第二章 一元二次函数、方程和不等式单元卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第二章一元二次函数、方程和不等式单元卷 标准答案与详细解析 一、单选题（每小题5分，共40分） 1.答案：0 由韦达定理：p=1+2=3,q=1×2=2,所以pq=6。选C。 2.答案：B 移项逝分：X二4-220一X=4,21X-山30一-x+2≥0， x-1 x-1 x-1 网X20,等价子x+2x-1s0x1。 解得-2≤x≤1，去掉x=1,解集为{x-2≤x<1}。选B。 3.答案：D A错：≤0时不等号不成立： B错：还b<0、a<0<b等情形 C错=6时取等号： D对0n,月y-y00. y x 4.答案：B x+y=m(x-2y)+n(2x+y)=(m+2n)x+(n-2m)y. 较系数g好m一m=日n是 n-2m=1 由2≤x-2y6,将-号≤x-2y小s-号 由-1≤2x+y<5,得-3s22x+y)s3. 55 相加得-9sx+ys13.逃B。 5 5.答案：A 由x2-5x+6≤0得x∈[2,3]：由y2-11y+24≤0得y∈[3,8]。 不梦式mX-4y+y≥0能成立，国x>0,等价于m≥4y之1m 令t=义，则m2[4t-t2]mn,而t∈[1,4].设f(tj=4t-t2=-(t-22+4, 在[1,4]上最小值为4)=0.故“存，y)使不等式成立”等价王， 所以m的最小值为。选A。 6.答案：A 由4a(a-1)=c-b-1,得c-b=4a(a-1)+1=(2a-1P≥0，所以c≥b。 由2a+b2+2=0,得a=-b+2<0. 2 于是a-b=-6+2-b=-b+1+1<0,所以a<b. 2 2 若c=b,则2a-1=0,9a与a<0牙盾，放c>b 综上c>b>a。选A。 7.答案：A 由P=a+b+c=6,得a+b+c=12。又a+b=8,放c=4。 2 s2=6(6-a(6-b)(6-4)=12(6-a)(6-b. 南基本不等式(6-a6-b)≤5-a+6-b)12,8=4 2 2 所以S≤48，S≤4V3.当且仅当a=b=4时取等号。选A。 8.答案：B 由ab+ac=4,得a(b+c)=4。令x=a,y=b+c,则xy=4,x,y>0。 2+2+8=2+2+8=2(x+y+8 a b+c a+b+c x y x+y xy x+y =+y+8由基本不等式x中y+8≥2x+y.8=4 2 x+V 2 x+y 2 x+y 当且仅当+y=8且y=4,即x=y=2时取等号。最小值为4。选B。 2 x+y 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9.答案：CD 主订石0，知6a<0,放A答：名号21-2故鳞： a b |b>a>0,故c对；ab>0,而a+b<0,放ab>a+b。选CD。 10.答案：ACD A对：k=0时，8≥0恒成立；k≠0时，需开口向上，所以k>0时， 需△=36k2-4k(k+8)=32k2-32k≤0，得0<k≤1：综上0≤k≤1。 B错：集合A有且仅有个子集，即A恰有个元素。 当a=0时，方程2x=0,A=0,也符合： 当a≠0时，△=4-4a=0,得a=±1。放a∈{-1,0,1}，B漏掉a=0。 c对：两根一正一负一C<0一ac<0:反之ac<0时A=b2-4ac>0,必有两 异号实根。 D对：MUN=M一NcM,M有4个子集。选ACD。 11.答案：AC A:+当=y号取，小号 2 B：兰大做 c对y12子15 当x=2y,0x号y吉时吸等，最小位为5 3 D错Vx+1+y+2}=4+2Vx+1y+2<8,因x+1=y+2需x=1,y=0,与x,y>0矛盾， 不能称“有最大值”。选AC。 三、填空题（每小题5分，共15分） 12答案：-m,2u-1 解：原不等式化为 2x-x-3<0-2x-3x≤0 X+2 X+2 罩点为-2，-1，三用穿针引线法划断特号，得解集-0，-2)U 3 2 -1, 13.答案：（-o0,2] 因1，x*-x-1*1e2x-11=3, 当双当X-1Xx=2时等号成立.放只需322m-1一m52 14.答案：4 当a<0时，因为x>0,所以ax-1<0恒成立，则x2+bx-4<0在x>0上恒成立，因 为函数开口向上，所以二次函数在x>0上不会恒小于0，与题意不符，舍去： 当a>0时，ax-1=0解得x=>0,X2+bx-4=0,由韦达定理可知方程两根一正 负，要在x>0上使(ax-1(X+bx-4)≥0恒成立，只需符合a也是二次方程的 根， 1+b-4=0→b=4a-1 a2 a a 所以b+2=4a+224a=4,当且仅当4a=日，即a=2时等号成立。 a a 四、解答题（共77分) 15.(13分)(1)ab最大值8；(2)a+b最小值62-3 (1)由ab+2a+b=16,得16-ab=2a+b≥2V2ab, =ab>0,则t2+2V2t-16≤0一(t+42)(t-2V2)≤0， 故0<t≤2V2,即0<ab≤8。当且仅当2a=b, 即a=2,b=4,故ab最大值为8。 (2)由 ab+2a+b=16=a(b+2)+(b+2)=18,得(a+1)(b+2)=18.于是a+b=(a+1)+(b+2)-3≥2 当且仅当d1=b+2=3V2,即a=3V2-1,b=3V2-2时取等。 评分：(1)6分：写出16-ab=2a+b≥2V2ab得2分；换元并解得0<ab≤8得3 分；取等条件与结论1分。 (2)7分：配凑得a+1)(b+2)=18得3分；用基本不等式得a+b≥62-3得3 分；取等条件与结论1分。 16.(15分)(1)最大值-2；(2)最大值9；(3)最大值 2V2-1 7 x0,2-x-是2-x+2-2x是2-4=-2. x 当x=2时等号成立，最大值为-2。 (2)由 x+y=5,得(x+1)+y=6,且x+1>0,y>0。于是(x+1)y≤ x+1)+y2 2 =9,当x+1=y X 一=1 (3)因X0,+x*2x+1+ 而x+2+1≥2x.2+1=22+1,当x=2时孩等。 X 1 故 2V2-1 2+x+22V2+1 评分：每小题5分。变形并正确使用基本不等式得3分：写出取等条件得1分：结 论得1分。 17.（15分) (J=05m1mm≥0；2)m-2万元时利种调最 大，最大35.5万元 (1)当m=0时，x=3,代入x=4-k得k=1,放x=4-1 m+1 +1 每件销售价格为1，5.9+18x元，总销售额为15.9+18×.X=1,5(9+18x. X 总成本为9+18x+m,故利润y=1.5(9+18x)-（9+18x)-m=4.5+9x-m. m+1′得y=40.5- f代入x=4- m+1m(m≥0. (2)因为 m20,m1>0,y=05m=415-是m+1415-29m+155当 时取等。 故促销费用投入2万元时利润最大，最大利润35.5万元。 评分：1)8分：求k=1得2分，写x=4m得1分：销售额、成本，利润关 系正确得3分；化简得函数式得2分。 9 (2)7分：变形为41.5- +m+1 m+1 得2分：基本不等式得3分；取等条件 m=2得1分；结论1分。 18.(17分)(1)15；(2) 23 (3)见解析 (1) 当a>0时，由2≤ax+bx+c≤3的解集为[2,3]，易知2,3是方程ax2+bx+c-3=0的两根，且 由韦达定理：2+3=-名2×3=3 2.解得b=-5a,c=6a+3。 故6b+5c=6×(-5a)+5×(6a+3)=15 (2)由(1)b=-5a,c=6a+3,代入ax2+bx+c-2≥0恒成立可得 ax2-5ax+6a+1≥0恒成立，得 a>0, =0<a≤4. △=25a-4a(6a+1)≤0 不等式ax2+(b-3)x-c≤0即ax2-(5a+3)x-（6a+3)≤0 一(x+1[ax-(6a+3月s0,解集为-1≤x≤6+3 因为区间内恰有9个整数解，则7<6+3<8一3<a≤3.综上得a∈ (3) 若a>0,由(1)b=-5a,c=6a+3,原式化为ax2-(5a+1)x+5<0一(ax-1)(x-5)<0. 由(2)可知0<a≤4，只需考虑a在(0,4]上的解即可： ①0<a号时，日5，解5，日 ②当-片时，x-5P<0,期笑为心 @当a≤4财，10<5，解笑为 ,5: 若a<0,则由解集条件知2,3是ax2+bx+c-2=0的两根， 且ax2+bx+c-3≤0恒成立。由韦达定理得b=-5a,c=6a+2。 恒成立条件给出 a<0, =-4≤a<0. △=25a-4a6a-1)=a2+4a≤0 此时不等式为(ax-1)(x-5)<0,因a<0,1<0<5, 解集为 1u(5,+oo. -00, 综上：当-4≤a<0时，解集为-0 1u(5,+0)i 当0<a< 时，解笑为 当a= 以，解装为a: 当三4别，解为列 评分：(1)4分：韦达定理2分，求(b,c)并计算1分，结果1分。 (2)6分：恒成立求(0<a≤4)得2分；因式分解求解集得2分：由整数解个数 求(a)范围得2分。 (3)7分：(a>0)三种情形各1分共3分；(a<0)时求(b,C)与范围得2分，写解 集得1分：综上1分。 19.17分)(02,2)4与3)语 (1)(Va+VBY=a+b+2Vab=1+2Vabs1+(a+b)=2, 当a=b=1时取等。放Vā+b≤2，最大值为2： (2) 由ab=1， 1+1+8=a+b+8=Q+b+8 0+)元+=2m0+b2a+b222+h=4.当且仅当0+b、 2 a+b 2 a+b 可取a=2-3,b=2+3(或a=2+3,b=2-3),故最小值为4。 (3)记s=a+b=1-c。则a2+b2+c2+4ab+2bc+ 7 )ac= (a+bP-2ab+e+3cla+bj-+2@b+2+c 2 c5= 2 f优As=1-c,a武1-cr+e+c1-e-e2c 2 4 16 评分： (1)5分：平方1分；基本不等式2分；取等条件1分；结论1分。 a+b+8 (2)6分：化简为2+a+b得2分：基本不等式得2分：取等条件1分：结论 1分。 (3)6分：变形并放缩2b≤2得2分：代入s=1-c得2分：配方求最大值1 分；取等条件与结论1分。 参考答案速查表 题型 题号 答案 单选 1 C 单选 2 B 单选 3 D 单选 4 单选 5 A 单选 A 单选 A 单选 8 B 多选 9 CD 多选 10 ACD 多选 11 AC 填空 12 -,-2u-1到 填空 13 (-0,2] 填空 14 ￥ 解答 15 (1)8:(2)6V2-3 解答 (1)-2;(2)9:(3) 2V2-1 16 7 9 (1)y=40.5- -mm≥0)： 解答 17 m+1 (2)m=2,最大35.5万元 9I sd (ε)‘b(z)z6() 6I 易越 4热() (乙) SI (1) 8T 品越 第二章 一元二次函数、方程和不等式单元卷 （考试时间：120分钟  满分：150分） 班级：__________  姓名：__________  学号：__________ 注意事项：1. 答题前，请将姓名、班级、学号填写清楚。 2. 选择题答案填涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡指定区域。 3. 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知 1，2 是方程 的两个根，则 =（  ） A. 3 B. 1 C. 6 D. 2 2. 不等式 的解集是（  ） A. B. C. D. 3. 下列命题中正确的是（  ） A. B. 若，则 C. D. 4. 已知则的取值范围是（  ） A. B. C. D. 5. 已知若存在使不等式 能成立，则实数 的最小值是（  ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 4 6. 已知实数满足，且 ，则 的大小关系为（  ） A. c > b > a B. c > a > b C. a > c > b D. a > b > c 7. 古希腊数学家海伦提出了一个计算三角形面积的公式：若三角形三边长分别为则其面积，其中。现有一个三角形的边长满足，则该三角形面积的最大值为（  ） A. B. 8 C. 9 D. 18 8. 已知 a，b，c 均为正实数，，则 的最小值是（  ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 若，则下列不等式中正确的是（  ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（  ） A. 若不等式的解集为 R，则 k 的取值范围为 B. 集合若集合A有且仅有2个子集，则 a 的值为 ±1 C. “”是“一元二次方程 有一正一负根”的充要条件 D. 已知集合 ，则满足条件 的集合 N 的个数为4 11. 设正实数满足 ，则（  ） A. 有最小值为 B. 有最大值为 C. 有最小值为5 D. 有最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 不等式 的解集为________。 13. 若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________。 14. 当 时，关于的不等式 恒成立，则 的最小值为________。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）已知为正实数，且 （1）求 的最大值； （2）求 的最小值。 16.（15分）求下列各题的最值。 （1）已知 的最大值； （2）已知的最大值； （3）已知 的最大值。 17.（15分）某厂家拟在2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量） 万件与年促销费用 万元满足 （ 为常数）。如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是3万件。已知生产该产品的固定投入为9万元，每生产1万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本（此处每件产品年平均成本按元来计算）的1.5倍。 （1）将2025年该产品的利润 万元表示为年促销费用 万元的函数； （2）该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？ 18.（17分）已知不等式的解集为 （1）若 的值； （2）若 有且仅有9个整数解，求 的取值范围； （3）若 19.（17分）已知 （1）若 的最大值； （2）若 ，求 的最小值； （3）若的最大值。 学科网（北京）股份有限公司 $