河南南阳市卧龙区南阳开元学校2026-2027学年九年级上学期数学学情自测（10月21）

九上数学周测 第一部分 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分) 1.若二次根式 有意义，则x的值可以是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 2.若x<0, 则化简. 的结果是( ) 3.若 则下列等式正确的是( ) 4. 如图,在△ABC中, 点D在边AB上, DE∥BC交AC于点E,若线段AE =2.5,则线段CE的长为( ) A. 7.5 B. 10 C. 15 D. 20 5. 如图, △ABC中,∠A=65°,AB=6,AC=3,将△ABC沿下图中的虚线剪开,剪下的三角形与原三角形不相似的是( ) 6.如图,在▱ABCD中,点E在边AD上,射线CE交BA的延长线于点 F,若 则AF的长为( ) A. 2 B. C. D. 3 7.如图,在矩形ABCD中, AD =2, E, F分别为CD,BC上的点, 若AE⊥EF,∠EAF=30°,AE =2 则CE的长度为( ) B. C. D. 8.如图，有一块锐角三角形材料，边BC=120 mm，高AD=80 mm，要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长为( ) A. 24 mm B. 36 mm C. 40 mm D. 48 mm 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分) 9.已知≠0, a+2c=26,则b的值为 . 10.“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用.秦始皇陵兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为 若如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离为0.2m，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离为 m.(结果保留根号) 11. 函数 的自变量x的取值范围是 ； 12.如图,在△ABC中,点D在线段AB上,添加一个条件,使得△ABC∽△ACD,则添加的条件是 .(只填一个) 三、解答题(本大题共9小题，满分72分) 13.(12分) 解方程. (用配方法)； (用公式法)； (4) . 14.(6分)关于x的一元二次方程 (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围. (2)若方程有两个实数根x₁、x₂且满足 求k的值. 15. 如图, 在△ABC中, AD =2CD, CF =2BF, 求 的值. 第二部分 16. 如图,∠A =∠B =90°, AB =7,AD =2, BC=3, 在边AB上取点P, 使得△PAD与△PBC相似, 则这样的点P共有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 16.C 17.如图,在矩形ABCD中,AB =6,对角线AC,BD相交于点O, M为AO的中点,ME∥AB交BO于点E,MF∥OD交AD于点F,若∠MEF=∠MFE,则AD的长为( ) A. 8 B. 6 C. 6 D. 10 17.C 18.如图, 正方形ABCD的边长为6, 点E,F分别在边DC, BC上,且BF=CE,AE平分∠CAD, 连接DF, 分别交AE，AC于点G，M，P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC垂足为N，连接PM，有下列四个结论：①AE垂直平分DM;②PM+PN的最小值为:③④=,其中正确的是 (填序号) 19.(10分)为了方便居民收取快递，某小区计划在小区内的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点.如图是快递投放点的设计图，该快递投放点为矩形ABCD且一边靠墙；这堵墙长10米，在垂直于墙的两边分别开设“进口”和“出口”两道1.5米宽的门.围建投放点的三边(不含靠墙的一边和两道门)共需高度适当的板材14米.请求出这个快递投放点的边AB和BC的长. 20.(10分)我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式 最小值. 解： 即 的最小值是1. 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式 求它的最大值； (2)知识迁移: 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,点P在AC边上以2cm/s的速度从点A向点C移动，点Q在CB边上以1cm/s的速度从点C向点B移动.若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形APQB的面积为Scm²，运动时间为t秒，求S的最小值. 21.(9分)(25-26八年级下·江苏淮安·期末)如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C，O均为格点，请利用无刻度的直尺作图. (1)以点O为位似中心，将△ABC在网格中放大为原来的2倍，得到△A₁B₁C₁, 请画出△A₁B₁C₁; (2)作出线段AC上的点 D, 使AD:CD =1:2 . 22.(10分)图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度MN.如图2，MN所在直线垂直地面于点A，甲把光源放置于点B处，BC垂直地面于点C，点A，C在同一水平线上，乙沿CA方向移动平面镜，移到点D时，从点B发出的光线反射到点M处；移到点E时，从点B发出的光线反射到点N处. 经测量: BC=1.5米,AC=12米, CD=2米, DE=2米, 记点D, E处的法线分别为SD, TE,即SD⊥AC,TE⊥AC, 根据光的反射定律, ∠MDS =∠BDS, ∠NET =∠BET. (1)求证: ∠MDA =∠BDC; (2)求此公益广告牌的高度MN. 23. (12分) 在△ABC 中, 【观察与发现】 (1)如图1，将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到线段AD，点D与点C是对应点.点E，F分别在边AB，AC上，AE=CF,连接DE,DF. 求证: DE = DF. 【思考与探究】 (2)如图2, 过点A作 交BC于点H. 点E,F分别在边AB,AC上,(CF=2AE,, 连接EF, HE,HF. 猜想线段EF与HE的数量关系，并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 九上数学周测 第一部分 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分) 1.D 2.A 3.A 4.A 5.C 6.A 7.D 8.D 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分) 9.8 10. 11.且 12.（答案不唯一） 三、解答题(本大题共9小题，满分72分) 13.(1) 移项，得 ，配方，得 ， 直接开平方，得 ， 所以 或 ； (2) 移项，得 ， 因为 ， 所以 ， 即 或 ； (3) 因为 ，所以 ， 即 或 。 (4)移项，得 。 配方，得 。 。 。 14.解：(1)根据题意得： 解得： 即k的取值范围为 (2)根据题意得. 整理得 解得 由(1)可知，方程有两个实数根时， 15. 解: 如图,过点D作BC的平行线,交AF于点E,设BF=3a, AD=2CD, CF=2BF, CF=6a, ∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ACF, DE∥BC, △DEP∽△BFP, 16.C 17.C 18.①②③ 19.解：设 的长为 米，则 的长为 米。 根据题意，得 ，解得 。 当 时， ，不符合题意，舍去。 当 时， ，符合题意。 答：这个快递投放点的边 的长为 6 米， 的长为 5 米。 20.(1) , ∵,当，最大值为-3, ∴ 最大值为 ; (2) ∵AC=8cm,BC=6cm,点P在AC边上以2cm/s的速度从点A向C移动,点Q在CB边上以1cm/s的速度从点C向点B移动 ∴点P从A点运动到C点所需时间为82=4s,点Q从C点运动到B点所需时间为61=6s, ∴0≤t≤4, 根据题意可得： , , , , ∴ 的最小值为 . 21.解:(1)如图1,分别连接OA,OB,OC,并延长到 使 2OC, 连接 得到 即为所求. 图1 (2)在图中取格点F和H,连AF,CH,HF,HF交AC于点D,点D即为所求; 理由:连HC, 由网格可知,AF=2,HC=4,AF//HC, △ ADF △ CDH. ，则点D即为所求. 22.（1）证明：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：由题意得， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 米， 米， 米， ∴ ， ∴ （米）， 同理可得， ， ∵ DE=2米, ∴ NA=3(米), ∴ MN=MA-NA =7.5-3 =4.5(米). 答：公益广告牌的高度 MN为4.5米. 23.(1)证明:如图(1),连接CD. 根据旋转可知∠CAD=60°,AC=AD, ∴ △ACD 为等边三角形, ∴ CD=AD,∠ACD=60°. ∵∠EAD=∠BAC-∠CAD=120°-60°=60°, ∴ ∠EAD=∠ACD. (2分) 又∵AE=CF, ∴ △AED≌△CFD(SAS), ∴DE=DF. (4分) 理由： 又 即 又 学科网（北京）股份有限公司 $