第二章一元二次方程 单元测试卷 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级数学（上册）第二章《一元二次方程》单元测试卷（适中卷）（答案详解） （参考答案与评分标准　满分120分　考试时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B A C D A B A B B 1．A未明确二次项系数 ，不一定是一元二次方程；B整理后为 ，是一元一次方程；D分母中含未知数，是分式方程；C展开为 ，是一元二次方程，故选C。 2．由未知数最高次数为2得 ，即 ；又二次项系数 ，即 ，故 ，选B。 3．二次项系数化为1：；配方两边同加1，得 ，选A。 4．，方程没有实数根，选C。 5．由韦达定理，，选D。 6．提取公因式 x，得 ，所以 ，选A。 7．方程为一元二次方程要求 ；有实数根要求 ，即 ，故 且 ，选B。 8．第一年产量为 ，第二年为 ，由翻一番得 ，选A。 9．原两位数为 ，交换后的新两位数为 ，新数比原数大27，故 ，选B。 10．另一条直角边为 ，由直角三角形面积公式得 ，选B。 二、填空题（每小题3分，共24分） 11 12 13 14 15 16 17 18 5；−1 ； （答案不唯一） 11．答案：5；−1 　　简析：两边同除以3得 ，开平方得 ，所以 。 12．答案： 　　简析：由韦达定理，。 13．答案： 　　简析：由 ，得 。 14．答案：； 　　简析：，代入求根公式得 。 15．答案： 　　简析：每件利润为 元，每天销量为 件，由“每件利润×销量=总利润”列方程。 16．答案：（答案不唯一） 　　简析：以2和−3为根，可写 ，即 ；形如 均可。 17．答案： 　　简析：折成盒子后底面长为 cm、宽为 cm，由底面积为24列方程。 18．答案： 　　简析：。 三、解答题（共66分） 19．（6分） 解：直接开平方，得 。 所以 或 ， 解得 。 评分：开平方得到 得3分；分两种情况求解并写出两个根得3分；共6分。 20．（6分） 解：因式分解，得 。 所以 或 ， 解得 。 评分：正确因式分解得3分；由因式积为0写出两个一元一次方程并求解得3分；共6分。 21．（7分） 解：两边同除以2，得 ；移项得 。 配方：两边同加4，得 ，即 。 开平方，得 ， 解得 。 评分：二次项系数化为1并移项得2分；配方完成 得3分；开平方求解并写出两个根得2分；共7分。 22．（7分） 解：这里 。 。 代入求根公式，得 ， 所以 。 评分：确定 a,b,c 并正确计算 Δ 得3分；正确代入求根公式得2分；化简并写出两个根得2分；共7分。 23．（7分） 解：（1）这里 。 。 因为无论 k 取何实数，，即 ，所以方程总有实数根。 （2）方程有两个相等的实数根，须 ，即 ，解得 。 评分：（1）正确计算 Δ 并化为 、说明 得3分；（2）由 求出 得4分；共7分。 24．（7分） 解：由韦达定理，。 （1）。 （2）。 评分：由韦达定理写出 得2分；（1）正确变形并求值28得3分；（2）正确变形并求值20得2分；共7分。 25．（8分） 解：设这两年绿化面积的年平均增长率为 x。 根据题意，得 。 整理，得 。 开平方，得 （ 不合题意，舍去），解得 。 答：这两年绿化面积的年平均增长率为20%。 评分：设未知数并列出方程3分；解方程求出增长率并检验取舍3分；作答2分；共8分。 26．（8分） 解：设剪去的小正方形边长为 x cm，则折成盒子后底面长为 cm、宽为 cm。 根据题意，得 。 整理，得 。 因式分解，得 ，解得 。 当 时，，铁片宽度不够，不合题意，舍去；故 。 答：剪去的小正方形边长为5 cm。 评分：设未知数并列出方程2分；整理并解方程求出两个根得3分；检验取舍1分；作答2分；共8分。 27．（10分） 解：（1）设每件商品涨价 x 元，则每件利润为 元，每天可售出 件。 根据题意，得 。 整理，得 。 因式分解，得 ，解得 。 （2）当 时，每天售出 件；当 时，每天售出 件。 为尽量减少库存，应选择销量较大的 ，此时售价为 （元）。答：（1）每件商品可涨价2元或8元；（2）为减少库存，售价应定为每件42元。 评分：（1）设未知数并列出方程2分；整理解方程得 或 得4分；（2）比较两种涨价后的销量并选定 、定价42元得3分；作答1分；共10分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级数学（上册）第二章《一元二次方程》单元测试卷（基础卷） 满分：120分　　考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．将方程 化为一元二次方程的一般形式，正确的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．方程 的解是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4．用配方法解方程 ，配方后所得的方程是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5．一元二次方程 的判别式 的值为（　　） A．1　　B．−1　　C．17　　D．5 6．用因式分解法解方程 ，它的两个根是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 7．若 是方程 的一个根，则 k 的值为（　　） A．2　　B．−2　　C．3　　D．−3 8．设 是方程 的两个根，则 的值为（　　） A．2　　B．3　　C．−3　　D．−2 9．某商品原价100元，连续两次降价，每次降价的百分率均为 x，两次降价后售价为81元。根据题意列方程正确的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 10．一个矩形花圃的长比宽多2 cm，面积为24 cm²。设宽为 x cm，根据题意列方程正确的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。） 11．方程 的解为 ________，________。 12．方程 的两个根为 ，________。 13．设 是方程 的两个根，则 ________。 14．用公式法解方程 时，判别式 ________。 15．若关于 x 的方程 是一元二次方程，则 m 应满足的条件是________。 16．方程 的根的情况是________（从“有两个不相等的实数根”“有两个相等的实数根”“没有实数根”中选填）。 17．两个连续偶数的积为48，设较小的偶数为 x，根据题意列方程为________。 18．某工厂一月份产值为200万元，三月份产值为288万元，设月平均增长率为 x，根据题意列方程为________。 三、解答题（本大题共9小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 19．（6分）用直接开平方法解方程：。 20．（6分）用因式分解法解方程：。 21．（7分）用配方法解方程：。 22．（7分）用公式法解方程：。 23．（7分）选择适当的方法解方程：。 24．（7分）已知 是关于 x 的方程 的一个根，求 m 的值及方程的另一个根。 25．（8分）不解方程，判断一元二次方程 的根的情况，并说明理由。 26．（8分）如图1，一块矩形花圃的长比宽多4 m，面积为60 m²。求这块花圃的长和宽。 图1　矩形花圃示意图 27．（10分）某商店一月份销售额为50万元，由于经营改善，三月份销售额上升到72万元。 （1）求二、三月份销售额的月平均增长率；（2）按此增长率，预测四月份的销售额。 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级数学（上册）第二章《一元二次方程》单元测试卷（适中卷） 满分：120分　　考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中，是关于 x 的一元二次方程的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．若方程 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为（　　） A．2　　B．−2　　C．±2　　D．0 3．用配方法解方程 ，配方结果正确的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4．一元二次方程 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根　　B．有两个相等的实数根　　C．没有实数根　　D．无法判断 5．设 是方程 的两个根，则 的值为（　　） A．3　　B．−3　　C．1　　D．−1 6．方程 的两个根是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 7．若关于 x 的一元二次方程 有实数根，则 k 的取值范围是（　　） A．　　B． 且 　　C．　　D． 且 8．某厂今年产量为 a 件，计划经过两年使产量翻一番（达到2a件），设年平均增长率为 x，列方程正确的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 9．一个两位数，十位数字为 a，个位数字为 b，把十位数字与个位数字交换位置后所得的新两位数比原两位数大27。列方程正确的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 10．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6。设其中一条直角边长为 x，列方程正确的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。） 11．方程 的解为 ________，________。 12．设 是方程 的两个根，则 ________。 13．若方程 有两个相等的实数根，则 ________。 14．用公式法解方程 ，得 ________，________。 15．某商品进价每件40元，售价每件50元时每天可售出500件；售价每提高1元，每天少售出10件。设售价提高 x 元，若每天获利8000元，列方程为________。 16．已知一个一元二次方程的两个根为2和−3，写出一个满足条件的一元二次方程：________。 17．一张矩形铁片长8 cm、宽6 cm，在四个角各剪去一个边长为 x cm 的小正方形，折成无盖长方体盒子后底面积为24 cm²。列方程为________。 18．设 是方程 的两个根，则 ________。 三、解答题（本大题共9小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 19．（6分）用直接开平方法解方程：。 20．（6分）用因式分解法解方程：。 21．（7分）用配方法解方程：。 22．（7分）用公式法解方程：。 23．（7分）已知关于 x 的方程 。 （1）求证：无论 k 取何实数，方程总有实数根；（2）若方程有两个相等的实数根，求 k 的值。 24．（7分）设 是方程 的两个根，不解方程，求下列各式的值： （1）；（2）。 25．（8分）某住宅小区2023年绿化面积为1000 m²，2025年绿化面积达到1440 m²，求这两年绿化面积的年平均增长率。 26．（8分）如图2，一张矩形铁片长40 cm、宽30 cm，在四个角各剪去一个边长为 x cm 的小正方形，折成一个无盖长方体盒子，盒子的底面积为600 cm²。求剪去的小正方形的边长。 图2　矩形铁片剪角示意图 27．（10分）某商品进价每件30元，售价每件40元时，平均每天可售出200件；售价每上涨1元，平均每天少售出10件。 （1）若商店要想平均每天获利2160元，求每件商品应涨价多少元；（2）在（1）的条件下，为了尽量减少库存，每件商品的售价应定为多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级数学（上册）第二章《一元二次方程》单元测试卷（基础卷）（答案详解） （参考答案与评分标准　满分120分　考试时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B C B A B A B C B 1．一元二次方程须同时满足：只含一个未知数、未知数最高次数为2、且为整式方程。A是一元一次方程；C含两个未知数；D分母中含未知数，是分式方程；只有B符合，故选B。 2．去括号得 ，移项化为一般形式 ，注意移项要变号，故选B。 3．直接开平方得 ，即 ，故选C。 4．移项得 ，两边同加一次项系数一半的平方4，得 ，即 ，故选B。 5．，，故选A。 6．因式分解得 ，所以 或 ，解得 ，故选B。 7．把 代入方程，得 ，解得 ，故选A。 8．由韦达定理，，故选B。 9．第一次降价后售价为 ，第二次在第一次降价的基础上再降 x，故为 ，故选C。 10．宽为 x cm，长为 cm，由“长×宽=面积”得 ，故选B。 二、填空题（每小题3分，共24分） 11 12 13 14 15 16 17 18 3；−1 −3 16 有两个相等的实数根 11．答案：3；−1 　　简析：直接开平方得 ，所以 。 12．答案： 　　简析：提取公因式 x，得 ，所以 或 ，解得 。 13．答案：−3 　　简析：由韦达定理，。 14．答案：16 　　简析：，。 15．答案： 　　简析：一元二次方程要求二次项系数不为0，即 ，所以 。 16．答案：有两个相等的实数根 　　简析：，故方程有两个相等的实数根。 17．答案： 　　简析：较小偶数为 x，则较大偶数为 ，由两数之积为48得 。 18．答案： 　　简析：一月份200万元，三月份为 万元，故列方程 。 三、解答题（共66分） 19．（6分） 解：直接开平方，得 。 所以 或 ， 解得 。 评分：开平方得到 得3分；分两种情况求解并写出两个根得3分；共6分。 20．（6分） 解：因式分解，得 。 所以 或 ， 解得 。 评分：正确因式分解得3分；由因式积为0写出两个一元一次方程并求解得3分；共6分。 21．（7分） 解：移项，得 。 配方：两边同加9，得 ，即 。 开平方，得 ， 解得 。 评分：移项得1分；配方完成 得3分；开平方求解并写出两个根得3分；共7分。 22．（7分） 解：这里 。 。 代入求根公式，得 ， 所以 。 评分：确定 a,b,c 并正确计算 Δ 得3分；正确代入求根公式得2分；求出两个根得2分；共7分。 23．（7分） 解：因式分解，得 。 所以 或 ， 解得 。 评分：正确因式分解得3分；化为两个一元一次方程得2分；求解并写出两个根得2分；共7分。 24．（7分） 解：把 代入方程 ，得 ，解得 。 此时方程为 。设另一个根为 ，由韦达定理 ，得 。 答：，方程的另一个根为3。 评分：代入方程求出 m 得3分；由韦达定理（或解方程）求出另一个根得3分；作答1分；共7分。 25．（8分） 解：这里 。 。 因为 ，所以原方程没有实数根。 评分：确定 a,b,c 得2分；正确计算 Δ 得4分；由 Δ<0 得出结论并作答得2分；共8分。 26．（8分） 解：设花圃的宽为 x m，则长为 m。 根据题意，得 。 整理，得 。 因式分解，得 ，解得 。 因为长度不能为负数，所以 不合题意，舍去；当 时，。 答：花圃的宽为6 m，长为10 m。 评分：设未知数1分；列方程2分；解方程求出两个根得2分；检验取舍1分；作答2分；共8分。 27．（10分） 解：（1）设二、三月份销售额的月平均增长率为 x。 根据题意，得 。 整理，得 。 开平方，得 （ 不合题意，舍去），解得 。 （2）四月份销售额为 （万元）。答：月平均增长率为20%，预测四月份销售额为86.4万元。 评分：设未知数并列出方程3分；解方程求出增长率并检验取舍3分；计算四月份销售额2分；作答2分；共10分。 学科网（北京）股份有限公司 $