第二章 一元二次函数、方程和不等式单元卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（26-27高一·全国·课后作业）下列四个选项中，能推出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的性质即可求解. 【详解】解：对A：因为，所以； 对B：因为，所以； 对C：因为，所以； 对D：因为，所以． 故选：A. 2．（26-27高一上·全国·课后作业）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】将不等式化为再解一元二次不等式可得答案. 【详解】将不等式化为，由于对应方程的判别式， 所以不等式的解集为. 故选：D. 3．（25-26高二下·北京·期中）设，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．4 D．9 【答案】A 【分析】先将函数化简，然后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故选：A. 4．（26-27高一·全国·课后作业）已知，，且，则， ，，，中最小的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当，时，，当且仅当时取等号，利用上述不等式可得：，得解. 【详解】解：因为，，所以，当且仅当时，等号成立，又，即不能取等号，即最小， 故选:D. 【点睛】本题考查了重要不等式及均值不等式，重点考查了不等关系及取等的条件. 5．（26-27高一上·广东揭阳·阶段检测）“方程有实根”的充分不必要条件为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，方程为一元一次方程，解得，存在实根； 当时，方程为一元二次方程， 若该方程存在实根，即，解得， 所以方程有实根的充要条件为，对应的集合为， 对于A，，是充要条件，不符合条件； 对于B，，是充分不必要条件，符合条件； 对于C，，是既不充分也不必要条件，不符合条件； 对于D，⫌，是必要不充分条件，不符合条件． 6．（26-27高三上·浙江宁波·阶段检测）若实数x，y满足x+y＞0，则“x＞0”是“x2＞y2”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的判定方法，结合不等式的性质，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，实数x，y满足x+y＞0，若x＞0，则未必有x2＞y2， 例如x＝1，y＝2时，有x2＜y2； 反之，若x2＞y2，则x2﹣y2＞0，即（x+y）（x﹣y）＞0； 由于x+y＞0，故x﹣y＞0，∴x＞y且x＞﹣y，∴x＞0成立； 所以当x+y＞0时，“x＞0”推不出“x2＞y2”，“x2＞y2”⇒“x＞0”； ∴“x＞0”是“x2＞y2”的必要不充分条件． 答案：B． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记充分条件、必要条件的判定方法，结合不等式的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题． 7．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知正数x，y满足：，则x＋y的最小值为 A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】将所求表示转化为，由于乘以1不变，故原式可化为，将其整理化简后由基本不等式求得最小值即可. 【详解】由题可知， （当且仅当时取等号） 所以x＋y的最小值为 故选：B 【点睛】本题考查由基本不等式求和的最小值，属于中档题. 8．（25-26高一上·浙江杭州·期中）在R上定义运算：，若不等式对任意实数x恒成立，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先应用新定义列式再结合一元二次不等式恒成立计算判别式即可. 【详解】：由已知得， 则对任意实数x恒成立， 整理得对任意实数x恒成立， 故，解得 故选： 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高二下·重庆沙坪坝·开学考试）下列不等式中解集为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】结合抛物线的开口方向及判别式的值即可判断． 【详解】对于A，由为开口向下的抛物线，且，所以解集不是，不符合题意； 对于B，由为开口向下的抛物线，且，解集为，符合题意； 对于C，由为开口向上的抛物线，且，解集为，符合题意． 对于D，由为开口向上的抛物线，且，解集为，不符合题意. 故选：BC. 10．（26-27高一上·湖北武汉·阶段检测）某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中为常数．若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为，欲使每小时的油耗不超过，则速度x的值可为（    ） A．60 B．80 C．100 D．120 【答案】ABC 【解析】先利用120km/h时的油耗，计算出的值，然后根据题意“油耗不超过”列不等式，解不等式求得的取值范围. 【详解】由汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为， ，解得：，故每小时油耗为， 由题意得，解得：， 又，故，所以速度的取值范围为. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题考查利用待定系数法求解析式，考查一元二次不等式的解法，解题的关键是先利用120km/h时的油耗，计算出的值，然后代入根据题意解不等式，考查实际应用问题，属于中档题. 11．（25-26高一下·湖北荆门·期中）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．的最小值为2 C．若，则 D．最小值为 【答案】CD 【分析】A.考虑的情况；B.考虑的正负；C.根据不等式的性质判断；D.利用配凑法结合基本不等式求解最小值. 【详解】A.当时，若，则不成立，故错误； B.当时，，取等号时， 当时，，取等号时，故错误； C.由“不等式两边同时加上或减去一个实数，不等号不改变”可知正确； D.因为 ， 取等号时，即，故正确； 故选：CD. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（专题12分式不等式2026年初升高数学无忧衔接（沪教版））不等式的解集是_______. 【答案】R. 【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可 【详解】解：因为， 所以方程无实根， 因为函数的图像开口向上，与轴无交点， 所以不等式的解集为， 故答案为： 【点睛】此题考查一元二次不等式的解法，要注意一元二次方程和二次函数之间的关系的转化，属于基础题. 13．（26-27高二上·福建莆田·阶段检测）若不等式的解集为，则______． 【答案】0 【分析】根据不等式的解集为，由－3，2是方程的两根求解. 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴－3，2是方程的两根， ∴ 解得 ∴． 故答案为：0 14．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知正实数x，y满足，则的最小值是_________. 【答案】/ 【分析】由条件可得，结合基本不等式求的最小值. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 当且仅当，时等号成立，即时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（26-27高一·全国·课后作业）已知，求． 【答案】或 【解析】解一元二次不等式求得集合，由此求得两个集合的交集. 【详解】∵可化为，即，∴． 又∵可化为，∴或． ∴或 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 16．（26-27高一·全国·课后作业）解下列不等式： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）或；（2）；（3）或. 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集. （2）根据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集. （2）根据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集. 【详解】（1）不等式即为，解得或， 因此，不等式的解集为或； （2）不等式即为，解得， 因此，不等式的解集为； （3）不等式即为，即，解得或.因此，不等式的解集为或. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 17．（25-26高一下·宁夏吴忠·期末）已知都是正数，且， （1）求的最小值； （2）求的最小值． 【答案】(1) ；(2) . 【分析】(1) 利用1的代换将式子变形，再用基本不等式求最小值； (2) 先将式子中的1用代换，展开整理，再用基本不等式求最小值. 【详解】(1) . 因为都是正数，所以由基本不等式得， ， 所以，当且仅当 ， 时等号成立. 所以的最小值为 . (2) . 因为都是正数，所以由基本不等式得， ， 所以，当且仅当 ， 时等号成立. 所以的最小值为. 18．（26-27高一上·辽宁·阶段检测）已知，，，且，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：由题意得， 所以 ， 当且仅当时，等号成立． (2)证明：因为，所以，即． 同理可得，， 所以， 当且仅当时，等号成立． 【分析】（1）（2）由均值不等式证明， 【详解】（1）略； （2）略. 19．（25-26高一上·广西南宁·期中）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：． (1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式） (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 【答案】(1)当千米/小时时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时； (2)大于千米/小时且小于千米/小时． 【分析】（1）根据题意将表达式整理可得，利用基本不等式即可求得当千米/小时时，车流量最大约为千辆/时； （2）将不等式整理可得，解得. 【详解】（1）依题意，由于， 所以 当且仅当，即时，上式等号成立， 此时（千辆/时）． 当千米/小时时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时； （2）由条件得， 整理得，即， 解得． 所以，如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于千米/小时且小于千米/小时． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（26-27高一·全国·课后作业）下列四个选项中，能推出的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·全国·课后作业）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D． 3．（25-26高二下·北京·期中）设，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．4 D．9 4．（26-27高一·全国·课后作业）已知，，且，则， ，，，中最小的是（    ）. A． B． C． D． 5．（26-27高一上·广东揭阳·阶段检测）“方程有实根”的充分不必要条件为（     ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·浙江宁波·阶段检测）若实数x，y满足x+y＞0，则“x＞0”是“x2＞y2”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知正数x，y满足：，则x＋y的最小值为 A． B． C．6 D． 8．（25-26高一上·浙江杭州·期中）在R上定义运算：，若不等式对任意实数x恒成立，则（ ） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高二下·重庆沙坪坝·开学考试）下列不等式中解集为的有（    ） A． B． C． D． 10．（26-27高一上·湖北武汉·阶段检测）某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中为常数．若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为，欲使每小时的油耗不超过，则速度x的值可为（    ） A．60 B．80 C．100 D．120 11．（25-26高一下·湖北荆门·期中）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．的最小值为2 C．若，则 D．最小值为 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（专题12分式不等式2026年初升高数学无忧衔接（沪教版））不等式的解集是_______. 13．（26-27高二上·福建莆田·阶段检测）若不等式的解集为，则______． 14．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知正实数x，y满足，则的最小值是_________. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（26-27高一·全国·课后作业）已知，求． 16．（26-27高一·全国·课后作业）解下列不等式： （1）； （2）； （3）. 17．（25-26高一下·宁夏吴忠·期末）已知都是正数，且， （1）求的最小值； （2）求的最小值． 18．（26-27高一上·辽宁·阶段检测）已知，，，且，证明： (1)； (2)． 19．（25-26高一上·广西南宁·期中）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：． (1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式） (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $