精品解析：吉林吉林市吉化第三中学2026-2027学年度八年级上学期期中考试数学

吉化三中2026-2027学年度第一学期初二年级期中教学质量检测 数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段首尾顺次相接，能组成三角形的是（ ） A. 3，4，7 B. 6，1，10 C. 4，5，8 D. 5，5，13 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线，这一做法用到三角形全等的判定定方法是（ ） A. B. C. D. 5. 一个长方形的面积为，它的长为，则它的宽为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在等边中，，垂足为D，E是上一点，若，则的度数为（ ） A. 45° B. 30° C. 15° D. 20° 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 计算_________． 8. 命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是_____命题．(填“真”或“假”) 9. 如图所示，，，在不改变图形的情况下，请你添加一个条件，使，则需添加的条件是____________． 10. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹所提供的信息，若的周长为23，则的长为_____． 11. 如图，在中，，，的平分线交于点D，过点D作于点E，于点F，若，则的面积是______． 三．解答题（12-14题每题6分，15-17题每题7分，18-19题每题8分，20-21题每题10分，22题12分，共87分） 12. 计算： （1）（运用完全平方公式计算） （2）． 13. 已知：如图，点B，E，C，F在同一条直线上，且．求证：（填空）． 证明：， ，即． 在和中， ∵， （______）． （______）． 14. 如图，在中，为边上的中线 ，E 为上一点，连接， 且，求的度数 15. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出关于轴对称的，并写出的坐标； （2）求的面积； （3）在轴上画出点，使最小（不写作法）． 16. 下面这道题目小明不会做，请你帮他写出解答过程． 如果，求m的值． 17. 如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 18. 已知多项式． （1）化简多项式A； （2）若，求A的值． 19. 数学与生活． 如图，轮船从A港出发，以28海里/小时的速度向正北方向航行，此时测得灯塔M在北偏东的方向上．半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东的方向上． （1）求轮船在B处时与灯塔M的距离； （2）轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处，则此时轮船与灯塔M的距离是 ，灯塔M在轮船的 方向上． 20. 用图①中的1张边长为m的正方形M图纸、1张边长为n的正方形N图纸和2张边长分别为m，n的长方形D图纸拼成图②的一张大正方形图片，观察图形 （1）由图②和图①可以得到关于面积的等式为_____________________． （2）小丽同学用图①中这三张图纸拼出一张面积为的大长方形图片，求需要M，N两种纸片各多少张； 21. 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径，通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图①，在和中，，，，连接．直接写出与的数量关系是：______； （2）类比探究：如图②，在和中，，，，连接请猜想与的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸：如图③，和均为等腰直角三角形，，连接，且点B、E、F在一条直线上，过点A作，垂足为M．请直接写出之间的数量关系． 22. 如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形？ （3）当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉化三中2026-2027学年度第一学期初二年级期中教学质量检测 数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，寻找是否存在一条直线，使图形沿该直线折叠后两部分完全重合． 【详解】解：A选项：该图形找不到对称轴，不是轴对称图形． B选项：该图形沿竖直或水平中心线折叠，两部分能完全重合，是轴对称图形． C选项：该图形找不到对称轴，不是轴对称图形． D选项：该图形找不到对称轴，不是轴对称图形． 2. 下列长度的三条线段首尾顺次相接，能组成三角形的是（ ） A. 3，4，7 B. 6，1，10 C. 4，5，8 D. 5，5，13 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，依次验证各选项即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为3，4，7的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为6，1，10的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、∵， ∴长为4，5，8的三条线段能组成三角形，符合题意； D、∵， ∴长为5，5，13的三条线段不能组成三角形，不符合题意； 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查指数运算的基本规则，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘法和同底数幂的除法。需逐一验证各选项是否符合运算法则. 【详解】A. ，故A选项错误； B. ，故B选项错误； C. ，故C选项错误； D. ，故D选项正确， 故选D. 4. 如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线，这一做法用到三角形全等的判定定方法是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据作图过程得出，利用三边相等证明即可得答案． 【详解】解：∵角尺两边相同的刻度分别与，重合， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴这一做法用到三角形全等的判定定方法是． 故选：A． 5. 一个长方形的面积为，它的长为，则它的宽为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：一个长方形的面积为，长为， 长方形的宽为：． 故选：D． 6. 如图，在等边中，，垂足为D，E是上一点，若，则的度数为（ ） A. 45° B. 30° C. 15° D. 20° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，关键是由等边三角形的性质推出垂直平分． 由等边三角形的性质推出，，由线段垂直平分线的性质推出，得到，判定是等腰直角三角形，得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，． ∴垂直平分． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 计算_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式直接进行计算即可 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键 8. 命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是_____命题．(填“真”或“假”) 【答案】假 【解析】 【分析】首先分清题设是：两个三角形全等，结论是：对应角相等，把题设与结论互换即可得到逆命题，然后判断正误即可． 【详解】解：“全等三角形的对应角相等”的题设是：两个三角形全等，结论是：对应角相等，因而逆命题是：对应角相等的三角形全等．是一个假命题． 故答案为：假． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 9. 如图所示，，，在不改变图形的情况下，请你添加一个条件，使，则需添加的条件是____________． 【答案】（或或） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 根据全等三角形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：， ， 即， ， 根据只要添加即可， 根据只要添加即可， 根据只要添加即可． 故答案为：（或或） 10. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹所提供的信息，若的周长为23，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查作图—基本作图，垂直平分线的性质．由作图知垂直平分，得到，再根据即可求解． 【详解】解：由作图知垂直平分， ∴， ∵的周长为23，即，且， ∴． 故答案为：． 11. 如图，在中，，，的平分线交于点D，过点D作于点E，于点F，若，则的面积是______． 【答案】70 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积计算，根据角平分线的性质得到，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵的平分线交于点D，，， ∴， ∵，， ∴ ， 故答案为：70． 三．解答题（12-14题每题6分，15-17题每题7分，18-19题每题8分，20-21题每题10分，22题12分，共87分） 12. 计算： （1）（运用完全平方公式计算） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 13. 已知：如图，点B，E，C，F在同一条直线上，且．求证：（填空）． 证明：， ，即． 在和中， ∵， （______）． （______）． 【答案】；；；；；全等三角形的对应角相等 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的判定条件，根据已知条件，通过全等三角形的判定定理证得，则全等三角形的对应角相等． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ∵， ， （全等三角形的对应角相等）． 故答案为： ；；；；；全等三角形的对应角相等． 14. 如图，在中，为边上的中线 ，E 为上一点，连接， 且，求的度数 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形中“三线合一”是解题关键．由三线合一知，由等腰三角形两底角相等即可求解． 【详解】解：为边上的中线， ， 又， ， ， ． 15. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出关于轴对称的，并写出的坐标； （2）求的面积； （3）在轴上画出点，使最小（不写作法）． 【答案】（1） 如图，即为所求， 则的坐标为； （2）5 （3） 如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换——轴对称，利用割补法求三角形面积，线段最值问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）作出各顶点关于y轴的对称点，顺次连接即可，根据的位置可写出坐标； （2）利用割补法求解； （3）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，由，可得点P即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：依题意， ； 【小问3详解】 略 16. 下面这道题目小明不会做，请你帮他写出解答过程． 如果，求m的值． 【答案】． 【解析】 【分析】同底数幂相乘、相除时指数相加、相减，计算时先把不同底数的幂统一化为同底数，再比较指数列方程，是解题的关键．先将9、27都化为以3为底的幂，再利用同底数幂的乘法、除法运算法则把等式左边化为3的一个幂，最后根据同底数幂相等则指数相等，列出方程求出m的值． 【详解】解： ． ， ， 解得． 17. 如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在与中 ， ∴． （2）4 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，根据平行线的性质证明是解题的关键． （1）由，得，而，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得，则，即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 18. 已知多项式． （1）化简多项式A； （2）若，求A的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，代数式求值，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）根据（1）所求可得，据此利用整体代入法求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴． 19. 数学与生活． 如图，轮船从A港出发，以28海里/小时的速度向正北方向航行，此时测得灯塔M在北偏东的方向上．半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东的方向上． （1）求轮船在B处时与灯塔M的距离； （2）轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处，则此时轮船与灯塔M的距离是 ，灯塔M在轮船的 方向上． 【答案】（1）14海里 （2）14海里，南偏东 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定以及性质，方向角等知识． （1）由三角形外角定义求出，再由等角对等边得出． （2）证明是等边三角形，即可求出以及． 【小问1详解】 解：据题意得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：轮船在B处时与灯塔M的距离为14海里； 【小问2详解】 ∵，且， ∴是等边三角形， ∴，， 答：轮船在C点时与灯塔M的距离是14海里，灯塔M在轮船的南偏东方向上， 故答案为：14海里，南偏东． 20. 用图①中的1张边长为m的正方形M图纸、1张边长为n的正方形N图纸和2张边长分别为m，n的长方形D图纸拼成图②的一张大正方形图片，观察图形 （1）由图②和图①可以得到关于面积的等式为_____________________． （2）小丽同学用图①中这三张图纸拼出一张面积为的大长方形图片，求需要M，N两种纸片各多少张； 【答案】（1） （2）需要M纸片6张，N纸片6张 【解析】 【分析】（1）根据图形整体面积等于各部分面积之和即可解答； （2）根据多项式乘多项式即可解答． 【小问1详解】 解：由图可得，图②的大正方形边长为， ∴大正方形的面积为， 由图可得，大正方形由1张正方形M（面积为）、1张正方形N（面积为）和2张长方形D（每张面积为）拼成， ∴面积之和为， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得， ， ∵每张M纸片的面积为，每张N纸片的面积为， ∴总面积中项和项的系数即为M和N纸片的张数， ∴需要M纸片6张，N纸片6张． 21. 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径，通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图①，在和中，，，，连接．直接写出与的数量关系是：______； （2）类比探究：如图②，在和中，，，，连接请猜想与的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸：如图③，和均为等腰直角三角形，，连接，且点B、E、F在一条直线上，过点A作，垂足为M．请直接写出之间的数量关系． 【答案】（1） （2） ，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）可根据证明，则； （2）利用证明即可得出结论； （3）根据等腰直角三角形的性质，利用证明即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵和都是等腰三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 22. 如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形？ （3）当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 【答案】（1） （2）点M、N运动4秒时，可得到等边； （3）当点M、N在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形，此时M、N运动的时间为16秒． 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键． （1）根据题意设点M、N运动t秒时，M、N两点重合，列方程即可求解； （2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边，然后表示出，的长，由于等于，所以只要，就是等边三角形； （3）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出、、的长，列出方程，可解出未知数的值． 【小问1详解】 解：设点M、N运动t秒时，M、N两点重合， 得方程， 解得, 答：点M、N运动12秒时，M、N两点重合； 【小问2详解】 解：设点M、N运动t秒时，可得到等边，如图①， ，， 是等边三角形， ， 解得， ∴点M、N运动4秒时，可得到等边． 【小问3详解】 解：当点M、N在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形， 情况一： 设点M、N运动x秒时，M、N两点重合， ， 解得：； 即12秒时M、N两点重合，恰好在C处，，但不是等腰三角形； 情况2： 如图②，假设是等腰三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， 设当点M、N在边上运动时M、N运动的时间y秒时，是等腰三角形， ，，， 即， 解得：． 综上所述，故假设成立． ∴当点M、N在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形， 此时M、N运动的时间为16秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $