江苏省南京市玄武区2026-2027学年八年级上学期期中数学模拟试卷

南京市玄武区2026-2027学年八年级上学期期中数学模拟试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12.   13.   14. ，  15.   16. 或  17.   18.   19. 【小题】       【小题】 ， ， 【小题】 ， ， 【小题】 ，   ，   ，   ，   。   20. 证明：， ， 即， 在和中， ， ≌．  21. 【小题】由网格可得，，而， ， 点在数轴上表示的数是，点在点的左边， 点所表示的数是， ，，而， ， 又， ， ， 答：点所表示的数是， 【小题】如图，借助网格，作线段，则，以点为圆心，为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点在数轴上所表示的数是 【小题】   22. 【小题】 不会 【小题】 米，米，米，   米，   设米，则米，   又，   即，   ，   米，   答：梯子的长度是米。   23. 【小题】证明：的垂直平分线分别交，于点，，  ，  ，  ，  ，  又，  ，  ；  【小题】解：，由知，  ，  由知，  ．   24. 【小题】，，， ，， 在和中， ， ≌， ， 是等腰三角形 【小题】如图，过作于点， 由得≌， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 平分   25. 【小题】 【小题】 在中，，   ，   平分，平分，   ，   ，      ：：：：，   设，，，   ，   ，   解得负值舍去，   【小题】 由可知，，   ，   平分，   ，   在和中，   ，   ≌，   ，，   记、交于点，      ，   ，   设，   ，   ，   ，   平分，   ，   ，   ，   又，   ≌，        26. 【小题】   【小题】 延长交于点，作于点，作于点， ，， ， 的面积为， ，即， 解得， ，，， ，， ， ， ， ，即， ，， ，， ， ， 同理，， ； 【小题】 作于点，作于点，作于点， ，， ， ， ，即， 求得， ，， ， ，， ， ， 四边形面积的最小值为平方米， 种植花草每平米元， 植花草的最低费用是元．   27. 【小题】   【小题】 ，证明如下： 将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ，， ， ， ， ，， ， ， ； ，， 垂直平分， ， 是等边三角形， ，， 如图，延长至，使得，连接， ， ， ， ， ，即， 在和中， ， ，， ， 由可得， ，即； 【小题】 解：， 由的结论可得：， 是等边三角形， ， ， ，则当时，符合题意，如图， 在中，， 在中，， ．   【解析】 1. 解：无限不循环小数是无理数， A.是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B.是无理数，故本选项符合题意； C.是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； D.是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； 故选：． 无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项． 本题主要考查无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像两个之间依次多一个等有这样规律的数． 2. 解：，， 在和中， ， ≌， 故选：． 先找出两个三角形的三组条件：公共角，夹边，另一组角，两角夹一边，对应 判定． 本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 3. 解：还需添加条件，  于，  ，  在和中，  ，  ≌  故选：． 根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等可以简写成“斜边、直角边”或“”可得需要添加条件． 此题主要考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是正确理解定理． 4. 解：、， 不能作为直角三角形的三边长，不符合题意； B、， 能作为直角三角形的三边长，符合题意； C、， 不能作为直角三角形的三边长，不符合题意； D、， 不能作为直角三角形的三边长，不符合题意， 故选：． 根据勾股定理的逆定理解答即可． 本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 5. 解：连接、． 是的平分线，，， ． ，是的中点， ． 在和中， ， ≌， ． 在和中， ， ≌， ， ， ， ． 故选：． 连、，根据角平分线性质得；根据垂直平分线的性质得；再根据“”定理证明≌，得证明≌，可得，进而可以解决问题． 本题考查了角平分线性质和垂直平分线的性质，利用了三角形全等的判定和性质解题．正确作出辅助线是解答本题的关键，属于中考常考题型． 6. 【分析】 此题主要考查了无理数、立方根、算术平方根的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式． 根据无理数、立方根、算术平方根的定义解答即可． 【解答】 解：， A、一定是负数，原说法正确，故此选项不符合题意； B、是的立方根，原说法错误，故此选项不符合题意； C、是无理数，原说法正确，故此选项不符合题意； D、是的算术平方根，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：． 7. 解：中，，，， ， 由题意可得： ，， 若， 当时， ， ， ， ， ， 当时，， 若时， 当时， ， ， ， ， 当时，舍去， 综上可得：的值为或或， 故选：． 要使为直角三角形，则可能出现和两种情况，同时还需要分点从到以及从到两种情况，不难得到当时，，当时，；当，根据得出，由含角的直角三角形的性质，可得到的长度，建立关于的方程，求出的值，同理求解时的值． 本题考查勾股定理，含角的直角三角形的性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． 8. 解：，，， ， ， ， 设点到的距离为， ，即， 解得， 点在平行于且到距离为  的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，连接， 此时取得最小值，最小值为线段的长，， 点到直线的距离为， 点到直线的距离为，点到的距离为， 在中，，， 由勾股定理得， 的最小值是． 故选：． 先求出，结合，求出，设点到的距离为，求出，得出点在平行于且到距离为  的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，连接，此时取得最小值，最小值为线段的长，，在中，根据勾股定理求出即可； 本题考查轴对称最短路线问题，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 9. 解：，， ，， ， ， ． 故答案为：． 根据两个负数，绝对值大的反而小比较即可． 本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键． 10. 解：， ， ，， ，， 由勾股定理得该直角三角形的斜边长为， 故答案为：． 根据非负数的性质求出、的值，再利用勾股定理求解即可． 本题考查了勾股定理，非负数的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 11. 解：，，且， ， 、为连续正整数，且， ，， ． 故答案为：． 根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． 12. 解：如图，延长到，使，连接，则． 是的中线， ， 和中， ， ≌， ． ， ， 在中，， 的取值范围为． 故答案为：． 首先延长到，使，连接，证明≌，然后根据三角形的三边关系即可求解． 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 13. 解：精确到万位需看千位数字，千位数字小于则舍去，否则进位；再用科学记数法表示可得： 数字精确到万位为，用科学记数法表示为． 故答案为：． 表示时关键要正确确定的值以及的值．精确到万位需看千位数字，千位数字小于则舍去，否则进位；再用科学记数法表示结果． 本题考查科学记数法的表示方法及求近似数．熟练掌握该知识点是关键． 14. 解：等腰三角形中，有一个角是， 该等腰三角形的顶角为， 另外两个角相等，为， 故答案为：、． 由条件可知该等腰三角形的顶角为，结合三角形内角和可求得另外两个角的度数． 本题主要考查等腰三角形的性质，判断出顶角的大小是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用． 15. 解：过点作于点． 平分， ， ，， ≌， ，， ， 设，则有， 解得， ． 故答案为：． 过点作于点≌，推出，，设利用勾股定理构建方程求出可得结论． 本题考查作图基本作图，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 16. 解：连接，过作于，于， ，， ， ， 当是以为腰的等腰三角形， ，为的中点， ， ， 在与中， ， ≌， ， ， ， 同理证得≌， ， ． 故答案为：或． 连接，过作于，于，由，，则，，根据角平分线的性质得，然后证明≌，则，再根据四边形内角和求出，同理． 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四边形的内角和，掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键． 17. 解：点是的中点， ， ， 同理，， ， ， 即， 又， ， 平方厘米， 故答案为：． 先计算，的面积，再计算、、、的面积，最后计算即可． 本题考查了三角形中线的性质，理解三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键． 18. 解：在等腰直角中，，，， ， ， 过点作交于点，作交于点， 则， 如下图所示， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 平分， ， 当时，取得最小值， 当时，，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 用勾股定理求出，过点作交于点，作交于点，利用全等判定定理证明≌，得到，根据角的平分线的判定定理可知点在的平分线上运动，点到线之间，垂线段最短，利用勾股定理求解即可． 本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 19.       ， ，  ， ，  ，   ，   ，   ，   。 20. 证明：， ， 即， 在和中， ， ≌． 题目给的角是和，不是三角形内部的对应角，先同时减去公共角，得到，再用全等判定． 本题考查全等三角形的判定，正确记忆相关知识点是解题关键． 21. 解：由网格可得，，而， ， 点在数轴上表示的数是，点在点的左边， 点所表示的数是， ，，而， ， 又， ， ， 答：点所表示的数是，； 如图，借助网格，作线段，则，以点为圆心，为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点在数轴上所表示的数是； 这种研究和解决问题的方式，体现的是数形结合思想， 故答案为：． 借助网格，利用勾股定理求出的长，即的长，再根据数轴表示数的方法进行解答即可； 借助网格和勾股定理构造线段，再以点为圆心，为半径画弧，交数轴的正半轴于点，点在数轴上所表示的数是； 根据可知利用的是数形结合． 本题考查实数的大小比较，实数与数轴，掌握数轴表示数的方法，勾股定理以及实数大小的比较方法是正确解答的关键． 22.  由题意可得：，  米，米，  ，  故答案为：；不会  米，米，米，  米，  设米，则米，  又，  即，  ，  米，  答：梯子的长度是米。 23. 证明：的垂直平分线分别交，于点，，  ，  ，  ，  ，  又，  ，  ；  解：，由知，  ，  由知，  ． 根据线段垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，结合三角形外角的性质可得出，结合已知可得，根据等角对等边即可得证；  根据三角形内角和定理并结合中，求解即可． 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 24. 证明：，，， ，， 在和中， ， ≌， ， 是等腰三角形； 如图，过作于点， 由得≌， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 平分． 由，，，得，，证明≌，故有，从而求证； 过作于点，则有，故，由得≌，所以，，由等腰三角形的性质得，根据垂直的定义可得，然后证明≌，根据性质得，从而求证． 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 25.  ，  ，  和的平分线相交于点，  ，，  ，  ；  故答案为：  在中，，  ，  平分，平分，  ，  ，    ：：：：，  设，，，  ，  ，  解得负值舍去，   由可知，，  ，  平分，  ，  在和中，  ，  ≌，  ，，  记、交于点，    ，  ，  设，  ，  ，  ，  平分，  ，  ，  ，  又，  ≌，    26.   利用勾股定理求得斜边长，再利用斜边中线的性质求解即可； 【详解】解：作于点， ，， ； 故答案为：；   延长交于点，作于点，作于点，利用三角形面积公式求得，求得，利用直角三角形的性质结合勾股定理求解即可；   作于点，作于点，作于点，由，求得的最小值为，根据全等三角形的判定和性质求得，据此进一步计算即可求解． 27.   根据旋转的性质可得，，进而根据等腰三角形的性质以及三角形的内角定理即可得出，进而根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解． 解：将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ，， ， ， ， ，， ， ， ； 如图，过点作于点， ， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：；．   同的方法证明是等边三角形，延长至，使得，连接，证明，再得出，根据的结论，即可求解；   由的结论可得：，进而在和中，利用勾股定理求得，即可求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $南京市玄武区2026-2027学年八年级上学期期中数学模拟试卷 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：新苏科版八年级数学上册第1-3章。 第一部分（选择题共16分） 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列实数中，是无理数的是() A.-1 B.V6 C.0 D 2.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，BE与CD相交于点O,若AB=AC,∠ABE=∠ACD, 则△ABE≌△ACD的依据是() A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 3.如图，在△ABC中，CD L AB,垂足为D,若要根据“HL”判定△ACD≌△BCD,需要添加的条件是() A.AC=BC B.AD=BD C.∠A=∠B D.∠ACD=∠BCD C D 4.下列几组数据中，能作为直角三角形的三边长的是() A.4,6,9 B.5,12,13 C.1,2,3 D.V6,√8，√10 第1页，共8页 5.如图，AD平分∠BAC,E是BC中点，DE1BC,DM1AB,DN⊥AC,若AB=10,AC=6,则CN的 长为() A.1 B.2 C.4 D.3 E N M 6.已知x=√7-3，下列结论错误的是() A.x是负数 B.x-√7是27的立方根 C.x2是无理数 D.x+3是7的算术平方根 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm,D为BC的中点，若动点E以1cm/S 的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设点E的运动时间为ts(0<t<6),连接DE,当△BDE 是直角三角形时，t的值为() A.2 B.2.5或3 C.3或3.5或4.5 D.2或3.5或4.5 A ▣ C D B 8如图，在△ABC中，AD1BC交BC于点D,BC=3,AD=6,点P为BC上方的动点，满是S△Pc=S△ABC, 则CP+BP的最小值是() A.4 B.5 C.6 D.7 B D C 第2页，共8页 第二部分（非选择题共104分） 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9.比较大小：-2-V3(填“>”、“<”或“=”) 10.若直角三角形的两条直角边分别为a、b,且满足√2a-6+|b-4=0,则该直角三角形的斜边长 为一· 11.若a<√11<b,且a、b为连续正整数，则a+b=· 12.如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，已知AC=5,AD=2,则AB的取值范围为一· D C 13.1364500精确到万位用科学记数法表示是一· 14.一个等腰三角形有一个角是140°，则另外两个角的度数是 15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC,BA于点D,E, 再分别以点D,E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在LABC的内部相交于点P,作射线BP交AC 于点F.已知CF=6,AF=10,则BF的长为· C A E 16.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,∠C=54°，D为BC的中点，点E在AC上，∠AED=75°，若点P 是AB上的一点，则当△DEP是以DE为腰的等腰三角形时，∠EDP的度数是一· 17.如图所示，在△ABC中，已知点D,E,F分别是BC,AD,CE的中点，S△ABc=16平方厘米，则S△BF 的值为一平方厘米. 第3页，共8页 18.如图，在等腰直角△ABC中，AC=BC,∠C=90°，AB=√2，点D是边BC上一个定点，点E是边AC 上一个动点，连接DE,在DE的右侧以DE为斜边作等腰直角△DEF,FD=FE,∠DFE=90°，连接BF, 则BF的最小值为· C D B 三、解答题：本题共9小题，共84分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19.(本小题8分) 计算或求x的值 (①)v25-V64+|π-4纠 (2)x2-1=10 (3)(2x)2=0.25 (4)27(x+2)3+125=0 20.(本小题6分) 如图，在△ABD与△ACE中，∠B=∠C,BD=CE,若∠BAE=∠CAD,求证：△ABD≌△ACE. A B D E 第4页，共8页 21.(本小题8分) 如图，OA=0B (1)求出点A表示的数，比较点A表示的数与-2.5的大小，并说明理由 (2)在数轴上作出√10所对应的点（保留作图痕迹） (3)这种研究和解决问题的方式，体现了的数学思想 A.数形结合 B.方程 C.分类讨论 D.化归 22.(本小题8分) 课本原题呈现： 一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米. ①这个梯子的顶端距地面有多高？ ②如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？ 解决问题： A 云梯 0 B B (1①)请直接写出原题中①问这个梯子的顶端距地面米；②问中，梯子的底部 在水平方向也滑动 4米（填会或不会） (2)将原题中的条件“云梯长25米”改变为“云梯顶端距地面20米”，将“梯子底端离墙7米”改变为 “梯子的顶端下滑了5米，梯子的底部在水平方向也滑动了5米”，请求出此梯子的长度是多少米？ 第5页，共8页 23.(本小题10分) 如图，在△ABC中，∠B=2LC,AC的垂直平分线分别交BC,AC于点E,F. (1)求证：AB=CE. (2)若LBAE=40°，求∠C的度数. B 24.(本小题10分) 在△ABC中，AB=CB,∠ABC=90°，点D是AC上点，AD=AB,点E是AB上一点，AE=CD. 0 D F A A B E 图1 图2 (1)如图1，求证：△BDE是等腰三角形 (2)如图2，过点E作EF⊥AC于点F,求证：ED平分∠FEB 第6页，共8页 25.(本小题10分) 已知：在△ABC中，∠ABC和LACB的平分线相交于点K (1)如图1，当LA=80°，则LBKC的度数为 (2)如图2，当LBKC=135时，AB:AC:BC=3:4:5,若S△ABc=24,求BC的长度 (3)如图3，在(2)的条件下，延长CA至点E,使CE=CB,延长BA至点D,使∠BDK+∠KBC=BKE, 求四边形BCDE的面积. D A A A K B 图1 图2 图3 26.(本小题12分) B B 图1 图2 图3 (1【初步感知】如图1，在RtABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4,则斜边AC上的高为： (2)【深入探究】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=8V2,点E是△ABC内一点，连接EA, EC,△AEC的面积为32.当∠EBC=15时，求BE的长度： (3)【学以致用】如图3，是一块等腰直角·ABC的规划用地，点O在斜边AC上，过O修一条笔直的小路 EF,且O为EF的中点，点E是三角形ABC内一点，且BE=30,连接AE,AF,CE,CF,规划者想在四 边形AECF内种植花草.己知种植花草每平米500元，OA=60米，OC=20米，则种植花草的最低费用 是多少元 第7页，共8页 27.(本小题12分) 综合与探究： 如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，将线段AC绕点A逆时针旋转(0°<<180)，得到线段 AD,连接BD,DC. D 图1 图2 备用图 ()【问题初探】如图1，当0=30时，∠B0C=一·，器=一： (2)【问题深探】如图2，过点A作AE1BD于E,直线AE与直线DC相交于点F,连接BF.当0°<a<120 时，试探究线段BF,AF,CF之间的数量关系并证明你的结论； (3)【拓展延伸】在(2)的条件下，若BC=3V2,在线段AC旋转过程中(0°<a<180),当BF=4时， 求AF的长.（直接写出结果） 第8页，共8页 南京市玄武区2026-2027学年八年级上学期期中数学模拟试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新苏科版八年级数学上册第1-3章。 第一部分（选择题 共16分） 1、 选择题： 1.下列实数中，是无理数的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：无限不循环小数是无理数， A.是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B.是无理数，故本选项符合题意； C.是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； D.是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； 故选：． 无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项． 本题主要考查无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像两个之间依次多一个等有这样规律的数． 2.如图，在中，点，分别在边，上，与相交于点，若，，则≌的依据是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：，， 在和中， ， ≌， 故选：． 先找出两个三角形的三组条件：公共角，夹边，另一组角，两角夹一边，对应 判定． 本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 3.如图，在中，，垂足为，若要根据“”判定≌，需要添加的条件是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：还需添加条件，  于，  ，  在和中，  ，  ≌  故选：． 根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等可以简写成“斜边、直角边”或“”可得需要添加条件． 此题主要考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是正确理解定理． 4.下列几组数据中，能作为直角三角形的三边长的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B  【解析】解：、， 不能作为直角三角形的三边长，不符合题意； B、， 能作为直角三角形的三边长，符合题意； C、， 不能作为直角三角形的三边长，不符合题意； D、， 不能作为直角三角形的三边长，不符合题意， 故选：． 根据勾股定理的逆定理解答即可． 本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 5.如图，平分，是中点，，，，若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：连接、． 是的平分线，，， ． ，是的中点， ． 在和中， ， ≌， ． 在和中， ， ≌， ， ， ， ． 故选：． 连、，根据角平分线性质得；根据垂直平分线的性质得；再根据“”定理证明≌，得证明≌，可得，进而可以解决问题． 本题考查了角平分线性质和垂直平分线的性质，利用了三角形全等的判定和性质解题．正确作出辅助线是解答本题的关键，属于中考常考题型． 6.已知，下列结论错误的是(    ) A. 是负数 B. 是的立方根 C. 是无理数 D. 是的算术平方根 【答案】B  【解析】【分析】 此题主要考查了无理数、立方根、算术平方根的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式． 根据无理数、立方根、算术平方根的定义解答即可． 【解答】 解：， A、一定是负数，原说法正确，故此选项不符合题意； B、是的立方根，原说法错误，故此选项不符合题意； C、是无理数，原说法正确，故此选项不符合题意； D、是的算术平方根，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：． 7.如图，在中，，，，为的中点，若动点以的速度从点出发，沿着的方向运动，设点的运动时间为，连接，当是直角三角形时，的值为(    ) A. B. 或 C. 或或 D. 或或 【答案】D  【解析】解：中，，，， ， 由题意可得： ，， 若， 当时， ， ， ， ， ， 当时，， 若时， 当时， ， ， ， ， 当时，舍去， 综上可得：的值为或或， 故选：． 要使为直角三角形，则可能出现和两种情况，同时还需要分点从到以及从到两种情况，不难得到当时，，当时，；当，根据得出，由含角的直角三角形的性质，可得到的长度，建立关于的方程，求出的值，同理求解时的值． 本题考查勾股定理，含角的直角三角形的性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． 8.如图，在中，交于点，，，点为上方的动点，满足，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：，，， ， ， ， 设点到的距离为， ，即， 解得， 点在平行于且到距离为  的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，连接， 此时取得最小值，最小值为线段的长，， 点到直线的距离为， 点到直线的距离为，点到的距离为， 在中，，， 由勾股定理得， 的最小值是． 故选：． 先求出，结合，求出，设点到的距离为，求出，得出点在平行于且到距离为  的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，连接，此时取得最小值，最小值为线段的长，，在中，根据勾股定理求出即可； 本题考查轴对称最短路线问题，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 2、 填空题： 9.比较大小：        填“”、“”或“” 【答案】  【解析】解：，， ，， ， ， ． 故答案为：． 根据两个负数，绝对值大的反而小比较即可． 本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键． 10.若直角三角形的两条直角边分别为、，且满足，则该直角三角形的斜边长为        ． 【答案】  【解析】解：， ， ，， ，， 由勾股定理得该直角三角形的斜边长为， 故答案为：． 根据非负数的性质求出、的值，再利用勾股定理求解即可． 本题考查了勾股定理，非负数的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 11.若，且、为连续正整数，则        ． 【答案】  【解析】解：，，且， ， 、为连续正整数，且， ，， ． 故答案为：． 根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． 12.如图，在中，是的中线，已知，，则的取值范围为        ． 【答案】  【解析】解：如图，延长到，使，连接，则． 是的中线， ， 和中， ， ≌， ． ， ， 在中，， 的取值范围为． 故答案为：． 首先延长到，使，连接，证明≌，然后根据三角形的三边关系即可求解． 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 13.精确到万位用科学记数法表示是        ． 【答案】  【解析】解：精确到万位需看千位数字，千位数字小于则舍去，否则进位；再用科学记数法表示可得： 数字精确到万位为，用科学记数法表示为． 故答案为：． 表示时关键要正确确定的值以及的值．精确到万位需看千位数字，千位数字小于则舍去，否则进位；再用科学记数法表示结果． 本题考查科学记数法的表示方法及求近似数．熟练掌握该知识点是关键． 14.一个等腰三角形有一个角是，则另外两个角的度数是        ． 【答案】，  【解析】解：等腰三角形中，有一个角是， 该等腰三角形的顶角为， 另外两个角相等，为， 故答案为：、． 由条件可知该等腰三角形的顶角为，结合三角形内角和可求得另外两个角的度数． 本题主要考查等腰三角形的性质，判断出顶角的大小是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用． 15.如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线交于点已知，，则的长为        ． 【答案】  【解析】解：过点作于点． 平分， ， ，， ≌， ，， ， 设，则有， 解得， ． 故答案为：． 过点作于点≌，推出，，设利用勾股定理构建方程求出可得结论． 本题考查作图基本作图，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 16.如图，在等腰中，，，为的中点，点在上，，若点是上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是        ． 【答案】或  【解析】解：连接，过作于，于， ，， ， ， 当是以为腰的等腰三角形， ，为的中点， ， ， 在与中， ， ≌， ， ， ， 同理证得≌， ， ． 故答案为：或． 连接，过作于，于，由，，则，，根据角平分线的性质得，然后证明≌，则，再根据四边形内角和求出，同理． 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四边形的内角和，掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键． 17.如图所示，在中，已知点，，分别是，，的中点，平方厘米，则的值为        平方厘米． 【答案】  【解析】解：点是的中点， ， ， 同理，， ， ， 即， 又， ， 平方厘米， 故答案为：． 先计算，的面积，再计算、、、的面积，最后计算即可． 本题考查了三角形中线的性质，理解三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键． 18.如图，在等腰直角中，，，，点是边上一个定点，点是边上一个动点，连接，在的右侧以为斜边作等腰直角，，，连接，则的最小值为        ． 【答案】  【解析】解：在等腰直角中，，，， ， ， 过点作交于点，作交于点， 则， 如下图所示， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 平分， ， 当时，取得最小值， 当时，，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 用勾股定理求出，过点作交于点，作交于点，利用全等判定定理证明≌，得到，根据角的平分线的判定定理可知点在的平分线上运动，点到线之间，垂线段最短，利用勾股定理求解即可． 本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 三、解答题： 19.本小题8分 计算或求的值 【答案】(1)   =5-4+4-π   =5-π  (2)x2-1=10， x2=11， x=±  (3)（2x）2=0.25， 2x=±0.5， x=±0.25  (4)27(x+2)3+125=0，   27(x+2)3=-125，   (x+2)3=-，   x+2=-，   x=-。  【解析】      ， ，  ， ，  ，   ，   ，   ，   。 20.本小题分 如图，在与中，，，若，求证：≌． 【答案】证明：， ， 即， 在和中， ， ≌．  【解析】证明：， ， 即， 在和中， ， ≌． 题目给的角是和，不是三角形内部的对应角，先同时减去公共角，得到，再用全等判定． 本题考查全等三角形的判定，正确记忆相关知识点是解题关键． 21.本小题分 如图， 求出点表示的数，比较点表示的数与的大小，并说明理由 在数轴上作出所对应的点保留作图痕迹 这种研究和解决问题的方式，体现了______的数学思想 A. 数形结合 B. 方程 C. 分类讨论 D. 化归 【答案】(1)由网格可得，OB==，而OA=OB， ∴OA=， ∵点O在数轴上表示的数是0，点A在点O的左边， ∴点A所表示的数是0-=-， ∵22=4，32=9，而4＜5＜9， ∴2＜＜3， 又∵2.52=6.25＞5， ∴2＜＜2.5， ∴-2.5＜-＜-2， 答：点A所表示的数是-，-＞-2.5  (2)如图，借助网格，作线段OC，则OC==，以点O为圆心，OC为半径画弧，交数轴的正半轴于点P，则点P在数轴上所表示的数是  (3)A  【解析】解：由网格可得，，而， ， 点在数轴上表示的数是，点在点的左边， 点所表示的数是， ，，而， ， 又， ， ， 答：点所表示的数是，； 如图，借助网格，作线段，则，以点为圆心，为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点在数轴上所表示的数是； 这种研究和解决问题的方式，体现的是数形结合思想， 故答案为：． 借助网格，利用勾股定理求出的长，即的长，再根据数轴表示数的方法进行解答即可； 借助网格和勾股定理构造线段，再以点为圆心，为半径画弧，交数轴的正半轴于点，点在数轴上所表示的数是； 根据可知利用的是数形结合． 本题考查实数的大小比较，实数与数轴，掌握数轴表示数的方法，勾股定理以及实数大小的比较方法是正确解答的关键． 22.本小题分 课本原题呈现： 一架云梯长米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙米． 这个梯子的顶端距地面有多高？ 如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了米吗？ 解决问题： 请直接写出原题中问这个梯子的顶端距地面            米；问中，梯子的底部            在水平方向也滑动米填会或不会 将原题中的条件“云梯长米”改变为“云梯顶端距地面米”，将“梯子底端离墙米”改变为“梯子的顶端下滑了米，梯子的底部在水平方向也滑动了米”，请求出此梯子的长度是多少米？ 【答案】(1)24;不会  (2)∵AO=20米，AA'=5米，BB′=5米，   ∴A'O=OA-AA'=15米，   设OB=a米，则OB'=OB+BB'=（a+5）米，   又∵A'B'=AB∴OA2+OB2=OA'2+OB'2，   即202+a2=152+（a+5）2，   ∴a=15，   ∴（米），   答：梯子的长度是25米。  【解析】 由题意可得：，  米，米，  ，  故答案为：；不会  米，米，米，  米，  设米，则米，  又，  即，  ，  米，  答：梯子的长度是米。 23.本小题分 如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，． 求证：． 若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵AC的垂直平分线分别交BC，AC于点E，F，  ∴AE=CE，  ∴∠C=∠EAC，  ∵∠AEB=∠C+∠EAC，  ∴∠AEB=2∠C，  又∵∠B=2∠C，  ∴∠AEB=∠B，  ∴AB=AE；  (2)解：∵∠BAE=40°，由（1）知∠AEB=∠B，  ∴，  由（1）知∠AEB=2∠C，  ∴．  【解析】证明：的垂直平分线分别交，于点，，  ，  ，  ，  ，  又，  ，  ；  解：，由知，  ，  由知，  ． 根据线段垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，结合三角形外角的性质可得出，结合已知可得，根据等角对等边即可得证；  根据三角形内角和定理并结合中，求解即可． 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 24.本小题分 在中，，，点是上一点，，点是上一点，． 如图，求证：是等腰三角形 如图，过点作于点，求证：平分 【答案】(1)∵∠ABC=90°，AD=AB，AB=CB， ∴∠A=∠C=45°，AD=CB=AB， 在△ADE和△CBD中， ， ∴△ADE≌△CBD（SAS）， ∴DE=BD， ∴△BDE是等腰三角形  (2)如图，过D作DH⊥AB于点H， 由（1）得△ADE≌△CBD， ∴∠ADE=∠CBD， ∵∠ABC=90°， ∴AB⊥BC， ∴DH∥BC， ∴∠BDH=∠CBD， ∴∠ADE=∠BDH， ∵DE=BD，DH⊥AB， ∴∠BDH=∠EDH， ∴∠ADE=∠EDH， ∵EF⊥AC， ∴∠DFE=∠DHE=90°， 在△DFE和△DHE中， ， ∴△DFE≌△DHE（AAS）， ∴∠DEF=∠DEH， ∴ED平分∠FEB  【解析】证明：，，， ，， 在和中， ， ≌， ， 是等腰三角形； 如图，过作于点， 由得≌， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 平分． 由，，，得，，证明≌，故有，从而求证； 过作于点，则有，故，由得≌，所以，，由等腰三角形的性质得，根据垂直的定义可得，然后证明≌，根据性质得，从而求证． 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 25.本小题分 已知：在中，和的平分线相交于点 如图，当，则的度数为           如图，当时，：：：：，若，求的长度 如图，在的条件下，延长至点，使，延长至点，使，求四边形的面积． 【答案】(1)130°  (2)在△BKC中，∵∠BKC=135°，   ∴∠KBC+∠KCB=45°，   ∵BK平分∠ABC，CK平分∠ACB，   ∴∠ABC=2∠KBC，∠ACB=2∠KCB．   ∴∠ABC+∠ACB=2（∠KBC+∠KCB）=2×45°=90°，   ∴∠A=90°．   ∵AB：AC：BC=3：4：5，   ∴设AB=3m,AC=4m,BC=5m,   ∵，   ∴，   解得m=2（负值舍去），   ∴BC=5m=10  (3)由（2）可知，∠BAC=90°，   ∴∠BAE=90°，   ∵CK平分∠ACB，   ∴∠ECK=∠BCK，   在△ECK和△BCK中，   ，   ∴△ECK≌△BCK（SAS），   ∴EK=BK，∠CEK=∠CBK，   记BD、EK交于点H，      ∵∠EHB=∠KEC+∠EAB=∠ABK+∠EKB，   ∴∠EKB=∠BAE=90°，   设∠KBC=α，   ∵，   ∴，   ∴∠BDK=45°-α，   ∵BK平分∠ABC，   ∴∠DBK=∠CBK=α，   ∴∠BCK=180°-∠BKC-∠CBK=45°-α，   ∴∠BCK=∠BDK，   又∵BK=BK，   ∴△BDK≌△BCK（AAS），   ∴BD=BC=10．   ∴=  【解析】 ，  ，  和的平分线相交于点，  ，，  ，  ；  故答案为：  在中，，  ，  平分，平分，  ，  ，    ：：：：，  设，，，  ，  ，  解得负值舍去，   由可知，，  ，  平分，  ，  在和中，  ，  ≌，  ，，  记、交于点，    ，  ，  设，  ，  ，  ，  平分，  ，  ，  ，  又，  ≌，    26.本小题分 【初步感知】如图，在中，，，则斜边上的高为          ； 【深入探究】如图，在中，，，点是内一点，连接，，的面积为当时，求的长度； 【学以致用】如图，是一块等腰直角的规划用地，点在斜边上，过修一条笔直的小路，且为的中点，点是三角形内一点，且，连接，，，，规划者想在四边形内种植花草．已知种植花草每平米元，米，米，则种植花草的最低费用是多少元． 【答案】(1)  (2)延长交于点，作于点，作于点， ∵，， ∴， ∵的面积为32， ∴，即， 解得， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 同理，， ∴；   (3)作于点，作于点，作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵，即， 求得， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形面积的最小值为(平方米)， ∵种植花草每平米500元， ∴植花草的最低费用是（元）．   【解析】  利用勾股定理求得斜边长，再利用斜边中线的性质求解即可； 【详解】解：作于点， ，， ； 故答案为：；   延长交于点，作于点，作于点，利用三角形面积公式求得，求得，利用直角三角形的性质结合勾股定理求解即可；   作于点，作于点，作于点，由，求得的最小值为，根据全等三角形的判定和性质求得，据此进一步计算即可求解． 27.本小题分 综合与探究： 如图，在中，，，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，． 【问题初探】如图，当时，           ，           ； 【问题深探】如图，过点作于，直线与直线相交于点，连接当时，试探究线段，，之间的数量关系并证明你的结论； 【拓展延伸】在的条件下，若，在线段旋转过程中，当时，求的长．直接写出结果 【答案】(1)  ;​​​​​​​  (2)，证明如下： ∵将线段绕点逆时针旋转（），得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 如图，延长至，使得，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 由（1）可得， ∴，即；   (3)解：∵， 由（1）的结论可得：， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，则当时，符合题意，如图， 在中，， 在中，， ∴．   【解析】  根据旋转的性质可得，，进而根据等腰三角形的性质以及三角形的内角定理即可得出，进而根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解． 解：将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ，， ， ， ， ，， ， ， ； 如图，过点作于点， ， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：；．   同的方法证明是等边三角形，延长至，使得，连接，证明，再得出，根据的结论，即可求解；   由的结论可得：，进而在和中，利用勾股定理求得，即可求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市玄武区2026-2027学年八年级上学期期中数学模拟试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新苏科版八年级数学上册第1-3章。 第一部分（选择题 共16分） 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列实数中，是无理数的是(    ) A. B. C. D. 2.如图，在中，点，分别在边，上，与相交于点，若，，则≌的依据是(    ) A. B. C. D. 3.如图，在中，，垂足为，若要根据“”判定≌，需要添加的条件是(    ) A. B. C. D. 4.下列几组数据中，能作为直角三角形的三边长的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5.如图，平分，是中点，，，，若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 6.已知，下列结论错误的是(    ) A. 是负数 B. 是的立方根 C. 是无理数 D. 是的算术平方根 7.如图，在中，，，，为的中点，若动点以的速度从点出发，沿着的方向运动，设点的运动时间为，连接，当是直角三角形时，的值为(    ) A. B. 或 C. 或或 D. 或或 8.如图，在中，交于点，，，点为上方的动点，满足，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共104分） 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9.比较大小：        填“”、“”或“” 10.若直角三角形的两条直角边分别为、，且满足，则该直角三角形的斜边长为        ． 11.若，且、为连续正整数，则        ． 12.如图，在中，是的中线，已知，，则的取值范围为        ． 13.精确到万位用科学记数法表示是        ． 14.一个等腰三角形有一个角是，则另外两个角的度数是        ． 15.如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线交于点已知，，则的长为        ． 16.如图，在等腰中，，，为的中点，点在上，，若点是上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是        ． 17.如图所示，在中，已知点，，分别是，，的中点，平方厘米，则的值为        平方厘米． 18.如图，在等腰直角中，，，，点是边上一个定点，点是边上一个动点，连接，在的右侧以为斜边作等腰直角，，，连接，则的最小值为        ． 三、解答题：本题共9小题，共84分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19.本小题8分 计算或求的值 20.本小题分 如图，在与中，，，若，求证：≌． 21.本小题8分 如图， 求出点表示的数，比较点表示的数与的大小，并说明理由 在数轴上作出所对应的点保留作图痕迹 这种研究和解决问题的方式，体现了______的数学思想 A. 数形结合 B. 方程 C. 分类讨论 D. 化归 22.本小题8分 课本原题呈现： 一架云梯长米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙米． 这个梯子的顶端距地面有多高？ 如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了米吗？ 解决问题： 请直接写出原题中问这个梯子的顶端距地面            米；问中，梯子的底部            在水平方向也滑动米填会或不会 将原题中的条件“云梯长米”改变为“云梯顶端距地面米”，将“梯子底端离墙米”改变为“梯子的顶端下滑了米，梯子的底部在水平方向也滑动了米”，请求出此梯子的长度是多少米？ 23.本小题10分 如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，． 求证：． 若，求的度数． 24.本小题10分 在中，，，点是上一点，，点是上一点，． 如图，求证：是等腰三角形 如图，过点作于点，求证：平分 25.本小题10分 已知：在中，和的平分线相交于点 如图，当，则的度数为           如图，当时，：：：：，若，求的长度 如图，在的条件下，延长至点，使，延长至点，使，求四边形的面积． 26.本小题12分 【初步感知】如图，在中，，，则斜边上的高为          ； 【深入探究】如图，在中，，，点是内一点，连接，，的面积为当时，求的长度； 【学以致用】如图，是一块等腰直角的规划用地，点在斜边上，过修一条笔直的小路，且为的中点，点是三角形内一点，且，连接，，，，规划者想在四边形内种植花草．已知种植花草每平米元，米，米，则种植花草的最低费用是多少元． 27.本小题12分 综合与探究： 如图，在中，，，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，． 【问题初探】如图，当时，           ，           ； 【问题深探】如图，过点作于，直线与直线相交于点，连接当时，试探究线段，，之间的数量关系并证明你的结论； 【拓展延伸】在的条件下，若，在线段旋转过程中，当时，求的长．直接写出结果 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $