精品解析：广东深圳市平冈中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

平冈中学2025-2026学年第一学期期中考试 高二年级数学试题 考试时间：8：30-10：30 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 抛物线方程为，则此抛物线的准线为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线方程，求得，即可得答案. 【详解】 抛物线方程为，可得， 抛物线的准线为. 故选：D 2. 已知直线，相互平行，则、之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行得到关于a的方程，求出的值，再由两平行线之间的距离公式计算即可. 【详解】因为直线，相互平行， 所以，解得， 所以，即， 所以、之间的距离. 故选：A. 3. 如图，在斜三棱柱中， 为 的中点，为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法运算得解. 【详解】 故选：D 4. 一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出 关于的对称点，然后根据两点式求解直线方程即可； 【详解】设 关于的对称点为， 则有， 解得：，即， 反射光线所在直线为， 整理得： 故选：B． 5. 若椭圆和双曲线的共同焦点为，， 是两曲线的一个交点，则的值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据椭圆和双曲线的定义可得出和的值，进而可得出和的值，再求出的值，最后利用计算即可得解． 【详解】由椭圆和双曲线定义，不妨设，根据椭圆和双曲线的定义可得： ，， 联立上面两式，解之得：，， 由椭圆的方程可得，所以焦距， 所以. 故选：A． 【点睛】本题考查圆锥曲线定义的应用，解题关键是由定义得出和的值，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 6. 已知曲线，直线l与曲线C交于A，B两点，且点是线段AB的中点，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，利用设而不求点差法求解中点弦斜率. 【详解】设，，因为A，B两点在曲线上， 所以有，用（1）式减去（2）式可得， 即， 因为点是线段AB的中点， 根据中点坐标公式可得，即，． 代入，可得， 而就是直线l的斜率k，所以直线l的斜率为． 因为，故点 在椭圆内，所以直线 与椭圆相交，满足条件， 故选：D． 7. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可画出曲线C图象，结合直线过定点与图形可得答案. 【详解】曲线即表示如图所示的半圆， 又过定点：. 当与半圆相切时，圆心到直线距离为1，则， 当直线过如图点时，斜率为：， 则实数 的取值范围是. 故选：B 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于，且，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设，再结合双曲线定义得出，最后应用勾股定理计算求解. 【详解】设，则， 由双曲线定义得：，解得， 所以，则为直角三角形，且， 在中，， 故选：A． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 过两点的直线方程为 B. 经过点且在 轴和 轴上截距都相等的直线方程为或 C. 圆与圆恰有3条公切线 D. 已知双曲线的两个焦点分别为，双曲线C上有一点 ，若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线的两点式方程的性质，判断选项A的正误；根据直线截距的概念，判断选项B的正误；根据两圆的位置关系，判断圆的公切线数目和圆上点的距离的最小，判断选项C的正误；根据双曲线定义可求得，再根据或即可得解. 【详解】对于选项A，当或时，无法用两点式表示该直线，所以A错误； 对于选项B，当直线经过点时，直线方程为，即， 当直线不经过点时，设在 轴和 轴上截距都为a，则，解得， 则直线方程为，即，所以B正确； 对于选项C，圆 标准方程为，圆心为，半径， 圆的标准方程为，圆心为，半径， 可知，且， 所以圆与圆外切，所以有3条公切线，所以C正确； 对于选项D，根据双曲线定义可得，又， 所以或，又，， 而或，所以，所以D正确. 故选：BCD. 10. 在直三棱柱中，，点 是棱上一点，则下列说法正确的有（ ） A. B. 四棱锥的体积为6 C. 直三棱柱外接球的表面积为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】证明平面判断A；由于平面，进而结合等体积法求解即可判断B；将问题转化为以为邻边的长方体的外接球的表面积求解即可判断C；平面展开使得与面共面，再根据两点之间线段最短求解即可判断D. 【详解】对于A，直三棱柱中，平面 ,平面 ,故， 由于，故，即， 因为，平面,平面, 所以平面， 因为 是棱上一点，平面， 所以，故A选项正确； 对于B，在直三棱柱中，，平面，平面，故平面， 所以， 过 作，垂足为 ，由等面积法得， 在直三棱柱中，平面 ,平面 ,故， 因为，平面，平面， 所以平面， 所以，即四棱锥的体积为 ，故B选项错误； 对于C，由题知两两垂直， 所以直三棱柱外接球与以为邻边的长方体的外接球相同， 所以直三棱柱外接球的直径为， 所以直三棱柱外接球的表面积为，故C选项正确； 对于D，将平面展开，与平面共面，得到如下图的矩形， 所以， 所以的最小值为，故D选项正确； 故选：ACD 11. 双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（ ） A. B. C. C的离心率为 D. 当时，四边形的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由平行四边形的性质判断A；由且结合 在渐近线上可求 的坐标，从而可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得，计算后可判断C的正误，或者利用并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误. 【详解】不妨设渐近线为， 在第一象限，在第三象限， 对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故， 故A正确； 对于B，方法一：因为 在以为直径的圆上，故且， 设，则，故，故， 由A得，故即，故B错误； 方法二：因为，因为双曲线中，， 则，又因为以为直径的圆与 的一条渐近线交于 、，则， 则若过点 往 轴作垂线，垂足为 ，则，则点 与重合，则轴，则，则为直角三角形，且，则， 方法三：在利用余弦定理知，， 即，则， 则为直角三角形，且，则，故B错误； 对于C，方法一：因为，故， 由B可知， 故即， 故离心率，故C正确； 方法二：因为，则，则，故C正确； 对于D，当时，由C可知，故， 故，故四边形为， 故D正确， 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若方程表示椭圆，则实数m的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，方程表示椭圆，列出不等式组，解可得答案． 【详解】解：方程表示椭圆，即方程表示椭圆，则，解得且，即． 故答案为：． 13. 已知双曲线 过点且渐近线为，则双曲线 的标准方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为,将点代入方程求出,即可得出双曲线方程为. 【详解】解:根据题意,双曲线的渐近线方程为, 可化为: , 则可设双曲线方程为, 将点代入, 得,即, 故双曲线方程为: . 故答案为: 【点睛】本题考查双曲线的标准方程、双曲线的几何性质等基础知识考查运算求解能力,考查数形结合思想属于基础题特别要掌握已知渐近线方程时,如何设出双曲线的标准方程. 14. 已知圆，点，在圆 上存在点 ，使得为钝角，则的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】设圆，在圆 上存在点 ，使得为钝角，意味着点 在圆 内，等价于圆 与圆 相交，内切或内含，利用圆与圆的位置关系，列方程可得答案. 【详解】如图，设圆，当圆 上存在一点 在圆 内时，为钝角， 所以点 在圆 内，等价于圆 与圆 相交，内切或内含， ，得. 所以的取值范围为. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知，. （1）求向量的坐标； （2）设向量，，求； （3）若，求 的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标运算求出. （2）求出的坐标，再结合向量共线及模的坐标表示求解. （3）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出 . 【小问1详解】 由，得； 【小问2详解】 由（1）得，而， 因此，所以； 【小问3详解】 由（1）知，， 由，得 ，所以. 16. 已知椭圆，直线. （1）求证：对，直线与椭圆 总有两个不同交点； （2）直线与椭圆 交于 两点，且，求 的值. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）将直线方程代入椭圆方程中，利用一元二次方程根的判别式进行求解判断即可； （2）根据椭圆的弦长公式进行求解即可. 【小问1详解】 将直线的方程代入椭圆 方程中，得 ， 该一元二次方程根的判别式， 所以直线与椭圆 总有两个不同交点； 【小问2详解】 设，则有， 因为，所以 ， 所以 的值为. 17. 如图1，已知梯形 中，， 是 边的中点，，，将 沿 折起，使点到达点 的位置，且，如图2， ，分别是，的中点. （1）求证：平面 （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点 到平面的距离. 【答案】（1）证明见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接 ，可得，由线面平行的判定定理即可证明； （2）以 为原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用夹角公式即可求； （3）利用点到平面的距离公式即可求. 【小问1详解】 连接 ， 因为 ，分别是，的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为图1中，，所以图2中，， 又因为， 以 为原点，分别为 轴， 轴，轴建立如图空间直角坐标系， 由题意，， 所以， 设平面的法向量为， 所以， 令，则， 所以平面的法向量为， 因为，，，面，面， 所以面， 所以平面的法向量为， 设平面与平面夹角为， 所以， 所以平面与平面夹角余弦值为； 【小问3详解】 由（2）知，平面的法向量为， 又， 所以点 到平面的距离为. 18. 已知点，，动点 到点 的距离是 到点的距离的3倍，记动点 的轨迹为曲线 ． （1）求曲线 的方程； （2）若直线与曲线 交于M，N两点．求的值； （3）已知动点 在直线上，过点 作曲线 的两条切线，，切点分别为C，D，直线CD是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）设，根据两点距离公式得到方程，化简即可； （2）先求出圆心到直线的距离，再由垂径定理求解即可. （3）由题意可得在以为直径的圆上，求出以为直径的圆的方程，进而求出公共弦 所在直线的方程，进而可得出结论. 【小问1详解】 由题意得，所以. 设，因为点，， 所以，化简得. 所以曲线 的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，曲线 是圆心为，半径 的圆， 所以圆心到直线的距离为：， 根据垂径定理可得：. 的值为. 【小问3详解】 圆的圆心，半径 ， 因为点 为直线上一动点，则可设， 因为都是圆的切线， 所以，所以也在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为， 半径为， 所以以为直径的圆的方程为， 即①， 化为②， 由②①整理得， 所以直线 的方程为， 即， 令，解得， 所以直线 过定点. 19. 已知双曲线的两条渐近线的斜率之积为 . （1）求 的离心率. （2）若过点且斜率为1的直线与 交于 两点（在左支上， 在右支上），且. ①求 的方程； ②已知不经过点的直线与 交于两点，直线的斜率存在且直线与的斜率之积为1，证明：直线过定点. 【答案】（1）2 （2）①； ②证明：设的方程为. 联立得， ，且， . 因为， 所以， 即， 则， 整理得， 即. 因为点 不在直线上，所以，则， 则， 故直线过定点. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线渐近线方程和离心率公式，即可求解； （2）①直线方程与双曲线方程联立，根据向量共线的条件，结合韦达定理，即可求解； ②首先设直线方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示，即可证明定点问题. 【小问1详解】 由题意可知， 则. 【小问2详解】 ①解：直线 的方程为， 联立得， . 设，则， 由，得， 代入，得， 则 的方程为. ②略 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用直线与双曲线方程联立，利用韦达定理表示坐标运算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平冈中学2025-2026学年第一学期期中考试 高二年级数学试题 考试时间：8：30-10：30 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 抛物线方程为，则此抛物线的准线为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，相互平行，则、之间的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在斜三棱柱中， 为 的中点， 为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（ ） A. B. C. D. 4. 一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若椭圆和双曲线的共同焦点为，， 是两曲线的一个交点，则的值为 （ ） A. B. C. D. 6. 已知曲线，直线l与曲线C交于A，B两点，且点是线段AB的中点，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于，且，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 过两点的直线方程为 B. 经过点且在 轴和轴上截距都相等的直线方程为或 C. 圆与圆恰有3条公切线 D. 已知双曲线的两个焦点分别为，双曲线C上有一点 ，若，则 10. 在直三棱柱中，，点 是棱上一点，则下列说法正确的有（ ） A. B. 四棱锥的体积为6 C. 直三棱柱外接球的表面积为 D. 的最小值为 11. 双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（ ） A. B. C. C的离心率为 D. 当时，四边形的面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若方程表示椭圆，则实数m的取值范围为_______. 13. 已知双曲线过点且渐近线为，则双曲线的标准方程为__________. 14. 已知圆，点，在圆 上存在点 ，使得为钝角，则的取值范围为_____________. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知，. （1）求向量的坐标； （2）设向量，，求； （3）若，求的值. 16. 已知椭圆，直线. （1）求证：对，直线与椭圆总有两个不同交点； （2）直线与椭圆交于 两点，且，求 的值. 17. 如图1，已知梯形 中，， 是 边的中点，，，将 沿 折起，使点 到达点 的位置，且，如图2， ， 分别是， 的中点. （1）求证：平面 （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点 到平面的距离. 18. 已知点，，动点 到点 的距离是 到点 的距离的3倍，记动点 的轨迹为曲线 ． （1）求曲线 的方程； （2）若直线与曲线 交于M，N两点．求的值； （3）已知动点 在直线上，过点 作曲线 的两条切线，，切点分别为C，D，直线CD是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由． 19. 已知双曲线的两条渐近线的斜率之积为. （1）求的离心率. （2）若过点且斜率为1的直线与交于 两点（ 在左支上， 在右支上），且. ①求的方程； ②已知不经过点的直线与交于两点，直线的斜率存在且直线 与 的斜率之积为1，证明：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $