第二章一元二次方程提升测试2026-2027学年北师大版九年级上册数学

2026-2027学年北师大版九年级上册数学第二章 一元二次方程提升测试 时间:120分 满分:120分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）已知是关于的一元二次方程，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（本题3分）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A． B． C．5 D．7 4．（本题3分）已知a是方程的根，的值为（     ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 5．（本题3分）用配方法解方程时，配方后得到的方程是（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）某场比赛中每两支球队之间比赛1场，若x支球队共进行了21场比赛，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为、宽为的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（     ） A． B． C． D． 9．（本题3分）关于的一元二次方程与有且只有一个公共解，则的值为（     ）． A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）若是一元二次方程的解，则m的值__________________． 12．（本题3分）若实数m，n满足，，且，则的值为______． 13．（本题3分）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 14．（本题3分）若是关于x的方程的一个解，则的最大值为______． 15．（本题3分）潮阳区金灶镇某果园2024年水果产量为100吨，2026年产量达到144吨．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则可列方程______，解得年平均增长率为______． 16．（本题3分）《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为19，则该方程的正数解为______． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）解方程： (1)； (2)． 18．（本题8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2)如果方程的两个实数根为，满足，求的值． 19．（本题8分）按要求解答下列问题： (1)用适当的方法解方程：． (2)下面是小宣解方程的过程，请认真阅读并回答问题． 解：等号左边因式分解，得，第一步 方程两边同时除以，得，第二步 移项、合并同类项，得．第三步 ①以上解方程的过程，从第___________步开始出错，错误的原因是___________． ②直接写出正确的解． 20．（本题8分）某种规格的溱湖簖蟹养殖成本为30元/只，根据市场调查发现，批发价定为50元/只时，每天可销售400只，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，养殖户采取降价措施，一只蟹的批发价每降低1元，每天销量可增加40只． (1)当降价2元时，养殖户每天的利润为多少元？ (2)若养殖户每天的利润要达到8960元，并尽可能让利顾客，则定价应为多少元？ 21．（本题9分）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一部分，如图． (1)当时，所捂部分的值为_____； (2)若所捂部分为，用配方法求出x的值． 22．（本题9分）如图是2026年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为240，求最小数； (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为61吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 23．（本题10分）定义：我们把关于的一元二次方程与且，称为一对“换位方程”．如的“换位方程”是． (1)写出一元二次方程的“换位方程”：_____； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“换位方程”的两根为，_____；根据以上结果，猜想的两根，与其“换位方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为_____； (3)已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 24．（本题12分）如图①，在中，，，．在矩形中，，，在矩形的左侧，与在一条直线上，且点与点重合．现以的速度沿直线从左向右运动（矩形保持不动）． (1)连接，当第一次成为等腰三角形时，求出运动了多少秒？ (2)连接，当时，求出运动了多少秒？ (3)当与矩形重叠部分的面积为时，直接写出运动了多少秒？ 第6页（共6页） 第5页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年北师大版九年级上册数学第二章 一元二次方程提升测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B D A D C D D A 1．C 【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， 解得． 2．A 【分析】根据“有两个不相等的实数根”得出判别式，进而建立不等式求解． 【详解】解：对于方程 ，其中，，， 方程有两个不相等的实数根， ， 即 ， 解得． 3．B 【详解】解：将代入方程，得 ， 即， 解得． 4．D 【分析】利用方程根的定义，对三次项降次后代入求值． 【详解】解：是方程的根， ，即，， ． 5．A 【分析】移常数项至等号右侧后，等式两边加一次项系数一半的平方即可完成配方． 【详解】解：， ， ， ， ． 6．D 【分析】对比一元二次方程求根公式的结构，对应确定方程的各项系数． 【详解】解：∵ 一元二次方程的求根公式为，题中方程的根为， ∴ 对比分母得，即， ∴ 对比分子不含根号的项得，即， ∴ 对比根号内的表达式得，代入得， ∴ 该一元二次方程为. 7．C 【详解】解：∵支球队中每支球队需与其余支球队各赛1场 ∴累计比赛场次为 ∵每两支球队之间的比赛被重复计算2次 ∴实际总场次为 ∵总场次为21 ∴． 8．D 【分析】设彩纸的宽度为，根据彩纸的面积恰好与原画面面积相等列方程即可． 【详解】解：设彩纸的宽度为， 由题意可得：，即． 9．D 【分析】设两方程的公共解，代入后作差消去二次项，结合仅有一个公共解的条件排除两方程同解的情况，进而求解． 【详解】解：设两方程的公共解为， ∵ 是两个方程的解， ∴ ①， ②， ，得， 整理得， 若，即，则两方程完全相同， 此时，方程有两个不同的实数根，即两方程有两个公共解，不符合题意， ∴ ， ∴ ，即， 将代入①，得， 解得． 10．A 【分析】根据题意表示出线段长度，由题意列出方程求解即可. 【详解】解：设t秒后，的面积等于4， 由题意得：，，则， ， ，整理得： 解得：，， ∵点Q运动到点A所用时间为秒， ∴不合题意，舍去， ∴1秒后，的面积等于4． 11．4 【详解】解：将代入得，， 解得． 12． 【分析】两个等式结构相同，且，可知，是一元二次方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系结合完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：∵满足，满足，且， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程的根与系数的关系可得：，， ∵， 将，代入得：， ∴． 13． 【分析】根据一元二次方程有两个相等实数根时根的判别式等于0，列关于的方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，整理得， 解得． 14． 【分析】将方程的解代入原方程，得到关于的表达式，代入后整理为二次式，用配方法求最大值即可． 【详解】解：∵ 是方程的一个解， ∴ 将代入原方程得：， 展开并整理得：即 ， 将代入得：， 对式子配方得：， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即当时，取得最大值． 15． 20 【分析】设年平均增长率为，根据增长率的变化关系列方程，舍去不符合题意的负根即可得到结果 【详解】解：从2024年到2026年，一共经过2次增长，增长次数为． 根据产量增长规律，可列方程： 两边同时除以，得 开平方，得 解得，． ∵增长率为正数 ∴舍去不符合题意的负根 因此，即年平均增长率为． 16． 【分析】结合正方形的面积为，进一步求解边长即可得到答案． 【详解】解：∵阴影部分的面积为19， ∴， ∴， ∴正方形的面积为，边长为， ∴． 17．(1)， (2)， 【详解】（1）解： ，； （2）解： 或 ，． 18．(1) 证明：∵一元二次方程为，其中，，， ∴ ∵ ， ∴ ，即， ∴ 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2) 的值为或 【分析】（1）计算方程的判别式，配方后证明其恒大于0即可得证； （2）利用根与系数的关系表示出两根和与两根积，代入已知等式求解. 【详解】（1）略 （2）解：由根与系数的关系得，， ∵， ∴， 整理得， 解得，， ∵ 无论取何值方程均有两个实数根， ∴的值为或. 19．(1)， (2)①二；方程两边同时除以，需要满足． ②，． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）①略 ②解：， ， ， ， ， ，． 20．(1)8640元 (2)44元 【分析】（1）根据降价金额计算单只利润与日销量，结合总利润公式求解； （2）设降价金额为未知数，根据总利润列一元二次方程，结合让利要求选取最优解． 【详解】（1）解：降价2元时，每只蟹的利润为（元）， 日销量为（只）， ∴每天的利润为（元）． 答：当降价2元时，养殖户每天的利润为8640元； （2）设每只蟹降价元， ∵采取降价措施且保证盈利， ∴， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵要尽可能让利顾客，需降价幅度最大， ∴， ∴此时定价为（元）． 答：定价应为44元． 21．(1)121 (2)， 【分析】（1）根据题意，将代入计算即可； （2）根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 所捂部分的值为121； （2）解：根据题意，得， 整理，得， ， 即， ， ，． 22．(1)12 (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为61； 理由如下：设最小数为，则另外三个数分别是，，， 由题意，得， 整理，得， 解得（不符合题意，舍去），， 在最后一列， ∴虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为61． 【分析】（1）设最小数为，则最大数为，根据“最大数与最小数的乘积为240”，列出一元二次方程，求解取其符合题意的值即可； （2）设最小数为，则另外三个数分别是，，，根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为61，列出一元二次方程，求解得出的值，即可解决． 【详解】（1）解：设最小数为，则最大数为， 由题意，得， 整理，得， 解得（不符合题意，舍去），， ∴最小数为12． （2）略． 23．(1) (2)；互为倒数； (3)或 【分析】（1）按照“换位方程”的定义求解即可； （2）用配方法解出（1）中的“换位方程”，根据解来判断原方程的根与“换位方程”的根的关系； （3）方程的两根是，，因为方程的“换位方程”的两根是，， 设，将方程变形为，进行求解即可． 【详解】（1）解：在一元二次方程中，，，， 所以，一元二次方程的“换位方程”为； （2）由（1）知一元二次方程的“换位方程”为； 或， ，， 原方程的两根为，， ，， 猜想的两根，与其“换位方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为互为倒数； （3）方程的两根是，，因为方程的“换位方程”是方程， 所以方程的两根是，， ， ， 设， 则， 或， 即，， 或． 【点睛】将看作一个整体进行求解． 24．(1)秒 (2)或（秒） (3)或（秒） 【分析】由，，，得到的距离为10，恰好等于．设运动秒，则，，． （1）由到的垂足为，分、、三种情况讨论，取最小值． （2） 由，注意可能在左侧或右侧，需分类． （3）按三角形与矩形重叠形状分阶段：进入阶段（）重叠为三角形，面积；部分重叠阶段（）重叠为四边形，面积；完全包含阶段（）面积恒为100；退出阶段（）重叠为四边形，面积；完全离开后面积为．令各段面积等于68，在对应范围内求解． 【详解】（1）解：以点E为原点，直线所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系， 过点C作轴于点H， ∵，，， ∴， 设运动秒，由题意，，，， ，，， 到的垂足H坐标为． ①当时，H为中点，，解得； ②当时，，解得或； ③当时，，解得． ∵， ∴第一次成等腰三角形为秒． （2）解：由（1），， 解得秒或秒． （3）解：分段讨论重叠面积： 当时， ，令，（不在范围内，舍去）； 当时， ， 令， 解得，或（舍去）； 当时， ，无解； 当时， ， 令， 解得，，（舍去）； 当时， 面积的为， 则此时，重叠面积为68无解． 秒或秒． 答案第2页（共13页） 答案第1页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $