第三章 圆锥曲线的方程 题型（讲义）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学单元复习讲义通过课时核心导图系统梳理圆锥曲线知识体系，以表格形式呈现课标要点与学习重难点，按椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质逻辑递进，突出定义理解、方程求解、直线与曲线位置关系等核心内容，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于“题型精讲+变式拓展”的分层设计，如“圆锥曲线定义与轨迹判定”题型通过对比距离和与差的大小判断曲线类型，“弦长与中点弦”题型用点差法建立斜率与中点关系，培养数学思维与运算能力。易错专练针对焦点位置判断、三量关系混淆等高频错误，课后作业分基础、能力、拓展层，助力学生精准突破，教师可据此实施分层教学。

人教A版·选择性必修一·第三章 圆锥曲线的方程 题型精讲讲义 第三章 圆锥曲线的方程 题型精讲（讲义）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册　第三章 圆锥曲线的方程　3.1椭圆　3.2双曲线　3.3抛物线 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．了解圆锥曲线的实际背景，掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义，能根据定义判断动点的轨迹是哪一条曲线，会用定义求轨迹方程。 2．掌握椭圆与双曲线的两种标准方程及其三量关系（椭圆＝－，双曲线＝＋），会用待定系数法求方程，能根据方程判断焦点所在的坐标轴。 3．掌握三种圆锥曲线的范围、对称性、顶点与离心率，掌握双曲线的渐近线与抛物线的准线，会由方程求这些几何量，也会由几何量反求方程。 4．会把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，用判别式判断公共点的个数，会求弦长与中点弦；（拓展）会处理含参数的直线系过定点、曲线上的点到定点距离的最值与斜率之积为定值等问题。 学习重难点 重点：三种圆锥曲线的定义与标准方程；由方程读出a，b，c与离心率、渐近线、准线；直线与圆锥曲线位置关系的判定；弦长公式与点差法求中点弦。 难点：焦点位置未定时的分类讨论；椭圆与双曲线三量关系符号相反造成的混淆；抛物线p与2p以及四种开口方向的对应；与双曲线联立时二次项系数可能为零的那一档；用点差法之前必须检验中点是否在曲线内部。 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　椭圆的定义、焦点与焦距 我们把平面内与两个定点F₁，F₂的距离的和等于常数（大于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距。若记这个常数为2a、焦距为2c，则定义要求2a＞2c＞0。 椭圆可以看作点集P＝{M | |MF₁|＋|MF₂|＝2a，2a＞|F₁F₂|} 半焦距c、长半轴长a、短半轴长b之间的关系是＝－ 小提示：拿到“到两定点的距离之和为定值”的条件，先把定值与|F₁F₂|比大小：大于才是椭圆，等于是线段F₁F₂，小于则一个点也没有。（教材第105页） 知识点　02　椭圆的标准方程与焦点位置的判定 焦点在x轴上时，椭圆的标准方程是＋＝1（a＞b＞0），此时两个焦点分别是F₁(－c，0)与F₂(c，0)；焦点在y轴上时，标准方程是＋＝1（a＞b＞0），两个焦点是F₁(0，－c)，F₂(0，c)。两种情形都满足＝－。 写成＋＝1（m＞0，n＞0，m≠n）时，分母大的那一项对应的坐标轴就是焦点所在的轴 a是三个量中最大的一个：a＞b＞0且a＞c＞0，既大于也大于 小提示：焦点在哪个轴上只看两个分母谁大，与，的书写次序无关；题目没有指明焦点位置时，两种情形都要写。（教材第107页） 知识点　03　椭圆的范围、对称性、顶点与离心率 由＋＝1（a＞b＞0）可得－a≤x≤a，－b≤y≤b，椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成的矩形框里。以－y代y、以－x代x方程都不变，所以椭圆关于两条坐标轴和原点都对称，原点O叫做椭圆的中心。椭圆与对称轴的四个交点叫做顶点，线段A₁A₂、B₁B₂分别叫做长轴和短轴，长度分别是2a和2b。 离心率e＝，由a＞c＞0得0＜e＜1；e越接近1椭圆越扁，e越接近0椭圆越接近于圆 四个顶点的坐标是A₁(－a，0)，A₂(a，0)，B₁(0，－b)，B₂(0，b)（焦点在x轴上时） 小提示：算离心率前必须先化成标准形式再读与；由＝1－可知，知道b与a的比值就能直接得到离心率。（教材第110~112页） 知识点　04　双曲线的定义与焦距 我们把平面内与两个定点F₁，F₂的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。若记这个常数为2a、焦距为2c，则定义要求0＜2a＜2c。 记m＝|MF₁|，n＝|MF₂|，则双曲线就是使m－n＝2a或n－m＝2a的点M的集合 去掉绝对值只保留|MF₁|－|MF₂|＝2a时，得到的是靠近F₂的那一支 小提示：把“差的绝对值”改成“差”，轨迹就从两支缩成一支；常数取成|F₁F₂|时退化为两条射线，比它还大则无轨迹。只取一支时答案要补上范围限制。（教材第119页） 知识点　05　双曲线的标准方程与三量关系 焦点在x轴上时，双曲线的标准方程是－＝1（a＞0，b＞0），此时焦点是F₁(－c，0)与F₂(c，0)；焦点在y轴上时，标准方程则是－＝1，焦点是F₁(0，－c)与F₂(0，c)。两种情形都满足＝＋。 双曲线里a与b没有大小关系的限制，a＜b、a＝b、a＞b都可能出现 c是三个量中最大的一个：c＞a＞0且c＞b＞0 小提示：椭圆是＝－、双曲线是＝＋，符号相反是全章最高频的混淆点；焦点位置也换了判据——看哪一项前面是正号。（教材第119~120页） 知识点　06　双曲线的顶点、实虚轴、渐近线与离心率 在－＝1（a＞0，b＞0）中，令y＝0可得x＝±a，所以双曲线与x轴有两个交点，即A₁(－a，0)与A₂(a，0)，它们都叫做双曲线的顶点；线段A₁A₂叫做实轴，长为2a，线段B₁B₂叫做虚轴，长为2b。双曲线的两支向外延伸时与两条直线±＝0逐渐接近但永远不相交，这两条直线叫做双曲线的渐近线。双曲线的离心率仍然定义为e＝。由c＞a＞0可知e＞1。 渐近线方程写成斜截式就是y＝±()x；焦点在y轴上时渐近线是y＝±()x 离心率与渐近线斜率的联系：＝1＋；实轴与虚轴等长（a＝b）的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率是 小提示：B₁(0，－b)与B₂(0，b)并不在双曲线上（令x＝0得＝－无解），它们只是画渐近线矩形的辅助点。（教材第122~123页） 知识点　07　抛物线的定义、焦点与准线 我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（直线l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线；设曲线上的点M在直线l上的垂足为H，则|MF|＝|MH|。过点F作直线l的垂线，垂足记为K，以直线KF为x轴、以线段KF的中点为原点建立坐标系，记|KF|＝p（p＞0），得到方程＝2px。 p的几何意义是焦点到准线的距离，恒为正数 抛物线上的点M到焦点的距离与到准线的距离之比恒等于1，所以抛物线的离心率e＝1 小提示：定义里“直线l不经过点F”不能省：若准线穿过焦点，满足条件的点就退化成一条直线。（教材第130页、第134页） 知识点　08　抛物线的四种标准方程与几何性质 顶点在原点、对称轴为坐标轴的抛物线有四种标准方程：＝2px的焦点是F(，0)，准线是x＝－，开口向右；＝－2px的焦点是F(－，0)，准线是x＝，开口向左；＝2py的焦点是F(0，)，准线是y＝－，开口向上；＝－2py的焦点是F(0，－)，准线是y＝，开口向下（以上均有p＞0）。抛物线只有一条对称轴、一个顶点，不是中心对称图形。 一次项的字母指出对称轴，一次项系数的正负指出开口方向：＝2px的一次项是x，开口沿x轴 焦点到顶点的距离是，通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）的长是2p 小提示：先把方程化成“平方项在左、一次项在右、二次项系数为1”的样子，再对照四种形式读p，注意一次项系数是2p而不是p。（教材第131页、第134页） 知识点　09　直线与圆锥曲线的位置关系、弦长与中点弦 把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，消去一个未知数得到一个方程，公共点的个数与这个方程解的个数相对应。所得方程为二次方程时，判别式Δ＞0对应两个公共点，Δ＝0对应一个公共点，Δ＜0对应没有公共点。设直线与曲线交于A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，若直线的斜率为k，则弦长|AB|＝·|x₁－x₂|。 |x₁－x₂|可以由根与系数的关系得到：|x₁－x₂|＝ 中点弦用点差法：把A、B的坐标分别代入曲线方程后相减，即可把弦的斜率与中点坐标联系起来 小提示：联立前先看消元后是不是二次方程：与双曲线联立时二次项系数可能为0，这时只有一个根，却不是相切。（教材第114页、第116页习题14） 【题型1】圆锥曲线的定义与轨迹的判定 三条曲线的定义都是“动点到定点（或定直线）的距离满足某个关系”。拿到条件先量一量：距离之和与两定点的距离谁大，距离之差的绝对值与两定点的距离谁大，比值是不是恰好为1。判定清楚是哪条曲线，再按它的标准方程写答案。 例1　已知F₁(－4，0)，F₂(4，0)，动点M满足|MF₁|＋|MF₂|＝10。（1）判断点M的轨迹是什么曲线，并说明理由；（2）求这条曲线的方程。 【分析】条件给的是“到两个定点的距离之和为定值”，先把这个定值10与|F₁F₂|比较大小，才能断定轨迹是椭圆、线段还是不存在。判定之后，焦点已经在x轴上，直接设标准方程并由a，c求b。 【解答】（1）由两点间的距离公式得|F₁F₂|＝＝8。 因为|MF₁|＋|MF₂|＝10＞8＝|F₁F₂|，符合椭圆定义中“距离的和是大于|F₁F₂|的常数”这一要求， 所以点M的轨迹是以F₁，F₂为焦点的椭圆。 （2）由（1）知焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）。 由2a＝10得a＝5；由2c＝|F₁F₂|＝8得c＝4。 于是＝－＝25－16＝9。 所以这条曲线的方程是＋＝1。 【方法小结】定义型轨迹题的三步是固定的：先算两定点间的距离，再与题目给的定值比大小定出曲线类型，最后按焦点所在的坐标轴设标准方程。a由定值的一半得到，c由焦距的一半得到，b只能靠＝－算，不能凭空猜。 例2　已知A(－5，0)，B(5，0)，动点P满足|PA|－|PB|＝8。（1）指出点P的轨迹是双曲线的哪一支；（2）求点P的轨迹方程，并注明x的取值范围。 【分析】给出的是距离之差而不是差的绝对值，所以轨迹只是双曲线的一支。哪一支由差的正负决定：|PA|＞|PB|说明点P离B更近，轨迹在靠近B的一侧。 【解答】（1）由两点间的距离公式得|AB|＝10。 因为|PA|－|PB|＝8，且0＜8＜10＝|AB|，所以点P在以A，B为焦点的双曲线上。 又|PA|－|PB|＝8＞0，即点P到A的距离大于到B的距离，点P在靠近B的一侧， 所以点P的轨迹是双曲线的右支。 （2）设双曲线的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0）。 由2a＝8得a＝4；由2c＝10得c＝5。 于是＝－＝25－16＝9。 因为轨迹只是右支，所以x≥a＝4。所求的轨迹方程是－＝1（x≥4）。 【方法小结】双曲线的三个量满足＝＋，要用－算，与椭圆里的－正好反过来。题目若给“差”而不是“差的绝对值”，答案必须补上表示单支的范围，漏掉它等于把答案扩大了一倍。 题型1　变式：定值与焦距的比较 第1题练定值恰好等于焦距的退化情形，第2题练由定义直接写方程，第3题练“到定点的距离与到定直线的距离”型。 变式1　已知F₁(0，－3)，F₂(0，3)，动点M满足|MF₁|＋|MF₂|＝6，则点M的轨迹是（　　）。 A．椭圆　　B．圆　　C．不存在　　D．线段F₁F₂ 变式2　平面内到F₁(－2，0)与F₂(2，0)的距离之和等于6的点的轨迹方程是＿＿＿＿＿＿。 变式3　在平面内，动点P与点F(0，3)的距离总比它到直线y＝－1的距离大2。求点P的轨迹方程。 【题型2】用待定系数法求椭圆的标准方程 待定系数法三步：先判断焦点在哪个轴上（判断不了就把两种情形都设出来），再把条件翻译成关于a，b，c的方程，最后解方程组并回代检验a＞b＞0。焦点位置没有给死的题，漏掉一种情形就丢一半答案。 例1　求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在坐标轴上，且与x轴、y轴的交点分别是(2，0)与(0，1)；（2）经过点P(－2，2)，且长轴长是短轴长的2倍。 【分析】（1）椭圆与两条坐标轴的交点就是它的四个顶点，由顶点坐标直接读出a与b。（2）条件里没有指明焦点在哪个轴上，必须分两种情形讨论；“长轴长是短轴长的2倍”即2a＝2×2b，也就是a＝2b。 【解答】（1）由交点(2，0)知椭圆在x轴上的顶点到中心的距离是2，由交点(0，1)知在y轴上的顶点到中心的距离是1。 因为2＞1，所以长轴在x轴上，a＝2，b＝1，满足a＞b＞0。 所以标准方程是＋＝1。 （2）由a＝2b知，若焦点在x轴上，可设方程为＋＝1（b＞0）。 把P(－2，2)的坐标代入，得＋＝1，即＋＝1。 所以＝1，＝5，于是4＝20，此时方程为＋＝1。 若焦点在y轴上，可设方程为＋＝1（b＞0）。 把P(－2，2)的坐标代入，得＋＝1，同样解得＝5，此时方程为＋＝1。 综上，所求的标准方程是＋＝1或＋＝1。 【方法小结】“长轴长是短轴长的k倍”翻译成a＝kb，“长轴长是焦距的k倍”翻译成a＝kc，翻译时一律先把“轴长”换成“半轴长”。焦点位置未定时把两种情形并排写，最后用“综上”收口，不要只写一种就交卷。 例2　求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在y轴上，短轴长是8，离心率是；（2）焦距是8，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是10。 【分析】（1）短轴长给出b，离心率给出c与a的比，联立＝－即可解出a。（2）焦距给出c，距离之和给出a，但焦点在哪个轴上没有说，要分两种情形。 【解答】（1）由短轴长2b＝8得b＝4。 由e＝＝得c＝()a，代入＝－，得()＝－16。 移项得()＝16，所以＝25，a＝5，此时c＝3，满足a＞b＞0。 因为焦点在y轴上，所以标准方程是＋＝1。 （2）由2c＝8得c＝4；由距离之和2a＝10得a＝5。 于是＝－＝25－16＝9。 焦点在x轴上时，方程是＋＝1；焦点在y轴上时，方程是＋＝1。 综上，所求的标准方程是＋＝1或＋＝1。 【方法小结】离心率参与运算时，用e＝把c换成a的倍数，再代进＝－，一次就能解出，比先设c再联立三个式子省一半功夫。凡是题目只给“焦距”“距离之和”这类与坐标轴无关的量，一定要问一句焦点在哪个轴上。 题型2　变式：含参数的椭圆方程 第1题练由方程形式反推参数范围，第2题练由长轴长与离心率定方程，第3题练由短轴端点与离心率定方程，第4题练焦距已知时分母大小的两种情形。 变式1　若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（　　）。 A．2＜m＜3　　B．1＜m＜3　　C．1＜m＜2　　D．m＞2 变式2　焦点在x轴上的椭圆的长轴长是12，离心率是，则这个椭圆的标准方程是＿＿＿＿＿＿。 变式3　已知椭圆的中心在原点，它的短轴的一个端点是B(0，3)，离心率是。求这个椭圆的标准方程。 变式4　若椭圆＋＝1的焦距是4，则m的值是（　　）。 A．5　　B．13　　C．5或13　　D．7 【题型3】椭圆的几何性质与离心率 范围、对称性、顶点、离心率四项性质全部从标准方程里读出来，所以第一步永远是把方程化成标准形式。离心率题的通法是把条件翻译成a与c（或a与b）之间的一个等式，再除以化成只含e的方程。 例1　已知椭圆C：＋＝1。（1）写出椭圆C的长轴长、短轴长与离心率；（2）写出焦点F₁，F₂与四个顶点A₁，A₂，B₁，B₂的坐标；（3）求△OB₂F₂的面积，其中O为坐标原点。 【分析】方程已经是标准形式，且25＞16，所以焦点在x轴上，＝25，＝16。三个小问依次用到顶点公式、焦点公式和三角形面积公式，△OB₂F₂以OF₂为底、OB₂为高，是一个直角三角形。 【解答】（1）由方程得＝25，＝16，所以a＝5，b＝4。 于是＝－＝25－16＝9，c＝3。 长轴长2a＝10，短轴长2b＝8，离心率e＝＝。 （2）因为25＞16，焦点在x轴上，所以F₁(－3，0)，F₂(3，0)。 四个顶点分别是A₁(－5，0)，A₂(5，0)，B₁(0，－4)，B₂(0，4)。 （3）因为B₂在y轴上、F₂在x轴上，所以OB₂⊥OF₂，△OB₂F₂是直角三角形。 它的两条直角边长分别是|OF₂|＝c＝3与|OB₂|＝b＝4， 所以面积S＝()×3×4＝6。 【方法小结】读性质的顺序建议固定为“先看分母大小定焦点所在轴，再开方得a与b，最后算c”。b、c与a构成一个直角三角形：以短半轴长b为一条直角边、半焦距c为另一条直角边，斜边恰好是长半轴长a，画出这个三角形，三个量的关系一眼就能看清。 例2　设椭圆C的中心在原点，它的左、右焦点F₁，F₂都在x轴上，短轴的上端点为B。（1）若△BF₁F₂是等边三角形，求椭圆的离心率；（2）若∠F₁BF₂＝90°，求椭圆的离心率。 【分析】B是短轴的上端点，坐标为(0，b)，两个焦点关于原点对称，所以△BF₁F₂是等腰三角形，两条腰的长相等。把两个几何条件分别翻译成b与c的关系，再化成只含e的等式。 【解答】由椭圆的对称性知|BF₁|＝|BF₂|＝＝a，|F₁F₂|＝2c。 （1）△BF₁F₂是等边三角形，所以|BF₁|＝|F₁F₂|，即a＝2c。 于是e＝＝。 （2）∠F₁BF₂＝90°时，△BF₁F₂是等腰直角三角形，点B到x轴的距离等于|F₁F₂|的一半，即b＝c。 由＝－得＝－，即2＝。 两边同除以，得2＝1，所以＝。 因为0＜e＜1，所以e＝。 【方法小结】“以短轴端点与两焦点为顶点的三角形”是椭圆里最常出现的一个直角三角形：|BF₁|＝|BF₂|＝a这一条由椭圆定义直接得到（两段距离之和是2a，而它们相等），记住它，几乎所有这类离心率题都能一步翻译成a、b、c的关系式。 题型3　变式：由方程读性质、由性质定参数 第1题练直接读离心率，第2题练由焦距反求参数，第3题练离心率与已知点联立定方程。 变式1　椭圆＋＝1的离心率是（　　）。 A．　　B．　　C．　　D． 变式2　已知椭圆＋＝1（a＞3）的焦距是8，则a＝＿＿＿＿＿＿。 变式3　已知椭圆C的焦点在x轴上，中心为坐标原点，离心率是，且点(2，1)在椭圆C上。求椭圆C的方程。 【题型4】双曲线的标准方程与渐近线 双曲线与椭圆的读法有两处不同：三量关系是＝＋，焦点位置看正号项而不是看分母大小。渐近线是双曲线独有的性质，它的斜率由b与a的比值决定，与焦点在哪个轴上直接相关。 例1　已知双曲线C：－＝1。（1）写出实轴长、虚轴长以及顶点A₁，A₂与焦点F₁，F₂的坐标；（2）求双曲线C的离心率与渐近线方程。 【分析】方程已是标准形式，且项前面是正号，所以焦点在x轴上，＝9，＝16。注意＝16并不说明虚半轴长比实半轴长小，双曲线里a与b谁大都可以。 【解答】（1）由方程得＝9，＝16，所以a＝3，b＝4。 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝8。 因为项前面是正号，焦点在x轴上，所以顶点是A₁(－3，0)，A₂(3，0)。 由＝＋＝9＋16＝25得c＝5，所以焦点是F₁(－5，0)，F₂(5，0)。 （2）离心率e＝＝。 把方程右边的1换成0，得－＝0，即(＋)(－)＝0。 所以渐近线方程是y＝±()x。 【方法小结】求渐近线最省事的办法是把标准方程右边的1改成0再分解因式，这样既不会把与写反，也不必分焦点在哪个轴上记两套公式。判定焦点位置时只看正号项：正号跟着就在x轴上，跟着就在y轴上。 例2　求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在y轴上，实轴长是6，虚轴长是8；（2）渐近线方程是y＝±()x，且焦距是20。 【分析】（1）实轴长与虚轴长直接给出a与b，焦点位置也已指明。（2）渐近线的斜率只给出了b与a的比值，而焦点在哪个轴上没有说明，两种情形下这个比值的含义不同，必须分开讨论。 【解答】（1）由实轴长2a＝6得a＝3，由虚轴长2b＝8得b＝4。 因为焦点在y轴上，所以标准方程是－＝1。 （2）由焦距2c＝20得c＝10，即＋＝100。 若焦点在x轴上，渐近线是y＝±()x，由＝得4b＝3a。 与＋＝100联立，得＋()＝100，解得＝64，＝36，此时方程是－＝1。 若焦点在y轴上，渐近线是y＝±()x，由＝得4a＝3b。 与＋＝100联立，得＋()＝100，解得＝36，＝64，此时方程是－＝1。 综上，所求的标准方程是－＝1或－＝1。 【方法小结】只给渐近线而不给焦点位置的题，一律按两种情形各算一遍。渐近线斜率的绝对值等于“虚半轴长比实半轴长”，焦点在x轴上时它是，焦点在y轴上时它是，两者互为倒数，记混就会把两个答案对调。 题型4　变式：渐近线与参数 第1题练由方程读渐近线，第2题练由渐近线反求参数，第3题练焦点与渐近线联合定方程，第4题练等轴双曲线。 变式1　双曲线－＝1的渐近线方程是（　　）。 A．y＝±()x B．y＝±3x C．y＝±()x D．y＝±()x 变式2　若双曲线－＝1（m＞0）的一条渐近线方程是y＝2x，则m＝＿＿＿＿＿＿。 变式3　已知双曲线的一个焦点是F(0，5)，且它的一条渐近线的方程是y＝()x。求这个双曲线的标准方程。 变式4　若双曲线的实轴长与虚轴长相等，则它的离心率是（　　）。 A．　　B．　　C．2　　D． 【题型5】双曲线的离心率与焦点三角形 焦点三角形以两个焦点和曲线上一点为顶点，它把定义（两段距离之差的绝对值是2a）与余弦定理、勾股定理串在一起。为了让式子干净，一律先设m＝|PF₁|、n＝|PF₂|，把几何条件写成关于m，n的方程组再解。 例1　已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别是F₁，F₂，点P在C的右支上，且|PF₁|＝7。（1）求|PF₂|；（2）求△PF₁F₂的周长；（3）求△PF₁F₂的面积。 【分析】由方程读出a与c，再用双曲线的定义把|PF₁|与|PF₂|的关系写出来。点P在右支上，说明它离F₂更近，所以|PF₁|－|PF₂|＝2a。三边齐全之后，用余弦定理求出夹角的余弦值，再用两边夹一角的面积公式算面积。 【解答】设m＝|PF₁|，n＝|PF₂|。由方程得＝4，＝5，所以a＝2。 又＝＋＝4＋5＝9，所以c＝3，|F₁F₂|＝2c＝6。 （1）因为点P在右支上，所以m－n＝2a＝4。 把m＝7代入，得n＝7－4＝3，即|PF₂|＝3。 （2）△PF₁F₂的周长为m＋n＋|F₁F₂|＝7＋3＋6＝16。 （3）在△PF₁F₂中，三边长依次是m＝7，n＝3，|F₁F₂|＝6。 由余弦定理得cos∠F₁PF₂＝＝＝。 因为0°＜∠F₁PF₂＜180°，所以sin∠F₁PF₂＝＝。 所以面积S＝()mn·sin∠F₁PF₂＝()×7×3×()＝4。 【方法小结】焦点三角形的三条边里，有两条是曲线上的点到两个焦点的连线，第三条是连结两个焦点的线段，它的长就是焦距。定义给出的是两条焦半径的差（椭圆里是和），再配合题目给的另一个条件，就能把两条焦半径都解出来。点在哪一支上决定差的符号，判断错了会算出负数。 例2　设双曲线C的中心在原点，它的左、右焦点F₁，F₂都在x轴上，实半轴长为a，点P在双曲线C的右支上，且|PF₁|＝2|PF₂|。（1）用a表示|PF₁|与|PF₂|；（2）当∠F₁PF₂＝60°时，求出双曲线C的离心率e。 【分析】设m＝|PF₁|，n＝|PF₂|，把“点在右支上”翻译成m－n＝2a，再与m＝2n联立解出m，n。第（2）问在△PF₁F₂中用余弦定理，得到a与c的等式后两边同除以即可化成关于e的方程。 【解答】（1）设m＝|PF₁|，n＝|PF₂|。因为点P在右支上，所以m－n＝2a。 又m＝2n，代入得2n－n＝2a，所以n＝2a，m＝4a。 即|PF₁|＝4a，|PF₂|＝2a。 （2）在△PF₁F₂中，|F₁F₂|＝2c，∠F₁PF₂＝60°。 由余弦定理得4＝＋－2mn·cos60°。 把m＝4a，n＝2a，cos60°＝代入，得4＝16＋4－2×8×()＝12。 所以＝3，即＝3。 于是＝3，又e＞1，所以e＝。 【方法小结】离心率题的通法只有一条：把条件化成只含a与c（或a与b）的等式，再两边同除以，让式子只剩e。最后别忘了用e＞1（双曲线）或0＜e＜1（椭圆）去掉不合题意的那个根。 题型5　变式：离心率与直角焦点三角形 第1题练由方程读离心率，第2题练由离心率反求虚轴长，第3题练焦点三角形为直角三角形时的面积。 变式1　双曲线－＝1的离心率是（　　）。 A．　　B．　　C．　　D．2 变式2　已知双曲线的实轴长是4，离心率是，则它的虚轴长是＿＿＿＿＿＿。 变式3　已知F₁，F₂是双曲线－＝1的左、右焦点，点M在双曲线上，且MF₁⊥MF₂。求△MF₁F₂的面积。 【题型6】抛物线的定义与标准方程 抛物线的所有结论都从“到焦点的距离等于到准线的距离”这一句话生出来。四种标准方程只差开口方向：一次项的字母指出对称轴，一次项系数的正负指出开口朝哪边，p永远是正的。 例1　已知抛物线C：＝8x的焦点为F，准线为直线l，点M在C上且M的横坐标是3，M在直线l上的垂足为H。（1）求焦点F的坐标，并写出准线的方程；（2）求|MF|；（3）求△MFH的面积。 【分析】先由2p＝8定出p，再按＝2px的形式写焦点与准线。第（2）问用抛物线的定义把|MF|换成M到准线的距离，比用两点间的距离公式省力。第（3）问中MH与x轴平行，把MH当作底边，F到直线MH的距离就是高。 【解答】（1）由＝8x得2p＝8，所以p＝4，＝2。 抛物线的开口向右，焦点在x轴正半轴上，所以F(2，0)，准线是直线l：x＝－2。 （2）设M(3，y₀)，由抛物线的定义得|MF|等于M到直线l的距离。 即|MF|＝3－(－2)＝5。 （3）把x＝3代入＝8x，得＝24，所以|y₀|＝2。 由MH⊥直线l知MH与x轴平行，|MH|＝|MF|＝5，点F到直线MH的距离为|y₀|＝2。 所以△MFH的面积S＝()×5×2＝5。 【方法小结】凡是出现“抛物线上的点到焦点的距离”，第一反应就是换成它到准线的距离，这一步把两点间的距离公式降成了一次式。对＝2px来说，点(x₀，y₀)到焦点的距离就是x₀＋。 例2　求适合下列条件的抛物线的标准方程：（1）焦点在x轴负半轴上，顶点是坐标原点，且焦点到准线的距离是6；（2）关于某条坐标轴对称，顶点是坐标原点，且经过点P(－4，4)。 【分析】（1）焦点到准线的距离就是p，开口方向已给定，直接套四种形式中的第二种。（2）只说“对称轴是坐标轴”，点P在第二象限，开口既可能向左也可能向上，两种情形都要算。 【解答】（1）焦点在x轴负半轴上，开口向左，可设方程为＝－2px（p＞0）。 由焦点到准线的距离p＝6，得2p＝12。 所以抛物线的标准方程是＝－12x。 （2）若对称轴是x轴，因为P(－4，4)在第二象限，开口向左，可设方程为＝－2px（p＞0）。 把P的坐标代入，得16＝－2p×(－4)＝8p，解得2p＝4，此时方程是＝－4x。 若对称轴是y轴，开口向上，可设方程为＝2py（p＞0）。 把P的坐标代入，得16＝2p×4＝8p，解得2p＝4，此时方程是＝4y。 综上，所求的标准方程是＝－4x或＝4y。 【方法小结】只说对称轴是坐标轴而不指明是哪一条时，把点画到坐标系里看它在第几象限，开口方向就只剩两种可能。设方程时把2p当成一个整体待定，可以少写一次除法，也不会把p与2p弄混。 题型6　变式：四种标准方程的互化 第1题练由方程读焦点，第2题练焦半径的逆用，第3题练焦点落在给定直线上时的两种情形，第4题练由准线反求参数。 变式1　抛物线＝－8y的焦点坐标是（　　）。 A．(0，2)　　B．(－2，0)　　C．(2，0)　　D．(0，－2) 变式2　若抛物线＝16x上一点到它的准线的距离等于10，则这个点的横坐标是＿＿＿＿＿＿。 变式3　已知某抛物线的顶点是坐标原点，它的焦点落在直线3x－4y－12＝0上。求这个抛物线的标准方程。 变式4　若抛物线＝2px（p＞0）的准线经过点(－3，2)，则p＝（　　）。 A．3　　B．6　　C．　　D．12 【题型7】抛物线的焦半径与焦点弦 抛物线上的点到焦点的距离，一律换成它到准线的距离。对＝2px（p＞0）来说，点(x₀，y₀)的焦半径就是x₀＋；过焦点的弦的两个端点横坐标一加，再加上p，就是弦长。 例1　已知抛物线C：＝4x的焦点为F，过F且斜率为的直线与C交于A，B两点，其中A在x轴上方。（1）写出F的坐标与准线方程；（2）求|AF|与|BF|；（3）求弦长|AB|。 【分析】先由2p＝4定出p与焦点。求两条焦半径时不必算两点间的距离，把它们分别换成点A、点B到准线的距离，横坐标加上1就行。第（3）问两条焦半径相加即可。 【解答】（1）由＝4x得2p＝4，p＝2，＝1。 所以F(1，0)，准线是直线x＝－1。 （2）直线AB过F(1，0)且斜率为，方程是y＝()(x－1)，即4x－3y－4＝0。 与＝4x联立，消去y得16＝36x，即16－68x＋16＝0，也就是4－17x＋4＝0。 解得x＝4或x＝。因为A在x轴上方，由y＝()(x－1)知A的横坐标较大，所以A(4，4)，B(，－1)。 设A，B到准线的垂足分别是A′，B′。由抛物线的定义得|AF|＝|AA′|＝4＋1＝5，|BF|＝|BB′|＝＋1＝。 （3）因为A，B，F三点共线且F在线段AB上，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝5＋＝。 【方法小结】「焦半径等于横坐标加」这条结论（例2将用定义完整证明一遍）只对开口向右的＝2px成立，开口方向一换，结论里的横坐标要换成纵坐标、加号要换成减号。稳妥的做法是每次都回到定义：先写出准线方程，再量点到准线的距离。 例2　设抛物线＝2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)两点。（1）证明|AB|＝x₁＋x₂＋p；（2）若p＝4且|AB|＝12，求x₁＋x₂的值。 【分析】第（1）问把两条焦半径分别换成到准线的距离再相加。第（2）问是第（1）问的直接应用，代入数据解一次方程即可。 【解答】（1）抛物线＝2px（p＞0）的准线方程是x＝－。 设A，B到准线的垂足分别为A′，B′。由抛物线的定义得|AF|＝|AA′|＝x₁＋。 同理|BF|＝|BB′|＝x₂＋。 因为直线AB过焦点F，且F在线段AB上，所以|AB|＝|AF|＋|BF|。 于是|AB|＝(x₁＋)＋(x₂＋)＝x₁＋x₂＋p。 （2）把p＝4与|AB|＝12代入上式，得12＝x₁＋x₂＋4。 所以x₁＋x₂＝8。 【方法小结】这条结论只对过焦点的弦成立。若直线不过焦点，|AF|与|BF|仍各自等于横坐标加，但它们的和不再是弦长，此时只能老老实实用弦长公式|AB|＝·|x₁－x₂|。 题型7　变式：焦半径的正用与逆用 第1题练由焦半径反求横坐标，第2题练通径，第3题练用定义把两段距离之和化成一条折线。 变式1　抛物线＝4x上的点M到焦点的距离是4，则点M到y轴的距离是（　　）。 A．2　　B．4　　C．3　　D．5 变式2　抛物线＝8x的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）的长是＿＿＿＿＿＿。 变式3　已知点P是抛物线＝4x上的动点，F是抛物线的焦点，定点A(3，2)。求|PA|＋|PF|的最小值。 【题型8】联立方程判断公共点的个数 把直线方程代进曲线方程消去一个未知数，得到的方程有几个解，公共点就有几个。与椭圆联立一定得到二次方程，只看判别式；与双曲线、抛物线联立时，二次项系数有可能为零，那一档必须单独拿出来讨论。 例1　已知直线l：y＝x＋m与椭圆E：＋＝1。设m是实数，就m的取值讨论直线l与椭圆E的公共点个数。 【分析】把直线方程代入椭圆方程消去y，得到关于x的一元二次方程，公共点的个数与这个方程实数根的个数相同，所以只需按判别式的正负零分三档讨论。 【解答】把y＝x＋m代入＋＝1，两边同乘12，得3＋4＝12。 展开整理得7＋8mx＋4－12＝0。 这个方程的判别式Δ＝－4×7×(4－12)＝64－112＋336＝336－48。 由Δ＞0得＜7，即－＜m＜，此时方程有两个不相等的实数根，直线l与椭圆E有两个公共点。 由Δ＝0得＝7，即m＝或m＝－，此时方程有两个相等的实数根，直线l与椭圆E只有一个公共点。 由Δ＜0得＞7，即m＜－或m＞，此时方程没有实数根，直线l与椭圆E没有公共点。 【方法小结】联立之后先把方程整理成一般式，再算判别式，这两步不要合并。判别式里出现的是参数m，解出来的是关于m的不等式，答案必须写成m的取值范围而不是某个具体的数。 例2　已知直线l：y＝kx＋1与双曲线C：－＝1。（1）当k＝0时，求直线l与双曲线C的公共点的坐标；（2）若直线l与双曲线C只有一个公共点，求k的值。 【分析】（1）k＝0时直线是水平直线，直接代入求解。（2）联立后二次项系数是4－，它可能为零：为零时方程降为一次，恰好有一个解；不为零时靠判别式等于零。两档都要写。 【解答】（1）当k＝0时，直线l的方程是y＝1。 代入－＝1，得－＝1，即＝。 所以x＝±，公共点是(，1)与(－，1)。 （2）把y＝kx＋1代入－＝1，两边同乘4，得4－＝4。 展开整理得(4－)－2kx－5＝0。 若4－＝0，即k＝2或k＝－2，方程化为－2kx－5＝0，它是一次方程，恰有一个实数根，此时直线l与双曲线C只有一个公共点。 若4－≠0，方程是二次方程，由Δ＝＋20(4－)＝80－16＝0，得＝5，即k＝或k＝－。 综上，k＝±2或k＝±。 【方法小结】直线与双曲线只有一个公共点，含义有两种：一是与某一支相切，二是与渐近线平行从而只与一支相交。前者由判别式等于零给出，后者由二次项系数等于零给出，两种情形缺一不可。 题型8　变式：公共点个数与相切条件 第1题练直接判断公共点个数，第2题练相切时判别式为零，第3题练没有公共点的参数范围，第4题练与渐近线平行的特殊情形。 变式1　直线y＝x－1与抛物线＝4x的公共点的个数是（　　）。 A．0　　B．1　　C．2　　D．3 变式2　若直线y＝2x＋b与抛物线＝8x只有一个公共点，且b≠0，则b＝＿＿＿＿＿＿。 变式3　已知直线l：y＝kx－2与椭圆C：＋＝1没有公共点。求k的取值范围。 变式4　把直线y＝x＋1的方程代入双曲线－＝1后，所得方程的实数根有（　　）。 A．0个　　B．1个　　C．2个　　D．3个 【题型9】弦长与中点弦 弦长走“联立→根与系数的关系→弦长公式”这条路，不必真的把两个交点算出来。中点弦走点差法：把两个端点的坐标分别代入曲线方程后相减，弦的斜率与中点坐标就直接挂上钩了。 例1　已知椭圆E：＋＝1与直线l：x－2y＋2＝0交于A，B两点。（1）先求出弦AB两个端点的横坐标之和与之积，再写出中点M的坐标；（2）求弦长|AB|。 【分析】联立后消去y得到关于x的一元二次方程，中点的横坐标是两根之和的一半；弦长直接套公式，式子里的两根之差由根与系数的关系得到，全程不必解出两个根。 【解答】由x－2y＋2＝0得y＝，直线l的斜率k＝。 代入＋＝1并去分母，得＋＝16。 展开整理得2＋4x－12＝0，两边同除以2，得＋2x－6＝0。 设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，由根与系数的关系得x₁＋x₂＝－2，x₁x₂＝－6。 （1）中点M的横坐标是＝－1，代入直线方程得纵坐标为＝。 所以M(－1，)。 （2）|x₁－x₂|＝＝＝＝2。 所以|AB|＝·|x₁－x₂|＝×2＝()×2＝。 【方法小结】弦长公式里的只与直线的斜率有关，|x₁－x₂|只与联立后的二次方程有关，两部分各算各的最不容易出错。若直线与x轴垂直，斜率不存在，此时弦长直接用两个纵坐标之差。 例2　已知椭圆C：＋＝1，弦AB的中点是M(1，1)。（1）判断点M是否在椭圆C的内部；（2）用点差法求出这条弦的斜率k；（3）求它所在直线的方程。 【分析】中点在曲线内部，弦才存在，所以先做这一步检验。点差法的要点是把两个端点的坐标分别代入方程后相减，再把平方差分解成两个因式之积，弦的斜率与中点坐标就分离出来了。 【解答】（1）把M(1，1)的坐标代入方程左边，得＋＝。 因为＜1，所以点M在椭圆C的内部，以M为中点的弦确实存在。 （2）设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则＋＝1，＋＝1。 两式相减，得＋＝0。 分解因式得＋＝0。 因为M是AB的中点，所以x₁＋x₂＝2，y₁＋y₂＝2。 代入上式得＋＝0，整理得＝－。 所以直线AB的斜率k＝－。 （3）由点斜式得y－1＝－()(x－1)，两边同乘9得9y－9＝－4x＋4。 所以直线AB的方程是4x＋9y－13＝0。 【方法小结】点差法能用的前提是弦确实存在，所以“中点在曲线内部”这一步检验不能省。用完点差法算出斜率后，把直线方程与曲线方程联立验一验判别式是否为正，也是一种更稳妥的检验方式。 题型9　变式：弦长公式与点差法 第1题练不过焦点的抛物线弦长，第2题练过焦点的椭圆弦长，第3题练双曲线的中点弦。 变式1　直线y＝x－2与抛物线＝4x交于A，B两点，则|AB|＝（　　）。 A．4　　B．8　　C．12　　D．4 变式2　过椭圆＋＝1的右焦点F作斜率为1的直线，与椭圆交于A，B两点，则|AB|＝＿＿＿＿＿＿。 变式3　已知双曲线C：－＝1，弦AB的中点是M(2，1)。求直线AB的方程。 【题型10】圆锥曲线与圆、直线的综合 把上一章的圆与本章的圆锥曲线放在同一个坐标系里，用的仍然是坐标法：几何条件翻译成方程，方程组的解就是公共点。圆的半径、圆心到直线的距离这两件旧工具，在这里与a，b，c配合使用。 例1　已知圆C：＋＝4与椭圆E：＋＝1，F是椭圆E的右焦点。（1）求圆C与椭圆E的公共点的坐标；（2）求以F为圆心且与圆C外切的圆的半径。 【分析】（1）两条曲线的公共点就是方程组的解，把用圆的方程整体代换掉最省力。（2）两圆外切时，圆心距等于两个半径之和，所以先求出|CF|，再减去圆C的半径。 【解答】（1）由圆C的方程得＝4－，把它代入椭圆E的方程，两边同乘16，整理得(4－)＋4＝16。 整理得3＝12，所以＝4，y＝±2。 把＝4代回＝4－，得＝0，所以x＝0。 所以公共点是(0，2)与(0，－2)，它们正是椭圆E短轴的两个端点。 （2）由椭圆E的方程得＝16，＝4，所以＝16－4＝12，c＝2，右焦点F(2，0)。 圆C的圆心是原点C(0，0)，半径R＝2，所以|CF|＝2。 设所求圆的半径为r，两圆外切时|CF|＝R＋r，即2＝2＋r。 所以r＝2－2。因为2≈3.46＞2，所以r＞0，符合题意。 【方法小结】两条二次曲线联立时，先找一个能整体代换的量（这里是），可以避免出现四次方程。两圆相切要分外切与内切：外切用半径之和，内切用半径之差，判断的依据永远是圆心距。 例2　已知抛物线C：＝8x的焦点为F，圆M的圆心M在抛物线C上，且圆M经过点F与坐标原点O。（1）求点M的坐标；（2）求圆M的半径与圆M的方程。 【分析】圆M过F与O，说明M到这两点的距离相等，即M在线段OF的垂直平分线上；又M在抛物线上，两个条件联立即可定出M。半径就是|MO|，也可以用抛物线的定义换成M到准线的距离。 【解答】（1）由＝8x得2p＝8，p＝4，＝2，所以F(2，0)，准线是x＝－2。 设M(x₀，y₀)，因为M在抛物线C上，所以＝8x₀。 因为圆M经过F与O，所以|MF|＝|MO|。 由抛物线的定义得|MF|＝x₀＋2；由两点间的距离公式得|MO|＝。 于是x₀＋2＝，两边平方得＋4x₀＋4＝＋8x₀。 解得x₀＝1，从而＝8，y₀＝±2。所以M(1，2)或M(1，－2)。 （2）圆M的半径r＝|MF|＝x₀＋2＝1＋2＝3。 所以圆M的方程是＋＝9或＋＝9。 【方法小结】“圆过某两点”等价于“圆心到这两点的距离相等”，这一步把圆的问题换成了点的问题。只要圆心落在抛物线上，它到焦点的距离就能用定义换成一次式，平方一次就能解出横坐标。 题型10　变式：圆锥曲线与圆的配合 第1题练焦点与短轴端点围成的三角形，第2题练圆与渐近线相切，第3题练圆与椭圆公共点个数对半径的要求，第4题练圆与准线相切。 变式1　椭圆＋＝1的两个焦点与短轴的一个端点所围成的三角形的面积是（　　）。 A．6　　B．12　　C．24　　D．15 变式2　以双曲线－＝1的右焦点为圆心作圆，若它与这条双曲线的一条渐近线相切，则半径是＿＿＿＿＿＿。 变式3　已知椭圆＋＝1与圆＋＝（r＞0）恰有两个公共点。求r的值。 变式4　若圆＋＝（r＞0）与抛物线＝4x的准线相切，则r＝（　　）。 A．1　　B．2　　C．3　　D．4 【题型11】圆锥曲线的实际应用 实际问题的第一步永远是建系：把对称轴取成坐标轴、把顶点或中心取成原点，题目里的长度就变成了点的坐标。第二步把这些点代进标准方程定出参数，第三步再回到实际问题回答问题。 例1　一座桥的桥拱是抛物线形。当水面宽8m时，拱顶离水面4m。以拱顶为原点、竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系，水面与拱线的两个交点分别记为A，B。求这条拱线所在抛物线的方程，并求出水面上升1m后水面的宽度。 【分析】拱顶在原点、开口向下，可设方程为＝－2py（p＞0）。水面宽8m说明A，B的横坐标是±4，拱顶离水面4m说明它们的纵坐标是－4，把A的坐标代入即可定出2p。水面上升1m即纵坐标变成－3。 【解答】由题意设拱线所在抛物线的方程为＝－2py（p＞0）。 水面宽8m、拱顶离水面4m，所以A(－4，－4)，B(4，－4)。 把B(4，－4)的坐标代入方程，得16＝－2p×(－4)＝8p，所以2p＝4。 所以这条抛物线的标准方程是＝－4y。 水面上升1m后，水面所在直线上的点的纵坐标是－4＋1＝－3。 把y＝－3代入＝－4y，得＝12，所以x＝±2。 此时水面的宽度是2－(－2)＝4(m)，约为6.9m。 【方法小结】拱桥、隧道这类问题，建系时把拱顶放在原点最省事，因为这样方程里没有一次项也没有常数项。注意水面“上升”对应纵坐标增大（向0靠拢），“下降”对应纵坐标减小，符号搞反宽度就会算成变宽。 例2　一种探照灯的反射镜面是抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转一周所成的曲面），过对称轴的截口是抛物线的一段。已知灯口的直径是40cm，灯深是20cm。以截口所在抛物线的顶点为原点、对称轴为x轴建立平面直角坐标系。（1）求截口所在抛物线的标准方程；（2）灯泡应安装在焦点处，求灯泡到灯的顶点的距离。 【分析】顶点在原点、开口向右，设方程为＝2px（p＞0）。灯深20cm是灯口所在截面到顶点的距离，即灯口边缘点的横坐标；灯口直径40cm说明边缘点的纵坐标是±20。把边缘点代入即可。 【解答】（1）由题意设抛物线的标准方程为＝2px（p＞0）。 灯深20cm、灯口直径40cm，所以灯口边缘上的点的坐标是(20，20)与(20，－20)。 把(20，20)代入方程，得＝2p×20，即400＝40p。 所以2p＝20，抛物线的标准方程是＝20x。 （2）由＝20x得2p＝20，p＝10，焦点的坐标是(，0)＝(5，0)。 顶点是原点，所以灯泡到灯的顶点的距离是5cm。 【方法小结】这类问题里“深度”对应抛物线的横坐标（对称轴方向），“口径（即直径）”对应纵坐标的两倍，两者不要对调。求出2p之后，焦点坐标是(，0)，也就是2p的四分之一，中间少除一次就会把灯泡位置算成10cm。 题型11　变式：建系与代入 第1题练桥拱方程的选择，第2题练半椭圆形拱门，第3题练由声音到达的时间差定位。 变式1　某桥拱是抛物线形，拱高4m，跨度16m。以拱顶为原点、竖直向上为y轴正方向建立坐标系，则这条抛物线的方程是（　　）。 A．＝－8y B．＝－16x C．＝16y D．＝－16y 变式2　一个拱门的形状是半个椭圆，门的宽度是8m，最高处离地面3m。以地面所在直线为x轴、拱门的对称轴为y轴建立坐标系，则这个半椭圆的方程是＿＿＿＿＿＿。 变式3　在一条笔直的公路上，相距1200m的两个监测点A，B同时记录到一次爆破声，B处记录到的时刻比A处早2s。已知声速是每秒340m。以直线AB为x轴、线段AB的中点为原点建立平面直角坐标系，且点B在x轴的正半轴上。求爆破点所在曲线的方程。 【题型12】（拓展）定点、定值与最值 本题型在教材例题的通法之上再加一层：用椭圆的定义把两段距离之和换成“定值减去另一段”，最值问题就化成了三角形两边之差；含参数的直线先按参数整理再令各组系数为零，定点就找出来了。题号前标出“拓展”二字的题，深度略超教材正文。 例1　（拓展）已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别是F₁，F₂，点A(1，1)，点P是椭圆C上的动点。（1）求|PF₁|＋|PA|的最大值；（2）求|PF₁|＋|PA|的最小值。 【分析】|PF₁|单独看不好处理，但由椭圆的定义有|PF₁|＋|PF₂|＝2a，于是|PF₁|＝2a－|PF₂|，所求的和就变成了2a＋(|PA|－|PF₂|)。而|PA|－|PF₂|的取值范围由三角形两边之差小于第三边给出。 【解答】由方程得＝9，＝5，所以a＝3，＝9－5＝4，c＝2，F₁(－2，0)，F₂(2，0)。 先确认点A的位置：把A(1，1)代入方程左边，得＋＝＜1，所以点A在椭圆C的内部。 由椭圆的定义得|PF₁|＋|PF₂|＝2a＝6，所以|PF₁|＝6－|PF₂|。 于是|PF₁|＋|PA|＝6＋(|PA|－|PF₂|)。 由两点间的距离公式得|AF₂|＝＝。 对任意点P都有－|AF₂|≤|PA|－|PF₂|≤|AF₂|，即－≤|PA|－|PF₂|≤。 （1）当P，A，F₂三点共线且F₂在线段PA上时，|PA|＝|PF₂|＋|AF₂|，|PA|－|PF₂|取到最大值，此时所求的和为6＋，这就是最大值。 （2）当P，A，F₂三点共线且A在线段PF₂上时，|PF₂|＝|PA|＋|AF₂|，|PA|－|PF₂|取到最小值－，此时所求的和为6－，这就是最小值。 【方法小结】遇到“曲线上的点到一个焦点的距离”与“到另一个定点的距离”之和（或差）的最值，先用定义把焦半径换成2a减去另一条焦半径，再用三角形不等式收口。椭圆用和、双曲线用差，换完之后剩下的都是两点间距离的比较。 例2　（拓展）已知直线l：y＝kx＋2k－1，其中k是实数。（1）证明：无论k取何值，直线l都经过同一个定点；（2）判断这个定点与椭圆＋＝1的位置关系，并指出直线l与这个椭圆的公共点个数。 【分析】把直线方程按参数k整理成“含k的部分＋不含k的部分＝0”的形状，让两部分同时为零，解出的点就与k无关。第（2）问把定点代入椭圆方程的左边与1比较，即可判断内外。 【解答】（1）把方程改写为y＝k(x＋2)－1，即y＋1＝k(x＋2)。 整理成k(x＋2)－(y＋1)＝0。 要使这个等式对任意实数k都成立，只需x＋2＝0且y＋1＝0，解得x＝－2，y＝－1。 把(－2，－1)代回原方程：左边为－1，右边为k×(－2)＋2k－1＝－1，两边相等，所以直线l恒过定点(－2，－1)。 （2）把(－2，－1)代入椭圆方程的左边，得＋＝。 因为＜1，所以定点在椭圆的内部。 过椭圆内部一点的直线必与椭圆相交于两点，所以直线l与这个椭圆恒有两个公共点。 【方法小结】含参数的直线系求定点，标准做法是按参数把方程分组，再令每组的系数同时为零。得到定点后一定要代回原方程验证一次，防止整理时漏项。 题型12　变式：最值与定值（拓展） 第1题练右支上的点到右焦点距离的最小值，第2题练抛物线上的点到定点距离的最小值，第3题练过定点的弦的两个乘积为定值。三题都标出“拓展”。 变式1　（拓展）已知点P在双曲线－＝1的右支上，F是双曲线的右焦点，则|PF|的最小值是（　　）。 A．1　　B．2　　C．4　　D．6 变式2　（拓展）已知点P在抛物线＝4x上，点A(3，0)，则|PA|的最小值是＿＿＿＿＿＿。 变式3　（拓展）已知抛物线＝4x，一条经过点(4，0)的直线与它相交于A，B两点，其中A的坐标为(x₁，y₁)，B的坐标为(x₂，y₂)。求证：y₁y₂与x₁x₂都是与这条直线无关的定值。 　易错专练 下面七题取自本章最容易翻船的七个地方：把焦点位置看反、把双曲线的三量关系写成椭圆的、把p与2p弄混、点差法不验中点位置、定义里漏掉与焦距的比较、渐近线的斜率写倒、焦半径公式套到了开口方向不对的抛物线上。每题都给出一个真实的错解，先自己判断它错在哪一步，再看解析里的错因分析与正解。 易错1　对于椭圆＋＝1，有同学说它的焦点在x轴上，并算出c＝3。改正这个结论，写出两个焦点的坐标。 易错2　求双曲线－＝1的焦距时，有同学套用＝－，算出＝9－16＝－7后说无解。订正这个计算，并求出焦距。 易错3　对于抛物线＝8x，有同学说p＝8，于是写出焦点(4，0)与准线x＝－4。把这三个结论全部改正。 易错4　已知椭圆＋＝1，有同学用点差法求出以M(2，1)为中点的弦所在直线的斜率是－，并写出了直线方程。补上这个做法漏掉的一步检验，并改正结论。 易错5　设A(－5，0)，B(5，0)，有同学说“到A，B两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆”。改正这个结论，并说清楚判断的依据。 易错6　对于双曲线－＝1，有同学写出渐近线方程y＝±()x。改正这个结论，并说清楚两种焦点位置下渐近线的差别。 易错7　已知抛物线＝－8x上的点M到焦点的距离是5，有同学由x₀＋2＝5求出x₀＝3。订正这个计算，并写出点M的横坐标。 　课后作业（一）基础过关 这一组十二题只考课标要求的基本功，难度与教材正文的例题、练习相当。第1至5题只有一个正确选项，把字母写进括号里；第6至9题在横线上直接写结果，坐标按(a，b)的格式，方程写成标准形式，根号约到最简；第10至12题必须留下完整的推理过程，每用一条公式就在旁边写出它的名称。 1．椭圆＋＝1的两个焦点的坐标是（　　）。 A．(0，－)与(0，) B．(－，0)与(，0) C．(0，－)与(0，) D．(－，0)与(，0) 2．双曲线－＝1的焦距是（　　）。 A．5　　B．10　　C．　　D．2 3．方程＋8x＝0表示的抛物线，它的准线是（　　）。 A．y＝2　　B．y＝－2　　C．x＝2　　D．x＝－2 4．椭圆＋＝1的离心率是（　　）。 A．　　B．　　C．　　D． 5．双曲线－＝1的渐近线方程是（　　）。 A．y＝±()x B．y＝±()x C．y＝±()x D．y＝±()x 6．椭圆＋＝1的长轴长是＿＿＿＿＿＿。 7．双曲线－＝1的实轴长是＿＿＿＿＿＿，离心率是＿＿＿＿＿＿。 8．抛物线＝12y的焦点坐标是＿＿＿＿＿＿，它的准线方程是＿＿＿＿＿＿。 9．若椭圆的两个焦点是(0，－2)与(0，2)，且长轴长是6，则它的标准方程是＿＿＿＿＿＿。 10．写出满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）一个顶点是(4，0)，虚半轴长是3；（2）焦点是(0，－4)与(0，4)，且经过点(0，3)。 11．设点P在椭圆＋＝1上，这个椭圆的左焦点与右焦点依次记为F₁，F₂。若|PF₁|＝8，求△PF₁F₂的周长以及|PF₂|的值。 12．已知点M(1，－4)在一条顶点为坐标原点、焦点在x轴正半轴上的抛物线上。求这条抛物线的标准方程、焦点坐标以及准线方程。 　课后作业（二）能力提升 这一组八题把本章的公式放到含字母、含条件的环境里使用。选择题两道，都要先判断曲线的类型再动手；填空题两道，答案有两个时要把两个都写上；解答题四道，要求写出建立方程、化简求解与回代检验的完整过程。 1．当实数k满足什么条件时，曲线＋＝1是双曲线？（　　） A．1＜k＜4　　B．k＞4　　C．k＜1或k＞4　　D．k＞1 2．已知双曲线的焦点在y轴上，且它的离心率是2，则它的渐近线方程是（　　）。 A．y＝±()x B．y＝±()x C．y＝±2x D．y＝±()x 3．已知双曲线－＝1（a＞0）的离心率是，则a＝＿＿＿＿＿＿。 4．在双曲线－＝1上，横坐标等于3的点共有两个，这两个点之间的距离是＿＿＿＿＿＿。 5．已知直线y＝x＋1与椭圆＋＝1交于A，B两点。（1）求弦长|AB|；（2）写出AB中点的横坐标与纵坐标。 6．已知双曲线C以坐标原点为中心，焦点落在x轴上。若C的离心率为，且点(4，)在C上。（1）求双曲线C的标准方程；（2）求出C的两条渐近线的方程。 7．设F是抛物线C：＝4x的焦点，一条经过F的直线与C相交于A，B两点，且弦长|AB|＝8。求AB中点与y轴之间的距离。 8．已知椭圆C的中心是坐标原点，它的两个焦点都在x轴上。若C经过点(2，)，且离心率等于。（1）求椭圆C的方程；（2）求椭圆C的短轴长。 　课后作业（三）拓展挑战 这一组五题在教材习题的基础上再加一层：渐近线与直线的位置关系、过焦点的弦长、含参数的弦长、焦点三角形的面积、关于原点对称的两点与曲线上第三点的斜率之积。五题的题号前都标出“拓展”二字，供学有余力的同学选做。 1．（拓展）若某双曲线的中心在原点、焦点在x轴上，且它的一条渐近线与直线2x－y＋1＝0平行，则这个双曲线的离心率是（　　）。 A．　　B．　　C．2　　D． 2．（拓展）设抛物线＝4x的焦点为F，倾斜角是60°的直线经过点F并与该抛物线相交于A，B两点，则|AB|＝＿＿＿＿＿＿。 3．（拓展）已知直线l：y＝x＋m与椭圆＋＝1交于A，B两点，且|AB|＝。求m的值。 4．（拓展）设F₁，F₂是双曲线C：－＝1的两个焦点，点P在C上，且∠F₁PF₂＝60°。求△PF₁F₂的面积。 5．（拓展）已知椭圆C：＋＝1，A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上异于A，B的任意一点。求证：直线PA的斜率与直线PB的斜率之积是定值。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版·选择性必修一·第三章 圆锥曲线的方程 题型精讲讲义 第三章 圆锥曲线的方程 题型精讲（讲义）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册　第三章 圆锥曲线的方程　3.1椭圆　3.2双曲线　3.3抛物线 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．了解圆锥曲线的实际背景，掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义，能根据定义判断动点的轨迹是哪一条曲线，会用定义求轨迹方程。 2．掌握椭圆与双曲线的两种标准方程及其三量关系（椭圆＝－，双曲线＝＋），会用待定系数法求方程，能根据方程判断焦点所在的坐标轴。 3．掌握三种圆锥曲线的范围、对称性、顶点与离心率，掌握双曲线的渐近线与抛物线的准线，会由方程求这些几何量，也会由几何量反求方程。 4．会把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，用判别式判断公共点的个数，会求弦长与中点弦；（拓展）会处理含参数的直线系过定点、曲线上的点到定点距离的最值与斜率之积为定值等问题。 学习重难点 重点：三种圆锥曲线的定义与标准方程；由方程读出a，b，c与离心率、渐近线、准线；直线与圆锥曲线位置关系的判定；弦长公式与点差法求中点弦。 难点：焦点位置未定时的分类讨论；椭圆与双曲线三量关系符号相反造成的混淆；抛物线p与2p以及四种开口方向的对应；与双曲线联立时二次项系数可能为零的那一档；用点差法之前必须检验中点是否在曲线内部。 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　椭圆的定义、焦点与焦距 我们把平面内与两个定点F₁，F₂的距离的和等于常数（大于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距。若记这个常数为2a、焦距为2c，则定义要求2a＞2c＞0。 椭圆可以看作点集P＝{M | |MF₁|＋|MF₂|＝2a，2a＞|F₁F₂|} 半焦距c、长半轴长a、短半轴长b之间的关系是＝－ 小提示：拿到“到两定点的距离之和为定值”的条件，先把定值与|F₁F₂|比大小：大于才是椭圆，等于是线段F₁F₂，小于则一个点也没有。（教材第105页） 知识点　02　椭圆的标准方程与焦点位置的判定 焦点在x轴上时，椭圆的标准方程是＋＝1（a＞b＞0），此时两个焦点分别是F₁(－c，0)与F₂(c，0)；焦点在y轴上时，标准方程是＋＝1（a＞b＞0），两个焦点是F₁(0，－c)，F₂(0，c)。两种情形都满足＝－。 写成＋＝1（m＞0，n＞0，m≠n）时，分母大的那一项对应的坐标轴就是焦点所在的轴 a是三个量中最大的一个：a＞b＞0且a＞c＞0，既大于也大于 小提示：焦点在哪个轴上只看两个分母谁大，与，的书写次序无关；题目没有指明焦点位置时，两种情形都要写。（教材第107页） 知识点　03　椭圆的范围、对称性、顶点与离心率 由＋＝1（a＞b＞0）可得－a≤x≤a，－b≤y≤b，椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成的矩形框里。以－y代y、以－x代x方程都不变，所以椭圆关于两条坐标轴和原点都对称，原点O叫做椭圆的中心。椭圆与对称轴的四个交点叫做顶点，线段A₁A₂、B₁B₂分别叫做长轴和短轴，长度分别是2a和2b。 离心率e＝，由a＞c＞0得0＜e＜1；e越接近1椭圆越扁，e越接近0椭圆越接近于圆 四个顶点的坐标是A₁(－a，0)，A₂(a，0)，B₁(0，－b)，B₂(0，b)（焦点在x轴上时） 小提示：算离心率前必须先化成标准形式再读与；由＝1－可知，知道b与a的比值就能直接得到离心率。（教材第110~112页） 知识点　04　双曲线的定义与焦距 我们把平面内与两个定点F₁，F₂的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。若记这个常数为2a、焦距为2c，则定义要求0＜2a＜2c。 记m＝|MF₁|，n＝|MF₂|，则双曲线就是使m－n＝2a或n－m＝2a的点M的集合 去掉绝对值只保留|MF₁|－|MF₂|＝2a时，得到的是靠近F₂的那一支 小提示：把“差的绝对值”改成“差”，轨迹就从两支缩成一支；常数取成|F₁F₂|时退化为两条射线，比它还大则无轨迹。只取一支时答案要补上范围限制。（教材第119页） 知识点　05　双曲线的标准方程与三量关系 焦点在x轴上时，双曲线的标准方程是－＝1（a＞0，b＞0），此时焦点是F₁(－c，0)与F₂(c，0)；焦点在y轴上时，标准方程则是－＝1，焦点是F₁(0，－c)与F₂(0，c)。两种情形都满足＝＋。 双曲线里a与b没有大小关系的限制，a＜b、a＝b、a＞b都可能出现 c是三个量中最大的一个：c＞a＞0且c＞b＞0 小提示：椭圆是＝－、双曲线是＝＋，符号相反是全章最高频的混淆点；焦点位置也换了判据——看哪一项前面是正号。（教材第119~120页） 知识点　06　双曲线的顶点、实虚轴、渐近线与离心率 在－＝1（a＞0，b＞0）中，令y＝0可得x＝±a，所以双曲线与x轴有两个交点，即A₁(－a，0)与A₂(a，0)，它们都叫做双曲线的顶点；线段A₁A₂叫做实轴，长为2a，线段B₁B₂叫做虚轴，长为2b。双曲线的两支向外延伸时与两条直线±＝0逐渐接近但永远不相交，这两条直线叫做双曲线的渐近线。双曲线的离心率仍然定义为e＝。由c＞a＞0可知e＞1。 渐近线方程写成斜截式就是y＝±()x；焦点在y轴上时渐近线是y＝±()x 离心率与渐近线斜率的联系：＝1＋；实轴与虚轴等长（a＝b）的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率是 小提示：B₁(0，－b)与B₂(0，b)并不在双曲线上（令x＝0得＝－无解），它们只是画渐近线矩形的辅助点。（教材第122~123页） 知识点　07　抛物线的定义、焦点与准线 我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（直线l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线；设曲线上的点M在直线l上的垂足为H，则|MF|＝|MH|。过点F作直线l的垂线，垂足记为K，以直线KF为x轴、以线段KF的中点为原点建立坐标系，记|KF|＝p（p＞0），得到方程＝2px。 p的几何意义是焦点到准线的距离，恒为正数 抛物线上的点M到焦点的距离与到准线的距离之比恒等于1，所以抛物线的离心率e＝1 小提示：定义里“直线l不经过点F”不能省：若准线穿过焦点，满足条件的点就退化成一条直线。（教材第130页、第134页） 知识点　08　抛物线的四种标准方程与几何性质 顶点在原点、对称轴为坐标轴的抛物线有四种标准方程：＝2px的焦点是F(，0)，准线是x＝－，开口向右；＝－2px的焦点是F(－，0)，准线是x＝，开口向左；＝2py的焦点是F(0，)，准线是y＝－，开口向上；＝－2py的焦点是F(0，－)，准线是y＝，开口向下（以上均有p＞0）。抛物线只有一条对称轴、一个顶点，不是中心对称图形。 一次项的字母指出对称轴，一次项系数的正负指出开口方向：＝2px的一次项是x，开口沿x轴 焦点到顶点的距离是，通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）的长是2p 小提示：先把方程化成“平方项在左、一次项在右、二次项系数为1”的样子，再对照四种形式读p，注意一次项系数是2p而不是p。（教材第131页、第134页） 知识点　09　直线与圆锥曲线的位置关系、弦长与中点弦 把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，消去一个未知数得到一个方程，公共点的个数与这个方程解的个数相对应。所得方程为二次方程时，判别式Δ＞0对应两个公共点，Δ＝0对应一个公共点，Δ＜0对应没有公共点。设直线与曲线交于A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，若直线的斜率为k，则弦长|AB|＝·|x₁－x₂|。 |x₁－x₂|可以由根与系数的关系得到：|x₁－x₂|＝ 中点弦用点差法：把A、B的坐标分别代入曲线方程后相减，即可把弦的斜率与中点坐标联系起来 小提示：联立前先看消元后是不是二次方程：与双曲线联立时二次项系数可能为0，这时只有一个根，却不是相切。（教材第114页、第116页习题14） 【题型1】圆锥曲线的定义与轨迹的判定 三条曲线的定义都是“动点到定点（或定直线）的距离满足某个关系”。拿到条件先量一量：距离之和与两定点的距离谁大，距离之差的绝对值与两定点的距离谁大，比值是不是恰好为1。判定清楚是哪条曲线，再按它的标准方程写答案。 例1　已知F₁(－4，0)，F₂(4，0)，动点M满足|MF₁|＋|MF₂|＝10。（1）判断点M的轨迹是什么曲线，并说明理由；（2）求这条曲线的方程。 【分析】条件给的是“到两个定点的距离之和为定值”，先把这个定值10与|F₁F₂|比较大小，才能断定轨迹是椭圆、线段还是不存在。判定之后，焦点已经在x轴上，直接设标准方程并由a，c求b。 【解答】（1）由两点间的距离公式得|F₁F₂|＝＝8。 因为|MF₁|＋|MF₂|＝10＞8＝|F₁F₂|，符合椭圆定义中“距离的和是大于|F₁F₂|的常数”这一要求， 所以点M的轨迹是以F₁，F₂为焦点的椭圆。 （2）由（1）知焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）。 由2a＝10得a＝5；由2c＝|F₁F₂|＝8得c＝4。 于是＝－＝25－16＝9。 所以这条曲线的方程是＋＝1。 【方法小结】定义型轨迹题的三步是固定的：先算两定点间的距离，再与题目给的定值比大小定出曲线类型，最后按焦点所在的坐标轴设标准方程。a由定值的一半得到，c由焦距的一半得到，b只能靠＝－算，不能凭空猜。 例2　已知A(－5，0)，B(5，0)，动点P满足|PA|－|PB|＝8。（1）指出点P的轨迹是双曲线的哪一支；（2）求点P的轨迹方程，并注明x的取值范围。 【分析】给出的是距离之差而不是差的绝对值，所以轨迹只是双曲线的一支。哪一支由差的正负决定：|PA|＞|PB|说明点P离B更近，轨迹在靠近B的一侧。 【解答】（1）由两点间的距离公式得|AB|＝10。 因为|PA|－|PB|＝8，且0＜8＜10＝|AB|，所以点P在以A，B为焦点的双曲线上。 又|PA|－|PB|＝8＞0，即点P到A的距离大于到B的距离，点P在靠近B的一侧， 所以点P的轨迹是双曲线的右支。 （2）设双曲线的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0）。 由2a＝8得a＝4；由2c＝10得c＝5。 于是＝－＝25－16＝9。 因为轨迹只是右支，所以x≥a＝4。所求的轨迹方程是－＝1（x≥4）。 【方法小结】双曲线的三个量满足＝＋，要用－算，与椭圆里的－正好反过来。题目若给“差”而不是“差的绝对值”，答案必须补上表示单支的范围，漏掉它等于把答案扩大了一倍。 题型1　变式：定值与焦距的比较 第1题练定值恰好等于焦距的退化情形，第2题练由定义直接写方程，第3题练“到定点的距离与到定直线的距离”型。 变式1　已知F₁(0，－3)，F₂(0，3)，动点M满足|MF₁|＋|MF₂|＝6，则点M的轨迹是（　　）。 A．椭圆　　B．圆　　C．不存在　　D．线段F₁F₂ 变式2　平面内到F₁(－2，0)与F₂(2，0)的距离之和等于6的点的轨迹方程是＿＿＿＿＿＿。 变式3　在平面内，动点P与点F(0，3)的距离总比它到直线y＝－1的距离大2。求点P的轨迹方程。 【题型2】用待定系数法求椭圆的标准方程 待定系数法三步：先判断焦点在哪个轴上（判断不了就把两种情形都设出来），再把条件翻译成关于a，b，c的方程，最后解方程组并回代检验a＞b＞0。焦点位置没有给死的题，漏掉一种情形就丢一半答案。 例1　求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在坐标轴上，且与x轴、y轴的交点分别是(2，0)与(0，1)；（2）经过点P(－2，2)，且长轴长是短轴长的2倍。 【分析】（1）椭圆与两条坐标轴的交点就是它的四个顶点，由顶点坐标直接读出a与b。（2）条件里没有指明焦点在哪个轴上，必须分两种情形讨论；“长轴长是短轴长的2倍”即2a＝2×2b，也就是a＝2b。 【解答】（1）由交点(2，0)知椭圆在x轴上的顶点到中心的距离是2，由交点(0，1)知在y轴上的顶点到中心的距离是1。 因为2＞1，所以长轴在x轴上，a＝2，b＝1，满足a＞b＞0。 所以标准方程是＋＝1。 （2）由a＝2b知，若焦点在x轴上，可设方程为＋＝1（b＞0）。 把P(－2，2)的坐标代入，得＋＝1，即＋＝1。 所以＝1，＝5，于是4＝20，此时方程为＋＝1。 若焦点在y轴上，可设方程为＋＝1（b＞0）。 把P(－2，2)的坐标代入，得＋＝1，同样解得＝5，此时方程为＋＝1。 综上，所求的标准方程是＋＝1或＋＝1。 【方法小结】“长轴长是短轴长的k倍”翻译成a＝kb，“长轴长是焦距的k倍”翻译成a＝kc，翻译时一律先把“轴长”换成“半轴长”。焦点位置未定时把两种情形并排写，最后用“综上”收口，不要只写一种就交卷。 例2　求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在y轴上，短轴长是8，离心率是；（2）焦距是8，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是10。 【分析】（1）短轴长给出b，离心率给出c与a的比，联立＝－即可解出a。（2）焦距给出c，距离之和给出a，但焦点在哪个轴上没有说，要分两种情形。 【解答】（1）由短轴长2b＝8得b＝4。 由e＝＝得c＝()a，代入＝－，得()＝－16。 移项得()＝16，所以＝25，a＝5，此时c＝3，满足a＞b＞0。 因为焦点在y轴上，所以标准方程是＋＝1。 （2）由2c＝8得c＝4；由距离之和2a＝10得a＝5。 于是＝－＝25－16＝9。 焦点在x轴上时，方程是＋＝1；焦点在y轴上时，方程是＋＝1。 综上，所求的标准方程是＋＝1或＋＝1。 【方法小结】离心率参与运算时，用e＝把c换成a的倍数，再代进＝－，一次就能解出，比先设c再联立三个式子省一半功夫。凡是题目只给“焦距”“距离之和”这类与坐标轴无关的量，一定要问一句焦点在哪个轴上。 题型2　变式：含参数的椭圆方程 第1题练由方程形式反推参数范围，第2题练由长轴长与离心率定方程，第3题练由短轴端点与离心率定方程，第4题练焦距已知时分母大小的两种情形。 变式1　若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（　　）。 A．2＜m＜3　　B．1＜m＜3　　C．1＜m＜2　　D．m＞2 变式2　焦点在x轴上的椭圆的长轴长是12，离心率是，则这个椭圆的标准方程是＿＿＿＿＿＿。 变式3　已知椭圆的中心在原点，它的短轴的一个端点是B(0，3)，离心率是。求这个椭圆的标准方程。 变式4　若椭圆＋＝1的焦距是4，则m的值是（　　）。 A．5　　B．13　　C．5或13　　D．7 【题型3】椭圆的几何性质与离心率 范围、对称性、顶点、离心率四项性质全部从标准方程里读出来，所以第一步永远是把方程化成标准形式。离心率题的通法是把条件翻译成a与c（或a与b）之间的一个等式，再除以化成只含e的方程。 例1　已知椭圆C：＋＝1。（1）写出椭圆C的长轴长、短轴长与离心率；（2）写出焦点F₁，F₂与四个顶点A₁，A₂，B₁，B₂的坐标；（3）求△OB₂F₂的面积，其中O为坐标原点。 【分析】方程已经是标准形式，且25＞16，所以焦点在x轴上，＝25，＝16。三个小问依次用到顶点公式、焦点公式和三角形面积公式，△OB₂F₂以OF₂为底、OB₂为高，是一个直角三角形。 【解答】（1）由方程得＝25，＝16，所以a＝5，b＝4。 于是＝－＝25－16＝9，c＝3。 长轴长2a＝10，短轴长2b＝8，离心率e＝＝。 （2）因为25＞16，焦点在x轴上，所以F₁(－3，0)，F₂(3，0)。 四个顶点分别是A₁(－5，0)，A₂(5，0)，B₁(0，－4)，B₂(0，4)。 （3）因为B₂在y轴上、F₂在x轴上，所以OB₂⊥OF₂，△OB₂F₂是直角三角形。 它的两条直角边长分别是|OF₂|＝c＝3与|OB₂|＝b＝4， 所以面积S＝()×3×4＝6。 【方法小结】读性质的顺序建议固定为“先看分母大小定焦点所在轴，再开方得a与b，最后算c”。b、c与a构成一个直角三角形：以短半轴长b为一条直角边、半焦距c为另一条直角边，斜边恰好是长半轴长a，画出这个三角形，三个量的关系一眼就能看清。 例2　设椭圆C的中心在原点，它的左、右焦点F₁，F₂都在x轴上，短轴的上端点为B。（1）若△BF₁F₂是等边三角形，求椭圆的离心率；（2）若∠F₁BF₂＝90°，求椭圆的离心率。 【分析】B是短轴的上端点，坐标为(0，b)，两个焦点关于原点对称，所以△BF₁F₂是等腰三角形，两条腰的长相等。把两个几何条件分别翻译成b与c的关系，再化成只含e的等式。 【解答】由椭圆的对称性知|BF₁|＝|BF₂|＝＝a，|F₁F₂|＝2c。 （1）△BF₁F₂是等边三角形，所以|BF₁|＝|F₁F₂|，即a＝2c。 于是e＝＝。 （2）∠F₁BF₂＝90°时，△BF₁F₂是等腰直角三角形，点B到x轴的距离等于|F₁F₂|的一半，即b＝c。 由＝－得＝－，即2＝。 两边同除以，得2＝1，所以＝。 因为0＜e＜1，所以e＝。 【方法小结】“以短轴端点与两焦点为顶点的三角形”是椭圆里最常出现的一个直角三角形：|BF₁|＝|BF₂|＝a这一条由椭圆定义直接得到（两段距离之和是2a，而它们相等），记住它，几乎所有这类离心率题都能一步翻译成a、b、c的关系式。 题型3　变式：由方程读性质、由性质定参数 第1题练直接读离心率，第2题练由焦距反求参数，第3题练离心率与已知点联立定方程。 变式1　椭圆＋＝1的离心率是（　　）。 A．　　B．　　C．　　D． 变式2　已知椭圆＋＝1（a＞3）的焦距是8，则a＝＿＿＿＿＿＿。 变式3　已知椭圆C的焦点在x轴上，中心为坐标原点，离心率是，且点(2，1)在椭圆C上。求椭圆C的方程。 【题型4】双曲线的标准方程与渐近线 双曲线与椭圆的读法有两处不同：三量关系是＝＋，焦点位置看正号项而不是看分母大小。渐近线是双曲线独有的性质，它的斜率由b与a的比值决定，与焦点在哪个轴上直接相关。 例1　已知双曲线C：－＝1。（1）写出实轴长、虚轴长以及顶点A₁，A₂与焦点F₁，F₂的坐标；（2）求双曲线C的离心率与渐近线方程。 【分析】方程已是标准形式，且项前面是正号，所以焦点在x轴上，＝9，＝16。注意＝16并不说明虚半轴长比实半轴长小，双曲线里a与b谁大都可以。 【解答】（1）由方程得＝9，＝16，所以a＝3，b＝4。 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝8。 因为项前面是正号，焦点在x轴上，所以顶点是A₁(－3，0)，A₂(3，0)。 由＝＋＝9＋16＝25得c＝5，所以焦点是F₁(－5，0)，F₂(5，0)。 （2）离心率e＝＝。 把方程右边的1换成0，得－＝0，即(＋)(－)＝0。 所以渐近线方程是y＝±()x。 【方法小结】求渐近线最省事的办法是把标准方程右边的1改成0再分解因式，这样既不会把与写反，也不必分焦点在哪个轴上记两套公式。判定焦点位置时只看正号项：正号跟着就在x轴上，跟着就在y轴上。 例2　求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在y轴上，实轴长是6，虚轴长是8；（2）渐近线方程是y＝±()x，且焦距是20。 【分析】（1）实轴长与虚轴长直接给出a与b，焦点位置也已指明。（2）渐近线的斜率只给出了b与a的比值，而焦点在哪个轴上没有说明，两种情形下这个比值的含义不同，必须分开讨论。 【解答】（1）由实轴长2a＝6得a＝3，由虚轴长2b＝8得b＝4。 因为焦点在y轴上，所以标准方程是－＝1。 （2）由焦距2c＝20得c＝10，即＋＝100。 若焦点在x轴上，渐近线是y＝±()x，由＝得4b＝3a。 与＋＝100联立，得＋()＝100，解得＝64，＝36，此时方程是－＝1。 若焦点在y轴上，渐近线是y＝±()x，由＝得4a＝3b。 与＋＝100联立，得＋()＝100，解得＝36，＝64，此时方程是－＝1。 综上，所求的标准方程是－＝1或－＝1。 【方法小结】只给渐近线而不给焦点位置的题，一律按两种情形各算一遍。渐近线斜率的绝对值等于“虚半轴长比实半轴长”，焦点在x轴上时它是，焦点在y轴上时它是，两者互为倒数，记混就会把两个答案对调。 题型4　变式：渐近线与参数 第1题练由方程读渐近线，第2题练由渐近线反求参数，第3题练焦点与渐近线联合定方程，第4题练等轴双曲线。 变式1　双曲线－＝1的渐近线方程是（　　）。 A．y＝±()x B．y＝±3x C．y＝±()x D．y＝±()x 变式2　若双曲线－＝1（m＞0）的一条渐近线方程是y＝2x，则m＝＿＿＿＿＿＿。 变式3　已知双曲线的一个焦点是F(0，5)，且它的一条渐近线的方程是y＝()x。求这个双曲线的标准方程。 变式4　若双曲线的实轴长与虚轴长相等，则它的离心率是（　　）。 A．　　B．　　C．2　　D． 【题型5】双曲线的离心率与焦点三角形 焦点三角形以两个焦点和曲线上一点为顶点，它把定义（两段距离之差的绝对值是2a）与余弦定理、勾股定理串在一起。为了让式子干净，一律先设m＝|PF₁|、n＝|PF₂|，把几何条件写成关于m，n的方程组再解。 例1　已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别是F₁，F₂，点P在C的右支上，且|PF₁|＝7。（1）求|PF₂|；（2）求△PF₁F₂的周长；（3）求△PF₁F₂的面积。 【分析】由方程读出a与c，再用双曲线的定义把|PF₁|与|PF₂|的关系写出来。点P在右支上，说明它离F₂更近，所以|PF₁|－|PF₂|＝2a。三边齐全之后，用余弦定理求出夹角的余弦值，再用两边夹一角的面积公式算面积。 【解答】设m＝|PF₁|，n＝|PF₂|。由方程得＝4，＝5，所以a＝2。 又＝＋＝4＋5＝9，所以c＝3，|F₁F₂|＝2c＝6。 （1）因为点P在右支上，所以m－n＝2a＝4。 把m＝7代入，得n＝7－4＝3，即|PF₂|＝3。 （2）△PF₁F₂的周长为m＋n＋|F₁F₂|＝7＋3＋6＝16。 （3）在△PF₁F₂中，三边长依次是m＝7，n＝3，|F₁F₂|＝6。 由余弦定理得cos∠F₁PF₂＝＝＝。 因为0°＜∠F₁PF₂＜180°，所以sin∠F₁PF₂＝＝。 所以面积S＝()mn·sin∠F₁PF₂＝()×7×3×()＝4。 【方法小结】焦点三角形的三条边里，有两条是曲线上的点到两个焦点的连线，第三条是连结两个焦点的线段，它的长就是焦距。定义给出的是两条焦半径的差（椭圆里是和），再配合题目给的另一个条件，就能把两条焦半径都解出来。点在哪一支上决定差的符号，判断错了会算出负数。 例2　设双曲线C的中心在原点，它的左、右焦点F₁，F₂都在x轴上，实半轴长为a，点P在双曲线C的右支上，且|PF₁|＝2|PF₂|。（1）用a表示|PF₁|与|PF₂|；（2）当∠F₁PF₂＝60°时，求出双曲线C的离心率e。 【分析】设m＝|PF₁|，n＝|PF₂|，把“点在右支上”翻译成m－n＝2a，再与m＝2n联立解出m，n。第（2）问在△PF₁F₂中用余弦定理，得到a与c的等式后两边同除以即可化成关于e的方程。 【解答】（1）设m＝|PF₁|，n＝|PF₂|。因为点P在右支上，所以m－n＝2a。 又m＝2n，代入得2n－n＝2a，所以n＝2a，m＝4a。 即|PF₁|＝4a，|PF₂|＝2a。 （2）在△PF₁F₂中，|F₁F₂|＝2c，∠F₁PF₂＝60°。 由余弦定理得4＝＋－2mn·cos60°。 把m＝4a，n＝2a，cos60°＝代入，得4＝16＋4－2×8×()＝12。 所以＝3，即＝3。 于是＝3，又e＞1，所以e＝。 【方法小结】离心率题的通法只有一条：把条件化成只含a与c（或a与b）的等式，再两边同除以，让式子只剩e。最后别忘了用e＞1（双曲线）或0＜e＜1（椭圆）去掉不合题意的那个根。 题型5　变式：离心率与直角焦点三角形 第1题练由方程读离心率，第2题练由离心率反求虚轴长，第3题练焦点三角形为直角三角形时的面积。 变式1　双曲线－＝1的离心率是（　　）。 A．　　B．　　C．　　D．2 变式2　已知双曲线的实轴长是4，离心率是，则它的虚轴长是＿＿＿＿＿＿。 变式3　已知F₁，F₂是双曲线－＝1的左、右焦点，点M在双曲线上，且MF₁⊥MF₂。求△MF₁F₂的面积。 【题型6】抛物线的定义与标准方程 抛物线的所有结论都从“到焦点的距离等于到准线的距离”这一句话生出来。四种标准方程只差开口方向：一次项的字母指出对称轴，一次项系数的正负指出开口朝哪边，p永远是正的。 例1　已知抛物线C：＝8x的焦点为F，准线为直线l，点M在C上且M的横坐标是3，M在直线l上的垂足为H。（1）求焦点F的坐标，并写出准线的方程；（2）求|MF|；（3）求△MFH的面积。 【分析】先由2p＝8定出p，再按＝2px的形式写焦点与准线。第（2）问用抛物线的定义把|MF|换成M到准线的距离，比用两点间的距离公式省力。第（3）问中MH与x轴平行，把MH当作底边，F到直线MH的距离就是高。 【解答】（1）由＝8x得2p＝8，所以p＝4，＝2。 抛物线的开口向右，焦点在x轴正半轴上，所以F(2，0)，准线是直线l：x＝－2。 （2）设M(3，y₀)，由抛物线的定义得|MF|等于M到直线l的距离。 即|MF|＝3－(－2)＝5。 （3）把x＝3代入＝8x，得＝24，所以|y₀|＝2。 由MH⊥直线l知MH与x轴平行，|MH|＝|MF|＝5，点F到直线MH的距离为|y₀|＝2。 所以△MFH的面积S＝()×5×2＝5。 【方法小结】凡是出现“抛物线上的点到焦点的距离”，第一反应就是换成它到准线的距离，这一步把两点间的距离公式降成了一次式。对＝2px来说，点(x₀，y₀)到焦点的距离就是x₀＋。 例2　求适合下列条件的抛物线的标准方程：（1）焦点在x轴负半轴上，顶点是坐标原点，且焦点到准线的距离是6；（2）关于某条坐标轴对称，顶点是坐标原点，且经过点P(－4，4)。 【分析】（1）焦点到准线的距离就是p，开口方向已给定，直接套四种形式中的第二种。（2）只说“对称轴是坐标轴”，点P在第二象限，开口既可能向左也可能向上，两种情形都要算。 【解答】（1）焦点在x轴负半轴上，开口向左，可设方程为＝－2px（p＞0）。 由焦点到准线的距离p＝6，得2p＝12。 所以抛物线的标准方程是＝－12x。 （2）若对称轴是x轴，因为P(－4，4)在第二象限，开口向左，可设方程为＝－2px（p＞0）。 把P的坐标代入，得16＝－2p×(－4)＝8p，解得2p＝4，此时方程是＝－4x。 若对称轴是y轴，开口向上，可设方程为＝2py（p＞0）。 把P的坐标代入，得16＝2p×4＝8p，解得2p＝4，此时方程是＝4y。 综上，所求的标准方程是＝－4x或＝4y。 【方法小结】只说对称轴是坐标轴而不指明是哪一条时，把点画到坐标系里看它在第几象限，开口方向就只剩两种可能。设方程时把2p当成一个整体待定，可以少写一次除法，也不会把p与2p弄混。 题型6　变式：四种标准方程的互化 第1题练由方程读焦点，第2题练焦半径的逆用，第3题练焦点落在给定直线上时的两种情形，第4题练由准线反求参数。 变式1　抛物线＝－8y的焦点坐标是（　　）。 A．(0，2)　　B．(－2，0)　　C．(2，0)　　D．(0，－2) 变式2　若抛物线＝16x上一点到它的准线的距离等于10，则这个点的横坐标是＿＿＿＿＿＿。 变式3　已知某抛物线的顶点是坐标原点，它的焦点落在直线3x－4y－12＝0上。求这个抛物线的标准方程。 变式4　若抛物线＝2px（p＞0）的准线经过点(－3，2)，则p＝（　　）。 A．3　　B．6　　C．　　D．12 【题型7】抛物线的焦半径与焦点弦 抛物线上的点到焦点的距离，一律换成它到准线的距离。对＝2px（p＞0）来说，点(x₀，y₀)的焦半径就是x₀＋；过焦点的弦的两个端点横坐标一加，再加上p，就是弦长。 例1　已知抛物线C：＝4x的焦点为F，过F且斜率为的直线与C交于A，B两点，其中A在x轴上方。（1）写出F的坐标与准线方程；（2）求|AF|与|BF|；（3）求弦长|AB|。 【分析】先由2p＝4定出p与焦点。求两条焦半径时不必算两点间的距离，把它们分别换成点A、点B到准线的距离，横坐标加上1就行。第（3）问两条焦半径相加即可。 【解答】（1）由＝4x得2p＝4，p＝2，＝1。 所以F(1，0)，准线是直线x＝－1。 （2）直线AB过F(1，0)且斜率为，方程是y＝()(x－1)，即4x－3y－4＝0。 与＝4x联立，消去y得16＝36x，即16－68x＋16＝0，也就是4－17x＋4＝0。 解得x＝4或x＝。因为A在x轴上方，由y＝()(x－1)知A的横坐标较大，所以A(4，4)，B(，－1)。 设A，B到准线的垂足分别是A′，B′。由抛物线的定义得|AF|＝|AA′|＝4＋1＝5，|BF|＝|BB′|＝＋1＝。 （3）因为A，B，F三点共线且F在线段AB上，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝5＋＝。 【方法小结】「焦半径等于横坐标加」这条结论（例2将用定义完整证明一遍）只对开口向右的＝2px成立，开口方向一换，结论里的横坐标要换成纵坐标、加号要换成减号。稳妥的做法是每次都回到定义：先写出准线方程，再量点到准线的距离。 例2　设抛物线＝2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)两点。（1）证明|AB|＝x₁＋x₂＋p；（2）若p＝4且|AB|＝12，求x₁＋x₂的值。 【分析】第（1）问把两条焦半径分别换成到准线的距离再相加。第（2）问是第（1）问的直接应用，代入数据解一次方程即可。 【解答】（1）抛物线＝2px（p＞0）的准线方程是x＝－。 设A，B到准线的垂足分别为A′，B′。由抛物线的定义得|AF|＝|AA′|＝x₁＋。 同理|BF|＝|BB′|＝x₂＋。 因为直线AB过焦点F，且F在线段AB上，所以|AB|＝|AF|＋|BF|。 于是|AB|＝(x₁＋)＋(x₂＋)＝x₁＋x₂＋p。 （2）把p＝4与|AB|＝12代入上式，得12＝x₁＋x₂＋4。 所以x₁＋x₂＝8。 【方法小结】这条结论只对过焦点的弦成立。若直线不过焦点，|AF|与|BF|仍各自等于横坐标加，但它们的和不再是弦长，此时只能老老实实用弦长公式|AB|＝·|x₁－x₂|。 题型7　变式：焦半径的正用与逆用 第1题练由焦半径反求横坐标，第2题练通径，第3题练用定义把两段距离之和化成一条折线。 变式1　抛物线＝4x上的点M到焦点的距离是4，则点M到y轴的距离是（　　）。 A．2　　B．4　　C．3　　D．5 变式2　抛物线＝8x的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）的长是＿＿＿＿＿＿。 变式3　已知点P是抛物线＝4x上的动点，F是抛物线的焦点，定点A(3，2)。求|PA|＋|PF|的最小值。 【题型8】联立方程判断公共点的个数 把直线方程代进曲线方程消去一个未知数，得到的方程有几个解，公共点就有几个。与椭圆联立一定得到二次方程，只看判别式；与双曲线、抛物线联立时，二次项系数有可能为零，那一档必须单独拿出来讨论。 例1　已知直线l：y＝x＋m与椭圆E：＋＝1。设m是实数，就m的取值讨论直线l与椭圆E的公共点个数。 【分析】把直线方程代入椭圆方程消去y，得到关于x的一元二次方程，公共点的个数与这个方程实数根的个数相同，所以只需按判别式的正负零分三档讨论。 【解答】把y＝x＋m代入＋＝1，两边同乘12，得3＋4＝12。 展开整理得7＋8mx＋4－12＝0。 这个方程的判别式Δ＝－4×7×(4－12)＝64－112＋336＝336－48。 由Δ＞0得＜7，即－＜m＜，此时方程有两个不相等的实数根，直线l与椭圆E有两个公共点。 由Δ＝0得＝7，即m＝或m＝－，此时方程有两个相等的实数根，直线l与椭圆E只有一个公共点。 由Δ＜0得＞7，即m＜－或m＞，此时方程没有实数根，直线l与椭圆E没有公共点。 【方法小结】联立之后先把方程整理成一般式，再算判别式，这两步不要合并。判别式里出现的是参数m，解出来的是关于m的不等式，答案必须写成m的取值范围而不是某个具体的数。 例2　已知直线l：y＝kx＋1与双曲线C：－＝1。（1）当k＝0时，求直线l与双曲线C的公共点的坐标；（2）若直线l与双曲线C只有一个公共点，求k的值。 【分析】（1）k＝0时直线是水平直线，直接代入求解。（2）联立后二次项系数是4－，它可能为零：为零时方程降为一次，恰好有一个解；不为零时靠判别式等于零。两档都要写。 【解答】（1）当k＝0时，直线l的方程是y＝1。 代入－＝1，得－＝1，即＝。 所以x＝±，公共点是(，1)与(－，1)。 （2）把y＝kx＋1代入－＝1，两边同乘4，得4－＝4。 展开整理得(4－)－2kx－5＝0。 若4－＝0，即k＝2或k＝－2，方程化为－2kx－5＝0，它是一次方程，恰有一个实数根，此时直线l与双曲线C只有一个公共点。 若4－≠0，方程是二次方程，由Δ＝＋20(4－)＝80－16＝0，得＝5，即k＝或k＝－。 综上，k＝±2或k＝±。 【方法小结】直线与双曲线只有一个公共点，含义有两种：一是与某一支相切，二是与渐近线平行从而只与一支相交。前者由判别式等于零给出，后者由二次项系数等于零给出，两种情形缺一不可。 题型8　变式：公共点个数与相切条件 第1题练直接判断公共点个数，第2题练相切时判别式为零，第3题练没有公共点的参数范围，第4题练与渐近线平行的特殊情形。 变式1　直线y＝x－1与抛物线＝4x的公共点的个数是（　　）。 A．0　　B．1　　C．2　　D．3 变式2　若直线y＝2x＋b与抛物线＝8x只有一个公共点，且b≠0，则b＝＿＿＿＿＿＿。 变式3　已知直线l：y＝kx－2与椭圆C：＋＝1没有公共点。求k的取值范围。 变式4　把直线y＝x＋1的方程代入双曲线－＝1后，所得方程的实数根有（　　）。 A．0个　　B．1个　　C．2个　　D．3个 【题型9】弦长与中点弦 弦长走“联立→根与系数的关系→弦长公式”这条路，不必真的把两个交点算出来。中点弦走点差法：把两个端点的坐标分别代入曲线方程后相减，弦的斜率与中点坐标就直接挂上钩了。 例1　已知椭圆E：＋＝1与直线l：x－2y＋2＝0交于A，B两点。（1）先求出弦AB两个端点的横坐标之和与之积，再写出中点M的坐标；（2）求弦长|AB|。 【分析】联立后消去y得到关于x的一元二次方程，中点的横坐标是两根之和的一半；弦长直接套公式，式子里的两根之差由根与系数的关系得到，全程不必解出两个根。 【解答】由x－2y＋2＝0得y＝，直线l的斜率k＝。 代入＋＝1并去分母，得＋＝16。 展开整理得2＋4x－12＝0，两边同除以2，得＋2x－6＝0。 设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，由根与系数的关系得x₁＋x₂＝－2，x₁x₂＝－6。 （1）中点M的横坐标是＝－1，代入直线方程得纵坐标为＝。 所以M(－1，)。 （2）|x₁－x₂|＝＝＝＝2。 所以|AB|＝·|x₁－x₂|＝×2＝()×2＝。 【方法小结】弦长公式里的只与直线的斜率有关，|x₁－x₂|只与联立后的二次方程有关，两部分各算各的最不容易出错。若直线与x轴垂直，斜率不存在，此时弦长直接用两个纵坐标之差。 例2　已知椭圆C：＋＝1，弦AB的中点是M(1，1)。（1）判断点M是否在椭圆C的内部；（2）用点差法求出这条弦的斜率k；（3）求它所在直线的方程。 【分析】中点在曲线内部，弦才存在，所以先做这一步检验。点差法的要点是把两个端点的坐标分别代入方程后相减，再把平方差分解成两个因式之积，弦的斜率与中点坐标就分离出来了。 【解答】（1）把M(1，1)的坐标代入方程左边，得＋＝。 因为＜1，所以点M在椭圆C的内部，以M为中点的弦确实存在。 （2）设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则＋＝1，＋＝1。 两式相减，得＋＝0。 分解因式得＋＝0。 因为M是AB的中点，所以x₁＋x₂＝2，y₁＋y₂＝2。 代入上式得＋＝0，整理得＝－。 所以直线AB的斜率k＝－。 （3）由点斜式得y－1＝－()(x－1)，两边同乘9得9y－9＝－4x＋4。 所以直线AB的方程是4x＋9y－13＝0。 【方法小结】点差法能用的前提是弦确实存在，所以“中点在曲线内部”这一步检验不能省。用完点差法算出斜率后，把直线方程与曲线方程联立验一验判别式是否为正，也是一种更稳妥的检验方式。 题型9　变式：弦长公式与点差法 第1题练不过焦点的抛物线弦长，第2题练过焦点的椭圆弦长，第3题练双曲线的中点弦。 变式1　直线y＝x－2与抛物线＝4x交于A，B两点，则|AB|＝（　　）。 A．4　　B．8　　C．12　　D．4 变式2　过椭圆＋＝1的右焦点F作斜率为1的直线，与椭圆交于A，B两点，则|AB|＝＿＿＿＿＿＿。 变式3　已知双曲线C：－＝1，弦AB的中点是M(2，1)。求直线AB的方程。 【题型10】圆锥曲线与圆、直线的综合 把上一章的圆与本章的圆锥曲线放在同一个坐标系里，用的仍然是坐标法：几何条件翻译成方程，方程组的解就是公共点。圆的半径、圆心到直线的距离这两件旧工具，在这里与a，b，c配合使用。 例1　已知圆C：＋＝4与椭圆E：＋＝1，F是椭圆E的右焦点。（1）求圆C与椭圆E的公共点的坐标；（2）求以F为圆心且与圆C外切的圆的半径。 【分析】（1）两条曲线的公共点就是方程组的解，把用圆的方程整体代换掉最省力。（2）两圆外切时，圆心距等于两个半径之和，所以先求出|CF|，再减去圆C的半径。 【解答】（1）由圆C的方程得＝4－，把它代入椭圆E的方程，两边同乘16，整理得(4－)＋4＝16。 整理得3＝12，所以＝4，y＝±2。 把＝4代回＝4－，得＝0，所以x＝0。 所以公共点是(0，2)与(0，－2)，它们正是椭圆E短轴的两个端点。 （2）由椭圆E的方程得＝16，＝4，所以＝16－4＝12，c＝2，右焦点F(2，0)。 圆C的圆心是原点C(0，0)，半径R＝2，所以|CF|＝2。 设所求圆的半径为r，两圆外切时|CF|＝R＋r，即2＝2＋r。 所以r＝2－2。因为2≈3.46＞2，所以r＞0，符合题意。 【方法小结】两条二次曲线联立时，先找一个能整体代换的量（这里是），可以避免出现四次方程。两圆相切要分外切与内切：外切用半径之和，内切用半径之差，判断的依据永远是圆心距。 例2　已知抛物线C：＝8x的焦点为F，圆M的圆心M在抛物线C上，且圆M经过点F与坐标原点O。（1）求点M的坐标；（2）求圆M的半径与圆M的方程。 【分析】圆M过F与O，说明M到这两点的距离相等，即M在线段OF的垂直平分线上；又M在抛物线上，两个条件联立即可定出M。半径就是|MO|，也可以用抛物线的定义换成M到准线的距离。 【解答】（1）由＝8x得2p＝8，p＝4，＝2，所以F(2，0)，准线是x＝－2。 设M(x₀，y₀)，因为M在抛物线C上，所以＝8x₀。 因为圆M经过F与O，所以|MF|＝|MO|。 由抛物线的定义得|MF|＝x₀＋2；由两点间的距离公式得|MO|＝。 于是x₀＋2＝，两边平方得＋4x₀＋4＝＋8x₀。 解得x₀＝1，从而＝8，y₀＝±2。所以M(1，2)或M(1，－2)。 （2）圆M的半径r＝|MF|＝x₀＋2＝1＋2＝3。 所以圆M的方程是＋＝9或＋＝9。 【方法小结】“圆过某两点”等价于“圆心到这两点的距离相等”，这一步把圆的问题换成了点的问题。只要圆心落在抛物线上，它到焦点的距离就能用定义换成一次式，平方一次就能解出横坐标。 题型10　变式：圆锥曲线与圆的配合 第1题练焦点与短轴端点围成的三角形，第2题练圆与渐近线相切，第3题练圆与椭圆公共点个数对半径的要求，第4题练圆与准线相切。 变式1　椭圆＋＝1的两个焦点与短轴的一个端点所围成的三角形的面积是（　　）。 A．6　　B．12　　C．24　　D．15 变式2　以双曲线－＝1的右焦点为圆心作圆，若它与这条双曲线的一条渐近线相切，则半径是＿＿＿＿＿＿。 变式3　已知椭圆＋＝1与圆＋＝（r＞0）恰有两个公共点。求r的值。 变式4　若圆＋＝（r＞0）与抛物线＝4x的准线相切，则r＝（　　）。 A．1　　B．2　　C．3　　D．4 【题型11】圆锥曲线的实际应用 实际问题的第一步永远是建系：把对称轴取成坐标轴、把顶点或中心取成原点，题目里的长度就变成了点的坐标。第二步把这些点代进标准方程定出参数，第三步再回到实际问题回答问题。 例1　一座桥的桥拱是抛物线形。当水面宽8m时，拱顶离水面4m。以拱顶为原点、竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系，水面与拱线的两个交点分别记为A，B。求这条拱线所在抛物线的方程，并求出水面上升1m后水面的宽度。 【分析】拱顶在原点、开口向下，可设方程为＝－2py（p＞0）。水面宽8m说明A，B的横坐标是±4，拱顶离水面4m说明它们的纵坐标是－4，把A的坐标代入即可定出2p。水面上升1m即纵坐标变成－3。 【解答】由题意设拱线所在抛物线的方程为＝－2py（p＞0）。 水面宽8m、拱顶离水面4m，所以A(－4，－4)，B(4，－4)。 把B(4，－4)的坐标代入方程，得16＝－2p×(－4)＝8p，所以2p＝4。 所以这条抛物线的标准方程是＝－4y。 水面上升1m后，水面所在直线上的点的纵坐标是－4＋1＝－3。 把y＝－3代入＝－4y，得＝12，所以x＝±2。 此时水面的宽度是2－(－2)＝4(m)，约为6.9m。 【方法小结】拱桥、隧道这类问题，建系时把拱顶放在原点最省事，因为这样方程里没有一次项也没有常数项。注意水面“上升”对应纵坐标增大（向0靠拢），“下降”对应纵坐标减小，符号搞反宽度就会算成变宽。 例2　一种探照灯的反射镜面是抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转一周所成的曲面），过对称轴的截口是抛物线的一段。已知灯口的直径是40cm，灯深是20cm。以截口所在抛物线的顶点为原点、对称轴为x轴建立平面直角坐标系。（1）求截口所在抛物线的标准方程；（2）灯泡应安装在焦点处，求灯泡到灯的顶点的距离。 【分析】顶点在原点、开口向右，设方程为＝2px（p＞0）。灯深20cm是灯口所在截面到顶点的距离，即灯口边缘点的横坐标；灯口直径40cm说明边缘点的纵坐标是±20。把边缘点代入即可。 【解答】（1）由题意设抛物线的标准方程为＝2px（p＞0）。 灯深20cm、灯口直径40cm，所以灯口边缘上的点的坐标是(20，20)与(20，－20)。 把(20，20)代入方程，得＝2p×20，即400＝40p。 所以2p＝20，抛物线的标准方程是＝20x。 （2）由＝20x得2p＝20，p＝10，焦点的坐标是(，0)＝(5，0)。 顶点是原点，所以灯泡到灯的顶点的距离是5cm。 【方法小结】这类问题里“深度”对应抛物线的横坐标（对称轴方向），“口径（即直径）”对应纵坐标的两倍，两者不要对调。求出2p之后，焦点坐标是(，0)，也就是2p的四分之一，中间少除一次就会把灯泡位置算成10cm。 题型11　变式：建系与代入 第1题练桥拱方程的选择，第2题练半椭圆形拱门，第3题练由声音到达的时间差定位。 变式1　某桥拱是抛物线形，拱高4m，跨度16m。以拱顶为原点、竖直向上为y轴正方向建立坐标系，则这条抛物线的方程是（　　）。 A．＝－8y B．＝－16x C．＝16y D．＝－16y 变式2　一个拱门的形状是半个椭圆，门的宽度是8m，最高处离地面3m。以地面所在直线为x轴、拱门的对称轴为y轴建立坐标系，则这个半椭圆的方程是＿＿＿＿＿＿。 变式3　在一条笔直的公路上，相距1200m的两个监测点A，B同时记录到一次爆破声，B处记录到的时刻比A处早2s。已知声速是每秒340m。以直线AB为x轴、线段AB的中点为原点建立平面直角坐标系，且点B在x轴的正半轴上。求爆破点所在曲线的方程。 【题型12】（拓展）定点、定值与最值 本题型在教材例题的通法之上再加一层：用椭圆的定义把两段距离之和换成“定值减去另一段”，最值问题就化成了三角形两边之差；含参数的直线先按参数整理再令各组系数为零，定点就找出来了。题号前标出“拓展”二字的题，深度略超教材正文。 例1　（拓展）已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别是F₁，F₂，点A(1，1)，点P是椭圆C上的动点。（1）求|PF₁|＋|PA|的最大值；（2）求|PF₁|＋|PA|的最小值。 【分析】|PF₁|单独看不好处理，但由椭圆的定义有|PF₁|＋|PF₂|＝2a，于是|PF₁|＝2a－|PF₂|，所求的和就变成了2a＋(|PA|－|PF₂|)。而|PA|－|PF₂|的取值范围由三角形两边之差小于第三边给出。 【解答】由方程得＝9，＝5，所以a＝3，＝9－5＝4，c＝2，F₁(－2，0)，F₂(2，0)。 先确认点A的位置：把A(1，1)代入方程左边，得＋＝＜1，所以点A在椭圆C的内部。 由椭圆的定义得|PF₁|＋|PF₂|＝2a＝6，所以|PF₁|＝6－|PF₂|。 于是|PF₁|＋|PA|＝6＋(|PA|－|PF₂|)。 由两点间的距离公式得|AF₂|＝＝。 对任意点P都有－|AF₂|≤|PA|－|PF₂|≤|AF₂|，即－≤|PA|－|PF₂|≤。 （1）当P，A，F₂三点共线且F₂在线段PA上时，|PA|＝|PF₂|＋|AF₂|，|PA|－|PF₂|取到最大值，此时所求的和为6＋，这就是最大值。 （2）当P，A，F₂三点共线且A在线段PF₂上时，|PF₂|＝|PA|＋|AF₂|，|PA|－|PF₂|取到最小值－，此时所求的和为6－，这就是最小值。 【方法小结】遇到“曲线上的点到一个焦点的距离”与“到另一个定点的距离”之和（或差）的最值，先用定义把焦半径换成2a减去另一条焦半径，再用三角形不等式收口。椭圆用和、双曲线用差，换完之后剩下的都是两点间距离的比较。 例2　（拓展）已知直线l：y＝kx＋2k－1，其中k是实数。（1）证明：无论k取何值，直线l都经过同一个定点；（2）判断这个定点与椭圆＋＝1的位置关系，并指出直线l与这个椭圆的公共点个数。 【分析】把直线方程按参数k整理成“含k的部分＋不含k的部分＝0”的形状，让两部分同时为零，解出的点就与k无关。第（2）问把定点代入椭圆方程的左边与1比较，即可判断内外。 【解答】（1）把方程改写为y＝k(x＋2)－1，即y＋1＝k(x＋2)。 整理成k(x＋2)－(y＋1)＝0。 要使这个等式对任意实数k都成立，只需x＋2＝0且y＋1＝0，解得x＝－2，y＝－1。 把(－2，－1)代回原方程：左边为－1，右边为k×(－2)＋2k－1＝－1，两边相等，所以直线l恒过定点(－2，－1)。 （2）把(－2，－1)代入椭圆方程的左边，得＋＝。 因为＜1，所以定点在椭圆的内部。 过椭圆内部一点的直线必与椭圆相交于两点，所以直线l与这个椭圆恒有两个公共点。 【方法小结】含参数的直线系求定点，标准做法是按参数把方程分组，再令每组的系数同时为零。得到定点后一定要代回原方程验证一次，防止整理时漏项。 题型12　变式：最值与定值（拓展） 第1题练右支上的点到右焦点距离的最小值，第2题练抛物线上的点到定点距离的最小值，第3题练过定点的弦的两个乘积为定值。三题都标出“拓展”。 变式1　（拓展）已知点P在双曲线－＝1的右支上，F是双曲线的右焦点，则|PF|的最小值是（　　）。 A．1　　B．2　　C．4　　D．6 变式2　（拓展）已知点P在抛物线＝4x上，点A(3，0)，则|PA|的最小值是＿＿＿＿＿＿。 变式3　（拓展）已知抛物线＝4x，一条经过点(4，0)的直线与它相交于A，B两点，其中A的坐标为(x₁，y₁)，B的坐标为(x₂，y₂)。求证：y₁y₂与x₁x₂都是与这条直线无关的定值。 　易错专练 下面七题取自本章最容易翻船的七个地方：把焦点位置看反、把双曲线的三量关系写成椭圆的、把p与2p弄混、点差法不验中点位置、定义里漏掉与焦距的比较、渐近线的斜率写倒、焦半径公式套到了开口方向不对的抛物线上。每题都给出一个真实的错解，先自己判断它错在哪一步，再看解析里的错因分析与正解。 易错1　对于椭圆＋＝1，有同学说它的焦点在x轴上，并算出c＝3。改正这个结论，写出两个焦点的坐标。 易错2　求双曲线－＝1的焦距时，有同学套用＝－，算出＝9－16＝－7后说无解。订正这个计算，并求出焦距。 易错3　对于抛物线＝8x，有同学说p＝8，于是写出焦点(4，0)与准线x＝－4。把这三个结论全部改正。 易错4　已知椭圆＋＝1，有同学用点差法求出以M(2，1)为中点的弦所在直线的斜率是－，并写出了直线方程。补上这个做法漏掉的一步检验，并改正结论。 易错5　设A(－5，0)，B(5，0)，有同学说“到A，B两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆”。改正这个结论，并说清楚判断的依据。 易错6　对于双曲线－＝1，有同学写出渐近线方程y＝±()x。改正这个结论，并说清楚两种焦点位置下渐近线的差别。 易错7　已知抛物线＝－8x上的点M到焦点的距离是5，有同学由x₀＋2＝5求出x₀＝3。订正这个计算，并写出点M的横坐标。 　课后作业（一）基础过关 这一组十二题只考课标要求的基本功，难度与教材正文的例题、练习相当。第1至5题只有一个正确选项，把字母写进括号里；第6至9题在横线上直接写结果，坐标按(a，b)的格式，方程写成标准形式，根号约到最简；第10至12题必须留下完整的推理过程，每用一条公式就在旁边写出它的名称。 1．椭圆＋＝1的两个焦点的坐标是（　　）。 A．(0，－)与(0，) B．(－，0)与(，0) C．(0，－)与(0，) D．(－，0)与(，0) 2．双曲线－＝1的焦距是（　　）。 A．5　　B．10　　C．　　D．2 3．方程＋8x＝0表示的抛物线，它的准线是（　　）。 A．y＝2　　B．y＝－2　　C．x＝2　　D．x＝－2 4．椭圆＋＝1的离心率是（　　）。 A．　　B．　　C．　　D． 5．双曲线－＝1的渐近线方程是（　　）。 A．y＝±()x B．y＝±()x C．y＝±()x D．y＝±()x 6．椭圆＋＝1的长轴长是＿＿＿＿＿＿。 7．双曲线－＝1的实轴长是＿＿＿＿＿＿，离心率是＿＿＿＿＿＿。 8．抛物线＝12y的焦点坐标是＿＿＿＿＿＿，它的准线方程是＿＿＿＿＿＿。 9．若椭圆的两个焦点是(0，－2)与(0，2)，且长轴长是6，则它的标准方程是＿＿＿＿＿＿。 10．写出满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）一个顶点是(4，0)，虚半轴长是3；（2）焦点是(0，－4)与(0，4)，且经过点(0，3)。 11．设点P在椭圆＋＝1上，这个椭圆的左焦点与右焦点依次记为F₁，F₂。若|PF₁|＝8，求△PF₁F₂的周长以及|PF₂|的值。 12．已知点M(1，－4)在一条顶点为坐标原点、焦点在x轴正半轴上的抛物线上。求这条抛物线的标准方程、焦点坐标以及准线方程。 　课后作业（二）能力提升 这一组八题把本章的公式放到含字母、含条件的环境里使用。选择题两道，都要先判断曲线的类型再动手；填空题两道，答案有两个时要把两个都写上；解答题四道，要求写出建立方程、化简求解与回代检验的完整过程。 1．当实数k满足什么条件时，曲线＋＝1是双曲线？（　　） A．1＜k＜4　　B．k＞4　　C．k＜1或k＞4　　D．k＞1 2．已知双曲线的焦点在y轴上，且它的离心率是2，则它的渐近线方程是（　　）。 A．y＝±()x B．y＝±()x C．y＝±2x D．y＝±()x 3．已知双曲线－＝1（a＞0）的离心率是，则a＝＿＿＿＿＿＿。 4．在双曲线－＝1上，横坐标等于3的点共有两个，这两个点之间的距离是＿＿＿＿＿＿。 5．已知直线y＝x＋1与椭圆＋＝1交于A，B两点。（1）求弦长|AB|；（2）写出AB中点的横坐标与纵坐标。 6．已知双曲线C以坐标原点为中心，焦点落在x轴上。若C的离心率为，且点(4，)在C上。（1）求双曲线C的标准方程；（2）求出C的两条渐近线的方程。 7．设F是抛物线C：＝4x的焦点，一条经过F的直线与C相交于A，B两点，且弦长|AB|＝8。求AB中点与y轴之间的距离。 8．已知椭圆C的中心是坐标原点，它的两个焦点都在x轴上。若C经过点(2，)，且离心率等于。（1）求椭圆C的方程；（2）求椭圆C的短轴长。 　课后作业（三）拓展挑战 这一组五题在教材习题的基础上再加一层：渐近线与直线的位置关系、过焦点的弦长、含参数的弦长、焦点三角形的面积、关于原点对称的两点与曲线上第三点的斜率之积。五题的题号前都标出“拓展”二字，供学有余力的同学选做。 1．（拓展）若某双曲线的中心在原点、焦点在x轴上，且它的一条渐近线与直线2x－y＋1＝0平行，则这个双曲线的离心率是（　　）。 A．　　B．　　C．2　　D． 2．（拓展）设抛物线＝4x的焦点为F，倾斜角是60°的直线经过点F并与该抛物线相交于A，B两点，则|AB|＝＿＿＿＿＿＿。 3．（拓展）已知直线l：y＝x＋m与椭圆＋＝1交于A，B两点，且|AB|＝。求m的值。 4．（拓展）设F₁，F₂是双曲线C：－＝1的两个焦点，点P在C上，且∠F₁PF₂＝60°。求△PF₁F₂的面积。 5．（拓展）已知椭圆C：＋＝1，A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上异于A，B的任意一点。求证：直线PA的斜率与直线PB的斜率之积是定值。 　参考答案与解析 　题型1　变式：定值与焦距的比较 变式1　【答案】D 【解析】先算|F₁F₂|＝6。 条件中的定值也是6，与|F₁F₂|相等，不满足椭圆定义中“大于|F₁F₂|”的要求。 此时只有落在线段F₁F₂上的点才使两段距离之和为6，所以轨迹是线段F₁F₂。A错在漏掉了对定值与焦距的比较；B、C都不符合。故选D。 变式2　【答案】＋＝1 【解析】因为|F₁F₂|＝4，而6＞4，所以轨迹是以F₁，F₂为焦点的椭圆，焦点在x轴上。 由2a＝6得a＝3，由2c＝4得c＝2，于是＝9－4＝5。 所以轨迹方程是＋＝1。 变式3　【答案】＝12y 【解析】设点P到直线y＝－1的距离为d，由题意得|PF|＝d＋2。 因为|PF|＝d＋2＞0，若点P在直线y＝－1的下方，则d＝－(y＋1)，此时|PF|＝1－y，两边平方得＋＝，化简得＝4y－8＜0，无解，所以点P一定不在直线y＝－1的下方。 此时点P到直线y＝－3的距离恰好是d＋2，所以|PF|等于点P到直线y＝－3的距离。 直线y＝－3不经过点F(0，3)，由抛物线的定义知，点P的轨迹是以F为焦点、以直线y＝－3为准线的抛物线。 焦点到准线的距离p＝3－(－3)＝6，且焦点在y轴正半轴上，所以轨迹方程为＝2py＝12y。 检验：取y＝3，得＝36，x＝±6，点(6，3)到F的距离是6，到直线y＝－1的距离是4，恰好大2，符合题意。 　题型2　变式：含参数的椭圆方程 变式1　【答案】A 【解析】方程表示椭圆，要求两个分母都为正，即m－1＞0且3－m＞0，解得1＜m＜3。 焦点在x轴上，还要求的分母大于的分母，即m－1＞3－m，解得m＞2。 取交集得2＜m＜3。B漏掉了两个分母的大小比较，C给出的是焦点在y轴上的范围，D漏掉了3－m＞0。故选A。 变式2　【答案】＋＝1 【解析】由长轴长2a＝12得a＝6。 由e＝＝得c＝2，于是＝－＝36－4＝32。 因为焦点在x轴上，所以标准方程是＋＝1。 变式3　【答案】＋＝1 【解析】短轴的端点落在y轴上，说明短轴在y轴上，长轴在x轴上，焦点也在x轴上，且b＝3。 设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞3）。 由e＝＝得＝()。 又＝－9，所以()＝－9，解得＝18。 因为18＞9，满足a＞b＞0，所以椭圆的标准方程是＋＝1。 变式4　【答案】C 【解析】由焦距2c＝4得c＝2，＝4。 若焦点在x轴上，则9＞m，由m＝9－4得m＝5，此时9＞5，符合。 若焦点在y轴上，则m＞9，由9＝m－4得m＝13，此时13＞9，符合。所以m＝5或m＝13。A与B各只取了一种焦点位置，都漏掉了另一种；D把焦距4直接当成了。故选C。 　题型3　变式：由方程读性质、由性质定参数 变式1　【答案】D 【解析】由方程得＝16，＝7，所以＝16－7＝9，c＝3，a＝4。 于是e＝＝。 A把b错当成了c，B是b与a的比值的另一种误算，C把与的比值当成了离心率。故选D。 变式2　【答案】a＝5 【解析】由a＞3知＞9，所以焦点在x轴上，＝－9。 由焦距2c＝8得c＝4，即－9＝16。 所以＝25，又a＞3，所以a＝5。 变式3　【答案】＋＝1 【解析】由e＝＝得＝。 又＝－，所以＝，即1－＝。 于是＝，＝4。 把点(2，1)的坐标代入方程＋＝1，得＋＝1。 即＋＝1，＝1，解得＝2，从而＝8。 经检验8＞2＞0，所以椭圆C的方程是＋＝1。 　题型4　变式：渐近线与参数 变式1　【答案】D 【解析】由方程得＝4，＝12，所以a＝2，b＝2。 焦点在x轴上，渐近线方程是y＝±()x＝±()x。 化简得y＝±()x。A、C把b与a的比值写反了，B把与的比值当成了斜率。故选D。 变式2　【答案】m＝1 【解析】由方程得＝m，＝4，焦点在x轴上，所以渐近线方程是y＝±()x。 由b＝2与＝2得a＝1，于是m＝＝1。 检验：此时双曲线是－＝1，渐近线确为y＝±2x。 变式3　【答案】－＝1 【解析】焦点F(0，5)在y轴上，所以设标准方程为－＝1（a＞0，b＞0），且c＝5。 焦点在y轴上时渐近线方程是y＝±()x，由已知得＝，即3a＝4b。 又＋＝＝25，把b＝()a代入，得＋()＝25。 即()＝25，解得＝16，从而＝9。 所以双曲线的标准方程是－＝1。 变式4　【答案】B 【解析】实轴长2a与虚轴长2b相等，所以a＝b，这样的双曲线叫做等轴双曲线。 由＝＋＝2得c＝()a。 所以e＝＝。A是把c与a的比值倒过来算的结果，C与D对应的是另外两种a与b的关系。故选B。 　题型5　变式：离心率与直角焦点三角形 变式1　【答案】D 【解析】由方程得＝9，＝27，所以＝9＋27＝36，c＝6，a＝3。 于是e＝＝＝2。 A的值小于1，任何双曲线的离心率都不可能取到；B是把a与b的位置对调后算出的结果；C把b与a的比值当成了离心率。故选D。 变式2　【答案】虚轴长是2 【解析】由实轴长2a＝4得a＝2。 由e＝＝得c＝，所以＝5。 又＝－＝5－4＝1，所以b＝1，虚轴长2b＝2。 变式3　【答案】面积是9 【解析】由方程得＝16，＝9，所以a＝4，＝16＋9＝25，c＝5，|F₁F₂|＝10。 设m＝|MF₁|，n＝|MF₂|。由双曲线的定义得m－n＝±8，两边平方得＋－2mn＝64。 由MF₁⊥MF₂及勾股定理得＋＝＝100。 代入上式得100－2mn＝64，所以mn＝18。 所以△MF₁F₂的面积S＝()mn＝()×18＝9。 　题型6　变式：四种标准方程的互化 变式1　【答案】D 【解析】方程的平方项是，一次项是y且系数为负，所以对称轴是y轴，开口向下。 对照＝－2py得2p＝8，p＝4，＝2。 开口向下时焦点在y轴负半轴上，所以焦点是(0，－2)。A弄反了开口方向，B与C把对称轴看成了x轴。故选D。 变式2　【答案】横坐标是6 【解析】由＝16x得2p＝16，p＝8，＝4，准线是直线x＝－4。 设这个点为(x₀，y₀)，它到准线的距离是x₀－(－4)＝x₀＋4。 由x₀＋4＝10解得x₀＝6。 变式3　【答案】＝16x或＝－12y 【解析】顶点在原点、对称轴是坐标轴的抛物线，焦点一定落在某条坐标轴上，所以焦点是直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点。 令y＝0得3x－12＝0，x＝4，交点是(4，0)；令x＝0得－4y－12＝0，y＝－3，交点是(0，－3)。 若焦点是(4，0)，则开口向右，＝4，2p＝16，方程是＝16x。 若焦点是(0，－3)，则开口向下，＝3，2p＝12，方程是＝－12y。 综上，所求的标准方程是＝16x或＝－12y。 变式4　【答案】B 【解析】＝2px（p＞0）的准线方程是x＝－。 准线经过点(－3，2)，说明这条竖直直线上的点的横坐标都是－3，所以－＝－3。 解得p＝6。A把p与弄混了，C是由＝3误算成p＝，D把准线方程记成了x＝－2p。故选B。 　题型7　变式：焦半径的正用与逆用 变式1　【答案】C 【解析】由＝4x得p＝2，＝1，准线是x＝－1。 设M(x₀，y₀)，由抛物线的定义得x₀＋1＝4，解得x₀＝3。 点M到y轴的距离就是|x₀|＝3。A是把p当成了，B与D都把准线方程记错了。故选C。 变式2　【答案】通径长是8 【解析】由＝8x得2p＝8，p＝4，焦点是(2，0)，通径所在的直线是x＝2。 把x＝2代入＝8x，得＝16，y＝±4，所以通径的两个端点是(2，4)与(2，－4)。 所以通径的长是4－(－4)＝8，这个长度恰好等于2p。 变式3　【答案】最小值是4 【解析】抛物线＝4x的准线是x＝－1。设点P到准线的垂足为Q，由抛物线的定义得|PF|＝|PQ|。 于是|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PQ|。 先判断点A的位置：把x＝3代入＝4x得＝12，而＝4＜12，所以点A在抛物线内部。 折线APQ的长不小于点A到准线的距离，当且仅当P，A，Q三点共线（即PQ与x轴平行）时取到最小值。 点A到准线x＝－1的距离是3－(－1)＝4，所以|PA|＋|PF|的最小值是4。 　题型8　变式：公共点个数与相切条件 变式1　【答案】C 【解析】把y＝x－1代入＝4x，得＝4x。 整理得－6x＋1＝0，判别式Δ＝36－4＝32＞0。 所以方程有两个不相等的实数根，两条曲线有两个公共点。A对应判别式小于零的情形，B对应判别式等于零的情形，D超过了一元二次方程实数根个数的上限。故选C。 变式2　【答案】b＝1 【解析】把y＝2x＋b代入＝8x，得＝8x。 整理得4＋(4b－8)x＋＝0，其中二次项系数4≠0。 由Δ＝－16＝64－64b＝0，解得b＝1。 变式3　【答案】－＜k＜ 【解析】把y＝kx－2代入＋＝1，两边同乘4，得＋4＝4。 展开整理得(1＋4)－16kx＋12＝0，二次项系数1＋4恒为正。 直线与椭圆没有公共点，即这个方程没有实数根，所以Δ＜0。 Δ＝－4(1＋4)×12＝256－192－48＝64－48。 由64－48＜0得＜，所以－＜k＜。 变式4　【答案】B 【解析】把y＝x＋1代入－＝1，得－＝1。 展开得－－2x－1＝1，即－2x＝2，解得x＝－1，此时y＝0。 消元后得到的是一次方程，实数根只有一个，对应的公共点是(－1，0)。这是直线与渐近线y＝x平行时的情形，它并不是切线。A把一次方程误判成无解，C误以为消元后仍是二次方程，D超过了一次方程实数根个数的上限。故选B。 　题型9　变式：弦长公式与点差法 变式1　【答案】D 【解析】把y＝x－2代入＝4x，得＝4x，整理得－8x＋4＝0。 由根与系数的关系得x₁＋x₂＝8，x₁x₂＝4，所以|x₁－x₂|＝＝4。 直线的斜率k＝1，所以|AB|＝×4＝4。注意这条直线经过点(2，0)，它并不是焦点，不能用x₁＋x₂＋p。A与C分别是把漏乘、把|x₁－x₂|误算成x₁＋x₂后得到的结果，B是误用x₁＋x₂＋p＝8＋1得到的。故选D。 变式2　【答案】 【解析】由方程得＝4，＝3，所以＝1，右焦点F(1，0)，直线的方程是y＝x－1。 代入椭圆方程并同乘12，得3＋4＝12，整理得7－8x－8＝0。 由根与系数的关系得x₁＋x₂＝，x₁x₂＝－，于是－4x₁x₂＝＋＝。 所以|x₁－x₂|＝，|AB|＝×()＝。 变式3　【答案】8x－y－15＝0 【解析】设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则－＝1，－＝1。 两式相减得(－)－＝0，即(x₁＋x₂)(x₁－x₂)＝。 因为M(2，1)是AB的中点，所以x₁＋x₂＝4，y₁＋y₂＝2。 代入得4(x₁－x₂)＝，所以＝8，即直线AB的斜率k＝8。 由点斜式得y－1＝8(x－2)，化成一般式是8x－y－15＝0。 检验：把y＝8x－15代入－＝1，得60－240x＋229＝0，判别式Δ＝－4×60×229＝2640＞0，弦确实存在。 　题型10　变式：圆锥曲线与圆的配合 变式1　【答案】B 【解析】由方程得＝25，＝9，所以b＝3，＝25－9＝16，c＝4。 两个焦点之间的距离是2c＝8，短轴端点到x轴的距离是b＝3。 所以三角形的面积S＝()×8×3＝12。A把底边取成了c，C把面积算成了底乘高，D用错了b的值。故选B。 变式2　【答案】半径是4 【解析】由方程得＝9，＝16，所以＝9＋16＝25，c＝5，右焦点是(5，0)。 一条渐近线的方程是y＝()x，化成一般式是4x－3y＝0。 圆与这条渐近线相切，半径等于圆心到它的距离，即r＝＝＝4。 变式3　【答案】r＝2或r＝2 【解析】由圆的方程得＝－，代入椭圆方程并同乘8，得(－)＋2＝8。 整理得＝8－，进而＝－＝2－8。 若＞0且＞0，则y有两个值、x也有两个值，公共点共有4个，不合题意。 所以只能是＝0或＝0。 由＝0得＝8，此时＝8，公共点是(2，0)与(－2，0)，恰好两个，r＝2。 由＝0得＝4，此时＝4，公共点是(0，2)与(0，－2)，恰好两个，r＝2。 综上，r＝2或r＝2。 变式4　【答案】A 【解析】由＝4x得2p＝4，p＝2，准线是直线x＝－1。 圆的圆心是原点，它到直线x＝－1的距离d＝0－(－1)＝1。 圆与这条直线相切，所以r＝d＝1。B、C、D分别是把准线记成x＝－2、x＝－3与x＝－4时得到的值。故选A。 　题型11　变式：建系与代入 变式1　【答案】D 【解析】拱顶在原点、开口向下，设方程为＝－2py（p＞0）。 跨度16m说明拱脚的横坐标是±8，拱高4m说明拱脚的纵坐标是－4，即拱脚为(8，－4)。 代入得64＝－2p×(－4)＝8p，所以2p＝16，方程是＝－16y。A把跨度当成了半跨度，B、C的对称轴或开口方向都不对。故选D。 变式2　【答案】＋＝1（y≥0） 【解析】门宽8m说明椭圆与x轴的两个交点是(－4，0)与(4，0)，所以长半轴长a＝4。 最高处离地面3m说明椭圆与y轴正半轴的交点是(0，3)，所以短半轴长b＝3。 拱门只是椭圆位于x轴上方的一半，所以方程是＋＝1（y≥0）。 变式3　【答案】－＝1（x≥340） 【解析】设爆破点为P。因为B处比A处早2s听到，所以P离B更近，且|PA|－|PB|＝340×2＝680。 由0＜680＜1200＝|AB|知，点P在以A，B为焦点的双曲线上，且在靠近B的那一支即右支上。 由2a＝680得a＝340，＝115600；由2c＝1200得c＝600，＝360000。 于是＝－＝360000－115600＝244400。 因为只取右支，所以x≥a＝340，所求方程是－＝1（x≥340）。 　题型12　变式：最值与定值（拓展） 变式1　【答案】B 【解析】由方程得＝4，＝12，所以a＝2，＝4＋12＝16，c＝4，F(4，0)。 设P(x，y)在右支上，则x≥2，且＝12(－1)＝3－12。 设d＝|PF|，则＝＋＝－8x＋16＋3－12＝4－8x＋4＝4。 所以d＝2|x－1|＝2(x－1)（因为x≥2）。当x＝2时d取到最小值2×(2－1)＝2，它恰好等于c－a。A小于c－a，右支上取不到；C是把顶点到原点的距离a误当成了答案的两倍；D是把c＋a当成了最小值。故选B。 变式2　【答案】最小值是2 【解析】设P(x，y)，则＝4x，且x≥0。 设d＝|PA|，则＝＋＝－6x＋9＋4x＝－2x＋9＝＋8。 因为x≥0，所以当x＝1时取到最小值0，此时＝8。 所以|PA|的最小值是＝2。 变式3　【答案】y₁y₂＝－16，x₁x₂＝16 【解析】因为直线与抛物线交于两点，它不能与x轴重合，所以可以设直线的方程为x＝ty＋4（t是实数）。 把x＝ty＋4代入＝4x，得＝4(ty＋4)，即－4ty－16＝0。 这个方程的判别式Δ＝16＋64＞0，所以它总有两个不相等的实数根，A，B确实存在。 由根与系数的关系得y₁y₂＝－16，它与t无关，是定值。 又x₁＝，x₂＝，所以x₁x₂＝＝＝16，同样与t无关。 所以y₁y₂＝－16与x₁x₂＝16都是定值。 　易错专练 易错1　【答案】焦点在y轴上，坐标是(0，－4)与(0，4)；错在按写在前面就断定焦点在x轴上 【解析】错解示例：看到写在前面，就说焦点在x轴上；又把的分母9当成、把25当成，代入＝－得9－25＜0，于是丢掉负号，直接把分母9开方写成c＝3。 错因：焦点在哪个轴上由两个分母的大小决定，与，的书写次序无关。本题中25＞9，较大的分母在下面，所以焦点在y轴上。 正解：由方程得＝25，＝9，所以＝－＝25－9＝16，c＝4。 因为焦点在y轴上，所以两个焦点是(0，－4)与(0，4)。 提醒：读椭圆方程的第一步固定为“比两个分母的大小”，把大的那个圈出来标上，这样a与b就不会对调。 易错2　【答案】焦距是10；错在把椭圆的三量关系用到了双曲线上 【解析】错解示例：把＝－直接搬到双曲线上，得到一个负数后断定题目有误。 错因：椭圆的三量关系是＝－（a最大），双曲线的三量关系是＝＋（c最大），两者符号相反。双曲线里a与b没有大小之分，比大是很常见的。 正解：由方程得＝9，＝16，所以＝＋＝9＋16＝25，c＝5。 所以焦距2c＝10。 提醒：记住“椭圆里a最大、双曲线里c最大”这一句，就不会把两个公式互换。写出方程后先在草稿上标明“这是椭圆”还是“这是双曲线”，再取对应的公式。 易错3　【答案】p＝4，焦点是(2，0)，准线是x＝－2；错在把一次项系数当成了p 【解析】错解示例：直接把一次项系数8当作p，再按焦点(，0)写出(4，0)。 错因：标准方程的形式是＝2px，一次项系数是2p而不是p。本题中2p＝8，所以p＝4，而不是8。 正解：由2p＝8得p＝4，于是＝2。 抛物线开口向右，焦点是(2，0)，准线是x＝－2。 提醒：看到＝2px先在草稿上写一行“2p＝一次项系数”，再算p与，这三个量分别用在焦点、准线与焦半径里，一步错则三处全错。 易错4　【答案】以M(2，1)为中点的弦不存在；漏掉了“中点必须在椭圆内部”这一步检验 【解析】错解示例：直接对两个端点用点差法，两式相减并整理，得＋＝0，代入x₁＋x₂＝4、y₁＋y₂＝2算出斜率k＝－，再写出直线方程3x＋2y－8＝0。 错因：点差法只是在“这样的弦存在”的前提下推出斜率，它本身不能保证弦存在。中点必须落在曲线的内部，弦才可能存在。 正解：把M(2，1)代入椭圆方程的左边，得＋＝。 因为＞1，所以点M在椭圆的外部，以M为中点的弦并不存在，前面算出的斜率没有意义。 提醒：用点差法前先做一次“代入比1”的检验；算完之后也可以把直线方程与曲线方程联立验判别式，两道保险任选一道都行。 易错5　【答案】满足条件的点不存在；错在没有把常数8与|AB|比较 【解析】错解示例：看到“到两个定点的距离之和是常数”，直接套椭圆的定义，由2a＝8得a＝4，又由两点间的距离|AB|＝10得c＝5，再写＝16－25＜0，却仍坚持说是椭圆。 错因：椭圆的定义要求这个常数大于两个定点间的距离。本题中|AB|＝10，而给出的常数是8，8＜10，条件与三角形两边之和大于第三边矛盾。 正解：由两点间的距离公式得|AB|＝10。 对平面内任意一点M，总有|MA|＋|MB|≥|AB|＝10＞8，所以满足|MA|＋|MB|＝8的点一个也没有。 提醒：定义型轨迹题的第一步永远是“先算两个定点之间的距离，再与给出的常数比大小”。大于才是椭圆，相等是线段，小于则无轨迹，三档缺一不可。 易错6　【答案】渐近线方程是y＝±()x；错在把焦点在y轴上时的斜率写成了b与a的比 【解析】错解示例：不管焦点在哪个轴上，一律用y＝±()x，得到y＝±()x。 错因：焦点在x轴上时渐近线是y＝±()x，焦点在y轴上时渐近线是y＝±()x，两者的斜率互为倒数。本题的正号跟着，焦点在y轴上。 正解：由方程得＝9，＝16，所以a＝3，b＝4。 焦点在y轴上，所以渐近线方程是y＝±()x＝±()x。 提醒：与其记两套公式，不如把右边的1换成0再分解：由－＝0得(＋)(－)＝0，斜率自然就出来了，不必分情形。 易错7　【答案】点M的横坐标是－3；错在把开口向右的焦半径写法用到了开口向左的抛物线上 【解析】错解示例：不看开口方向，直接套用“焦半径等于横坐标加”，列出x₀＋2＝5。 错因：＝－8x的开口向左，准线在y轴右侧。抛物线上的点的横坐标都不大于0，横坐标加2根本不可能等于5。 正解：由＝－2px与－2p＝－8得2p＝8，p＝4，＝2，准线是x＝2。 设M(x₀，y₀)，由抛物线的定义得点M到焦点的距离等于它到准线的距离，即2－x₀＝5。 解得x₀＝－3。把x₀＝－3代入方程得＝24，确有实数解，符合题意。 提醒：焦半径不要背公式，先写出准线方程，再用“点到准线的距离”去算。开口向左写2－x₀，开口向上写y₀＋，开口向下写－y₀，四种情形一目了然。 　课后作业（一）基础过关 1．【答案】A 【解析】因为9＞4，较大的分母在下面，所以焦点在y轴上，＝9，＝4。 于是＝9－4＝5，c＝。 所以两个焦点是(0，－)与(0，)。B把焦点放错了轴，C与D用的是＝＋。故选A。 2．【答案】B 【解析】由方程得＝16，＝9，双曲线的三量关系是＝＋。 所以＝16＋9＝25，c＝5。 焦距是2c＝10。A把半焦距当成了焦距，C与D用了椭圆的三量关系。故选B。 3．【答案】C 【解析】先化成标准形式：由＋8x＝0得＝－8x，对称轴是x轴，开口向左。 对照＝－2px得2p＝8，p＝4，＝2。 开口向左时准线在y轴右侧，方程是x＝2。A与B把对称轴看成了y轴，D弄反了开口方向。故选C。 4．【答案】A 【解析】由方程得＝16，＝12，所以＝16－12＝4，c＝2，a＝4。 所以e＝＝＝。 B是把与的比值当成了离心率，C与D对应的是另外两组a与c。故选A。 5．【答案】D 【解析】正号跟着，所以焦点在y轴上，＝4，＝9，即a＝2，b＝3。 焦点在y轴上时渐近线方程是y＝±()x。 所以两条渐近线是y＝()x与y＝－()x。A把a与b的比写反了，B与C用的是与的比。故选D。 6．【答案】14 【解析】因为49＞24，所以＝49，长轴在x轴上。 所以a＝7，长轴长2a＝14。 7．【答案】2；3 【解析】由方程得＝1，＝8，所以a＝1，实轴长2a＝2。 由＝＋＝1＋8＝9得c＝3。 所以离心率e＝＝3。 8．【答案】(0，3)；y＝－3 【解析】由＝12y得2p＝12，所以p＝6，＝3。 平方项是且一次项系数为正，抛物线的开口向上，焦点在y轴正半轴上。 所以焦点坐标是(0，3)，准线方程是y＝－3。 9．【答案】＋＝1 【解析】焦点在y轴上，所以设标准方程为＋＝1（a＞b＞0）。 由长轴长2a＝6得a＝3；由焦点坐标得c＝2。 于是＝－＝9－4＝5，标准方程是＋＝1。 10．【答案】（1）－＝1；（2）－＝1 【解析】（1）顶点(4，0)在x轴上，所以焦点在x轴上，a＝4；又虚半轴长b＝3。 于是＝16，＝9，标准方程是－＝1。 （2）焦点在y轴上，设标准方程为－＝1（a＞0，b＞0），且c＝4。 点(0，3)在y轴上，它是双曲线的一个顶点，所以a＝3。 于是＝－＝16－9＝7，标准方程是－＝1。 11．【答案】周长是20，|PF₂|＝4 【解析】由方程得＝36，＝20，所以a＝6，＝36－20＝16，c＝4。 设m＝|PF₁|，n＝|PF₂|。由椭圆的定义得m＋n＝2a＝12。 把m＝8代入，得n＝12－8＝4，即|PF₂|＝4。 又|F₁F₂|＝2c＝8，所以△PF₁F₂的周长为m＋n＋|F₁F₂|＝12＋8＝20。 12．【答案】标准方程是＝16x，焦点是(4，0)，准线是x＝－4 【解析】焦点在x轴正半轴上，开口向右，设标准方程为＝2px（p＞0）。 把M的坐标代入，得＝2p×1，即16＝2p。 所以标准方程是＝16x。 由2p＝16得p＝8，＝4。 所以焦点是(4，0)，准线是x＝－4。 　课后作业（二）能力提升 1．【答案】C 【解析】曲线是双曲线，等价于两个分母一正一负，即(k－1)(4－k)＜0。 把不等式两边同乘－1，得(k－1)(k－4)＞0，解得k＜1或k＞4。 A是曲线为椭圆或圆时的范围，B与D都漏掉了k＜1这一支。故选C。 2．【答案】B 【解析】由e＝＝2得c＝2a，于是＝－＝4－＝3，b＝()a。 焦点在y轴上，渐近线方程是y＝±()x。 于是两条渐近线是y＝()x与y＝－()x。A把a与b的比写反了，C与D与离心率2对不上。故选B。 3．【答案】3 【解析】双曲线的三量关系是＝＋，这里＝16，所以＝＋16。 由＝＝得＝，即1＋＝。 所以＝，＝9，又a＞0，所以a＝3。 4．【答案】距离是5 【解析】由方程得＝4，＝5，所以＝4＋5＝9，c＝3，横坐标3恰好是右焦点的横坐标。 把x＝3代入方程，得－＝1，即＝。 所以＝，y＝±，两个点是(3，)与(3，－)，它们之间的距离是－(－)＝5。 5．【答案】（1）；（2）(－，) 【解析】（1）把y＝x＋1代入＋＝1，两边同乘4，得＋2＝4。 展开整理得3＋4x－2＝0，判别式Δ＝16＋24＝40＞0，两个交点确实存在。 设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，由根与系数的关系得x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝－。 于是－4x₁x₂＝＋＝，所以|x₁－x₂|＝。 直线的斜率k＝1，所以|AB|＝×()＝＝。 （2）中点的横坐标是＝－，代入y＝x＋1得纵坐标为。 所以线段AB的中点是(－，)。 6．【答案】（1）－＝1；（2）y＝±()x 【解析】（1）设标准方程为－＝1（a＞0，b＞0）。 由＝＝与＝＋，得＝，即1＋＝。 所以＝，即＝4。 把点(4，)代入－＝1，得－＝1。 即－＝1，所以＝1，＝1，从而＝4。 所以双曲线C的标准方程是－＝1。 （2）由a＝2，b＝1且焦点在x轴上，得渐近线方程y＝±()x＝±()x。 7．【答案】距离是3 【解析】由＝4x得2p＝4，所以p＝2，焦点F(1，0)。 设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)。因为弦AB过焦点，所以|AB|＝x₁＋x₂＋p。 由|AB|＝8与p＝2，得x₁＋x₂＝8－2＝6。 线段AB的中点的横坐标是＝3。 中点到y轴的距离等于它的横坐标的绝对值，所以所求距离是3。 8．【答案】（1）＋＝1；（2）4 【解析】（1）由＝＝与＝－，得＝。 所以1－＝，即＝，＝2。 把点(2，)代入＋＝1，得＋＝1。 即＋＝1，所以＝1，＝4，从而＝8。 因为8＞4＞0，满足a＞b＞0，所以椭圆C的方程是＋＝1。 （2）由＝4得b＝2，所以短轴长2b＝4。 　课后作业（三）拓展挑战 1．【答案】B 【解析】直线2x－y＋1＝0的斜率是2，所以这条渐近线的斜率也是2。 焦点在x轴上时渐近线是y＝±()x，所以＝2，即＝4。 于是＝＋＝5，＝5，又e＞1，所以e＝。A、C、D分别对应等于、与。故选B。 2．【答案】|AB|＝ 【解析】由＝4x得2p＝4，p＝2，焦点F(1，0)。 倾斜角为60°的直线的斜率是tan60°＝，方程是y＝()(x－1)。 代入＝4x，得3＝4x，整理得3－10x＋3＝0。 由根与系数的关系得x₁＋x₂＝，所以|AB|＝x₁＋x₂＋p＝＋2＝。 3．【答案】m＝2或m＝－2 【解析】把y＝x＋m代入＋＝1，两边同乘8，得＋2＝8。 展开整理得3＋4mx＋2－8＝0。 设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，由根与系数的关系得x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝。 于是－4x₁x₂＝－＝。 直线的斜率k＝1，设d＝|AB|，则＝2×＝。 由d＝得＝，所以192－16＝128，解得＝4，m＝±2。 检验：m＝±2时判别式Δ＝16－12(2－8)＝96－8＝64＞0，两个交点确实存在。 4．【答案】面积是16 【解析】由方程得＝9，＝16，所以a＝3，＝9＋16＝25，c＝5，|F₁F₂|＝10。 设m＝|PF₁|，n＝|PF₂|。由双曲线的定义得|m－n|＝2a＝6，两边平方得＋－2mn＝36。 在△PF₁F₂中由余弦定理得100＝＋－2mn·cos60°＝＋－mn。 两式相减，得(＋－mn)－(＋－2mn)＝100－36，即mn＝64。 所以面积S＝()mn·sin60°＝()×64×()＝16。 5．【答案】斜率之积恒等于－ 【解析】设A(x₀，y₀)，则由对称性得B(－x₀，－y₀)；再设P(x，y)，其中x≠±x₀。 因为A，P都在椭圆C上，所以＋＝1，＋＝1。 两式相减，得＋(－)＝0，即－＝－。 由斜率公式得直线PA的斜率是，直线PB的斜率是。 两者之积为＝。 把前面得到的关系式代入，得这个比值等于－。 所以直线PA与直线PB的斜率之积恒等于－，与点P的位置无关。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $