3.2.1单调性与最大（小）值（二） （分层作业练题型）高一数学人教A版必修第一册

分层作业 3.2.1 单调性与最大（小）值（二） 说明：目录为超链接形式，ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 目 录 A组 巩固过关 题型01 根据单调性求最值（重点） 题型02 已知最值求参（重点） 题型03 根据值域求定义域的范围 题型04 已知函数存在最值求参 题型05 换元法求最值（值域） 题型06 分段函数求最值 题型07 已知分段函数的最值（值域）求参（常考点） 题型08 不等式恒成立或能成立（易错点） 题型09 抽象函数的最值（重点） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 根据函数的单调性求最值题型01 1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·吉林·期末）函数在上的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·浙江湖州·期末）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·河北张家口·期末）函数在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 5．已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 已知函数的最值求参数（范围）题型02 6．函数在区间上的最大值为4，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 8．函数在上的最大值为，则______. 根据函数的值域求定义域的范围题型03 9．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知函数在上的最大值为，则（    ） A． B．2 C．5 D．7 11．（23-24高一上·安徽淮北·期中）写出使得函数的值域为的一个定义域_________． 已知函数存在最值求参数（范围）题型04 12．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）若函数在区间内存在最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高一上·安徽黄山·期中）若函数存在最小值和最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高一上·北京·期中）已知函数，若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 换元法求最值题型05 15．（25-26高一上·山东济南·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高一上·云南昆明·期中）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 18．函数的值域为______． 分段函数求最值题型06 19．（24-25高一上·江西吉安·期中）若函数，则的最小值和最大值分别为 （   ） A．和 B．和 C．和 D．和 20．（25-26高一上·陕西延安·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 21．（25-26高一上·湖南长沙·期末）若定义运算，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 22．定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 已知分段函数的最值（值域）求参数（范围）题型07 23.（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高三上·陕西·阶段检测）已知函数的最小值为0，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高一上·山东聊城·期中）设函数，若是的最小值，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（24-25高一上·浙江·期中）已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 27．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）若函数存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 不等式恒成立或能成立题型08 28．（25-26高一上·安徽六安·期中）若不等式对恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．（25-26高一上·贵州六盘水·期中）一元二次不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高二下·广东深圳·期末）若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 31．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）若存在，使得不等式成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 33．（25-26高一上·北京·期中）已知函数（），，对，，使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 抽象函数的最值题型09 34．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知函数的定义域为，若对于任意的， 都有，当时，都有，．则函数在区间上的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 35．（25-26高三下·贵州·阶段检测）已知函数的定义域为 ，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程有解 C．函数在定义域内单调递减 D．的最小值为 2 1．（25-26高三上·江西·期中）已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（   ） A．单调递减 B．单调递增 C．有最小值 D．有最大值 2．（25-26高一上·河北邢台·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）设，若关于的不等式在上有解，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·福建福州·期中）函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·安徽亳州·阶段检测）若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 6．（24-25高三上·陕西·阶段检测）已知函数的最小值为0，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·山东青岛·开学考试）设，若是的最小值，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·河南·阶段检测）已知函数，且对任意的（且），总存在，使得，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选）已知函数在区间上有最大值3，最小值2，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（多选）（25-26高一上·河北唐山·期中）已知函数，则（   ） A． B． C．在区间上单调递减 D．在区间上的最小值为1 11．（多选）（24-25高一下·云南昭通·阶段检测）若函数的最小值为，则实数的取值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 12．（25-26高三上·北京东城·阶段检测）已知函数，当时，的值域是______；若没有最大值，则的取值范围是______． 13．（25-26高一上·广东肇庆·期中）设函数，则函数的最大值为______. 14．（24-25高三上·北京海淀·期末）已知函数存在最小值，则的取值范围是_________. 15．（25-26高一上·四川内江·阶段检测）已知函数，不等式的解集为． (1)求，的值； (2)在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，求实数的取值范围； 16．已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 17．（25-26高一上·河北张家口·期末）已知函数． (1)画出函数的图象； (2)求函数在区间上的值域； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 18．（25-26高一上·湖南永州·期中）已知定义域为的函数对、都有，，且当时，. (1)求； (2)判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)若不等式恒成立，求实数m的取值范围. 19．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）设，，其中，记． (1)若，求的值域； (2)若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数t的取值范围； 1．【数形结合】（23-24高一上·山东·期中）若函数的值域为R，则实数m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．【新定义问题】（25-26高一上·四川绵阳·阶段检测）若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．【新定义问题】（25-26高一上·陕西渭南·期中）已知函数，给定两个实数a、b，若能同时满足以下两个条件：①不等式恒成立；②方程有两个互为相反数的实数根.那么我们就称是一组“奇葩数”，则下列选项中符合“奇葩数”定义的是（   ） A． B． C． D． 4．【分类讨论】（多选）（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（ ） A．4 B．12 C． D． 5．【开放题】（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）请写出一个函数的解析式，使得在时，值域为，则________. 6【逻辑推理】（25-26高一上·四川广安·阶段检测）设二次函数，若存在实数a，对任意，使得不等式成立，则实数b的取值范围是______． 7．【直观想象】（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数，.若对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围为______. 8．【新定义问题】（25-26高一下·广东广州·期末）设，函数的定义域为．若对满足的任意，均有，则称函数具有“性质”． (1)在下述条件下，分别判断函数是否具有性质，并说明理由； ①； ②； (2)已知，且函数具有性质，求实数的取值范围； (3)证明：“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件． 1．（2026·上海·高考真题）对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（    ） A．若和都有最小值，则有最低点； B．若有最低点，则和都有最小值； C．若或有最小值，则有最低点； D．若有最低点，则或有最小值. A．[-1,2] B．[-1，0] C．[1，2] D． 3．（2020·全国III卷·高考真题）已知函数f(x)=sinx+，则（） A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图象关于y轴对称 C．f(x)的图象关于直线对称 D．f(x)的图象关于直线对称 4．（2003·全国·高考真题）函数的最大值是：（    ） A． B． C． D． 5．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______ 6．（2000·上海·高考真题）已知函数f（x）＝，x∈[1，＋∞)． （1）当a＝时，求函数f（x）的最小值； （2）若对任意x∈[1，＋∞)，f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.2.1 单调性与最大（小）值（二） 参考答案 根据函数的单调性求最值题型01 1．C 2. C 3．A 4.B 5．D 已知函数的最值求参数（范围）题型02 6．A 7.A 8． 根据函数的值域求定义域的范围题型03 9.D 10.C 11．（答案不唯一） 已知函数存在最值求参数（范围）题型04 12.D 13.C 14．B 换元法求最值题型05 15.D 16. C 17.C 18. 分段函数求最值题型06 19.C 20. C 21.C 22.B 已知分段函数的最值（值域）求参数（范围）题型07 23.B 24.B 25．B 26. C 27．D 不等式恒成立或能成立题型08 28.D 29．D 30.B 31.D 32.D 33.B 抽象函数的最值题型09 34.B 35.D 1． B 2．C 3．C 4．D 5．D 6．B 7．A 8．D 9.AB 10. ABD 11.BC 12. , 13. 14. 15. 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）因为不等式的解集为，所以2，3为方程的两根， 由根与系数的关系可得，，所以，. （2）由（1）可知，且满足，恒成立， 等价于， 当时，函数图象的对称轴为，开口向上， 所以函数在上单调递减， 所以当时，有最小值0， 所以，实数的取值范围为. 16.【答案】(1)答案见解析；(2)最小值为，最大值为. 【详解】（1）证明：，且， 则 , 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 17.【答案】(1) (2)；(3) 【详解】（1）因为， 所以； 画函数的图象如图所示： （2）当时，函数在 上单调递减，在单调递增； ， 当时，函数在 单调递减，在单调递增； ； 综上所述，函数在上的最小值为 ，最大值为，故值域为 （3）当时，函数 由恒成立，化简得到当时，恒成立； 由基本不等式， 当且仅当，即 时取等号，有最小值4， 因为时，恒成立，所以； 所以实数的取值范围是. 18.【答案】(1)；(2)在上是减函数，证明见解析；(3) 【详解】（1）令得， 任意x，，于是； （2）在上是减函数. 设， 则 ∵，∴， 又，∴， 即，故在上是减函数； （3）由（2）得，在上是减函数， ∴不等式恒成立， 所以恒成立， 即恒成立， ∴， 又， 当且仅当等号成立， ∴的最大值为， 即的最大值为，于是， 故. 19.【答案】(1)；(2) 【详解】（1），， ，， 即， 作图可知， 函数的最大值为，值域为； （2）由题意，只需在上的值域为的子集即可， 因为，所以， 对称轴为，由得， ①当，即时，， 所以，解得，故； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 此时最小值为，最大值为， 所以，解得，所以； 综上，所求的范围为. ． 1.C 2．B 3.B 4. AD 5.(答案不唯一) 6. 7. 8.【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)答案见解析； 【详解】（1）①是，理由如下：因为对任意， ，符合定义； 因此，函数具有性质. ②不是,理由如下：令 ， ，故不具有性质. （2）显然，设， 则 ， 当时，取最小值， 原问题等价于当时，恒成立，即恒成立， 由，可得，所以. （3）充分性： 若函数为增函数，则对任意均有， 即，因此，对任意，若， 则，函数具有性质，充分性得证； 必要性： 若对任意，函数均具有性质， 假设函数不是增函数，则存在，满足， 即，而， 故存在，使，且，即， 即对于，存在，但是， 与“对任意，函数均具有性质”矛盾，因此假设不成立， 即函数为增函数，必要性得证． 综上，“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件. 1.D 2．D 3. D 4.A 5. 6.【答案】（1）；（2）(－3，＋∞). 【详解】（1）当a＝时，， 设1≤x1＜x2，则， ∵1≤x1＜x2， ∴2x1x2＞2，2x1x2-1>0，>0， ∴， ∴f（x）在区间[1，＋∞)上为增函数， ∴f（x）在区间[1，＋∞)上的最小值为f（1）＝， （2）在区间[1，＋∞)上f（x）＞0恒成立⇔x2＋2x＋a＞0恒成立， 设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，则函数y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在区间[1，＋∞)上是增函数， ∴当x＝1时，y取最小值，即ymin＝3＋a， 于是当且仅当ymin＝3＋a＞0时，函数f（x）＞0恒成立， 故a＞－3，实数a的取值范围为(－3，＋∞)． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.2.1 单调性与最大（小）值（二） 说明：目录为超链接形式，ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 目 录 A组 巩固过关 题型01 根据单调性求最值（重点） 题型02 已知最值求参（重点） 题型03 根据值域求定义域的范围 题型04 已知函数存在最值求参 题型05 换元法求最值（值域） 题型06 分段函数求最值 题型07 已知分段函数的最值（值域）求参（常考点） 题型08 不等式恒成立或能成立（易错点） 题型09 抽象函数的最值（重点） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 根据函数的单调性求最值题型01 1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的对称轴为， 在单调递减，在单调递增， 所以，， 当，， 故原函数的值域为. 2．（25-26高一上·吉林·期末）函数在上的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在上单调递减， 所以当时取最大值为. 故选：C． 3．（25-26高一上·浙江湖州·期末）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以在上的最小值为. 故选：A 4．（25-26高一上·河北张家口·期末）函数在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【分析】根据分式型函数的单调性进行求解即可. 【详解】，该函数在上单调递增， 所以， 故选：B 5．已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】由在上单调递增， 所以． 已知函数的最值求参数（范围）题型02 6．函数在区间上的最大值为4，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】显然， 若，则函数在区间上是减函数， 则，解得，不满足，舍去； 若，则函数在区间上是增函数，则，解得. 综上，. 7．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 【答案】A 【详解】函数， 当时，，不满足函数在区间上最大值为1，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递减， 所以最大值为，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递增， 所以最大值为，解得； 综上所述，实数. 故选：A 8．函数在上的最大值为，则______. 【答案】 【详解】易知，是由向左平移1个单位得到， 当时，即在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以，解得，与矛盾； 当时，即在上单调递增， 所以在上单调递增，所以，解得. 根据函数的值域求定义域的范围题型03 9．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以当时，函数取得最小值2， 因为，而函数闭区间上有最大值3，最小值2， 所以. 故选：D 10．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知函数在上的最大值为，则（    ） A． B．2 C．5 D．7 【答案】C 【详解】由，可得， 所以函数的对称轴为， 当时，， 又函数在上的最大值为， 所以，解得（舍去）， 当时，，所以， 所以，所以，解得或（舍去）. 故选：C. 11．（23-24高一上·安徽淮北·期中）写出使得函数的值域为的一个定义域_________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】由得， 即，得， 由得，即或， 则根据二次函数的性质可举例定义域为. 已知函数存在最值求参数（范围）题型04 12．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）若函数在区间内存在最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数图象的对称轴为直线， 由函数在区间内存在最大值，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 13．（25-26高一上·安徽黄山·期中）若函数存在最小值和最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的图像开口向上，对称轴为， 若时，在上单调递增，有最大值，无最小值； 若时，存在最小值和最大值，则最小值为，最大值为， 解得； 若时，存在最小值和无最大值； 若时，在上单调递减，有最小值，无最大值； 综上所述：实数的取值范围是. 故选：C. 14．（25-26高一上·北京·期中）已知函数，若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 当时，所以在上单调递减，则； 当时，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要使函数存在最小值，则，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B 换元法求最值题型05 15．（25-26高一上·山东济南·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，得， 所以可以转化为． 因为二次函数在上单调递增， 当时，， 所以函数的值域为． 故选：D． 16．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，解得，即的定义域为， 令，则，所以，且， 则原函数转化为， 因为与在上均为单调递减函数， 所以在上单调递减， 所以的最大值为，的最小值为， 所以的值域为，即原函数的值域为. 17．（25-26高一上·云南昆明·期中）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则，， 令，由对勾函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 在处取得最小值， 又因为， 因此在上的值域为， 故的值域为， 即函数在区间上的值域为， 故选：C. 18．函数的值域为______． 【答案】 【详解】由题意可得，解得，即函数定义域为， 则， 设，则，显然在上为减函数， 故当时，即时，取到最大值4， 则函数的最大值为2； 当时，即时，取得最小值2， 则函数的最小值为. 故函数的值域为. 分段函数求最值题型06 19．（24-25高一上·江西吉安·期中）若函数，则的最小值和最大值分别为 （   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【详解】当时，；当时，. 综合得函数的值域为，故. 故选：C 20．（25-26高一上·陕西延安·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，当，， 所以， 当时，，单调递增， 所以，即， 综上，的值域为. 故选：C 21．（25-26高一上·湖南长沙·期末）若定义运算，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，解得，所以， 当时，则在上单调递减，则， 即； 当时，则，即； 综上可得函数的值域为. 故选：C 22．定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【详解】画出，，的图像，观察图像可知， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的最大值在时取得为，故B正确． 已知分段函数的最值（值域）求参数（范围）题型07 23.（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以当时，单调递增，则.又函数的值域为， 所以当，函数的值要取到内的所有实数，所以. 当，即时，函数在上单调递增，时，， 当趋近于1时，，即，所以，即实数a的取值范围是. 24．（24-25高三上·陕西·阶段检测）已知函数的最小值为0，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， . 当时，函数在上单调递减， . 的最小值为0， ，解得，即实数的取值范围为. 故选：B. 25．（23-24高一上·山东聊城·期中）设函数，若是的最小值，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，当时，， 当且仅当即时，等号成立； 当时，，要使是的最小值， 只需在上递减，且， 即，解得. 故选：B 26．（24-25高一上·浙江·期中）已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】当时，， 则在上单调递减，此时， 当时，， 则函数在上单调递增，此时，在上单调递减，此时， 当时，由，即，得， 当时，由，即，得， 画出函数的图象，如图，    若在区间上既有最大值，又有最小值， 得，因此， 则的最大值为3. 故选：C. 27．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）若函数存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 又函数存在最大值， 所以函数在时取到最大值，又时，， 当时，显然不合题意，当时， 为反比例函数， 所以，故， 故选：D. 不等式恒成立或能成立题型08 28．（25-26高一上·安徽六安·期中）若不等式对恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，对恒成立， 且在的最小值为， 则. 故选：D. 29．（25-26高一上·贵州六盘水·期中）一元二次不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在区间上恒成立， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 又与均在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，所以， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D 30．（25-26高二下·广东深圳·期末）若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，则不等式在上有解等价于. 对任意，有，当且仅当，即时等号成立. 因为，故在上的最小值为，所以. 故的取值范围为. 31．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）若存在，使得不等式成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，不等式可化为， 即存在，使得成立， 因为函数在上单调递增， 且时，，时，， 所以，则可得， 即的取值范围是. 故选：D 32．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上恒成立，所以在上恒成立， 令函数，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故D正确. 33．（25-26高一上·北京·期中）已知函数（），，对，，使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，则，，可得， 所以函数在的值域为； 若，则，可得， 所以函数在的值域为； 因为对，，使得成立， 则，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 抽象函数的最值题型09 34．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知函数的定义域为，若对于任意的， 都有，当时，都有，．则函数在区间上的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】任取，则， 由当时，都有，得， 任意的，都有， 即， 则， 因此函数在上单调递增， 故时， . 故选：B 35．（25-26高三下·贵州·阶段检测）已知函数的定义域为 ，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程有解 C．函数在定义域内单调递减 D．的最小值为 2 【答案】D 【详解】对于A，因为的定义域为，且满足 且， 取，可得，则， 取，可得 ，则，所以A错误； 对于B，取，可得，则， 所以， 以上各式相加得，所以， 经检验：其中满足上式，所以 ， 令，可得，此方程无解，所以B错误； 对于C，由函数 ， 由函数的图象开口向上，且对称轴为， 所以函数在上单调递增，所以在上单调递增，所以C错误； 对于D，由C项知：函数在上单调递增， 所以，所以D正确. 1．（25-26高三上·江西·期中）已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（   ） A．单调递减 B．单调递增 C．有最小值 D．有最大值 【答案】B 【详解】函数图象的对称轴为直线，且图象开口向上，由题意，得．又，则当时，在上单调递增，函数既无最大值，也无最小值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既无最大值，也无最小值；当时，函数在上单调递增，函数既无最大值，也无最小值．综上，在上单调递增． 2．（25-26高一上·河北邢台·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由分段函数的单调性可得 解得， 故选：C． 3．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）设，若关于的不等式在上有解，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】关于的不等式在上有解， ， ，，令，， 且，有： ， ，，， ，在单调递增， 当时，， ，即小于等于 ． 故选：C 4．（25-26高一上·福建福州·期中）函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，则恒成立，显然不符合题意； 要使函数的值域为， 需使，解得. 故的取值范围是. 故选：D 5．（24-25高一上·安徽亳州·阶段检测）若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以当时，在上单调递减， 则，解得，与矛盾，不符合题意； 当时，根据对勾函数单调性可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数在上单调递增，则在上单调递减， 所以，解得，符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得，与矛盾，不符合题意； 综上所述，. 故选：D 6．（24-25高三上·陕西·阶段检测）已知函数的最小值为0，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， . 当时，函数在上单调递减， . 的最小值为0， ，解得，即实数的取值范围为. 故选：B. 7．（24-25高三上·山东青岛·开学考试）设，若是的最小值，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于，当，，由于是的最小值， 则为减区间，即有，则恒成立. 由，当且仅当时取等号，所以 ，解得. 综上，a的取值范围为. 故选：A. 8．（25-26高一下·河南·阶段检测）已知函数，且对任意的（且），总存在，使得，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，，对任意，存在使得， 即（因为，区间内的数同号，乘积为正），所以必须在区间内， 因此，对于所有，有，由于且，分两种情况讨论： 若，则，函数递减，值域为，需满足， 即且，得且，故； 若，则，同样递减，值域为，需满足， 需满足且，同样得. 因此，. 9．（多选）已知函数在区间上有最大值3，最小值2，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AB 【详解】因为函数， 所以该函数在上单调递减，在上单调递增，最小值在处取得且为2. 令或， 所以若函数在区间上有最大值3、最小值2时，则. 故选：AB 10．（多选）（25-26高一上·河北唐山·期中）已知函数，则（   ） A． B． C．在区间上单调递减 D．在区间上的最小值为1 【答案】ABD 【详解】，定义域为， 选项A：因为，所以A正确。 选项B：因为，所以B正确。 选项C：， 因为函数在上单调递减，且此时， 所以函数在上单调递增，所以C错误。 选项D：由A知是偶函数，的图象关于纵轴对称， 由上可知：在上单调递增， 所以当时，， 又因为，的图象关于纵轴对称， 所以在区间上的最小值为1，所以D正确. 11．（多选）（24-25高一下·云南昭通·阶段检测）若函数的最小值为，则实数的取值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】BC 【详解】当时，； 当时：，当且仅当，即时等号，此时. 当时，，当且仅当，即时等号，此时， 综上，. 若，则，由题，所以； 若，则，由题，所以， 故选：BC. 12．（25-26高三上·北京东城·阶段检测）已知函数，当时，的值域是______；若没有最大值，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】当时，， 则当时，， 当时，， 所以根据二次函数和一次函数的值域可知：的值域是； 当时，由一次函数在区间上单调递增，故无最大值， 当时，，可得有最大值，故不符合题意， 当时，二次函数对称轴为， 故二次函数在区间上有最大值， 一次函数在区间上单调递减，即， 所以必有最大值，故不符合题意， 综上的取值范围是， 13．（25-26高一上·广东肇庆·期中）设函数，则函数的最大值为______. 【答案】 【详解】∵，∴， 令，则，故. ∴当时，函数取得最大值， 故答案为： 14．（24-25高三上·北京海淀·期末）已知函数存在最小值，则的取值范围是_________. 【答案】 【详解】当时，在上单调递增， 且当时，显然不存在最小值，故舍去； 当时，，则当时， 所以的最小值为，符合题意； 当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，， 当时，则在上单调递减， 要使函数存在最小值，则，解得，此时； 综上可得的取值范围是. 故答案为： 15．（25-26高一上·四川内江·阶段检测）已知函数，不等式的解集为． (1)求，的值； (2)在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，求实数的取值范围； 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）因为不等式的解集为，所以2，3为方程的两根， 由根与系数的关系可得，，所以，. （2）由（1）可知，且满足，恒成立， 等价于， 当时，函数图象的对称轴为，开口向上， 所以函数在上单调递减， 所以当时，有最小值0， 所以，实数的取值范围为. 16．已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)答案见解析；(2)最小值为，最大值为. 【详解】（1）证明：，且， 则 , 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 17．（25-26高一上·河北张家口·期末）已知函数． (1)画出函数的图象； (2)求函数在区间上的值域； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)；(3) 【详解】（1）因为， 所以； 画函数的图象如图所示： （2）当时，函数在 上单调递减，在单调递增； ， 当时，函数在 单调递减，在单调递增； ； 综上所述，函数在上的最小值为 ，最大值为，故值域为 （3）当时，函数 由恒成立，化简得到当时，恒成立； 由基本不等式， 当且仅当，即 时取等号，有最小值4， 因为时，恒成立，所以； 所以实数的取值范围是. 18．（25-26高一上·湖南永州·期中）已知定义域为的函数对、都有，，且当时，. (1)求； (2)判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)若不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)；(2)在上是减函数，证明见解析；(3) 【详解】（1）令得， 任意x，，于是； （2）在上是减函数. 设， 则 ∵，∴， 又，∴， 即，故在上是减函数； （3）由（2）得，在上是减函数， ∴不等式恒成立， 所以恒成立， 即恒成立， ∴， 又， 当且仅当等号成立， ∴的最大值为， 即的最大值为，于是， 故. 19．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）设，，其中，记． (1)若，求的值域； (2)若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数t的取值范围； 【答案】(1)；(2) 【详解】（1），， ，， 即， 作图可知， 函数的最大值为，值域为； （2）由题意，只需在上的值域为的子集即可， 因为，所以， 对称轴为，由得， ①当，即时，， 所以，解得，故； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 此时最小值为，最大值为， 所以，解得，所以； 综上，所求的范围为. 1．【数形结合】（23-24高一上·山东·期中）若函数的值域为R，则实数m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 据题意，函数， 令，整理得，解得或， 即函数和交点的横坐标为和0， 在同一坐标系内做出函数和的图像，如图所示， 要使函数的值域为R，则， 所以实数m的取值范围为． 故选：C． 2．【新定义问题】（25-26高一上·四川绵阳·阶段检测）若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可得函数定义域为，函数是“函数”， 所以函数值域为， 又当时，时单调递增，所以， 所以. 故选：B 3．【新定义问题】（25-26高一上·陕西渭南·期中）已知函数，给定两个实数a、b，若能同时满足以下两个条件：①不等式恒成立；②方程有两个互为相反数的实数根.那么我们就称是一组“奇葩数”，则下列选项中符合“奇葩数”定义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数，且， 对于①：若不等式恒成立，则恒成立， 可得； 对于②：若有两个互为相反数的实数根， 则，可得； 若，则，解得， 综上所述：，. 结合选项可知B正确，ACD错误. 故选：B. 4．【分类讨论】（多选）（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（ ） A．4 B．12 C． D． 【答案】AD 【详解】依题意可得在上单调递减，在上单调递增， 当，即时在上单调递增，所以， ， 所以，解得； 当，即时，在上单调递减，所以， ， 所以，解得，不符合题意，故舍去； 当，即时在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 若且，即，， 所以，解得或，两个解均舍去； 若且，即，， 所以，解得或（舍去）； 综上可得或. 故选：AD 5．【开放题】（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）请写出一个函数的解析式，使得在时，值域为，则________. 【答案】(答案不唯一) 【详解】由题意，只需写出一个符合条件的函数即可. 为了简单，我们可以选择单调递增的一次函数，不妨设， 由时，有，解得， 所以. 6【逻辑推理】（25-26高一上·四川广安·阶段检测）设二次函数，若存在实数a，对任意，使得不等式成立，则实数b的取值范围是______． 【答案】 【详解】由题意，对于任意，都有成立， 所以即对于任意恒成立， 所以只需，的最大值与最小值的差小于2即可， 当时，在上单调递减，则， 解得，不合题意； 当时，在上单调递增，则，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，所以， 综上，． 7．【直观想象】（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数，.若对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【详解】对于，其对称轴为直线，因， 则当时，即时，； 当时，即时，. 对于在上单调递增，故. 因对任意的，总存在，使成立，即. 则当时，由解得，故得； 当时，由解得，故得. 综上可得实数a的取值范围为. 8．【新定义问题】（25-26高一下·广东广州·期末）设，函数的定义域为．若对满足的任意，均有，则称函数具有“性质”． (1)在下述条件下，分别判断函数是否具有性质，并说明理由； ①； ②； (2)已知，且函数具有性质，求实数的取值范围； (3)证明：“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件． 【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)答案见解析； 【详解】（1）①是，理由如下：因为对任意， ，符合定义； 因此，函数具有性质. ②不是,理由如下：令 ， ，故不具有性质. （2）显然，设， 则 ， 当时，取最小值， 原问题等价于当时，恒成立，即恒成立， 由，可得，所以. （3）充分性： 若函数为增函数，则对任意均有， 即，因此，对任意，若， 则，函数具有性质，充分性得证； 必要性： 若对任意，函数均具有性质， 假设函数不是增函数，则存在，满足， 即，而， 故存在，使，且，即， 即对于，存在，但是， 与“对任意，函数均具有性质”矛盾，因此假设不成立， 即函数为增函数，必要性得证． 综上，“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件. 1．（2026·上海·高考真题）对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（    ） A．若和都有最小值，则有最低点； B．若有最低点，则和都有最小值； C．若或有最小值，则有最低点； D．若有最低点，则或有最小值. 【答案】D 【详解】对于A项，取，，取，， 则，；而无最低点，故A错误； 对于B项，取，，取，， 则无最小值，；而有最低点，故B错误； 对于C项，取，，取，， 则无最小值，； 因为的函数值可趋向于负无穷大，所以无最低点，则亦无最低点，故C错误； 对于D项，因为有最低点，不妨设为的最低点，且，且， 所以或， 若，则且对任意的，总有，即； 若，同理可知； 所以若有最低点，则或有最小值，故D正确. 故选：D. 2．（2014·上海·高考真题）若是的最小值，则的取值范围为. A．[-1,2] B．[-1，0] C．[1，2] D． 【答案】D 【详解】由于当时，在时取得最小值，由题意当时，应该是递减的，则，此时最小值为，因此，解得，选D． 3．（2020·全国III卷·高考真题）已知函数f(x)=sinx+，则（） A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图象关于y轴对称 C．f(x)的图象关于直线对称 D．f(x)的图象关于直线对称 【答案】D 【详解】可以为负，所以A错； 关于原点对称； 故B错； 关于直线对称，故C错，D对 故选：D 4．（2003·全国·高考真题）函数的最大值是：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵， ∴，最大值为． 故选：A. 5．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______ 【答案】 【详解】设，原题转化为求的最小值， 原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为， 即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为. 6．（2000·上海·高考真题）已知函数f（x）＝，x∈[1，＋∞)． （1）当a＝时，求函数f（x）的最小值； （2）若对任意x∈[1，＋∞)，f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2）(－3，＋∞). 【详解】（1）当a＝时，， 设1≤x1＜x2，则， ∵1≤x1＜x2， ∴2x1x2＞2，2x1x2-1>0，>0， ∴， ∴f（x）在区间[1，＋∞)上为增函数， ∴f（x）在区间[1，＋∞)上的最小值为f（1）＝， （2）在区间[1，＋∞)上f（x）＞0恒成立⇔x2＋2x＋a＞0恒成立， 设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，则函数y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在区间[1，＋∞)上是增函数， ∴当x＝1时，y取最小值，即ymin＝3＋a， 于是当且仅当ymin＝3＋a＞0时，函数f（x）＞0恒成立， 故a＞－3，实数a的取值范围为(－3，＋∞)． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $