第三章圆锥曲线与方程复习讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

《圆锥曲线与方程》复习讲义 知识点一 圆锥曲线的定义 1.椭圆 定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距． 几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|． 2.双曲线 定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线 几何表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(2a＜|F1F2|) 注意：如果没有绝对值，动点的轨迹表示双曲线的一支． 3.抛物线 定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 知识点二 圆锥曲线的标准方程 1.椭圆的标准方程： 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 2.双曲线的标准方程： 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 3.抛物线的标准方程： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 知识点三 圆锥曲线的性质 椭圆的几何性质： (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上． (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点． (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c． (4)椭圆的离心率： （e越接近1，椭圆越扁平；e越接近0，椭圆越接近于圆。） (5)椭圆的通径（最短焦点弦）等于 双曲线的几何性质： (1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上． (2)双曲线的实轴长为2a；虚轴长为2b；若实轴和虚轴等长，则为等轴双曲线。 (3)双曲线的顶点是双曲线与实轴的交点，只有两个，与焦点在同一坐标轴上． (4)双曲线上到原点的距离最大值为正无穷，最小值为a． (5)双曲线的离心率： （e越大，双曲线“张口”越大） (6)渐近线是双曲线特有的性质，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交。 双曲线的渐近线是；双曲线的渐近线是 (7)双曲线的焦点到渐近线的距离等于b. (8)双曲线的通径（最短焦点弦）等于. 抛物线的几何性质： (1)p的几何意义是焦点到准线的距离。 (2)抛物线的顶点只有一个，抛物线的焦点总在对称轴上，抛物线的准线始终与对称轴垂直。 (3))影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小。 (4)抛物线的通径长为2p． 知识点四 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与椭圆的位置关系 1．点与椭圆的位置关系 点P(x0，y0)与椭圆(a>b>0)的位置关系及判断方法： 点P在椭圆上； 点P在椭圆内部； 点P在椭圆外部． 2．直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆的位置关系及判断方法：联立直线与椭圆方程 消去y(或x)，得关于x(或y)的一元二次方程． 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程没有实数根，直线与椭圆相离． 【注意】设直线方程时注意斜率不存在的情况，要单独讨论。 直线与双曲线位置关系 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：② 将①代入②， 得Ax2＋Bx＋C＝0． a．当A＝0时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点． b．当A≠0时． ①Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时直线与双曲线相交； ②Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时直线与双曲线相切； ③Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时直线与双曲线相离． 【注意】(1)直线与双曲线相交时可能有一个或两个公共点；有一个公共点时，直线与双曲线可能相切或相交． (2)消元后注意二次项的系数，二次项系数可能为0，此时，直线与双曲线的渐近线平行． 直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交． 设直线y＝kx＋m，抛物线y2＝2px(p＞0)，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0． (1)k＝0时，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． (2)k≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线相交⇔有两个公共点． Δ＝0⇔直线与抛物线相切⇔只有一个公共点． Δ＜0⇔直线与抛物线相离⇔没有公共点． 【注意】(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． (2)研究直线与抛物线的位置关系时要注意直线斜率不存在的情况． 知识点五 弦长问题 斜率为k的直线和圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点时， 弦长公式： 其中： 知识点六 中点弦（点差法） 椭圆中点弦 双曲线中点弦 抛物线中点弦 具体步骤：设A（x1，y1）B(x2,y2)代入圆锥曲线方程，两点作差化简。 知识点七 焦点弦 椭圆焦点弦 AB为椭圆＋＝1(a>b>0)过焦点F1的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，椭圆的离心率为e (1) (2) (3) 双曲线焦点弦 AB为双曲线—＝1(a>0，b>0)过焦点F1的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，双曲线的离心率为e (1) (2) 抛物线焦点弦 AB是抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l． (1) (2) (3) (4) (5)以弦AB为直径的圆与准线相切；以AF或BF为直径的圆与y轴相切。 (6) 知识点八 焦点三角形 椭圆焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形． 若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： ①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大； ②S＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc； ③△PF1F2的周长为2(a＋c)． 双曲线焦点三角形 双曲线上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在双曲线—＝1(a＞b＞0)中： 抛物线焦点三角形 抛物线的焦点弦与抛物线相交与AB两点，坐标原点与AB两点形成的三角形叫做焦点三角形。 △OAB的面积为S，则在y2＝2px(x＞0)中：(θ为直线倾斜角) 【常考题型】 类型一：圆锥曲线的定义与轨迹方程 例1. （23-24高三下·海南·模拟预测）（多选）在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为一条直线 D．若，则点的轨迹为圆 【答案】BCD 【解析】对于选项A：，则点的轨迹为线段，故A错误； 对于选项B：，则点的轨迹是双曲线，故B正确； 对于选项：设， 由，可得， 化简得，表示一条直线，故C正确； 对于选项D：由，可得， 则点的轨迹是以为直径的圆，故D正确.故选：BCD. 例2.（2024•多选•信都区期中）满足下列条件的点P的轨迹一定在双曲线上的有（　　） A．A（2，0），B（﹣2，3），|PA﹣PB|＝5 B．A（2，0），B（﹣2，0），kPAkPB＝2 C．A（2，0），B（﹣2，0），kPAkPB＝1 D．A（2，0），B（﹣2，3），PA﹣PB＝2 【答案】BCD 【解析】解：因为|PA﹣PB|＝5＝|AB|，所以点P的轨迹是两条射线，故A不正确； 设P（x，y）（x≠±2），因为kPA•kPB=2，化简得y2＝2（x2﹣4），即， 此时P的轨迹在双曲线上，故B正确； 设P（x，y）（x≠±2），因为kPA•kPB1，化简得y2＝x2﹣4，即x2﹣y2＝4， 此时P的轨迹在双曲线上，故C正确； 因为|PA|﹣|PB|＝2＜5＝|AB|，此时P的轨迹在双曲线上，故D正确． 故选：BCD． 例3.设双曲线的两个焦点分别是F1和F2，A 、B分别是双曲线两条渐近线上的动点， 且，求线段AB中点的轨迹方程. 【答案】 【解析】解：设A点在渐近线上, B点在渐近线上， A(x1，y1)， B(x2，y2)，线段AB中点 M(x，y)， ∵， ∴ 由=30,得, ∴, 化简得. 类型二： 圆锥曲线离心率及其范围 例4．（2024•运城期中）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过点F1的直线交C于A，B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为8，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由椭圆的定义，可知|AB|+|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝4a， 所以当|AB|最小时，|AF2|+|BF2|最大，由椭圆的性质得，过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短， 当直线AB垂直于x轴时，|AB|取得最小值，此时 由a＞0解得a＝3，此时C的离心率 故选：A． 例5．（23-24高三下·湖南衡阳·三模）如图所示，已知双曲线的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C于两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G，，且三点共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为 ． 【答案】 【解析】 设另一个焦点，连接，设则 再根据双曲线的定义可知： 由双曲线的对称性可知，是的中点，也是的中点， 所以四边形是平行四边形，又因为，所以可得， 所以由勾股定理得：， 化简得：， 再由勾股定理得：， 代入得：， 故答案为：. 例6．（23-24高三下·河南濮阳·模拟预测）点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆与轴相切于焦点，轴，可设， 在椭圆上，，解得：，圆的半径为； 作轴，垂足为， ，， 为锐角三角形，， ，即，解得：， 即椭圆离心率的取值范围为.故选：D. 类型三：直线与圆锥曲线相交 --- 公共点问题 例7．（2024•哈尔滨月考）对任意的实数，直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，因为直线与椭圆恒有公共点，所以△，即对任意恒成立，所以，解得， 故选． 例8．（2024•上海期末）直线与双曲线有且仅有一个公共点，则 ． 【答案】，． 【解析】联立，化为．①当时，可得，此时直线的方程为，分别与等轴双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线有且只有一个交点，满足题意；②当时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，可得△， 解得．此时满足条件．综上可得：，．故答案为，． 类型四：直线与圆锥曲线相交 --- 弦长问题 例9．设直线过双曲线的一个焦点，交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，若，求|AB|的值。 【答案】 【解析】当AB⊥x轴时，点A（2，3），B（2，－3），不满足条件。 则直线AB斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y=k(x－2)。 代入双曲线方程，得 即。 设点，， 则当Δ>0时，，。 从而 ∵，∴ ∴，解得。 此时 ∴， 故由焦点弦长公式，得：。 类型五：直线与圆锥曲线相交 --- 中点弦问题 例10．（23-24高三下·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆，一组斜率的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设斜率的平行直线与椭圆相交于，且中点为， 可得. 由，两式相减得， 整理得，可得， 即这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为.故选：C. 例11．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知A，B为双曲线上不同两点，下列点中可为线段的中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设的中点， 所以， 易知， 由点差法可得 ， 若，此时， 与双曲线联立，故A错误； 若，则此时， 与双曲线联立 ， 即与双曲线有两个交点，故B正确； 若，则此时， 与双曲线联立， 即与双曲线有一个交点，故C错误； 若，则此时， 与双曲线联立，显然无解， 即与双曲线没有交点，故D错误；故选：B 类型六：直线与圆锥曲线相交 --- 焦点弦问题 例12．已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（ ）。 A. 3 B.6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】∵y2=8x的焦点为（2，0），准线为x=－2，∴椭圆E中 c=2 ，a=4，∴b2=12，∴椭圆E的方程为 设A（－2，y0），，∴y02=9，∴|y0|=3，∴|AB|=2y0=6 类型七：圆锥曲线的焦点三角形问题 例13．（2024•多选•五华区月考）已知椭圆上有一点，、分别为左、右焦点，，△的面积为，则下列选项正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．△面积的最大值为 D．若△ 为钝角三角形，则 【答案】ACD 【解答】解：设，，，则，由此①， 所以△的面积， 对于选项：若，则，故正确； 对于选项：由①知，当且仅当即点是短轴端点时取等号， 所以，因此不可能是，故错误； 对于选项：当为短轴的端点时，△面积的最大值为，故正确． 对于选项：由以上分析可知，不可能是钝角，由对称性不妨设是钝角．先考虑临界情况，当时，易得，此时，结合图形可知： 当是钝角时，，故正确． 故选：． 例14．（2024•运城二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，且，若的面积为，其中为坐标原点，则的值为 　　． 【答案】 【解析】设，，的面积为，， ，又，△是等边三角形，即， 由椭圆的定义可得，故，则，，， 则． 例15．（（2022•多选•湖北期末）如图，是椭圆与双曲线 在第一象限的交点，且，共焦点，，，，的离心率分别为，，则下列结论正确的是　　 A．， B．若，则 C．若，则的最小值为2 D． 【答案】ABD 【解析】如图18，由椭圆和双曲线的定义，， ，，故正确； 在△中，由余弦定理可得， ，，， 当，则，故正确； 当，，由，即（当且仅当时等号成立）等号不成立，故错误； 由，则，即，故正确． 故选：． 类型八：求取值范围或最值 例16.（2024•成都开学）已知椭圆的左，右焦点分别为，，点是椭圆上的任意一点，则　　 A． B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最大值为4 【答案】ACD 【解答】解：根据题意可得，，， 对选项，，选项正确； 对选项，，当且仅当时取等号，选项错误； 对选项，设，， 则，， ，选项正确； 对选项，由选项分析可知，选项正确． 故选：． 例17.（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知动点在抛物线上，，则该动点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为 . 【答案】/ 【解析】由抛物线的方程为知，焦点为，准线方程为， 由抛物线定义知动点到点的距离与到轴的距离之和可化为， 当三点共线，且在线段上时，有最小值， 最小值为. 故答案为： 类型九：综合性大题 例18.已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1． （1）求双曲线的标准方程与离心率； （2）已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积． 【解析】（1）设双曲线的焦点，则到直线的距离为1，则，则， 双曲线渐近线的斜率，又，所以，，所以双曲线的方程：； 双曲线的离心率； （2）设直线，，，，，联立，消去，整理得，则△，所以，， 所以， 解得或（舍去），所以，，由直线的方程：，令，， 所以， 所以，所以的面积． 例19.直线与双曲线 相交于，两点，若以为直径的圆过原点，且双曲线的离心率为，求双曲线的方程． 【答案】 【解析】法一：（常规解法）由双曲线的离心率为，即，得， 所以双曲线方程可设为．联立，②代入①消去得， 设，，则，，又以为直径的圆过原点，所以， 所以，即， 将韦达定理代入得：，解之得，所以，故双曲线的方程为． 方法二：（齐次化解法）由双曲线的离心率为，即，得， 所以双曲线方程可设为．联立， 由 ①得代入②消去“”构建关于，的齐次式得：，又，两边同除以得③， 所以和为方程③的两个根，由韦达定理得，解之得，所以，故双曲线的方程为． 例20.在平面直角坐标系xOy中，已知F为抛物线C：的焦点，O为坐标原点，M为C的准线l上一点，直线MF的斜率为，的面积为4． (1)求C的方程； (2)过点F的直线交C于A，B两点，过点B作y轴的垂线交直线AO于点D，过点A作直线DF的垂线与C的另一交点为E，AE的中点为G，证明：G，B，D三点纵坐标相等． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）设准线l与x轴的交点为N， ∵直线MF的斜率为，∴，又， ∴，∴． 故抛物线C的方程为：． （2）证明：设直线AB的方程为，设点，， 联立，得， ， 由韦达定理可得，， 又因为直线AO的方程为， 将代入，可得，即点， 所以， 因为，则， 所以直线AE的方程为， 联立，得，则， 故，， 故G，B，D三点纵坐标相等. 学科网（北京）股份有限公司 $ 《圆锥曲线与方程》复习讲义 知识点一 圆锥曲线的定义 1.椭圆 定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距． 几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|． 2.双曲线 定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线 几何表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(2a＜|F1F2|) 注意：如果没有绝对值，动点的轨迹表示双曲线的一支． 3.抛物线 定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 知识点二 圆锥曲线的标准方程 1.椭圆的标准方程： 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 2.双曲线的标准方程： 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 3.抛物线的标准方程： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 知识点三 圆锥曲线的性质 椭圆的几何性质： (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上． (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点． (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c． (4)椭圆的离心率： （e越接近1，椭圆越扁平；e越接近0，椭圆越接近于圆。） (5)椭圆的通径（最短焦点弦）等于 双曲线的几何性质： (1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上． (2)双曲线的实轴长为2a；虚轴长为2b；若实轴和虚轴等长，则为等轴双曲线。 (3)双曲线的顶点是双曲线与实轴的交点，只有两个，与焦点在同一坐标轴上． (4)双曲线上到原点的距离最大值为正无穷，最小值为a． (5)双曲线的离心率： （e越大，双曲线“张口”越大） (6)渐近线是双曲线特有的性质，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交。 双曲线的渐近线是；双曲线的渐近线是 (7)双曲线的焦点到渐近线的距离等于b. (8)双曲线的通径（最短焦点弦）等于. 抛物线的几何性质： (1)p的几何意义是焦点到准线的距离。 (2)抛物线的顶点只有一个，抛物线的焦点总在对称轴上，抛物线的准线始终与对称轴垂直。 (3))影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小。 (4)抛物线的通径长为2p． 知识点四 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与椭圆的位置关系 1．点与椭圆的位置关系 点P(x0，y0)与椭圆(a>b>0)的位置关系及判断方法： 点P在椭圆上； 点P在椭圆内部； 点P在椭圆外部． 2．直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆的位置关系及判断方法：联立直线与椭圆方程 消去y(或x)，得关于x(或y)的一元二次方程． 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程没有实数根，直线与椭圆相离． 【注意】设直线方程时注意斜率不存在的情况，要单独讨论。 直线与双曲线位置关系 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：② 将①代入②， 得Ax2＋Bx＋C＝0． a．当A＝0时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点． b．当A≠0时． ①Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时直线与双曲线相交； ②Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时直线与双曲线相切； ③Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时直线与双曲线相离． 【注意】(1)直线与双曲线相交时可能有一个或两个公共点；有一个公共点时，直线与双曲线可能相切或相交． (2)消元后注意二次项的系数，二次项系数可能为0，此时，直线与双曲线的渐近线平行． 直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交． 设直线y＝kx＋m，抛物线y2＝2px(p＞0)，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0． (1)k＝0时，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． (2)k≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线相交⇔有两个公共点． Δ＝0⇔直线与抛物线相切⇔只有一个公共点． Δ＜0⇔直线与抛物线相离⇔没有公共点． 【注意】(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． (2)研究直线与抛物线的位置关系时要注意直线斜率不存在的情况． 知识点五 弦长问题 斜率为k的直线和圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点时， 弦长公式： 其中： 知识点六 中点弦（点差法） 椭圆中点弦 双曲线中点弦 抛物线中点弦 具体步骤：设A（x1，y1）B(x2,y2)代入圆锥曲线方程，两点作差化简。 知识点七 焦点弦 椭圆焦点弦 AB为椭圆＋＝1(a>b>0)过焦点F1的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，椭圆的离心率为e (1) (2) (3) 双曲线焦点弦 AB为双曲线—＝1(a>0，b>0)过焦点F1的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，双曲线的离心率为e (1) (2) 抛物线焦点弦 AB是抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l． (1) (2) (3) (4) (5)以弦AB为直径的圆与准线相切；以AF或BF为直径的圆与y轴相切。 (6) 知识点八 焦点三角形 椭圆焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形． 若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： ①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大； ②S＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc； ③△PF1F2的周长为2(a＋c)． 双曲线焦点三角形 双曲线上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在双曲线—＝1(a＞b＞0)中： 抛物线焦点三角形 抛物线的焦点弦与抛物线相交与AB两点，坐标原点与AB两点形成的三角形叫做焦点三角形。 △OAB的面积为S，则在y2＝2px(x＞0)中：(θ为直线倾斜角) 【常考题型】 类型一：圆锥曲线的定义与轨迹方程 例1. （23-24高三下·海南·模拟预测）（多选）在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为一条直线 D．若，则点的轨迹为圆 例2.（2024•多选•信都区期中）满足下列条件的点P的轨迹一定在双曲线上的有（　　） A．A（2，0），B（﹣2，3），|PA﹣PB|＝5 B．A（2，0），B（﹣2，0），kPAkPB＝2 C．A（2，0），B（﹣2，0），kPAkPB＝1 D．A（2，0），B（﹣2，3），PA﹣PB＝2 例3.设双曲线的两个焦点分别是F1和F2，A 、B分别是双曲线两条渐近线上的动点， 且，求线段AB中点的轨迹方程. 类型二： 圆锥曲线离心率及其范围 例4．（2024•运城期中）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过点F1的直线交C于A，B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为8，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 例5．（23-24高三下·湖南衡阳·三模）如图所示，已知双曲线的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C于两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G，，且三点共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为 ． 例6．（23-24高三下·河南濮阳·模拟预测）点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型三：直线与圆锥曲线相交 --- 公共点问题 例7．（2024•哈尔滨月考）对任意的实数，直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例8．（2024•上海期末）直线与双曲线有且仅有一个公共点，则 ． 类型四：直线与圆锥曲线相交 --- 弦长问题 例9．设直线过双曲线的一个焦点，交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，若，求|AB|的值。 类型五：直线与圆锥曲线相交 --- 中点弦问题 例10．（23-24高三下·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆，一组斜率的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 例11．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知A，B为双曲线上不同两点，下列点中可为线段的中点的是（    ） A． B． C． D． 类型六：直线与圆锥曲线相交 --- 焦点弦问题 例12．已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（ ）。 A. 3 B.6 C. 9 D. 12 类型七：圆锥曲线的焦点三角形问题 例13．（2024•多选•五华区月考）已知椭圆上有一点，、分别为左、右焦点，，△的面积为，则下列选项正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．△面积的最大值为 D．若△ 为钝角三角形，则 例14．（2024•运城二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，且，若的面积为，其中为坐标原点，则的值为 　　． 例15．（（2022•多选•湖北期末）如图，是椭圆与双曲线 在第一象限的交点，且，共焦点，，，，的离心率分别为，，则下列结论正确的是　　 A．， B．若，则 C．若，则的最小值为2 D． 类型八：求取值范围或最值 例16.（2024•成都开学）已知椭圆的左，右焦点分别为，，点是椭圆上的任意一点，则　　 A． B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最大值为4 例17.（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知动点在抛物线上，，则该动点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为 . 类型九：综合性大题 例18.已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1． （1）求双曲线的标准方程与离心率； （2）已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积． 例19.直线与双曲线 相交于，两点，若以为直径的圆过原点，且双曲线的离心率为，求双曲线的方程． 例20.在平面直角坐标系xOy中，已知F为抛物线C：的焦点，O为坐标原点，M为C的准线l上一点，直线MF的斜率为，的面积为4． (1)求C的方程； (2)过点F的直线交C于A，B两点，过点B作y轴的垂线交直线AO于点D，过点A作直线DF的垂线与C的另一交点为E，AE的中点为G，证明：G，B，D三点纵坐标相等． 学科网（北京）股份有限公司 $