精品解析：吉林省吉林市龙潭区吉化第三中学校2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025－2026上学期初二年级期中质量检测 数学试卷 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念解答即可． 【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 2. 计算 的正确结果是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，根据同底数幂乘法运算法则即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选： ． 3. 如图，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，正确判断对应角，对应边是解决本题的关键．在中，根据三角形内角和定理求得，根据全等三角形的对应角相等即可解决． 【详解】解：在中，， ∵，，， ∴， ∴． 故选：A． 4. 如图，在中，，，，的垂直平分线交于点D，连接，则的周长是（ ） A. 7 B. 13 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知“线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等”是解答此题的关键；先根据线段垂直平分线的性质得出，然后求周长即可． 【详解】解：的垂直平分线交于点D， ， ，， 的周长是， 故选：． 5. 如图，在中，，平分，，，则的面积为（ ） A. 14 B. 12 C. 10 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”是解题的关键；根据角平分线的性质可得，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：过D点作于F， 平分，，， ， ， 故选：． 6. 如图，直线，等边三角形的顶点C在直线b上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，先由平行线的性质得到，再由等边三角形的性质得到，据此可利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵直线， ∴， 在等边中，， ∴， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 已知点，则点M关于x轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于x轴对称点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称点，横坐标互为相反数，纵坐标相同．根据关于x轴对称点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称点，横坐标互为相反数，纵坐标相同，即可解答． 【详解】解：点M关于x轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 8. 若等边三角形的边长是，则的周长是______． 【答案】36 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键；根据等边三角形三条边相等得到，据此可求三角形的周长． 【详解】解：等边三角形的边长是， ， 的周长是， 故答案为：36． 9. 吉林市临江门大桥是一座独塔斜拉桥，位于吉林省吉林市的松花江上，如图，大桥的桥面、立柱、斜拉索构成三角形构架．大桥下面没有桥墩，却异常稳固，这其中蕴含的数学道理是________ 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：桥面、立柱、斜拉索构成三角形构架更加稳固，运用的数学原理是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 10. 如图，已知在和中，，，，若用判定，则需要添加的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了对全等三角形判定定理的理解和掌握，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．已知一条直角边相等，则还需要一条斜边相等，据此作答即可． 【详解】解：，， ， ， 若用“”判定，则需要添加的条件是， 故答案为：． 11. 如图，，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，根据得到，结合角边角判定即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：． 12. 如图，点P是等边内一点，，___________° 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，熟记相关结论得出是解题关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 13. 如图，在中，，，点在上，，，则________ 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形中30度所对的边等于斜边的一半等知识，正确把握等腰三角形的性质是解题关键．利用等腰三角形的性质得出，进而利用三角形的外角以及直角三角形中30度所对的边等于斜边的一半得出答案． 【详解】解：，， ， 又， ， ， ， ，，， ， ． 故答案为：12． 14. 如图，已知，，若和分别垂直平分和，则_______． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先由和分别垂直平分和得到，进而得出，即可解答． 【详解】解：如图： ∵和分别垂直平分和， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，掌握运算法则是解题关键． 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，题中出现，可以逆用法则得：，再结合题目中数据运算即可． 【详解】解：， ， ． 16. 如图，在中，，平分交BC于D．若．求的面积． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，过点D作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用的面积列式计算即可得解． 【详解】解：过点作于，如图所示： 平分交于，， ， ， ． 17. 如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．若，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质以及角平分线的定义，由，， 根据三角形外角的性质，可求得的度数，又由角平分线的性质，求得的度数，又由三角形外角的性质，求得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的外角的平分线， ∴， ∴． 18. 如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一面点E处同时施工，点E在AC的延长线上，工人师傅在线段AC上取一点B，在小山外取一点D，连接BD并延长至点F，使得，连接ED并延长至点M，使得，连接MF，那么测量FM的长就是BE的长，请你用数学知识说明其中的道理． 【答案】 证明：由题意可得、， 由对顶角相等可得， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，证明是解题的关键． 由题意可得、，再结合对顶角相等可得，然后利用“”证明可得． 【详解】略 三、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别为，． （1）画出关于y轴成轴对称的图，并写出的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）画图见解析， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，割补法求解三角形面积： （1）根据关于轴对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标变相反数得到A、O、B对应点的坐标，然后描出，最后顺次连接． （2）利用分割法计算即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， ∴的坐标为 【小问2详解】 解：∵点、的坐标分别是，， ∴ ． 20. 图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1．线段的端点在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． （1）在图①中以AB为直角边画一个直角三角形，使它的面积为3． （2）在图②中以AB为边画一个等腰三角形，使它的面积为3． （3）在图③中以AB为斜边画一个等腰直角三角形． 【答案】（1） 如图①、图②即为所求． （2） 如图③即为所求． （3） 如图④即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了格点画图、直角三角形、等腰三角形的定义等知识点．掌握相关定义成为解题的关键． （1）根据直角三角形的定义以及面积为3画出所求三角形即可； （2）根据等腰三角形的定义以及面积为3画出所求三角形即可； （3）根据等腰直角三角形的定义画出所求三角形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 已知三角形的三条边长分别为7、15和x． （1）x的取值范围为______； （2）当该三角形为等腰三角形时，求它的周长． 【答案】（1） （2）37 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系，掌握知识点的应用是解题的关键； （1）根据三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和进行计算； （2）根据x的取值范围即可确定腰长，进而求出周长． 【小问1详解】 解：三角形的三条边长分别为7、15和x， ，即， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，该三角形为等腰三角形， ， 三角形的周长． 22. 如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平根线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，由线段垂直平分线的性质得到，得到，根据等腰三角形的三线合一证明； （2）根据等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质得到，然后利用等边对等角求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴ ∵ ∴． 23. 如图，为等边三角形，过点作于点，过作，且，连接 （1）求证：为等边三角形； （2）若，求的周长． 【答案】 （1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠ACB＝60°， 又∵DE＝DC， ∴△CDE为等边三角形； （2）6. 【解析】 【分析】（1）求出∠EDC＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形进行判定即可； （2）由等边三角形的性质求出CD＝2，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC， ∴AC＝AB＝4，AD＝CD＝AC＝AB＝2， 又∵△CDE为等边三角形， ∴DE＝CE＝CD＝2， ∴△CDE的周长＝2＋2＋2＝6． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 24. 已知，求作：的平分线，甲、乙、丙三位同学的方案如图所示． 甲： ①利用直尺和三角板画； ②在上截取； ③作射线，即为所求． 乙： ①利用圆规截取，； ②连接，相交于点； ③作射线，即为所求． 丙： ①在上取点，利用圆规截取； ②过点，作； ③作射线，即为所求． （1）甲、乙、丙三种方案中，可以得出是平分线是 ．（填：甲，乙，丙） （2）证明其中一种是角平分线的作法． 【答案】（1）甲乙 （2） 证明：选甲同学：， ， ， ， ， 是平分线； 选乙同学：，，， ， ， ，， ， ， ，，， ， ， ，，， ， ， 是平分线． 【解析】 【分析】本题主要考查了作图复杂作图，平行线的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解决此题的关键． （1）甲同学的运用平行线的性质进行判断即可；乙同学的运用三次全等即可判定；丙同学的无法证明是角平分线； （2）选择（1）中甲乙的任何一种证明即可． 【小问1详解】 解：甲同学方法的证明过程如下： ， ， ， ， ， 是平分线； 乙同学方法的证明过程如下： 在和中， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是平分线； 丙同学方法的说明如下： ， ， ， ， 无法证明， 无法证明是平分线； 故答案为：甲乙； 【小问2详解】 略 25. 综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以三角形的折叠为主题展开探索，如图1，在中，，，点是边上的一点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处． 初步探究：（1）请直接写出的度数为_________．； 深入探究：（2）“启明小组”将图1中的变为，其它条件不变，过作于点得到图2．试猜想线段与的数量关系，并说明理由； 类比探究：（3）“攀登小组”认为将非直角三角形折叠也能提出有意义的问题．如图3，中，，为边上一点，将沿折叠，点落到点处，当时，请直接写出此时的度数． 【答案】（1）； （2），理由如下： ∵，， ∴， 根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，根据折叠得出，根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）根据三角形内角和定理和折叠的性质得出，根据垂线定义得出，证明，得出； （3）根据折叠可知：，，根据平行线的性质得出，根据，求出，即，根据平行线的性质，得出答案即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 根据折叠可知：， ∴， ∴； （2）略 （3）根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 26. 如图，已知在中，，，的面积是12．于点，点在直线上，且在点的左侧，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设运动的时间为（秒），回答下列问题． （1）线段的长为 ，的长为 ． （2）用含的代数式表示线段的长： （3）在线段上取点，使，连接，当与全等时．求的值； （4）在点运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】（1）3，4； （2） （3）2或10 （4）当△是等腰三角形时，的值为3或4或或14． 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，三角形全等的性质，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论； （1）根据的面积，利用三角形面积公式可求出的长，根据可求出的长，即可得答案； （2）利用三线合一定理求出的长，进而求出的长，根据点的运动速度和运动时间，分两种情况求出线段的长即可； （3）分两种情况：当点在点左侧，△△，点在点右侧，则△△，根据全等三角形对应边相等分别列出方程，解方程即可得到答案； （4）分三种情况讨论：，和，分别求得的长，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵，的面积是12．于点， ∴， ∴ 故答案为：3，4； 【小问2详解】 解：已知在△中，，，于点，， ， ； 动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度从点沿射线运动，设运动的时间为（秒）， ， 当时，； 当时，； 综上所述，； 【小问3详解】 解：在中，由勾股定理得； ， ， ， ， 当△与△全等时，分两种情况讨论： 当点在点左侧时，△△， ， ， 解得：； 当点在点右侧时，△△， ， ， 解得：； 综上所述，当或时，△与△全等， 故答案为：2或10； 【小问4详解】 解：当时，点与点重合，则， ； 当时， ①当在点的左侧时，， ； ②当在点的右侧时，， ； 当时，如图，设，则， 在△中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， ， ； 综上所述，当△是等腰三角形时，的值为3或4或或14． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026上学期初二年级期中质量检测 数学试卷 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算 的正确结果是 （ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，，的垂直平分线交于点D，连接，则的周长是（ ） A. 7 B. 13 C. 6 D. 10 5. 如图，在中，，平分，，，则的面积为（ ） A. 14 B. 12 C. 10 D. 7 6. 如图，直线，等边三角形的顶点C在直线b上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 已知点，则点M关于x轴对称的点的坐标是______． 8. 若等边三角形的边长是，则的周长是______． 9. 吉林市临江门大桥是一座独塔斜拉桥，位于吉林省吉林市的松花江上，如图，大桥的桥面、立柱、斜拉索构成三角形构架．大桥下面没有桥墩，却异常稳固，这其中蕴含的数学道理是________ 10. 如图，已知在和中，，，，若用判定，则需要添加的条件是______． 11. 如图，，，，，则______． 12. 如图，点P是等边内一点，，___________° 13. 如图，在中，，，点在上，，，则________ 14. 如图，已知，，若和分别垂直平分和，则_______． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 已知，求的值． 16. 如图，在中，，平分交BC于D．若．求的面积． 17. 如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．若，，求的度数． 18. 如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一面点E处同时施工，点E在AC的延长线上，工人师傅在线段AC上取一点B，在小山外取一点D，连接BD并延长至点F，使得，连接ED并延长至点M，使得，连接MF，那么测量FM的长就是BE的长，请你用数学知识说明其中的道理． 三、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别为，． （1）画出关于y轴成轴对称的图，并写出的坐标； （2）求的面积． 20. 图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1．线段的端点在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． （1）在图①中以AB为直角边画一个直角三角形，使它的面积为3． （2）在图②中以AB为边画一个等腰三角形，使它的面积为3． （3）在图③中以AB为斜边画一个等腰直角三角形． 21. 已知三角形的三条边长分别为7、15和x． （1）x的取值范围为______； （2）当该三角形为等腰三角形时，求它的周长． 22. 如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 23. 如图，为等边三角形，过点作于点，过作，且，连接 （1）求证：为等边三角形； （2）若，求的周长． 24. 已知，求作：的平分线，甲、乙、丙三位同学的方案如图所示． 甲： ①利用直尺和三角板画； ②在上截取； ③作射线，即为所求． 乙： ①利用圆规截取，； ②连接，相交于点； ③作射线，即为所求． 丙： ①在上取点，利用圆规截取； ②过点，作； ③作射线，即为所求． （1）甲、乙、丙三种方案中，可以得出是平分线是 ．（填：甲，乙，丙） （2）证明其中一种是角平分线的作法． 25. 综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以三角形的折叠为主题展开探索，如图1，在中，，，点是边上的一点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处． 初步探究：（1）请直接写出的度数为_________．； 深入探究：（2）“启明小组”将图1中的变为，其它条件不变，过作于点得到图2．试猜想线段与的数量关系，并说明理由； 类比探究：（3）“攀登小组”认为将非直角三角形折叠也能提出有意义的问题．如图3，中，，为边上一点，将沿折叠，点落到点处，当时，请直接写出此时的度数． 26. 如图，已知在中，，，的面积是12．于点，点在直线上，且在点的左侧，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设运动的时间为（秒），回答下列问题． （1）线段的长为 ，的长为 ． （2）用含的代数式表示线段的长： （3）在线段上取点，使，连接，当与全等时．求的值； （4）在点运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $