3.2.1单调性与最大（小）值（分层作业，19大题型）高一数学人教A版必修第一册

分层作业 3.2.1 单调性与最大（小）值 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 对单调性定义的理解 题型02 定义法证明（判断）函数的单调性 题型03 根据图象判断单调性 题型04 求函数的单调区间 题型05 利用函数的单调性比较大小 题型06 利用图象求函数最值 题型07 利用单调性求函数最值 题型08 求函数的最值或值域 B组 能力进阶 题型01 利用函数的单调性解不等式 题型02 利用函数的单调性求参数范围 题型03 根据一次、反比例、二次函数的单调性求参 C组 思维拔高 题型01 抽象函数的单调性 题型02 根据分段函数的单调性求参 题型03 已知函数的最值求参 题型04 根据函数的值域求定义域范围 题型05 分段函数值域范围求参 题型06 利用恒成立与能成立问题求函数最值 题型07 分类讨论函数的单调性求最值 题型08 函数单调性的应用 对单调性定义的理解题型01 1．已知函数，.若成立，则下列论断中正确的是（    ） A．函数在上一定是增函数； B．函数在上一定不是增函数； C．函数在上可能是减函数； D．函数在上不可能是减函数. 【答案】D 【分析】根据函数单调性的定义判断即可. 【详解】因为函数，且成立， 则函数在上不可能是减函数，可能是增函数，也可能不是增函数， 如，满足，但是在上不具有单调性， 故D正确，A、B、C错误. 故选：D 2．给出以下四个命题： ①若集合，，，则，； ②若函数的定义域为，则函数的定义域为； ③函数的单调递减区间是； ④若，且，. 其中正确的命题有__________（写出所有正确命题的序号）． 【答案】①②④ 【分析】对每个命题进行判断：①按集合相等的定义分析，②由解得，③根据单调区间的定义判断，④由已知令得出递推关系，即，代入可求值． 【详解】①时，∵，则，∴，，，正确； ②若函数的定义域为，由得，即的定义域是，正确； ③的减区间是和，不能求并集，③错； ④若，且，则，，∴，正确。. 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查命题的真假判断，实质考查集合相等的概念、函数的定义域、函数的单调性以及抽象函数的计算问题，考查的知识点较多，属于中档题。 定义法证明（判断）函数的单调性题型02 1．（2026·广东·高考真题）已知函数 (1)求函数的定义域； (2)判断并证明函数的单调性． 【答案】(1)； (2)单调递增，证明如下： 的定义域为， ∴任取， 则 ， ，，又有， 所以，即， 是上的单调递增. 【分析】（1）根据二次根式的被开方数大于等于0，列式求解； （2）利用函数单调性的定义判断证明. 【详解】（1）由，所以，解得， 所以函数定义域为. （2）在上单调递增，证明略. 2．根据定义证明函数在区间上单调递增. 【答案】 证明：，且， 则 == == ， ，，则， ，， ，即， 函数在区间上单调递增. 【分析】利用单调性的定义，按照取值、作差、化简、定号、得结论的步骤，即可得证. 【详解】略 3．（25-26高一上·天津·月考）已知函数， (1)请在给定的坐标系中画出的图象； (2)请根据图象分别写出函数的增区间和减区间； (3)利用定义法证明在上单调递增． 【答案】(1) (2)的增区间为，减区间为和和 (3) 当时，， 取任意的，且， 则 ， 因为，所以，， 所以，所以， 所以函数在上单调递增． 【分析】（1）根据分段函数作图即可； （2）根据图象结合函数单调性定义即可写出函数的增区间和减区间； （3）取任意的，且，化简判断的正负，即可证明函数单调性. 【详解】（1）函数的图象如下： （2）由函数的图象可知：函数的增区间为，减区间为和和. （3）略 4．（24-25高一上·天津·期中）用函数单调性的定义证明：在上为单调递增函数． 【答案】证明：设，则， 由题意得，，， 则有，即，且， 故在上为单调递增函数. 【详解】略 5．已知函数 (1)若，求的值； (2)若，判断在区间上的单调性，并用定义证明. 【答案】(1)； (2)在区间上递增，证明如下： 令，则， 又，则，且， 所以，即在区间上递增. 【分析】（1）由，将自变量代入求值即可； （2）设，应用作差法比较证明单调性. 【详解】（1）由题设，则，故； （2）略 6．已知函数 ． (1)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. (2)求出函数在区间上的最大值和最小值. (3)画出函数图象并求出其值域 【答案】(1)单调递增，证明如下: 任取，则， 由，得，则， 即，因此， 所以函数在区间上单调递增. (2)最大值为，最小值为； (3) . 【分析】（1）将的解析式变形为即可判断单调性，再根据定义法证明函数单调性的步骤即可证明。 （2）由（1）的结论即可利用单调性求出最大值和最小值. （3）利用图象变换即可画出大致图象，由即可求出值域. 【详解】（1）函数在区间上单调递增，证明略； （2）由（1）知函数在区间上单调递增，则，， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. （3）函数的图象，可由反比例函数的图象向左平移一个单位，再向上平移2个单位得到，大致图象如下： 函数，而，则， 所以的值域为. 7．（25-26高一上·四川自贡·期中）已知函数的图象过点，且． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数的最大值； (3)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3) 函数在上是减函数．证明如下： 设， 则 ， 由，得，，，， 因此，即， 所以函数在上是减函数． 【分析】（1）根据给定条件，列出方程求出值； （2）由（1）得，再根据双勾函数求最值即可； （3）利用单调函数的定义证明函数的单调性． 【详解】（1）由的图象过点，得， 又， 联立解得：，， 函数的解析式为； （2）由（1）得， ，， 所以当且仅当时，， 所以； （3）略 根据图象判断单调性题型03 1．下列图象表示的函数中，在R上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图形，结合单调性的定义可以得到选项. 【详解】解：由图形可知： A：在上单调递减，所以不正确； B：在上单调递增，在上单调递增，但是在定义域上不单调，所以不正确； C：在上单调递减，在上单调递增，不正确； D：在上单调递增，正确； 故选：D 【点睛】本题考查由图形确定函数的单调性，属于基础题. 2．（25-26高一上·广东潮州·月考）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【答案】D 【分析】利用函数的图象逐项判断即可. 【详解】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B正确； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误. 故选：D. 3．（24-25高一上·北京·期中）设集合，，若函数是定义域为M，值域为N的单调函数，则的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义以及定义域与值域，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】A图象不满足定义域要求； D图象中存在值对应两个值，不满足函数概念； C图象不满足单调函数概念； B图象满足定义域为，值域为，且单调递减. 故选：B 4．（25-26高二上·吉林白城·月考）已知函数的图象如图．根据图象写出的单调区间，单调递增区间为______，单调递减区间为______．    【答案】 和 【分析】根据给定的函数图象确定单调区间即可. 【详解】由图象知在上，单调递增区间为和，单调递减区间为． 故答案为：和， 5．已知函数. (1)在图中画出函数的大致图象； (2)写出函数的单调递减区间； (3)写出不等式的解集. 【答案】(1) (2)[2,4]； (3)[1,4]. 【分析】（1）根据解析式确定相关点坐标，在坐标系上描点并画出函数大致图象即可. （2）（3）根据（1）所得的图象直接写出递减区间、不等式的解集即可. 【详解】（1） 0 1 2 3 4 0 1 2 1 ∴的大致图象如图所示： （2）由图知：函数的单调递减区间为[2,4]. （3）由图知：不等式的解集为[1,4]. 6．（25-26高一上·北京·期中）设函数，且，.    (1)求函数的解析式； (2)画出函数的图象，并指出函数的值域和单调区间； (3)直接写出不等式的解集. 【答案】(1) (2) 图象如下： WSD 函数的值域为，单调递增区间是，单调递减区间是、. (3) 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出函数的解析式； （2）根据函数的解析式可作出函数的图象，结合图象可得出函数的值域、增区间和减区间； （3）分、两种情况讨论，结合图象可得出不等式的解集. 【详解】（1）因为，且，. 即，解得，故. （2）略 （3）当时，由可得，由图可得或， 当时，由可得，由图可得. 综上所述，不等式的解集为. 7．（24-25高一上·四川·期中）给定函数，，. (1)，用表示，中的最小者，记为.请分别用图象法及解析法表示函数； (2)根据图象判断函数的单调性（不证明），并求若成立时实数的取值范围. 【答案】(1)，； (2)单调递减， 【分析】（1）根据题意可求得分段函数以及分段函数的图象； （2）根据图象得到单调性，根据单调性得到不等式求解即可. 【详解】（1）令，则，解得或， 令，则，解得， 所以，如图所示： ； （2）根据（1）中的图象可得函数为单调递减函数， 对，且时，都有， 所以函数在R上单调递减； 因为函数在R上单调递减，且， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 求函数的单调区间题型04 1．（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数化为分段函数，作图即可求解. 【详解】， 作出函数图象，如图： 所以函数的单调递减区间为. 故选：C. 2．函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】B 【分析】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求 【详解】， 则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为； 当，的单调递减区间为， 故的单调递减区间是和. 故选：B 3．（25-26高一上·河北保定·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】令，则在上单调递增； ，因式分解得，解得定义域为或，即. 是开口向上的二次函数，对称轴为， 因此，在上单调递减；在上单调递增. 结合复合函数的单调性可得函数的单调递增区间为. 故选：B 4．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数在上的单调递增区间是________，最小值是________． 【答案】 6 【分析】根据对勾函数的图像及基本不等式即可求解． 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 由对勾函数的图像可知，函数在上的单调增区间是，最小值是6． 5．（25-26高一上·重庆·期末）已知函数. (1)求的值； (2)画出函数的图象，并写出函数的单调递增区间. 【答案】(1) (2) 函数的单调递增区间为. 【分析】（1）根据分段函数计算函数值； （2）先画出函数图象，再根据函数图象判断函数的单调递增区间. 【详解】（1）； （2） 由图象知函数的单调递增区间为. 6．已知函数．    (1)在同一坐标系中画出函数，的图象； (2)定义：对，表示与中的较小者，记为，分别用函数图象法和解析法表示函数，并写出的单调区间和值域（不需要证明）． 【答案】(1) (2) 函数的图像如图所示： 解析式为＝， 函数单调增区间为； 单调减区间为和，值域为． 【分析】（1）直接作图即可； （2）根据的定义作出图象，结合图象求出的解析式，即可求出的单调区间和值域. 【详解】（1）图略； （2）答案略. 7．（25-26高一上·浙江·期中）已知函数 (1)请写出函数的单调递增区间； (2)求，（其中）的值； (3)当时，求x的取值范围． 【答案】(1)，， (2)， (3)或， 【分析】（1）分段考虑，结合二次函数以及一次函数的单调性即可求解， （2）根据自变量的取值，代入即可求解， （3）分情况考虑，解不等式即可得解. 【详解】（1）当时，，此时在单调递增， 当时，在 单调递增， 故的单调递增区间为，， （2）由于，故, 由于，故， （3）当时，，由得，解得， 当时，，由得，解得， 当时，，也符合，故， 综上可得当时，求x的取值范围为或， 8．已知函数，其中为常数. (1)当时，解不等式的解集； (2)当时，写出函数的单调区间； (3)若在上存在个不同的实数，，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)的严格增区间为和，严格减区间为 (3) 【分析】（1）当时，，然后分、、三种情况解不等式，即可得出原不等式的解集； （2）时，，再利用二次函数的单调性可得出函数的增区间和减区间； （3）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，结合已知条件可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：当时，， 当时，，解得，所以， 当时，成立， 当时，，解得， 综上，不等式的解集为； （2）解：当时，， 所以由二次函数的单调性知，的严格增区间为和，严格减区间为. （3）解：①当时，在上单调递增， 所以 ， 所以，解得； ②当时，，在上单调递增， 所以 所以，解得； ③当时，则，在上单调递增，在上单调递减， 所以 ，不满足条件， ④当时，， 在、上单调递增，在上单调递减， 所以 ，不满足条件， 综上，实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：解决本题第三问的关键在于对参数的取值进行分类讨论，去绝对值，将问题转化为含参数的不等式求解. 利用函数的单调性比较大小题型05 1．已知函数在区间上是增函数，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合的单调性比较出三者的大小关系． 【详解】因为在区间上是增函数，并且，所以， 所以D选项的正确的． 故选：D 2．定义在上的函数满足：对任意的，（），有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由单调性定义得函数是上的减函数，即可判断 【详解】不妨设，因为对任意的， 所以，即， 所以函数是上的减函数. 所以f(3)<f(1)<f(0) 故选：D. 3．（24-25高一上·天津·期中）已知在上是减函数，，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．以上都可能 【答案】C 【分析】由减函数的性质求解即可； 【详解】因为在上是减函数， 所以，若，则， 故选：C. 4．（25-26高一上·安徽·联考）已知二次函数的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对称性得出，再结合函数的单调性即可. 【详解】由题意可知，的图象关于直线对称，所以， 又在上是减函数，所以. 故选：C. 5．中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.一杯的热红茶置于的房间里，茶水的温度）与时间（单位：）的函数的图象如图所示.已知不相等，下列说法正确的是（    ）      A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】对于A，由，结合函数的单调性可得，可判断A；结合A，以及BCD的条件逐项计算判断即可. 【详解】因为，所以，    因为图象是上凹函数，所以，即故A正确； 由A知，使，则，即， 由，则，，故无法判断，的大小关系，故B错误； 由A知，使，可得，结合，可得， 由的单调递减可得，故，故C错误； 由A知，存在，使，可得， 故存在，使， 由函数的单调性可知时，， 当时，， 当时，， 当时，，故D错误. 故选：A. 利用图象求函数最值题型06 1．已知函数则的最小值是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】数形结合，画出函数的图象即可求解. 【详解】根据题意，画出函数的图象如下：    由图可知，的最小值是. 故选：C 2．给定函数，用表示中的较大者，记为，例如当时，，则的最小值为（ ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】B 【分析】将写出分段函数形式，画出图象，由图象可得最小值. 【详解】令，可得，即，解得； 令，可得，即，解得或. 所以. 作出的图象如图所示： 由图象可得的最小值为0. 故选:B. 3．（24-25高一上·福建福州·月考）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数的图象，由图象得到的单调递增区间，根据条件列出关于的不等式，解不等式得到的取值范围. 【详解】作出函数的图象，如下图， 要使函数在上单调递增， 则或，解得或， ∴实数的取值范围为． 故选：A． 4．已知函数，其中，且函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A．[2，4] B． C． D． 【答案】C 【分析】将解析式去绝对值写成分段函数，画出图像，分段令解方程，结合图像求得实数的取值范围. 【详解】 ，图象如下：    令，解得， 令 ，解得， 由图象可知m的取值范围为． 故答案为：． 5．已知函数，，，则(    ) A．的最大值为2，最小值为1 B．的最大值为，无最小值 C．的最大值为，无最小值 D．的最大值为2，最小值为 【答案】B 【分析】先求出解析式，再同一坐标系内作出f(x)和g(x)的图象，求出f(x)和g(x)图象交点，再根据F(x)的定义式得到其图象，数形结合即可判断其最值情况． 【详解】，， 由f(x)=g(x)解得或， 在同一坐标系里面作出f(x)和g(x)的图象： ∵， ∴的图象为： ∴F(x)无最小值，当时，有最大值． 故选：B． 6．（24-25高三上·山东济宁·月考）已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】作出函数的图象，求出方程的解，由已知可得出，对实数的取值进行分类讨论，确定满足不等式的整数解，结合图象可得出实数的取值范围. 【详解】由，可得. 因为，作出函数的图象如下图所示： 当时，， 当时，由， 即，解得或（舍）. 若，则有，且， 若使得满足不等式恰有一个整数解， 由图可知，则该整数解为，且不是不等式的解， 则，即； 若，则，无解； 若，则有， 由图可知，则满足不等式的整数解为， 且与都不是不等式的解，且， 所以，即. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 7．已知函数的解析式为. (1)画出这个函数的图象； (2)求函数的最大值. 【答案】(1)作图见解析； (2)6. 【分析】（1）根据一次函数的图象作图即可； （2）根据函数图象即可求出函数的最大值. 【详解】（1）函数的图象由三段构成，每段都为一次函数图象的一部分，其图象如图：    （2）由函数图象，数形结合可知当时，函数取得最大值6， ∴函数的最大值为6. 利用单调性求函数最值题型07 1．已知函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】利用函数的单调性求解即可. 【详解】因为在上单调递减， 所以当时取得最小值，， 故选：B 2．函数（    ） A．有最大值5，无最小值 B．有最小值4，无最大值 C．有最大值5，最小值4 D．无最大值和最小值 【答案】C 【解析】根据对勾函数的单调性即可求解. 【详解】由对勾函数的单调性知， 在上单调递减， 故函数有最小值，最大值， 故选：C 3．若，则的最小值是（   ） A．12 B．14 C．16 D．20 【答案】A 【分析】根据函数解析式作出函数图象，由图象求解. 【详解】由， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 作出的图象如图所示， 即在上单调递减，上单调递增， 所以当时，取最小值，即. 故选：A. 4．（24-25高一上·上海·月考）函数的最大值为______. 【答案】 【分析】先求得题设函数的定义域，再分析得其单调性，从而得解. 【详解】对于，有，解得， 所以的定义域为， 又在上都是单调递增函数， 所以在上单调递增， 所以当时，取得最大值，为. 故答案为：. 5．已知函数． (1)试判断函数在区间上的单调性，并证明； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)在区间上单调递增，证明如下： 易知， 设，且， 则， 又由，则，，， 所以，即在区间上单调递增； (2)． 【分析】（1）利用定义法证明单调性即可； （2）由函数的单调性求值域即可. 【详解】（1）略 （2）由上可知函数在区间上单调递增，则， 又， 故的值域为. 6．（24-25高一上·新疆·期中）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义法证明； (3)若对任意的，都有，求的取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明如下： 任取， ， ，，，， 在上单调递增. (3) 【分析】（1）利用配凑法直接求解即可； （2）任取，由可得结论； （3）根据单调性可得，根据可构造不等式求得结果. 【详解】（1），. （2）略 （3）由（2）知：在上单调递增，， ，解得：，的取值范围为. 7．已知 ，函数 (1)当 时，直接写出函数 的单调增区间（不需证明）; (2)当 时，求 在区间 上的最值; (3)设 ，函数 在上既有最大值又有最小值，请分别求出 的取值范围（用 表示）. 【答案】(1)和； (2)最大值是1，最小值是0； (3) 时，，；时，，． 【分析】（1）由绝对值的定义去掉绝对值符号化简函数式后，结合二次函数知识可得单调区间； （2）由（1）可得函数在上的单调性，从而得最值； （3）根据和分类讨论作出函数图象，分析函数在开区间上既有最大值又有最小值时，最大值和最小值只有在和处取得，从而可得范围． 【详解】（1）时，， 所以增区间是和； （2）由（1）知在上递增，在上递减，在上递增， ，，又，， 所以在上的最大值是1，最小值是0； （3）， ①当时，函数的图象如图①所示， 因为函数 在上既有最大值又有最小值，是开区间， 所以最大值，最小值只能在和处取得，，， 由解得（负值舍去），， 所以，； ②当时，函数的图象如图②所示， 因为函数 在上既有最大值又有最小值，是开区间， 所以最大值，最小值只能在和处取得，，， 由解得（正值舍去），， 所以，． 综上，时，，；时，，． 【点睛】方法点睛：含有绝对值的函数，一般都是根据绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号化为不含绝对值的函数，然后结合相应函数的性质进行求解． 求函数的最值或值域题型08 1．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分段求解值域，再取并集即可. 【详解】当时，； 当时，； 当时，， 所以函数的值域为. 故选:A. 2．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则下列选项中，正确的是（    ） A．的最大值为1，没有最小值 B．的最小值为0，没有最大值 C．没有最大值，没有最小值 D．的最大值为1，最小值为0 【答案】B 【分析】先进行分段化简函数，并画函数图象，再结合图象判断最值情况即可. 【详解】由高斯函数的定义可得： 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示， 观察可得函数有最小值0，没有最大值. 故选：B. 3．用表示a，b两个数中的最小值，设，则的最大值为 A．-2 B．-3 C．-4 D．-6 【答案】B 【详解】试题分析：由题意，所以，故选B． 考点：新定义问题，分段函数． 4．设函数的最大值为M，最小值为m，则（     ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据基本不等式，结合分离常数法，可得答案. 【详解】由函数，显然，当，， 当时，，当且仅当，即时，等号成立，则，故； 当时，，当且仅当，即时，等号成立，则故； 综上可得，，，则. 故选：C. 5．函数当__________时，有最小值，最小值等于__________. 【答案】 【分析】利用零点分段法将绝对值函数化为分段函数，作出函数图象即可求解. 【详解】由题意知，， 作出函数图象如下： 根据图象，当时，有最小值，最小值为. 故答案为：，. 6．（25-26高一上·天津·期中）已知函数． (1)求的值； (2)当时，求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分段函数的解析式由里往外求函数值. （2）分段求函数的值域，再综合可得函数的值域． 【详解】（1）由题意，， 所以. （2）当时，函数在上单调递减，所以； 当时，； 当时，函数在上单调递减，所以. 综上，当时，函数的值域为. 7．给定一个函数，设函数的最大值为，求的最小值． 【答案】 【分析】先根据的几何意义得到，再根据的几何意义得到其最小值. 【详解】函数的几何意义是数轴上点到点的距离， 在闭区间上，绝对值函数的最大值一定出现在区间的两个端点处. ，， 因此在区间上的最大值. 代表取到、两个距离中的较大值， 要让这个较大距离最小，应取在和的中点处，即， 此时，，两个距离相等， 即的最小值为. 8．（24-25高一上·湖南·期中）已知函数，， (1)用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递减． (2)当时，写出的单调区间． (3)若在上为单调函数，求的取值范围． (4)求函数的最大值与最小值之差． 【答案】(1)证明：当时，． 设是区间上任意两个实数，且， 则，于是， 由函数单调性的定义可知，函数在区间上单调递减． (2)单调递增区间为，单调递减区间为 (3) (4)5 【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可； （2）根据一次函数与二次函数的性质求解的单调区间； （3）根据与的单调性及取值情况求解； （4）利用判别式法求出的最大值与最小值即可. 【详解】（1）略 （2）当时， 所以的单调递增区间为，的单调递减区间为． （3） 由，得或． 由题意得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 因为在上为单调函数，所以在上为增函数， 所以，即的取值范围是． （4）由，得， 即． 当时，，则； 当时，，则，解得且． 综上，的取值范围是，即的最大值为2，最小值为． 故的最大值与最小值之差为5． 利用函数的单调性解不等式题型01 1．（25-26高一上·四川德阳·期末）已知定义在上的函数为增函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性，即可得，求解即可． 【详解】因为函数为定义在上的增函数，且， 所以，解得． 故选：A． 2．设函数；若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数图象，判断函数单调性，结合解一元二次不等式，即得答案. 【详解】作出函数的图象，如图：    可知函数在R上为单调递增函数， 故由可得，即， 解得或， 即实数a的取值范围是, 故选：A 3．（24-25高一上·云南·期中）定义在上的函数满足且，有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据求出，再根据函数的单调性以及定义域即可求解. 【详解】 ，即， ， ，可转化为：， 即， 即， 满足，且，有， 在上单调递增， 即 ，解得：， 即不等式的解集为：. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用求出，再借助函数的单调性解不等式，转化的过程中应注意函数的定义域. 4．（25-26高一上·甘肃平凉·月考）已知为定义在上为减函数，且，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据函数的单调性，把函数不等式转化为代数不等式求解，要注意函数的定义域. 【详解】有题意：. 所以实数的取值范围为. 故答案为： 5．设函数 (1)将函数写成分段函数并画出函数的图像； (2)求的值； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)，     (2) (3) 【分析】（1）根据绝对值的定义写出函数解析式，结合二次函数图象画出分段函数图像； （2）先求，再求即可； （3）换元，先解外层不等式，再利用图象法解内层不等式即可. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以，函数图像如图：      （2）因为，所以； （3）令，则，由图像及（2）知， 故只需解，当时，，解得或（舍去）， ，解得，所以或，由图可知当时，. 所以不等式的解集为. 利用函数的单调性求参数范围题型02 1．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】由，可得或， 即函数的定义域为， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递增， . 故选：D. 2．已知函数对任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据为上的增函数可得参数的取值范围. 【详解】因为对任意两个不相等的实数，都有不等式成立， 故在上为增函数， 令，则该函数在上为增函数且在上恒成立， 当时，，因为在，不合题意，舍； 当时，则，解得， 故选：D. 【点睛】本题考查复合函数的单调性，此类问题，一般利用“同增异减”的原则来处理，注意外函数定义域的要求，如本题中需在上恒成立，本题属于中档题. 3．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由变形得，构造函数,进而根据二次函数的单调性求参数. 【详解】由，得，则， 设函数，则对都有成立， 所以函数在区间上单调递增， 所以，解得，则. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将变形为，从而构造函数. 4．（25-26高一上·广东深圳·期中）若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】化简函数为，结合其单调性可得相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意可得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故要使函数在区间上是增函数， 需满足，则， 即实数a的取值范围是， 故答案为： 5．若f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为__________． 【答案】[4,8)   【详解】由于函数是R上的单调递增函数，故可得，解得．故实数a的取值范围为．答案：． 点睛：研究分段函数在实数集R上的单调性时，除了确定每一分段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值得大小，否则会出现错误． 6．已知函数. (1)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围； (2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知，不等式对任意的恒成立，分、两种情况分类讨论，在可知不等式恒成立，在时，利用参变量分离法结合基本不等式可求得实数的取值范围，综合可得出实数的取值范围； （2）分析可知函数在区间上的值域是函数在区间上的值域的子集，分、、三种情况讨论，求出两个函数的值域，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为对任意的，恒成立， 所以对任意的，恒成立， 当时，恒成立， 所以对任意的时，，即恒成立， 由基本不等式可得， 当且仅当，即当时等号成立，所以. 所以实数的取值范围是. （2）解：当时，， 因为，所以函数的值域是, 因为对任意的，总存在，使成立， 函数在区间上的值域是函数在区间上的值域的子集. 当时，在区间上的值域为， ，则，解得； 当时，在区间上的值域为， ，则，解得； 当时，在区间上的值域为，不符合题意. 综上：实数的取值范围. 根据一次、反比例、二次函数的单调性求参题型03 1．函数在上是减函数．则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质即可求解. 【详解】根据题意，函数在上是减函数，则有，解得， 故选：B． 2．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用反比例函数的性质求解. 【详解】，在区间上单调递增，则，. 故选：A． 3．若函数在区间上为不单调函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用二次函数的图像与性质即可得到结果. 【详解】因为二次函数的对称轴为， 又函数在区间上为不单调函数，所以， 故选：C. 4．（24-25高一上·上海·期末）已知函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用二次函数性质确定单调减区间即可. 【详解】根据二次函数性质，在上递增，在上递减. 所以. 故答案为：. 5．已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】首先函数分离常数，根据分数函数的单调性，即可求得实数a的取值范围. 【详解】， 因为函数在区间上为增函数，所以， 解得：. 故答案为： 6．若函数在上单调递减，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据二次函数和一次函数的单调性分类讨论求解即可. 【详解】当时，，显然该函数在上单调递减； 当时，该函数的对称轴为：， 要想该函数在上单调递减， 只需满足， 综上所述：的取值范围是， 故答案为： 抽象函数的单调性题型01 1．已知函数是定义在上的增函数，且，，则    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】令，根据给定条件可得t为常数，再由、列式计算作答. 【详解】令，即有，因函数是定义在上的增函数，则t为常数， 因此，从而，解得，于是得，显然函数在上递增， 所以. 故选：B 2．（25-26高一上·江苏·质检）已知函数是定义在上的单调函数，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，代入等式，可得，再令，代入等式，可得，结合函数单调性，有，求解即可. 【详解】设，由题意可知，因为， 令，则，即，所以， 因为函数的定义域为，所以，即， 令，则， 即，所以， 又是定义在上的单调函数，所以， 整理得，解得或（舍）. 故选：A. 3．设函数y=是定义在上的减函数，并且满足=+,． （1）求的值； （2）若存在实数，使得，求的值； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1）0；（2）；（3） 【分析】（1）令==1，利用赋值法可得所求的函数值．（2）根据条件可得，又函数y=为减函数，故可得．（3）由题意得不等式，然后根据函数的单调性可得所求范围． 【详解】（1）令==1，则=+， ∴=0． （2）∵=1， ∴2， 又， ∴， ∵函数y=为减函数， ∴． （3）由题意得， ∵函数y=是定义在上的减函数， ∴，解得， ∴的取值范围为． 【点睛】解答与抽象函数有关的问题时要注意以下两点：一是利用赋值法求解相关的函数值，即通过选取合适的自变量的取值达到求解的目的；二是充分利用所给的函数的性质进行求解． 4．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数，对，都有成立，且当时，. (1)求的值，并证明：对； (2)判断的单调性并证明. 【答案】(1)，证明： 对，都有成立，取，则， ，所以. (2)单调递增，证明： 任意，则，而当时，，因此， ，即， 所以函数在R上单调递增. 【分析】（1）根据给定条件，利用赋值法计算并证明. （2）判断单调性，再利用单调性定义推理得证. 【详解】（1）略 （2）略 5．（25-26高一上·湖南娄底·期末）对于定义在R的函数，都有，且满足，当时，. (1)求的值； (2)证明：函数为R上的增函数； (3)若，求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2) 设，且， 有 又即又， ， ∴函数在R上为增函数. (3) 【分析】（1）利用赋值法，结合已知等式进行求解即可； （2）根据函数单调性的定义，结合已知等式进行运算证明即可； （3）根据函数的单调性，结合已知等式进行求解即可. 【详解】（1）， 或（舍），即； （2）略 （3）， ， 又， 令，由（2）知在R上也为增函数， 又， ，由函数单调性可知， ∴不等式的解集为. 6．已知函数满足，当时，，且. (1)求的值； (2)判断的单调性并证明； (3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)增函数，证明如下： 设是任意两个不相等的实数，且，所以， ， 因为，所以，所以， 因此，即在上为增函数； (3) 【分析】（1）利用赋值法可得解； （2）利用单调性的定义证明； （3）利用已知等式把不等式转化为，利用函数的单调性，结合分离参数法、配方法进行求解即可. 【详解】（1）令，得，得， 令，得，得； （2）略 （3）因为，，即， 又，所以， 又因为在上为增函数，所以在上恒成立，得在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，当时，取最小值， 所以，即的取值范围为. 根据分段函数的单调性求参题型02 1．（24-25高一上·安徽蚌埠·月考）若在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的定义及单调性列不等式，解不等式即可. 【详解】分段函数在是减函数需满足， 解得， 故选：D. 2．（24-25高一上·重庆·期末）已知函数，对，且，都有不等式，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件推理判断函数在上为增函数，利用分段函数的单调性建立不等式组，求解即得参数范围. 【详解】对，且，都有不等式， 可知函数在上为增函数， 即，解得. 故选：A. 3．（25-26高一上·河北保定·联考）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】代入临界值即可得到不等式，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，所以，解得， 则a的取值范围是. 故答案为：. 4．（25-26高一上·江西·期中）已知函数在上单调，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】作出函数的大致图象，结合图象求解即可. 【详解】作出函数的大致图象，如图， 由图可知，函数在和上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调，且，所以， 则的取值范围为. 故答案为：. 5．（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数 (1)若的最小值为0，求的值； (2)若在上单调递减，求的取值范围； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)0； (2) (3)． 【详解】（1）当时，，取不到0， 所以当时，的最小值为0． 在上单调递减，所以，即的值为0． （2）当时：，在上单调递减， 当时：，单调递减， 因为在上单调递减，，当且时，，且， 所以 可得，即的取值范围为． （3）当时，，， 因为在上单调递减，，所以． 当时，， 因为，所以，解得或， 结合，得． 当时，， 因为在上单调递减，，所以． 综上，若，则的取值范围为． 已知函数的最值求参题型03 1．函数在上的最大值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定函数的单调性，利用函数在，上的最大值为1，即可求出的值． 【详解】 由题意，时，函数在，上单调递减， ，， 故选：C． 2．（24-25高一上·广东·质检）已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对勾函数的单调性可得，分，，三种情况讨论即可. 【详解】因为，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，， 函数的最大值，所以，舍去； 当时，，符合题意； 当时，， 则或， 解得或， 综上，实数的取值范围是. 故选：. 【点睛】关键点点睛：根据对勾函数可得，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行分类讨论，分，，三种情况逐一分析. 3．已知函数在上的最大值为，则实数的值为_____. 【答案】 【分析】根据二次函数的对称性讨论最值取值情况即可得实数的值. 【详解】函数的对称轴为直线，因为 当时，，得（舍去）， 当时，，得， 综上，实数的值是. 故答案为：. 4．若在上的最大值为，则实数的最大值为__________. 【答案】 【分析】解方程可得出，分、两种情况讨论，结合可求得实数的取值范围，即可得解. 【详解】由可得，解得或， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数在上单调递减，此时； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 由题意可得，此时，. 综上，，因此，实数的最大值为. 故答案为：. 5．设函数，当时，的最大值为______；若无最大值，则实数的一个取值为______. 【答案】 （答案不唯一） 【分析】当时，，分别求解两部分函数最大值，然后求出函数的最大值；按照和分类讨论，利用单调性分析最值位置，按照题意列不等式求解即可. 【详解】当时，， 当时，，有，从而， 即当时，有最大值1； 当时，，即当时，有最大值4； 综上，当时，有最大值4； 当时，函数在上单调递增，则存在最大值为； 当时，函数在先单调递减，再单调递增， 若函数无最大值，则，解得， 当时，函数在单调递减， 若函数无最大值，则，解得， 综上，当无最大值时，，故实数的一个取值为（答案不唯一）. 故答案为：；（答案不唯一） 6．已知函数. (1)当时，用定义法证明是上的增函数； (2)若的最小值为2，求的值. 【答案】(1) 设，则 ， 因为，所以，所以，， 则，所以， 故是上的增函数. (2)或 【分析】（1）利用单调性的定义证明即可； （2）先利用单调性的定义判断单调性，然后利用单调性求解最值，利用最值建立方程求解即可. 【详解】（1）略 （2）当时，由得的定义域为， 设，则 ， 因为，所以，所以，， 则，所以，故是上的增函数. 所以，即，满足条件； 当时，由得的定义域为， 设，则 ， 因为，所以，所以，， 则，所以，故是上的增函数. 所以，即，满足条件；综上，或. 根据函数的值域求定义域范围题型04 1．已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合二次函数知识及题意画出图形，数形结合可得答案． 【详解】结合题意：函数 所以图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程为， 所以，易知：， 由图可知,要使函数的定义域是，值域为， 则的取值范围是， 故选：B. 2．若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对分两种情况讨论，分别根据一次函数、二次函数的性质，结合值域求参数取值范围即可. 【详解】①时，，值域为，满足题意； ②时，若的值域为， 则，解得， 综上，. 故选：C. 3．（25-26高一上·北京·期中）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【分析】作出的图象，结合图象求得答案. 【详解】因为，作出其图象如图， 由在上的值域为，结合图象得. 故答案为：. 4．（24-25高一上·云南玉溪·质检）已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据题意问题化为值域是值域的子集，结合一次函数、二次函数性质求区间值域，由值域的包含关系列不等式求参数范围. 【详解】由题意，函数，， 根据二次函数的性质，当时，，记， 对任意，总存在，使成立， 当，在上是增函数，，记． 所以，则，解得； 当，在上是减函数，，记， 所以，则，解得， 综上，实数的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：问题化为值域是值域的子集为关键. 5．（24-25高三上·山东德州·月考）已知函数的定义域为，若存在区间，使得同时满足下列条件：（1）在上是单调函数；（2）在上的值域是.则称区间为函数的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有__________. ①.    ②. ③.    ④. 【答案】①②④ 【分析】根据题意，函数存在“倍值区间”，则满足在上是单调函数，且或，以此分析各个函数即可. 【详解】对于①，，，， 在区间上是增函数，且值域为，则区间是函数的“倍值区间”，①正确. 对于②，，，， 在区间上是减函数，且值域为，则区间是函数的“倍值区间”，②正确. 对于③，在上单调递减，在上单调递增， 假定函数存在倍值区间， 若在上单调递增，则， 即有，而或，无解， 若在上单调递减， 则，即，两式相减得， 而，则两式相加得，矛盾，不存在倍值区间，③错误； 对于④，当时，，函数在上单调递减， 于是在上单调递增，且值域为，因此区间是函数的“倍值区间”，④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 6．已知 (1)判断并用定义法证明在上的单调性； (2)若在上的值域为，求的取值范围． 【答案】(1)当时，（当且仅当时取得最大值） 函数在单调递增，在上单调递减，理由如下： ，且，则 ． 当时，，， 又，， 所以即， 所以在上单调递增， 当时，， 又，， 所以即， 所以在上单调递减， (2) 【分析】（1）借助对勾函数判断函数单调性，并根据函数单调性的定义证明函数的单调性； （2）由（1）结论，确定，的取值范围，借助的解可求出的取值范围. 【详解】（1）当时，（当且仅当时取得最大值） 函数在单调递增，在上单调递减，理由如下： ，且，则 ． 当时，，， 又，， 所以即， 所以在上单调递增， 当时，， 又，， 所以即， 所以在上单调递减， （2）因为在上的值域为， 所以由（1）知， 令，即，解得或， 当时，，则有， 当时，，则有， 综上所述，的取值范围为. 7．对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]内是单调的；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“和谐区间“. (1)判断函数是否存在“和谐区间”，并说明理由； (2)如果[m，n]是函数的一个“和谐区间”，求n-m的最大值. 【答案】(1)不存在， 设是函数的“和谐区间”，则在上单调， 所以或，因此，在上为增函数， 则，即方程有两个解m，n， 又因为可化为：x2-3x+4=0，而x2-3x+4无实数解， 所以函数不存在“和谐区间”； (2) 【分析】（1）先假设函数存在“和谐区间”，结合函数为增函数，则有，解方程判断即可； （2）化简得，函数为增函数，故满足，即m､n是方程的两个同号的实数根，结合判别式求出参数范围，再将等价变形为，结合韦达定理和二次函数性质即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为在上单调递增， 所以或，则， 所以m､n是方程的两个同号的实数根， 即方程有两个同号的实数根，注意到. 只要，解得a>1或a<-3， 所以， 其中a>1或a<-3，所以当a=3时，n-m取最大值. 8．对于定义域为I的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数，的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”． (1)判断函数（）和函数（）是否存在“优美区间”，如果存在，写出符合条件的一个“优美区间”？（直接写出结论，不要求证明） (2)如果是函数（）的一个“优美区间”，求的最大值． 【答案】(1)存在“优美区间”，“优美区间”是；不存在“优美区间” (2) 【分析】（1）根据定义，结合函数的单调性，列出方程，求出相应的优美区间； （2）对变形得到，结合函数单调性列出方程，得到两根之和，两根之积，结合根的判别式求出或，表达出，求出最大值. 【详解】（1）在上单调递增，由得或1，存在“优美区间”是； 是增函数，若存在优美区间，则无解，不合题意， 因此，不存在优美区间． （2）在和上都是增函数， 因此优美区间或， 由题意所以有两个同号的不等实根， ，, ，解得或， ，同号，满足题意， ， 因为或．所以当，即时．． 分段函数值域范围求参题型05 1．已知函数有最小值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出时的最小值，然后对于时，讨论的单调性和取值情况，结合题目要求进行研究，得到的取值范围. 【详解】当时， ，此时； 当时，. ①a=1时，为常函数，此时在R上满足函数有最小值为， ②a≠1时，函数f（x）此时为单调的一次函数，要满足在R上有最小值， 需 解得， 综上，满足题意的实数a的取值范围为： ， 故选：C． 2．已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的单调性可得，当时，，然后结合其值域为，即可得到的值域，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为在单调递增，在单调递增， 所以当时，单调递增，则， 又函数的值域为， 所以时，函数的值域要取到的所有实数， 所以， 当时，即时，函数单调递增， 时，， 当时，，即， 所以，即的取值范围是. 故选：C 3．设函数若存在最小值，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数解析式，讨论、，结合一次函数、二次函数性质判断是否存在最小值，进而确定参数范围. 【详解】由，函数开口向上且对称轴为，且最小值为， 当，则在定义域上递减，则， 此时，若，即时，最小值为； 若，即时，无最小值； 当，则在定义域上为常数，而，故最小值为； 当，则在定义域上递增，且值域为，故无最小值. 综上，. 故选：B 4．设若是的最小值，则的取值范围是　　　　　. 【答案】 【详解】由题意，当时，的极小值为，当时，极小值为，是的最小值，则. 【考点】函数的最值问题.. 5．已知函数， （1）若在上单调递减，则的取值范围为___________. （2）若值域为，则的取值范围为___________. 【答案】 【分析】（1）由题意可得，解不等式组即可得出答案. （2）根据题意，分，两种情况讨论求解即可. 【详解】解：（1）由题意得，即，解得：． 所以的取值范围为. 故答案为：. （2）因为值域为， 所以，当时，需满足，即，解得； 当时，需满足，即，解得 所以的取值范围为或，即 综上：的取值范围为 故答案为：；. 6．（24-25高一上·福建福州·月考）若函数的最小值为，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据分段函数解析式由二次函数单调性以及基本不等式求得两部分取得最小值的表达式，解不等式即可得出结果. 【详解】当时，，因为的图象关于对称， 若最小值为，可知，即可得； 又当时，，当且仅当时等号成立； 若最小值为可得，即，解得； 综上可知，实数的取值范围为. 故答案为： 7．（25-26高三上·北京·月考）已知函数，当时，的值域是______；若没有最大值，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用一次函数和二次函数在各自区间，先求值域，再取并集即可；利用分类讨论，来分析一次函数和二次函数在各自区间的值域，再结合题意作出判断即可. 【详解】当时，， 则当时，， 当时，， 所以根据二次函数和一次函数的值域可知：的值域是； 当时，由一次函数在区间上单调递增，故无最大值， 当时，，可得有最大值，故不符合题意， 当时，二次函数对称轴为， 故二次函数在区间上有最大值， 一次函数在区间上单调递减，即， 所以必有最大值，故不符合题意， 综上的取值范围是， 故答案为：， 8．已知函数 ①当时，函数的单调递减区间是__________； ②若存在最小值，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】结合一次函数单调性和二次函数的单调性分开求解单调性，即可得解；根据题意分三种情况，结合二次函数及一次函数的性质讨论即可． 【详解】当时，， 当时函数单调递减， 当时函数， 所以函数在上单调递减，在单调递增， 综上，函数的单调减区间为； 因为函数， ①    当时， 当时，单调递减，且， 当时，， 因为存在最小值，所以，即得，所以或， 所以； ②    当时，， 当时，，故函数存在最小值； ③    当时， 当时，单调递增，且， 所以不存在最小值，不合题意舍； 综上，的取值范围是． 故答案为：；. 利用恒成立与能成立问题求函数最值题型06 1．已知，若在时恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作出函数在区间上的图象，以及的图象，数形结合即可求解. 【详解】作出函数在区间上的图象，以及的图象， 由图象可知当直线在阴影部分区域时，条件在时恒成立， 如图，点，，所以， 即实数的取值范围是， 故选：B 2．已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据已知条件化简得出，对于恒成立，再构造函数应用单调性得出最大值即可求出参数范围. 【详解】函数，对任意，有恒成立， 即对任意，，则，对于恒成立， 令，在上单调递减， 所以，则实数的取值范围是. 故答案为： 3．已知函数，，以，，的值为边长可构成一个三角形，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】根据题意可知, 恒成立,再分情况讨论函数的最值即可. 【详解】根据题意可知, 恒成立, 又. 1.当时, 显然成立. 2.当时,因为函数在上单调递减,在上单调递增, 故.所以. 又恒成立,所以.此时 3. 当时,同2有,所以 此时.此时 综上所述, 的取值范围为 【点睛】本题主要考查了函数的值域综合问题,需要根据题意求函数的最值并列出函数最值满足的关系式,同时也需要对函数的分离常数化简等有所掌握.属于难题. 分类讨论函数的单调性求最值题型07 1．（24-25高一上·北京·期中）函数的定义域为，最小值为，给出以下四个结论：①最小值为1；②最大值为3；③在上单调递减；④只有唯一的值使得的图象有一条垂直于轴的对称轴．其中所有正确结论是（   ） A．①② B．②④ C．②③ D．①③ 【答案】B 【分析】分类讨论后可得，故可求，故可判断①②的正误，结合的形式可判断③的正误，对于④，结合解析式的形式可得若对称则，可证明此时图象对称. 【详解】由题设可得， 当时，，此时， 当时，，此时， 故，则的值域为，则最大值为，当且仅当时取得最大值， 无最小值，故①错误，②正确； 当时，，因， 故在上单调递减， 当且时，则在上单调递增， 此时在上不具有单调性，故③错误； 因为互不相等，若的图象有一条垂直于x轴的对称轴， 则，即， 此时， ， 故为的图象的对称轴，故④正确；综上可正确结论是②④. 故选：B 2．已知函数. (1)画出函数在区间上的图像； (2)求函数在区间上的最大值. 【答案】(1) (2)当时，的最大值为；当时，的最大值为；当时，的最大值为. 【分析】（1）本题首先可将函数解析式转化为，然后绘出图像即可； （2）本题可结合图像分为、以及三种情况进行讨论. 【详解】（1）因为，所以， 得函数在区间上的图像 （2）当时，，即，解得， 函数，结合图像可知： 当时，在区间上的最大值为； 当时，在区间上的最大值为； 当时，在区间上的最大值为. 【点睛】本题考查函数图像的画法以及函数在区间内的最值的求法，主要考查二次函数图像的画法，考查学生根据从图像中获取信息的能力，考查数形结合思想，是中档题. 3．已知，函数． (1)当时，画出的图象，并写出的单调递增区间； (2)当时，求在区间上的最小值． 【答案】(1) 所以的单调递增区间为：，； (2) 当时，在区间上的最小值为， 当时，在区间上的最小值为， 【分析】（1）把代入，将函数分段表示出，画出函数图象，求出单调增区间作答. （2）分类讨论，和，分段求出函数在区间上的最小值. 【详解】（1）当时，， 作图： 所以的单调递增区间为：，； （2）当时，， 当时，在区间上的最小值为， 当时，在区间上的最小值为， 函数单调性的应用题型08 1．设，函数，给出下列四个结论： ①当时，在上单调递增； ②当时，存在最大值； ③设，，则； ④若，的函数图象有三个公共点，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①②③④ 【分析】先分析的图像，再逐一分析各结论，对于①：结合图像即可判断；对于②：分段讨论的取值范围，从而得以判断；对于③：结合图像分类讨论可知的范围；对于④：分段讨论与的交点分布，进而列式求解. 【详解】依题意，， 当时，，其图像为一条右端点取不到的单调递增的射线； 当时，，开口向下，对称轴为y轴，与x轴交点为， 其图象为抛物线位于x轴上方（含x轴交点）部分； 当时，，其图像是一条左端点取不到的单调递减的曲线； 对于①：若，则的图像如下， 由图像可知：在上单调递增，故①正确； 对于②：当时，则有： 若时，； 若时，显然取得最大值； 若时，， 综上所述：取得最大值，故②正确； 对于③：当时，结合图像，易知在，且接近于处，的距离最小， 当时，，当且接近于处，， 此时； 当时， 若时，部分射线在x轴上方，此时； 若时，此时； 综上所述：，故③正确； 对于④：当时，令，解得， 可知此时与至多有1个交点； 当时，由图象的图像可知：此时与有且仅有1个交点； 当时，令，整理得， 解得或（舍去），所以， 可知此时与至多有1个交点； 综上所述：若，的函数图象有三个公共点， 可知与在和内均有1个交点； 则，解得， 所以a的取值范围是，故④正确； 故答案为：①②③④. 2．如图，在等边三角形中， .动点从点出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到点，记运动的路程为，点到此三角形中心距离的平方为，给出下列结论：①函数在上单调递增；②函数的值域为；③直线是函数图象的一条对称轴； ④关于的方程最多有6个实数根.其中，所有正确结论的序号是_____________. 【答案】①④ 【分析】依题意根据分段函数定义可求得其解析式，画出该函数图象即可判断①正确，②错误，③错误，再根据函数与方程的思想可判断④正确. 【详解】设的中点为，连接，则为直角三角形，且易知，如下图所示： 当时，，即； 当时，，即； 即时，， 同理可得时，，当时，； 即可得，画出函数的图象如下图所示： 由图可知函数在上单调递增，即①正确； 易知函数的值域为，②说法错误； 由图可知直线是函数图象的唯一一条对称轴，③说法错误； 画出与在同一坐标系下的图象，可知两图象有6个交点， 可得关于的方程最多有6个实数根，即④说法正确； 所以，所有正确结论的序号是①④. 故答案为：①④ 【点睛】关键点点睛：在求解函数的性质时关键在于利用函数定义求得其解析式，再画出函数图象即可求得结论. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.2.1 单调性与最大（小）值 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 对单调性定义的理解 题型02 定义法证明（判断）函数的单调性 题型03 根据图象判断单调性 题型04 求函数的单调区间 题型05 利用函数的单调性比较大小 题型06 利用图象求函数最值 题型07 利用单调性求函数最值 题型08 求函数的最值或值域 B组 能力进阶 题型01 利用函数的单调性解不等式 题型02 利用函数的单调性求参数范围 题型03 根据一次、反比例、二次函数的单调性求参 C组 思维拔高 题型01 抽象函数的单调性 题型02 根据分段函数的单调性求参 题型03 已知函数的最值求参 题型04 根据函数的值域求定义域范围 题型05 分段函数值域范围求参 题型06 利用恒成立与能成立问题求函数最值 题型07 分类讨论函数的单调性求最值 题型08 函数单调性的应用 对单调性定义的理解题型01 1．已知函数，.若成立，则下列论断中正确的是（    ） A．函数在上一定是增函数； B．函数在上一定不是增函数； C．函数在上可能是减函数； D．函数在上不可能是减函数. 2．给出以下四个命题： ①若集合，，，则，； ②若函数的定义域为，则函数的定义域为； ③函数的单调递减区间是； ④若，且，. 其中正确的命题有__________（写出所有正确命题的序号）． 定义法证明（判断）函数的单调性题型02 1．（2026·广东·高考真题）已知函数 (1)求函数的定义域； (2)判断并证明函数的单调性． 2．根据定义证明函数在区间上单调递增. 3．（25-26高一上·天津·月考）已知函数， (1)请在给定的坐标系中画出的图象； (2)请根据图象分别写出函数的增区间和减区间； (3)利用定义法证明在上单调递增． 4．（24-25高一上·天津·期中）用函数单调性的定义证明：在上为单调递增函数． 5．已知函数 (1)若，求的值； (2)若，判断在区间上的单调性，并用定义证明. 6．已知函数 ． (1)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. (2)求出函数在区间上的最大值和最小值. (3)画出函数图象并求出其值域 7．（25-26高一上·四川自贡·期中）已知函数的图象过点，且． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数的最大值； (3)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论． 根据图象判断单调性题型03 1．下列图象表示的函数中，在R上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东潮州·月考）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 3．（24-25高一上·北京·期中）设集合，，若函数是定义域为M，值域为N的单调函数，则的图象可能是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·吉林白城·月考）已知函数的图象如图．根据图象写出的单调区间，单调递增区间为______，单调递减区间为______．    5．已知函数. (1)在图中画出函数的大致图象； (2)写出函数的单调递减区间； (3)写出不等式的解集. 6．（25-26高一上·北京·期中）设函数，且，.    (1)求函数的解析式； (2)画出函数的图象，并指出函数的值域和单调区间； (3)直接写出不等式的解集. 7．（24-25高一上·四川·期中）给定函数，，. (1)，用表示，中的最小者，记为.请分别用图象法及解析法表示函数； (2)根据图象判断函数的单调性（不证明），并求若成立时实数的取值范围. 求函数的单调区间题型04 1．（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 2．函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 3．（25-26高一上·河北保定·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数在上的单调递增区间是________，最小值是________． 5．（25-26高一上·重庆·期末）已知函数. (1)求的值； (2)画出函数的图象，并写出函数的单调递增区间. 6．已知函数．    (1)在同一坐标系中画出函数，的图象； (2)定义：对，表示与中的较小者，记为，分别用函数图象法和解析法表示函数，并写出的单调区间和值域（不需要证明）． 7．（25-26高一上·浙江·期中）已知函数 (1)请写出函数的单调递增区间； (2)求，（其中）的值； (3)当时，求x的取值范围． 8．已知函数，其中为常数. (1)当时，解不等式的解集； (2)当时，写出函数的单调区间； (3)若在上存在个不同的实数，，使得，求实数的取值范围. 利用函数的单调性比较大小题型05 1．已知函数在区间上是增函数，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．定义在上的函数满足：对任意的，（），有，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·天津·期中）已知在上是减函数，，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．以上都可能 4．（25-26高一上·安徽·联考）已知二次函数的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 5．中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.一杯的热红茶置于的房间里，茶水的温度）与时间（单位：）的函数的图象如图所示.已知不相等，下列说法正确的是（    ）      A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 利用图象求函数最值题型06 1．已知函数则的最小值是（   ） A． B． C．0 D．1 2．给定函数，用表示中的较大者，记为，例如当时，，则的最小值为（ ） A． B．0 C．1 D．4 3．（24-25高一上·福建福州·月考）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，其中，且函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A．[2，4] B． C． D． 5．已知函数，，，则(    ) A．的最大值为2，最小值为1 B．的最大值为，无最小值 C．的最大值为，无最小值 D．的最大值为2，最小值为 6．（24-25高三上·山东济宁·月考）已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是________． 7．已知函数的解析式为. (1)画出这个函数的图象； (2)求函数的最大值. 利用单调性求函数最值题型07 1．已知函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 2．函数（    ） A．有最大值5，无最小值 B．有最小值4，无最大值 C．有最大值5，最小值4 D．无最大值和最小值 3．若，则的最小值是（   ） A．12 B．14 C．16 D．20 4．（24-25高一上·上海·月考）函数的最大值为______. 5．已知函数． (1)试判断函数在区间上的单调性，并证明； (2)求函数在区间上的值域． 6．（24-25高一上·新疆·期中）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义法证明； (3)若对任意的，都有，求的取值范围. 7．已知 ，函数 (1)当 时，直接写出函数 的单调增区间（不需证明）; (2)当 时，求 在区间 上的最值; (3)设 ，函数 在上既有最大值又有最小值，请分别求出 的取值范围（用 表示）. 求函数的最值或值域题型08 1．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则下列选项中，正确的是（    ） A．的最大值为1，没有最小值 B．的最小值为0，没有最大值 C．没有最大值，没有最小值 D．的最大值为1，最小值为0 3．用表示a，b两个数中的最小值，设，则的最大值为 A．-2 B．-3 C．-4 D．-6 4．设函数的最大值为M，最小值为m，则（     ） A．0 B．1 C．2 D．4 5．函数当__________时，有最小值，最小值等于__________. 6．（25-26高一上·天津·期中）已知函数． (1)求的值； (2)当时，求函数的值域． 7．给定一个函数，设函数的最大值为，求的最小值． 8．（24-25高一上·湖南·期中）已知函数，， (1)用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递减． (2)当时，写出的单调区间． (3)若在上为单调函数，求的取值范围． (4)求函数的最大值与最小值之差． 利用函数的单调性解不等式题型01 1．（25-26高一上·四川德阳·期末）已知定义在上的函数为增函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．设函数；若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·云南·期中）定义在上的函数满足且，有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·甘肃平凉·月考）已知为定义在上为减函数，且，则的取值范围是__________. 5．设函数 (1)将函数写成分段函数并画出函数的图像； (2)求的值； (3)求不等式的解集. 利用函数的单调性求参数范围题型02 1．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数对任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·广东深圳·期中）若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是______． 5．若f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为__________． 6．已知函数. (1)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围； (2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 根据一次、反比例、二次函数的单调性求参题型03 1．函数在上是减函数．则（　　） A． B． C． D． 2．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 3．若函数在区间上为不单调函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海·期末）已知函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是______． 5．已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是________． 6．若函数在上单调递减，则的取值范围是______. 抽象函数的单调性题型01 1．已知函数是定义在上的增函数，且，，则    ） A． B． C．2 D．3 2．（25-26高一上·江苏·质检）已知函数是定义在上的单调函数，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．设函数y=是定义在上的减函数，并且满足=+,． （1）求的值； （2）若存在实数，使得，求的值； （3）若，求的取值范围． 4．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数，对，都有成立，且当时，. (1)求的值，并证明：对； (2)判断的单调性并证明. 5．（25-26高一上·湖南娄底·期末）对于定义在R的函数，都有，且满足，当时，. (1)求的值； (2)证明：函数为R上的增函数； (3)若，求关于的不等式的解集. 6．已知函数满足，当时，，且. (1)求的值； (2)判断的单调性并证明； (3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 根据分段函数的单调性求参题型02 1．（24-25高一上·安徽蚌埠·月考）若在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·重庆·期末）已知函数，对，且，都有不等式，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河北保定·联考）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是__________． 4．（25-26高一上·江西·期中）已知函数在上单调，则的取值范围为______． 5．（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数 (1)若的最小值为0，求的值； (2)若在上单调递减，求的取值范围； (3)若，求的取值范围． 已知函数的最值求参题型03 1．函数在上的最大值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东·质检）已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数在上的最大值为，则实数的值为_____. 4．若在上的最大值为，则实数的最大值为__________. 5．设函数，当时，的最大值为______；若无最大值，则实数的一个取值为______. 6．已知函数. (1)当时，用定义法证明是上的增函数； (2)若的最小值为2，求的值. 根据函数的值域求定义域范围题型04 1．已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·北京·期中）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是_______． 4．（24-25高一上·云南玉溪·质检）已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是________． 5．（24-25高三上·山东德州·月考）已知函数的定义域为，若存在区间，使得同时满足下列条件：（1）在上是单调函数；（2）在上的值域是.则称区间为函数的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有__________. ①.    ②. ③.    ④. 6．已知 (1)判断并用定义法证明在上的单调性； (2)若在上的值域为，求的取值范围． 7．对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]内是单调的；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“和谐区间“. (1)判断函数是否存在“和谐区间”，并说明理由； (2)如果[m，n]是函数的一个“和谐区间”，求n-m的最大值. 8．对于定义域为I的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数，的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”． (1)判断函数（）和函数（）是否存在“优美区间”，如果存在，写出符合条件的一个“优美区间”？（直接写出结论，不要求证明） (2)如果是函数（）的一个“优美区间”，求的最大值． 分段函数值域范围求参题型05 1．已知函数有最小值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．设函数若存在最小值，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．设若是的最小值，则的取值范围是　　　　　. 5．已知函数， （1）若在上单调递减，则的取值范围为___________. （2）若值域为，则的取值范围为___________. 6．（24-25高一上·福建福州·月考）若函数的最小值为，则实数的取值范围为__________. 7．（25-26高三上·北京·月考）已知函数，当时，的值域是______；若没有最大值，则的取值范围是______． 8．已知函数 ①当时，函数的单调递减区间是__________； ②若存在最小值，则的取值范围是__________. 利用恒成立与能成立问题求函数最值题型06 1．已知，若在时恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是______． 3．已知函数，，以，，的值为边长可构成一个三角形，则实数的取值范围为______． 分类讨论函数的单调性求最值题型07 1．（24-25高一上·北京·期中）函数的定义域为，最小值为，给出以下四个结论：①最小值为1；②最大值为3；③在上单调递减；④只有唯一的值使得的图象有一条垂直于轴的对称轴．其中所有正确结论是（   ） A．①② B．②④ C．②③ D．①③ 2．已知函数. (1)画出函数在区间上的图像； (2)求函数在区间上的最大值. 3．已知，函数． (1)当时，画出的图象，并写出的单调递增区间； (2)当时，求在区间上的最小值． 函数单调性的应用题型08 1．设，函数，给出下列四个结论： ①当时，在上单调递增； ②当时，存在最大值； ③设，，则； ④若，的函数图象有三个公共点，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是________． 2．如图，在等边三角形中， .动点从点出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到点，记运动的路程为，点到此三角形中心距离的平方为，给出下列结论：①函数在上单调递增；②函数的值域为；③直线是函数图象的一条对称轴； ④关于的方程最多有6个实数根.其中，所有正确结论的序号是_____________. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $