精品解析：云南省名校协作体2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第二章第4节，解三角形． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将直线方程化为，即可得斜率. 【详解】因为直线方程为，即， 所以直线的斜率为． 故选：B． 2. 点关于平面对称的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中点的对称性，分析即可得答案. 【详解】点关于平面对称的点是. 故选：A 3. 已知点，点满足，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点，求向量，的坐标表示，由条件列方程求即可. 【详解】设点，因为， 所以， 又，所以， 解得，，，所以点的坐标是. 4. 以为直径的两个端点的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心和半径，得到圆的方程. 【详解】易知该圆圆心为的中点， ，故半径， 所以该圆的方程为. 故选：D. 5. 已知点，，若平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】通过直线的方向向量与平面的法向量的关系，判断直线与平面的位置关系 【详解】因为，， 所以，所以或． 故选：D． 6. 已知点在圆外，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，由方程表示圆得，再根据点在圆外得点到圆心的距离大于半径得或，综合两个条件可得所求实数的取值范围. 【详解】将化为标准方程，， 要使方程表示一个圆，则，即，解得①. 所以圆的圆心，半径为. 因为点在圆外， 所以，即， 所以，解得或②. 综合①②，得或. 因此实数的取值范围为. 7. 已知点，，，为坐标原点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算平面的法向量，使用向量法计算点到面的距离求解. 【详解】， 设平面的一个法向量为：， 则，令，得，所以， 点到平面的距离为：. 8. 已知点为直线上一点，则的最小值是（ ） A. B. 7 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先求出点关于直线的对称点的坐标，然后转化成求两点间的距离求解即可. 【详解】因为在直线上，设点关于直线的对称点为， 则解得故，连接交直线于点， 当在点时，取得最小值，其最小值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，则（ ） A. 是的必要不充分条件 B. 若不共面，则也不共面 C. 若，且，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】借助向量定义及充分条件及必要条件定义可判断A；借助反证法结合空间向量共面定理可得B；举出反例可得C、D. 【详解】对A：的充要条件是的大小相等，方向相同，故由可得， 但当时，方向不一定相同，故A正确； 对B：假设共面，则存在实数，使得， 所以，所以共面，与条件矛盾，故B正确； 对C：在空间直角坐标系中，三个坐标轴上的单位向量显然满足C中的条件， 但任何两个都不相等，故C错误； 对D：若，则不一定共线，故D错误. 故选：AB. 10. 已知O为坐标原点，过点的直线与坐标轴交于A，B两点，若的面积为2，则直线在x轴上的截距可以是（ ） A. B. C. -2 D. 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用截距式方程，由点在直线上，及三角形面积公式列式求解即可. 【详解】由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线的方程为， 其中a，b分别为在x轴，y轴上的截距，，， 又点在直线上，所以， 又的面积为2，所以，即或． 当时，，即，解得或； 当时，，即，解得． 故选：ABC． 11. 如图，多面体是各棱长均为1的平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，若点是三角形的重心，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 异面直线所成角的余弦值为 C. D. 若四点共面，则点是线段的中点 【答案】BCD 【解析】 【分析】用基底表示，再结合数量积计算即可求解判断A；由基底法和向量夹角余弦公式计算，再结合异面直线所成角定义即可求解判断B；由基底法计算即可判断C；用基底表示，由共面定理求出即可得解. 【详解】因为， 所以， 取FC中点为M，因为点是三角形的重心， 所以， 所以 ， 所以， 所以 ，所以，故A错误； 因为，所以异面直线所成角即为所成角， 因为， 所以， 所以所成角即异面直线所成角的余弦值为，故B正确； 因为 ， 所以，即，故C正确； ， 因为四点共面，所以， 所以，所以点是线段的中点，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________. 【答案】1 【解析】 【分析】由直线平面得到，则存在实数使得，计算得解. 【详解】因为直线平面，所以，又， 所以存在实数使得， 即，所以， 解得，所以． 故答案为：. 13. 若直线与直线平行，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】由两直线平行，列出方程求解后，再排除两直线重合的情况，即可得答案. 【详解】由， 得， 解得或， 当时， 与重合，不满足题意； 当时，符合题意. 故答案为： 14. 某学生为测量一个建在小矮山上的建筑物的高度，选择了与小矮山底部在同一水平线上的两点、（在矮山的同侧），如图所示，测得在处看、的仰角分别为、，在处看的仰角为，，由此可以计算求得_________. 【答案】 【解析】 【分析】延长交的延长线于点，先在中利用正弦定理求出，再在中求出、，再在中利用正弦定理求出，最后利用求解. 【详解】延长交的延长线于点， 在中，， ， ， 利用正弦定理，即， 得， 在中，，， 直角三角形所对直角边是斜边的一半， 所以，，由勾股定理得， 在中，，， 利用正弦定理，即， 得：， 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知.求： （1）过点且与BC垂直的直线方程； （2）过点且倾斜角为直线AB倾斜角的的直线方程. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线BC的斜率，从而设过点且与BC垂直的直线方程，将代入，求出答案； （2）求出直线AB的斜率和倾斜角，从而得到所求直线的倾斜角和斜率，利用点斜式求出直线方程. 【小问1详解】 ，故与垂直的直线的斜率为1，故设过点且与BC垂直的直线方程为， 将代入可得，解得， 所以过点且与BC垂直的直线方程为； 【小问2详解】 ，故直线AB的倾斜角为， 故所求直线的倾斜角为，所求直线的斜率为， 故过点且倾斜角为直线AB倾斜角的的直线方程为，即. 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求的大小； （2）若，，求的值和的面积. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 因为， 所以. 又，所以， 所以， 即. 因为，，所以， 则，即，则. 【小问2详解】 由（1）知，，且，， 由，得， 即，解得（负值舍去）， 则的面积. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，E，F分别是BC，的中点. （1）证明：直线平面； （2）求平面ABC与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明：连接， 因为E，F分别是，的中点，则， 且平面，平面，所以直线平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）建系标点，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直三棱柱中，平面，平面， 则，，且，即，，两两垂直， 故以A为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．    因为，， 则，，，， 且E，F分别是，的中点，可得，． 因为平面，则是平面的一个法向量， 因为，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，可知是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 在中，，边上的中线所在直线的方程为：，边上的高所在直线的方程为：，求： （1）点的坐标； （2）边所在直线的方程； （3）中的角平分线所在直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，可得，由，可得，再根据斜率公式列式，联立方程，解出坐标即可； （2）设，则边的中点，由边上的高所在直线过点C，及边的中点在上，列式求出点C坐标，求出边所在直线的斜率，利用点斜式方程即可求解； （3）求出、所在直线方程，设是的角平分线所在直线上任意一点，由角平分线的性质可得P到边所在直线，边所在直线的距离相等，结合点到直线的距离公式列式即可求解. 【小问1详解】 设， 因为边上的中线所在直线：经过点A，所以， 因为边上的高所在直线的方程为：， 所以，即， 又，所以，即， 由得 所以点A的坐标为． 【小问2详解】 设，因为边上的高所在直线：经过点C， 所以． 因为边上的中线所在直线的方程为：， 所以边的中点在：上， 即，所以， 由得 所以点C的坐标为． 因为边所在直线的斜率， 所以边所在直线的方程为，即． 【小问3详解】 因为边所在直线的斜率， 所以边所在直线的方程为，即． 因为：过B，C两点， 所以边所在直线的方程为． 设是的角平分线所在直线上任意一点， 由角平分线的性质可得P到边所在直线，边所在直线的距离相等， 即． 所以或． 因为的角平分线应该与边（不含端点）有交点， 所以的角平分线所在直线的斜率， 所以不符合，符合， 所以中的角平分线所在直线的方程为． 19. 如图，在四棱锥中，，，，平面． （1）证明：平面平面； （2）求四棱锥体积的最大值； （3）若的面积为1，求直线与平面所成角的正弦值平方的最小值． 【答案】（1）因为平面，平面，所以， 又，且与相交于点，平面， 所以平面， 又平面，故平面平面． （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意，先证明，再结合题意，可证平面，进而可证平面平面； （2）作，垂足为H，连接，根据面面垂直的性质可得平面，结合锥体的体积公式，可得四棱锥的体积，再结合不等式求得和的最大值，即可求解； （3）根据几何体特征，建立空间直角坐标系，设以垂直于的直线为轴，为终边的角为，可得，再结合空间直线与平面所成角的计算公式，代入计算，结合三角函数的计算，即可求得其最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，在中，作，垂足为H，连接， 因为平面平面，平面与平面相交于，平面， 所以平面， 因为平面，平面， 所以，所以， 所以， 当且仅当时取等号， 因为，所以． 因为，所以， 因为，所以， 当且仅当取等号，所以． 又，所以． 所以四棱锥的体积， 即四棱锥体积的最大值为． 【小问3详解】 取的中点，以为原点，为轴，过点且平行于的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 由（1）知平面， 又平面，所以． 因为，所以， 因为，，所以，， 所以，所以，故， 设的中点为， 因为，，所以，，， 设以轴的正半轴为始边，以为终边的角为， 则，， 所以． 易知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则 （其中）， 所以当，即时，有最小值，最小值为． 即， 所以直线与平面所成角的正弦值平方的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第二章第4节，解三角形． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 2. 点关于平面对称的点是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，点满足，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 以为直径的两个端点的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，，若平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是（ ） A. B. C. D. 或 6. 已知点在圆外，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，，为坐标原点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点为直线上一点，则的最小值是（ ） A. B. 7 C. D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，则（ ） A. 是的必要不充分条件 B. 若不共面，则也不共面 C. 若，且，则 D. 若，则 10. 已知O为坐标原点，过点的直线与坐标轴交于A，B两点，若的面积为2，则直线在x轴上的截距可以是（ ） A. B. C. -2 D. 2 11. 如图，多面体是各棱长均为1的平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，若点是三角形的重心，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 异面直线所成角的余弦值为 C. D. 若四点共面，则点是线段的中点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________. 13. 若直线与直线平行，则实数__________. 14. 某学生为测量一个建在小矮山上的建筑物的高度，选择了与小矮山底部在同一水平线上的两点、（在矮山的同侧），如图所示，测得在处看、的仰角分别为、，在处看的仰角为，，由此可以计算求得_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知.求： （1）过点且与BC垂直的直线方程； （2）过点且倾斜角为直线AB倾斜角的的直线方程. 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求的大小； （2）若，，求的值和的面积. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，E，F分别是BC，的中点. （1）证明：直线平面； （2）求平面ABC与平面夹角的余弦值. 18. 在中，，边上的中线所在直线的方程为：，边上的高所在直线的方程为：，求： （1）点的坐标； （2）边所在直线的方程； （3）中的角平分线所在直线的方程． 19. 如图，在四棱锥中，，，，平面． （1）证明：平面平面； （2）求四棱锥体积的最大值； （3）若的面积为1，求直线与平面所成角的正弦值平方的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $