，则代数式的值等于（    ） A．4 B．1 C．0 D． 4．（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）方程的根是（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）若将一元二次方程化成的形式，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知某三角形每条边的长都是方程的根，则该三角形的周长是（） A．6 B．10 C．9 D．12 7．（26-27九年级上·天津河西·阶段检测）每年的8月8日是我国全民健身日，据有关部门统计，某市居民8月份第一周人均运动时长为4小时，第三周人均运动时长为4.84小时，若设人均运动时长周平均增长率为，则依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 8．（2022九年级上·湖北黄冈·竞赛）设k为实数，且方程的两实根为a、b，则的最小值为（     ） A．0 B．8 C．12.25 D．18 二、填空题（共5题，每小题3分，共15分） 9．（26-27九年级上·新疆昌吉·阶段检测）一元二次方程的两根是_________ 10．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）若关于x的一元二次方程的解为1、3，则一元二次方程a的解为__________________________ 11．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知m是方程的一个根，则代数式的值为__________． 12．（26-27九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图，在一块长为，宽为的矩形空地中，修建两条同样宽的小路（图中阴影部分），剩下的部分种植草坪，要使草坪的面积为，设道路的宽度为，则可列方程___________； 13．（26-27九年级上·福建三明·阶段检测）关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”．若关于的代数式有两个不动值，且两个不动值的差为整数，则正整数的值为_____． 三、解答题（共7题，61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（26-27九年级上·辽宁辽阳·阶段检测）（本题6分）用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 15．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测（本题7分））已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若该方程有一实数根等于2，求a的值 16．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）（本题8分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，是方程的两根，且满足，试求k的值． 17．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）（本题8分）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有一个根为，求m的值． (2)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根 (3)已知是方程的两个根，在（1）的条件下，求的值． 18．（26-27九年级上·山西忻州·阶段检测）（本题10分）项目式学习 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化、一体化加工，生产效率显著提升，已知6月份生产该零件100个，8月份生产144个， 素材2 该厂生产该零件的成本为30元/个；市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 (1)求该车间6月份到8月份生产该零件数量的月平均增长率； (2)工厂为了提升利润，决定调整售价，要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少元/个？ 19．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）（本题10分）如图，某小区有一块长为、宽为的矩形空地，计划在空地中修筑两条互相垂直且等宽的小路（两条小路分别与矩形的一组对边平行），其余部分铺设草坪． (1)设小路的宽为，用含的代数式表示草坪的面积； (2)若草坪的面积为，求小路的宽． 20．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）（本题12分）阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则______，______； (2)已知实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章《一元二次方程》 单元检测培优卷 【新教材北师大版】 满分：100分；考试时间：90分钟 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共20题，单选8题，填空5题，解答7题，满分100分，限时90分钟。本卷题型针对性高，覆盖面广，选题有深度，难度分布合理，可量化学生的掌握程度！ 一、单选题（共8题，每小题3分，共24分） 1．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）下列方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项，的最高次数是1，是一元一次方程，A选项错误； B选项，的分母含有未知数，不是整式方程，B选项错误； C选项，的最高次数是2，是一元二次方程，C选项正确； D选项，未说明，当时，不是一元二次方程，D选项错误． 2．（26-27九年级上·全国·单元复习）若是关于x的一元二次方程，则（     ） A． B． C． D．且 【答案】A 【详解】解：若，方程的二次项消失，不是一元二次方程， 故需满足． 3．（26-27九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知m是方程的一个根，则代数式的值等于（    ） A．4 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】观察到所求代数式与方程左边的形式一致，利用方程的根的定义代入即可直接求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程，得． 4．（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）方程的根是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，开平方得，即. 5．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）若将一元二次方程化成的形式，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵ ， ∴ 移项得， ∴ 两边同时加4得， ∴ ， ∵ 方程需化为的形式， ∴ ，， ∴ ． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知某三角形每条边的长都是方程的根，则该三角形的周长是（） A．6 B．10 C．9 D．12 【答案】C 【分析】先求出，得到三角形三边长均为3，再根据三角形的周长公式进行求解即可． 【详解】解：， ， 解得， ∵三角形每条边的长都是方程的根， ∴三角形三边长均为3， ∴周长为． 7．（26-27九年级上·天津河西·阶段检测）每年的8月8日是我国全民健身日，据有关部门统计，某市居民8月份第一周人均运动时长为4小时，第三周人均运动时长为4.84小时，若设人均运动时长周平均增长率为，则依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定增长次数为2，结合增长率关系列方程． 【详解】解：设人均运动时长周平均增长率为， 第一周人均运动时长为4小时， 第二周人均运动时长为小时， 第三周人均运动时长为小时， 第三周人均运动时长为4.84小时， 列方程为． 8．（2022九年级上·湖北黄冈·竞赛）设k为实数，且方程的两实根为a、b，则的最小值为（     ） A．0 B．8 C．12.25 D．18 【答案】B 【分析】本题先根据方程有两个实根，利用判别式求出k的取值范围，再将所求代数式展开变形，结合根与系数的关系化为关于k的二次函数，最后根据二次函数性质求出给定范围内的最小值即可． 【详解】解：∵方程有两个实根， ∴判别式， 化简得， 因式分解得， 解得或， 由一元二次方程根与系数的关系得，， ，   将，代入上式得： 原式 ， 而是开口向上的二次函数，对称轴为直线， ∵k的取值范围为或，两个范围内离对称轴最近的点分别为和， 当时，， 当时，， ∵， ∴ 的最小值为． 二、填空题（共5题，每小题3分，共15分） 9．（26-27九年级上·新疆昌吉·阶段检测）一元二次方程的两根是_________ 【答案】 ， 【详解】解：， ， ， 因此一元二次方程的两根为，． 10．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）若关于x的一元二次方程的解为1、3，则一元二次方程a的解为__________________________ 【答案】， 【分析】把看作整体，利用换元法对应原方程的解，即可求出新方程的解． 【详解】解：令，则方程可化为， ∵原一元二次方程的解为，， ∴的解为，， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴一元二次方程的解为，． 11．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知m是方程的一个根，则代数式的值为__________． 【答案】1 【分析】将代入方程，得到关于的等式，变形后即可得到所求代数式的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程得 ， 移项可得 ， 因此代数式的值为． 12．（26-27九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图，在一块长为，宽为的矩形空地中，修建两条同样宽的小路（图中阴影部分），剩下的部分种植草坪，要使草坪的面积为，设道路的宽度为，则可列方程___________； 【答案】 【分析】利用平移法，将图中曲折的小路分别平移到矩形的边上，使草坪部分合并为一个完整的矩形，从而确定草坪的长和宽． 【详解】解：设道路的宽度为，利用平移的性质，将横向小路向下平移，纵向小路向右平移． 此时草坪合并为一个矩形，其长为，宽为， 则根据矩形的面积可列方程：． 13．（26-27九年级上·福建三明·阶段检测）关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”．若关于的代数式有两个不动值，且两个不动值的差为整数，则正整数的值为_____． 【答案】1，2 【分析】根据题意得出，整理得，设方程的两个根为s，t，根据根与系数的关系可得出，，表示出两个不动值的差的平方，根据整数，a为正整数求得合适的a的值即可． 【详解】解：， 整理得：， 设方程的两个根为s，t， 则，， ∴， ∵为整数， ∴为整数， ∴或． 三、解答题（共7题，61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（26-27九年级上·辽宁辽阳·阶段检测）（本题6分）用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 或 解得，； （3）解： 或 解得，； （4）解： 解得，． 15．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测（本题7分））已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若该方程有一实数根等于2，求a的值 【答案】(1)证明：∵方程是一元二次方程， ∴ ． ∵无论取何实数，，即， ∴该方程总有两个实数根． (2) 【分析】（1）计算一元二次方程的根的判别式，证明其恒大于等于0即可得证； （2）将代入原方程，解关于a的一元一次方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：将代入得，， 解得． 16．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）（本题8分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，是方程的两根，且满足，试求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，结合根的判别式列不等式求解k的取值范围； （2）利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知等式求解k，结合（1）的取值范围验证结果． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 其中，，， 代入得， 解得； （2）解：∵，是方程的两根， ∴由根与系数的关系得：，， ∵， ∴， 解得， ∵，符合k的取值范围， ∴k的值为． 17．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）（本题8分）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有一个根为，求m的值． (2)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根 (3)已知是方程的两个根，在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2)证明：， 无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． (3) 【分析】（1）把代入方程即可解答； （2）计算根的判别式，即可解答； （3）根据根与系数的关系可得，即可解答． 【详解】（1）解：方程有一个根为， ， 解得； （2）略 （3）解：根据根与系数的关系可得，， ∴， 当时，原式． 18．（26-27九年级上·山西忻州·阶段检测）（本题10分）项目式学习 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化、一体化加工，生产效率显著提升，已知6月份生产该零件100个，8月份生产144个， 素材2 该厂生产该零件的成本为30元/个；市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 (1)求该车间6月份到8月份生产该零件数量的月平均增长率； (2)工厂为了提升利润，决定调整售价，要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】(1) (2)元/个 【分析】（1）根据6月产量、8月产量与月平均增长率的等量关系列一元二次方程求解； （2）根据总利润单个利润月销售量列方程，结合让消费者得到实惠的条件选取较低的售价． 【详解】（1）解：设该车间6月份到8月份生产该零件数量的月平均增长率为x， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该车间6月份到8月份生产该零件数量的月平均增长率为； （2）解：设该零件的实际售价为t元/个， 由题意得， 整理得， 解得，， ∵要尽可能让消费者得到实惠，即售价尽可能低， 取， 答：该零件的实际售价应定为元/个． 19．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）（本题10分）如图，某小区有一块长为、宽为的矩形空地，计划在空地中修筑两条互相垂直且等宽的小路（两条小路分别与矩形的一组对边平行），其余部分铺设草坪． (1)设小路的宽为，用含的代数式表示草坪的面积； (2)若草坪的面积为，求小路的宽． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把小路移到矩形的相邻的两边处，再进一步表示草坪的边长与面积即可； （2）利用矩形面积公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设小路的宽度为m． ∴草坪的面积为：． （2）解：由题意得， 化简得， 解得，， 因为大于空地的宽，不合题意，舍去 所以． 答：小路的宽度为． 20．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）（本题12分）阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则______，______； (2)已知实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）根据根与系数关系、，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值；当时，易得原式； （3）将、看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到的最大值． 【详解】（1）解：一元二次方程的两根为，， ，； （2）解：当时， 实数、满足，， 、可看作方程的两根， ，， 原式， 当时，则原式； 综上所述，原式的值为或2； （3）解：，， ∴，， 将、看作是方程的两实数根， ， 又∵，即， ， ，即， 的最大值为1． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $