精品解析：云南红河哈尼族彝族自治州第一中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

红河州第一中学2025级高二上学期10月月考 数学试卷 （全卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等相关信息填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. 30° C. 60° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的斜率即可得倾斜角. 【详解】因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为满足，即 故选：C. 2. 已知点，若向量，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设点的坐标是，则， 所以，解得， 所以点的坐标是. 3. 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点在上，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】椭圆：的长半轴长， 分别是椭圆左、右焦点，点在上， 由椭圆的定义知，椭圆上任意一点到两个焦点距离之和等于长轴长， 所以. 4. 圆和圆的公切线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】圆即，表示以为圆心，半径为1的圆. 圆即，表示以为圆心，半径为4的圆. 两圆的圆心距为，等于两半径之和，所以两圆外切， 所以两圆的公切线条数为3. 5. 已知椭圆的离心率为，过左焦点的直线交于两点，为该椭圆的右焦点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆定义以及离心率和焦点坐标计算可得，可求出结果. 【详解】易知的周长为. 因为所以， 故的周长为. 故选：A 6. 已知直线， 则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】两直线平行条件：， 代入系数：，解得， 代入检验发现当时，，两直线重合，故舍去， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 7. 椭圆的左焦点为，点，均在上，且关于坐标原点对称．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆的对称性和椭圆定义求出的值，再结合椭圆参数关系计算离心率. 【详解】设椭圆的右焦点为，因为点关于原点对称，所以四边形为平行四边形， 因此，又因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为， 因此，结合已知，可得，解得， 又因为，由椭圆参数关系可得：，故离心率. 8. 直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】可知曲线是以为圆心，以为半径的圆的右半部分，如下图所示， 当时，曲线与恰有两个交点， 当曲线与直线相切时，可得到直线的距离为， 即，因为，解得，所以. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆E：的上顶点为M，左、右焦点分别为，，则（ ） A. 长轴长为4 B. C. 离心率为 D. 的周长为6 【答案】ABD 【解析】 【详解】椭圆中，，， 则，焦点，，上顶点， 选项A：长轴长，故A正确； 选项B：，故B正确； 选项C：离心率，故C错误； 选项D：的周长为，故D正确． 10. 已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 离心率为 B. 存在使得 C. ，则的面积为9 D. 椭圆的弦被点平分，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定的椭圆方程，求出离心率判断A；由半焦距与短半轴长的大小关系判断B；利用勾股定理结合椭圆定义求出面积判断C；利用点差法求出直线斜率判断D. 【详解】椭圆：的长半轴长，短轴长，半焦距，离心率，A错误； 由，得以线段为直径的圆与椭圆相交，令交点为，则存在使得，B正确； 由，得，即， 而，于是，的面积为9，C正确； 显然点在椭圆内，设，则， 两式相减得，而， 因此，D正确. 故选：BCD 11. 已知动点M，N分别在圆：和：上，动点P在x轴上，则（ ） A. 圆的半径为3 B. 圆和圆外离 C. 的最小值为 D. 过点P作圆的切线，则点P到切点的最短距离为 【答案】BD 【解析】 【分析】求出两个圆的圆心、半径判断AB；求出圆关于对称的圆方程，利用圆的性质求出最小值判断C；利用切线长定理求出最小值判断D. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 对于A，圆的半径为，A错误； 对于B，，圆和圆相离，B正确； 对于C，圆关于轴对称的圆为，， 连接交于点，连接， 由圆的性质得， ，当且仅当点与重合， 且是线段分别与圆和圆的交点时取等号，C错误； 对于D，设点，切点为A， 则， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，长轴长是短轴长的2倍，则这个椭圆的标准方程为________． 【答案】 【解析】 【详解】由题知，椭圆的焦点在轴上，且， 又长轴长是短轴长的2倍，故，即， 则有，解得，， 则椭圆的标准方程为． 13. 已知实数x，y满足，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】方程表示一个圆，表示圆上的点与原点之间距离的平方，再根据定点到圆上的点的距离的最值问题即可得解. 【详解】由，得， 则方程表示以为圆心，为半径的圆， 表示圆上的点与原点之间距离的平方， 设点与原点之间距离为， 则， 所以的最大值为. 故答案为：. 14. 已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若且，则E的离心率为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用“点差法”以及中点弦即可求解． 【详解】如图所示， 因为椭圆E的右焦点为，所以， 不妨设，， 又且，则是的中点， 所以，， 又点，在椭圆E上面， 所以，， 两式相减整理得， 即， 所以直线的斜率可以表示为， 又，在直线上， 所以直线的斜率为， 则，解得，即，， 所以，椭圆E的离心率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的焦距为，短轴长为2，过点且斜率为1的直线与椭圆C交于A､B两点. （1）求椭圆C的方程； （2）求弦AB的长. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）结合已知条件求得，由此求得椭圆方程. （2）求得直线的方程并与椭圆方程联立，求得两点的坐标，由此求得的长. 【详解】（1）已知椭圆焦距为，短轴长为2，即， 结合a2=b2+c2，解得a=3，b=1，. 故C：. （2）直线方程为： 直线与椭圆方程联立为 得，， 解得或. 不妨设， 所以. 16. 甲、乙两人参加某公司的招聘，招聘过程分为笔试和面试，笔试共有道题，这道题都解答正确才能进入面试环节．已知甲答对这道题的概率依次为，，，乙答对每道题的概率均为，且甲、乙两人每道题是否答对互不影响，甲、乙两人是否进入面试环节也互不影响． （1）求甲进入面试环节的概率； （2）求甲、乙两人中恰有一人进入面试环节的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用相互独立事件同时发生的概率公式，即可求解； （2）根据条件，先求出甲、乙各自进入面试环节的概率，再利用相互独立事件和对立事件的概率公式，即可求解. 【小问1详解】 设事件为“甲答对第道题”，，则，，， 设事件为“甲进入面试环节”，则， 所以． 【小问2详解】 设事件为“乙答对第道题”，，则， 设事件为“乙进入面试环节”，则， 则，， 由（1）知，所以． 由题意可知，事件，相互独立，事件，相互独立， 设事件为“甲、乙两人恰有一人进入面试环节”，则， 所以． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，， 点M是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； 【答案】（1）证明：取的中点为，连接， 因为为的中点，所以且， 又，，所以，且， 所以四边形为平行四边形，故， 又平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）通过构造中位线得到平行线段，证明四边形为平行四边形，得到线线平行，再利用线面平行的判定定理完成证明； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用两平面夹角向量公式计算余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，， 所以以为原点，分别以、、的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得：. 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，即平面的一个法向量为. 设平面的法向量为，，. 由，解得. 令，得，所以. 设平面与平面所成的夹角为，，则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 在中，角、、的对边分别为、、，已知． （1）求； （2）若，周长为6，求边上的高； （3）若，求的范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理消元，再用辅助角公式化简三角等式，即可求出角； （2）结合周长条件与余弦定理求出，再利用等面积法即可求出边上的高； （3）由向量的数量积可得到角的范围，然后利用正弦定理边角互化和三角恒等变换化简，最后借助正切函数的单调性即可求出范围. 【小问1详解】 由正弦定理，得，代入已知等式， 得，化简得：， 即，即， 因为，所以，所以，解得. 【小问2详解】 由题意知，且，所以， 由余弦定理得：， 即，解得， 设边上的高为，所以，即， 解得. 【小问3详解】 因为，即，所以， 因为为的内角，所以，又因为，所以， 所以，即，所以. 由正弦定理可得：， 因为，所以， 因为在单调递增，所以， 所以，即. 19. 已知椭圆：的离心率为，左顶点为. （1）求的方程； （2）过的右焦点作斜率不为0的直线交于,两点. （i）若直线的倾斜角为，为坐标原点，求的面积； （ii）设直线与直线的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】（1） （2）（i） （ii）是， 【解析】 【分析】（1）由椭圆的左顶点为和离心率为可得，，再根据可求得，即可求得椭圆的方程； （2）（i）根据直线过和倾斜角，求出直线的方程，联立直线和椭圆方程，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，再结合三角形面积公式即可得到的面积； （ii）根据题意设直线的方程，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理得到点坐标关系，再根据斜率公式得到，的表达式，将展开后代入韦达定理的结论，化简后即可得到的定值. 【小问1详解】 椭圆的离心率为，左顶点为，，，得； ； 椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）由（1）可得右焦点为，. 直线的倾斜角为，直线的斜率； 直线的方程为，即. 直线交于,两点，设点，. 联立，消去并整理得； ，，. . 的面积为. （ii）为定值，即，理由如下： 由直线过点，且交于,两点， 设直线：，点，. ，，. 联立，消去并整理得； 由，得，. . 为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红河州第一中学2025级高二上学期10月月考 数学试卷 （全卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等相关信息填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. 30° C. 60° D. 120° 2. 已知点，若向量，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点在上，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4. 圆和圆的公切线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知椭圆的离心率为，过左焦点的直线交于两点，为该椭圆的右焦点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线， 则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 椭圆的左焦点为，点，均在上，且关于坐标原点对称．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆E：的上顶点为M，左、右焦点分别为，，则（ ） A. 长轴长为4 B. C. 离心率为 D. 的周长为6 10. 已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 离心率为 B. 存在使得 C. ，则的面积为9 D. 椭圆的弦被点平分，则 11. 已知动点M，N分别在圆：和：上，动点P在x轴上，则（ ） A. 圆的半径为3 B. 圆和圆外离 C. 的最小值为 D. 过点P作圆的切线，则点P到切点的最短距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，长轴长是短轴长的2倍，则这个椭圆的标准方程为________． 13. 已知实数x，y满足，则的最大值为______． 14. 已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若且，则E的离心率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的焦距为，短轴长为2，过点且斜率为1的直线与椭圆C交于A､B两点. （1）求椭圆C的方程； （2）求弦AB的长. 16. 甲、乙两人参加某公司的招聘，招聘过程分为笔试和面试，笔试共有道题，这道题都解答正确才能进入面试环节．已知甲答对这道题的概率依次为，，，乙答对每道题的概率均为，且甲、乙两人每道题是否答对互不影响，甲、乙两人是否进入面试环节也互不影响． （1）求甲进入面试环节的概率； （2）求甲、乙两人中恰有一人进入面试环节的概率． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，， 点M是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； 18. 在中，角、、的对边分别为、、，已知． （1）求； （2）若，周长为6，求边上的高； （3）若，求的范围． 19. 已知椭圆：的离心率为，左顶点为. （1）求的方程； （2）过的右焦点作斜率不为0的直线交于,两点. （i）若直线的倾斜角为，为坐标原点，求的面积； （ii）设直线与直线的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $