第十四章 全等三角形章节核心题型突破（压轴篇，4大题型，专项训练）数学新教材人教版八年级上册
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内容正文：
第十四章 全等三角形章节核心题型突破（压轴篇）
目 录
题型01 造全等证明线段相等／角相等（阅读探究综合）
题型02 动点综合问题（分类讨论求全等时刻）
题型03 倍长中线构造全等
题型04 角平分线综合（性质+判定+构造）
题型01 造全等证明线段相等／角相等（阅读探究综合）
难度层级：压轴 | 知识点：全等三角形综合问题
1．【问题情境】
（1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，证明：，．
【类比解答】
（2）如图2，在中，平分，于，若，，若通过上述构造全等的方法，求的度数．
【拓展延伸】
（3）如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵平分，，
∴，
又∵，
∴，
∴，．
（2）
（3），证明
延长交于点，
同（1）法可得：，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握利用角平分线构造全等三角形是解题的关键：
（1）证明，即可得证；
（2）延长交于点，证明，得到，再利用三角形的外角的性质，进行求解即可；
（3）延长交于点，证明，得到，再证明，得到，即可得出结论．
【详解】解：（1）略；
（2）延长交于点，
同（1）法可得：，
∴，
∵，
∴；
（3）略．
2．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：
[模型呈现]
如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
[模型应用]
如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积．
[深入探究]
如图3，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点．
【答案】[模型呈现]；[模型应用]；[深入探究][模型呈现]解：，
．
故答案为：．
[模型应用]解：如图2中，
由“字”模型可知，，，
，，，，
，
图中实线所围成的图形的面积梯形的面积的面积的面积的面积的面积
．
故答案为：50．
[深入探究]证明：如图3，过作于，过作于，
由“字”模型得：，
，
同理：，
，
，，
，
在与中
，
，
即点是的中点．．
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握“K字”模型全等是解题的关键；
[模型呈现]根据题意可直接进行求解；
[模型应用] 由“字”模型可知，，，则有，，，，然后根据割补法求面积即可；
[深入探究] 过作于，过作于，由“字”模型得：，则有，然后可证，进而问题可求解．
【详解】[模型呈现]解：，
．
故答案为：．
[模型应用]解：如图2中，
由“字”模型可知，，，
，，，，
，
图中实线所围成的图形的面积梯形的面积的面积的面积的面积的面积
．
故答案为：50．
[深入探究]证明：如图3，过作于，过作于，
由“字”模型得：，
，
同理：，
，
，，
，
在与中
，
，
即点是的中点．
3．如图，，，，，分别为线段，上任意一点．
（1）若点为的中点，点与点重合，请证明与全等．
（2）如图，若，，则，，之间有什么数量关系？请写出解答过程．
（3）如图，将“，”改为“（为锐角）”，其他条件不变．若，，则，，之间的数量关系为______．（不用写过程）
【答案】（1）证明：点为的中点，
，
，，
，
，
在和中，，
；
（2）解：，
理由如下：
，，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
；
（3）解：，
理由如下：
是的外角，
，
，
，
，，
，
在和中，，
，
，，
，
.
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、三角形外角的性质，解决本题的关键是运用分类讨论思想和类比思想．
根据中点的定义可知，根据垂直的定义可知，利用可证；
根据同角的余角相等，可证，根据垂直的定义可知，利用可证，根据全等三角形对应边相等可证，，因为，等量代换可得：；
根据，，利用三角形外角的性质可得，利用可证，根据全等三角形的性质可得：．
【小问详解】(1)小问详解： 略
【小问详解】(2)小问详解： 略
【小问详解】(3)小问详解： 略
4．在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点，为轴正半轴上一点，为轴负半轴上一点，过点作交延长线于点，且，连．
（1）如图1，①若，则______；②求的度数；
（2）如图2，延长至，使，过点作轴于点，交于点，连，完成以下探究：
动手操作：当时，______°；当时，______°；
猜想证明：当时，______，并给出证明．（提示：构全等三角形）
【答案】（1）； （2）；；
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等，熟练掌握全等三角形的构造是解题的关键．
（1）利用四边形内角和为即可求解；过点C作轴于点Y，轴于点Z，
证明，即可得出；
（2）过点A作交延长线于点G，证明，即可求解出度数．
【小问详解】(1)小问详解： 解：①；
，，
，
，
；
②过点C作轴于点Y，轴于点Z，
，
，，
，
在与中，
，
，
，
平分，
；
【小问详解】(2)小问详解： 动手操作：当时，；当时，；
猜想证明：当时，，
理由如下：
过点A作交延长线于点G，
在与中，
，
，
在与中，
，
，
，，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，，
由（1）得，
，
当时，
，
；
当时，
，
；
，
，
．
综上所述，
动手操作：当时，；当时，；
猜想证明：当时，．
5．（1）如图，，射线在这个角的内部，点、分别在的边、上，且，于点，于点．求证：；
（2）如图，点、分别在的边，上，点、都在内部的射线上，、分别是，的外角．已知，且．求证：；
（3）如图，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为，求与的面积之和．
【答案】（1）证明：，，，
，，
，
∴，
在和中，
，
；
（2）证明：，，，
，
，，，
，
在和中，
，
；
（3）与的面积之和等于
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质，同角的余角相等，垂直定义，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
（1）由同角的余角相等证，进而即可证明；
（2）根据三角形的外角性质证，，进而即可证明；
（3）过点作于，由，得，进而得由（2）知，，则，从而即可得解．
【详解】（1） 略
（2） 略
（3）解：如图，过点作于，
，
，
， ，
，
，
由（2）知，，
，
，
即：与的面积之和等于．
题型02 动点综合问题（分类讨论求全等时刻）
难度层级：压轴 | 知识点：全等三角形综合问题
1．如图，点在线段上，于点，于点，，且，，点从点开始以速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，、同时停止运动．过、分别作的垂线，垂足分别为、．设运动的时间为，当以、、三点为顶点的三角形与全等时，的值为（ ）
A. C. 或
B. D. 或
【答案】D
【分析】设运动运动的时间为时，则，，根据题意，得，，根据三角形全等，分类解答即可．
本题考查了三角形全等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：设运动的时间为时，则，，
∵，，
∴，，
当点到达终点时，运动时间为：，
点Q到达C的运动时间为：，
∵以、、三点为顶点的三角形与全等，
得到，
故，
∴或，
解得或，
故选：D．
2．如图，已知中，厘米，，厘米，点为的中点．如果点在线段上以4厘米／秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为________厘米／秒时，能够在某一时刻使与全等．
【答案】4或6
【分析】先根据题意求出长度，利用与全等，以及，设点和在运动时间秒，分两种情况讨论①②，列关于的方程，解出即可求出的速度．
【详解】解：厘米，点为的中点，
厘米.
设点和在运动秒时，与全等，
，，
①时，
，，
，，
，
．
．
②时，
，，
，，
，
．
．
3．（1）在中，，、、三点共线，．
①如图①，若则线段、与三者之间的数量关系：________；
②如图②，判断并证明线段、与三者之间的数量关系；
（2）如图③，已知，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，两点中只要有一点先到达终点，则所有运动停止，它们运动的时间用表示．问：运动过程中是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的和的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①②，证明如下：
，
，
，
又，
，
，，
；
（2），或，
【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
（1）①利用平角的定义和三角形内角和定理得，推出，证明，得，，通过可得答案；
②由①同理可得，得，，通过可得答案；
（3）分或两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题．
【详解】解：（1）①，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，，
；
故答案为：；
②略
（2）解：点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动，，
，，
，点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动，
，
①当时，，
，
，
当，，满足，
故，符合题意
② 当时，，，
，，
，
此时满足，
故，符合题意；
综上，，或，．
4．如图，在中，，．直线/经过点C，点M以每秒的速度从B点出发，沿路径向终点A运动，同时，点N以每秒的速度从A点出发，沿路径向终点B运动；两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过M、N作于点D，于点E，设点N运动时间为t秒．
（1）当点M在上，点N在上时，
①_________，_________（用含t的代数式表示）
②当时，与全等吗？并说明理由．
（2）要使以点M、D、C为顶点的三角形与以点N、E、C为顶点的三角形全等，直接写出t的值．
【答案】（1）①；②当时，与全等，
理由：如图，
当时，
，，
∴，
∵于点D，于点E，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）或4或16
【分析】（1）①由题意知，，根据，求解即可；
②当时，，，从而得出，再证明，，即可由证明．
（2）分四种情况：I）当时，即点M在上，点N在上；II）当时，即点M在上，点N在上；III）当时，即点M在上，点N在上；IV）当时，点M停在点A处，点N在上；分别求解即可．
【小问详解】(1)小问详解： 解：①由题意知，，
∴，；
②略
【小问详解】(2)小问详解： 解：I）当时，点M在上，点N在上，如图，
，，
，
，
，
要使与全等，则，
，
解得；
II）当 时，即点M在上，点N在上，如图，
若、两点重合，则与全等，
此时，
即，
解得；
III）当时，即点M在上，点N在上，如图，
，，
，
，
，
要使与全等，则，
，
解得（舍去）；
IV）当时，点M停在点A处，点N在上，如图，
当点与重合时，若，则与全等，
此时，
解得，
综上，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为或7或10，
故答案为：或4或16．
【点睛】本题考查动点问题，全等三我的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．注意分类讨论，以免漏解.
5．如图，与相交于点，，，点从点出发，沿方向以的速度往返运动，点从点出发，沿方向以的速度单向运动，两点同时出发，当点返回到点时停止运动，点同时停止运动且正好停留在点，设点的运动时间为．
（1）求证：；
（2）请用含的式子表示线段；
（3）连接，当线段经过点时，求的值．
【答案】（1）证明：设长为，
根据题意可得，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，，
在与中，
，
∴．
（2）； （3）或．
【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，一元一次方程的应用．
（1）根据平行线的性质，可得，，根据运动过程可得，从而可证得结论；
（2）根据运动过程，按照的取值范围进行分类讨论，分别表示出线段的长度即可；
（3）由，可得，根据线段经过点，可得，证明，可得，结合运动过程列方程求解即可．
【小问详解】(1)小问详解： 略
【小问详解】(2)小问详解： 解：∵，
∴，
，，
当时，，
当时，，
∴．
【小问详解】(3)小问详解： 解：∵
∴，
当线段经过点时，，
在与中，
∵，
∴，
∴，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
∴或．
题型03 倍长中线构造全等
难度层级：压轴 | 知识点：其他模型 / 线段和差 / 综合
1．【初步探索】
（1）如图1，是的中线，探究与的大小关系．
小明同学探究此问题的方法是：延长至点E，使，连接，先证明，可得出结论，他的结论应是__________
【灵活运用】
（2）如图2，是的中线，E、F分别在上，且，求证：．
【拓展延伸】
（3）如图3，为的角平分线，直线于点A，点E为上一点（与点A不重合），周长记为a，周长记为b，比较a与b的数量关系并证明．
【答案】（1），证明：延长至点E，使，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：；
（2）证明：延长至G，使得，连接
在和中，
，
∴，
∴，
∵在和中
∴，
∴，
在中，两边之和大于第三边，
∴
又∵，
∴
（3），证明：
①点E在点A右侧时
延长到F，使，连接，
，
在和中，
，
∴，
∴
∵为三边，
∴，
∴，
∴，
∴
即
②点E在点A左侧时，延长到F，使，连接，
，
在和中，
，
∴，
∴
∵为三边，
∴，
∴，
∴，
∴
即
综上，
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系解答即可；
（2）延长至G，使得，连接，根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系解答即可；
（3）分两种情况进行解答即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形三边关系，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
2．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接．
（1）【探究发现】图1中中与的数量关系是 ________，位置关系是 ________；
（2）【初步应用】如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围；
（3）【探究提升】如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由．
【答案】（1）， （2） （3），，理由见解析
【分析】（1）证，得，，再由平行线的判定即可得出；
（2）延长到，使，连接，由（1）可知，，得，再由三角形的三边关系即可得出结论；
（3）延长到，使得，连接，由（1）可知，，得，再证，得，，则，然后由三角形的外角性质证出，即可得出结论．
【小问详解】(1)小问详解： 解：是的中线，
，
在和中，
，
，
，，
，
故答案为：，；
【小问详解】(2)小问详解： 如图2，延长到，使，连接，
由（1）可知，，
，
在中，，
，
即，
，
即边上的中线的取值范围为；
【小问详解】(3)小问详解： ，，理由如下：
如图3，延长到，使得，连接，
由（1）可知，，
，
，
，
由（2）可知，，
，
、，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质，添加辅助线．
3．如图1，在中，是边的中线，交延长线于点，．
（1）求证；
（2）如图2，平分交于点，交于点，若，，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）延长至点，使，可证，由全等三角形的性质从而得出，根据题目已知，可证，由全等三角形的性质从而得出，等量代换即可得出答案；
（2）如图所示，作，可证，由全等三角形的性质相等角从而得出，进而得出，故可证等量转化即可求出的值．
【详解】（1）如图1所示，延长至点，使，
在与中，
，
，
，
，
，
在与中，
,
，
，
；
（2）如图所示，，
，
平分，，
，
，，
，作，
在与中，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
设，
，，
．
【点睛】
本题考查全等三角形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
4．如图，在中，，与的交点分别为．
（1）若是的中线，则与相等吗？
（2）若，则是的中线吗？为什么？
【答案】（1）相等 （2）是的中线
证明：在和中
∴，
∴，即是的中线．
【分析】（1）判定，再根据全等三角形的性质可得
（2）判定，再根据全等三角形的性质可得 ．
【小问详解】(1)小问详解：
证明：∵，
∴，
∵为的中线，
∴，
在和中
，
∴，
∴；
【小问详解】(2)小问详解： 略
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
题型04 角平分线综合（性质+判定+构造）
难度层级：压轴 | 知识点：角平分线的性质 / 判定 / 实际应用
1．如图，在中，和分别为的两条角平分线，和相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③点到边的距离相等；④其中正确的是（ ）
A. ①② C. ①②③
B. ②③ D. ①②③④
【答案】D
【分析】分别对四个结论进行分析，利用三角形内角和、角平分线性质、全等三角形判定与性质等来判断．
【详解】解：在中，，
∴．
∵，分别平分，，
∴，．
∴．
在中，，故①项正确．
∵，分别为的两条角平分线，且相交于点，根据三角形三条角平分线交于一点，
∴平分．故②项正确．
∵在，，的角平分线上，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴点到边，，的距离相等．故③项正确．
如图，在上截取，连接．
∵平分，
∴．
又∵，
∴，
∴．
由①知，
∴，，
∴．
又∵，
∴．
∵平分，
∴，又，
∴，
∴．
∴．故④项正确．
综上，①②③④都正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
2．如图．在中，，分别平分，，且交于点O，为外角的平分线，的延长线交于点E，则以下结论：①；②；③点O在的角平分线上；④；⑤若点O到的距离是2，的周长是12，则的面积是24．一定成立的是________．
【答案】①②③
【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质及三角形外角的定义．利用角平分线的性质、三角形内角和定理、外角定义等知识，逐一分析每个结论即可．
【详解】解：∵为外角的角平分线，平分，
∴，，
又∵是的外角，
∴，故①正确；
∵，分别平分，，
∴，，
则，
∴，故②正确；
连接，如图所示：
∵，分别平分，，且三角形的三条角平分线会交于一点，
∴点O在的角平分线上，故③正确；
∵，
又∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，故④错误；
∵，分别平分，，
∴点O到，，的距离均为2，
∴，故⑤错误．
综上所述，一定成立的有①②③．
故答案为：①②③．
3．在八年级上册数学课本中，我们学习了三角形边和角关系以及三角形中常见的线段．
（1）小民同学利用“三角形的任意两边之和大于第三边”这一知识点发现，若P是内的一点，连接，则，请你证明这个结论．
（2）接着小民又发现，如果分别是和的平分线，连接，则是的角平分线，小民的发现正确吗？请说明你的理由．
（3）就的面积问题，小民和小兴两位同学产生了分歧，在（2）的条件下，已知的周长为18，点P到的距离为．小民认为仅知道周长无法求出的面积，而小兴认为可以．你同意谁的看法？若同意小民，请说明理由．若同意小兴，请求出的面积．
【答案】（1）证明：如图，延长交于点D，
在中，①，
在中，②，
得：，
∴，
即；
（2）
解：小民的发现正确，理由如下：
过点P作于点D,于点E,于点F,
∵是的平分线，，，
∴，
同理∵是的平分线，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线；
（3）同意小兴，
【分析】本题考查三角形三边关系，角平分线的性质定理和判定定理，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）延长交于点D，在和中，根据三角形三边关系列不等式，即可求解；
（2）过点P作于点D,于点E,于点F，根据角平分线的性质定理及判定定理即可求解；
（3）根据角平分线的性质定理，可得点P到，的距离也是，再根据即可求解．
【小问详解】(1)小问详解： 略
【小问详解】(2)小问详解： 略
【小问详解】(3)小问详解： 解：同意小兴的看法，
∵点P到的距离为，分别是，，的平分线，
∴点P到，的距离也是，
∴
．
4．学习完角平分线，小希同学总结了学习心得：“对称是一种解题方法，即分析问题时我们要善于观察并利用问题自身条件的某些对称性．”结合以上内容解决问题：
已知在中，点，分别在，的延长线上，平分，平分．
（1）求证：平分；
（2）若，则______．
（3）在中，作的平分线交于点，若，且，，求点到射线的距离．
【答案】（1）证明：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
平分，，，
，
平分，，，
，
，
平分；
（2） （3）点到射线的距离为．
【分析】本题主要考查了三角形的角平分线．添加垂线，熟练掌握角平分线的判定与性质，三角形面积公式求三角形面积，是解题的关键．
（1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，先利用角平分线的性质定理可得，，再利用角平分线判定定理，即可解答；
（2）根据角平分线的定义求得，在中，利用三角形内角和定理求得，据此，进行计算即可解答；
（3）根据等积法求得点到的距离，利用面积法求得，再利用角平分线的定义结合面积法，即可解答．
【小问详解】(1)小问详解： 略
【小问详解】(2)小问详解： 解：平分，平分，平分，
，，，
在中，，则，
在中，，，
在中，，
，，
；
故答案为：；
【小问详解】(3)小问详解： 解：，，
到的距离，
平分，平分，平分，
点到，，的距离相等，即距离都是，
，
，
，
，
∵是的平分线，平分，
点到，，的距离相等，设为，
∴，
即，
∴，
即点到射线的距离为．
5．【情景回顾】
已知：如图1，点P在的平分线上，于点C，于点D．根据“角平分线上任意一点到角两边的距离相等”的性质，易知，且，从而得到
【问题提出】
小颖所在的数学学习小组继续探究：点C、D分别在射线上（C、D不重合），且点P仍在的平分线上，试探究的大小关系对线段以及的大小有怎样的影响．
【探究任务】
（1）如图2，若时，则__________， ___________．（填“=”“”或“”）
（2）如图3，若时，求证：．
（3）如图4：若，且与∠均为锐角时，．请你比较与的大小，并说出理由．
【答案】（1）=，= （2）证明：作于点E，于点F，则
∵点P在的平分线上，
∴
∵，
∴
∴
∴；
（3），理由如下：在上取点M，使，连接，
∵点P在的平分线上，
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∵
∴．
【分析】（1）证明即可；
（2）作于点E，于点F，证明即可；
（3）在上取点M，使，连接，证明，则，再由三角形的三边关系证明即可．
【小问详解】(1)小问详解： 解：∵点P在的平分线上，
∴
∵，
∴
∴，；
【小问详解】(2)小问详解： 略
【小问详解】(3)小问详解： 略
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第十四章 全等三角形章节核心题型突破（压轴篇）
目 录
题型01 造全等证明线段相等／角相等（阅读探究综合）
题型02 动点综合问题（分类讨论求全等时刻）
题型03 倍长中线构造全等
题型04 角平分线综合（性质+判定+构造）
题型01 造全等证明线段相等／角相等（阅读探究综合）
难度层级：压轴 | 知识点：全等三角形综合问题
1．【问题情境】
（1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，证明：，．
【类比解答】
（2）如图2，在中，平分，于，若，，若通过上述构造全等的方法，求的度数．
【拓展延伸】
（3）如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论．
2．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：
[模型呈现]
如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
[模型应用]
如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积．
[深入探究]
如图3，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点．
3．如图，，，，，分别为线段，上任意一点．
（1）若点为的中点，点与点重合，请证明与全等．
（2）如图，若，，则，，之间有什么数量关系？请写出解答过程．
（3）如图，将“，”改为“（为锐角）”，其他条件不变．若，，则，，之间的数量关系为______．（不用写过程）
4．在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点，为轴正半轴上一点，为轴负半轴上一点，过点作交延长线于点，且，连．
（1）如图1，①若，则______；②求的度数；
（2）如图2，延长至，使，过点作轴于点，交于点，连，完成以下探究：
动手操作：当时，______°；当时，______°；
猜想证明：当时，______，并给出证明．（提示：构全等三角形）
5．（1）如图，，射线在这个角的内部，点、分别在的边、上，且，于点，于点．求证：；
（2）如图，点、分别在的边，上，点、都在内部的射线上，、分别是，的外角．已知，且．求证：；
（3）如图，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为，求与的面积之和．
题型02 动点综合问题（分类讨论求全等时刻）
难度层级：压轴 | 知识点：全等三角形综合问题
1．如图，点在线段上，于点，于点，，且，，点从点开始以速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，、同时停止运动．过、分别作的垂线，垂足分别为、．设运动的时间为，当以、、三点为顶点的三角形与全等时，的值为（ ）
A. C. 或
B. D. 或
2．如图，已知中，厘米，，厘米，点为的中点．如果点在线段上以4厘米／秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为________厘米／秒时，能够在某一时刻使与全等．
3．（1）在中，，、、三点共线，．
①如图①，若则线段、与三者之间的数量关系：________；
②如图②，判断并证明线段、与三者之间的数量关系；
（2）如图③，已知，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，两点中只要有一点先到达终点，则所有运动停止，它们运动的时间用表示．问：运动过程中是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的和的值；若不存在，请说明理由．
4．如图，在中，，．直线/经过点C，点M以每秒的速度从B点出发，沿路径向终点A运动，同时，点N以每秒的速度从A点出发，沿路径向终点B运动；两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过M、N作于点D，于点E，设点N运动时间为t秒．
（1）当点M在上，点N在上时，
①_________，_________（用含t的代数式表示）
②当时，与全等吗？并说明理由．
（2）要使以点M、D、C为顶点的三角形与以点N、E、C为顶点的三角形全等，直接写出t的值．
5．如图，与相交于点，，，点从点出发，沿方向以的速度往返运动，点从点出发，沿方向以的速度单向运动，两点同时出发，当点返回到点时停止运动，点同时停止运动且正好停留在点，设点的运动时间为．
（1）求证：；
（2）请用含的式子表示线段；
（3）连接，当线段经过点时，求的值．
题型03 倍长中线构造全等
难度层级：压轴 | 知识点：其他模型 / 线段和差 / 综合
1．【初步探索】
（1）如图1，是的中线，探究与的大小关系．
小明同学探究此问题的方法是：延长至点E，使，连接，先证明，可得出结论，他的结论应是__________
【灵活运用】
（2）如图2，是的中线，E、F分别在上，且，求证：．
【拓展延伸】
（3）如图3，为的角平分线，直线于点A，点E为上一点（与点A不重合），周长记为a，周长记为b，比较a与b的数量关系并证明．
2．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接．
（1）【探究发现】图1中中与的数量关系是 ________，位置关系是 ________；
（2）【初步应用】如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围；
（3）【探究提升】如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由．
3．如图1，在中，是边的中线，交延长线于点，．
（1）求证；
（2）如图2，平分交于点，交于点，若，，求的值．
4．如图，在中，，与的交点分别为．
（1）若是的中线，则与相等吗？
（2）若，则是的中线吗？为什么？
题型04 角平分线综合（性质+判定+构造）
难度层级：压轴 | 知识点：角平分线的性质 / 判定 / 实际应用
1．如图，在中，和分别为的两条角平分线，和相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③点到边的距离相等；④其中正确的是（ ）
A. ①② C. ①②③
B. ②③ D. ①②③④
2．如图．在中，，分别平分，，且交于点O，为外角的平分线，的延长线交于点E，则以下结论：①；②；③点O在的角平分线上；④；⑤若点O到的距离是2，的周长是12，则的面积是24．一定成立的是________．
3．在八年级上册数学课本中，我们学习了三角形边和角关系以及三角形中常见的线段．
（1）小民同学利用“三角形的任意两边之和大于第三边”这一知识点发现，若P是内的一点，连接，则，请你证明这个结论．
（2）接着小民又发现，如果分别是和的平分线，连接，则是的角平分线，小民的发现正确吗？请说明你的理由．
（3）就的面积问题，小民和小兴两位同学产生了分歧，在（2）的条件下，已知的周长为18，点P到的距离为．小民认为仅知道周长无法求出的面积，而小兴认为可以．你同意谁的看法？若同意小民，请说明理由．若同意小兴，请求出的面积．
4．学习完角平分线，小希同学总结了学习心得：“对称是一种解题方法，即分析问题时我们要善于观察并利用问题自身条件的某些对称性．”结合以上内容解决问题：
已知在中，点，分别在，的延长线上，平分，平分．
（1）求证：平分；
（2）若，则______．
（3）在中，作的平分线交于点，若，且，，求点到射线的距离．
5．【情景回顾】
已知：如图1，点P在的平分线上，于点C，于点D．根据“角平分线上任意一点到角两边的距离相等”的性质，易知，且，从而得到
【问题提出】
小颖所在的数学学习小组继续探究：点C、D分别在射线上（C、D不重合），且点P仍在的平分线上，试探究的大小关系对线段以及的大小有怎样的影响．
【探究任务】
（1）如图2，若时，则__________， ___________．（填“=”“”或“”）
（2）如图3，若时，求证：．
（3）如图4：若，且与∠均为锐角时，．请你比较与的大小，并说出理由．
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第十四章 全等三角形章节核心题型突破（压轴篇）
目 录
题型01 造全等证明线段相等／角相等（阅读探究综合）
题型02 动点综合问题（分类讨论求全等时刻）
题型03 倍长中线构造全等
题型04 角平分线综合（性质+判定+构造）
题型01 造全等证明线段相等／角相等（阅读探究综合）
难度层级：压轴 | 知识点：全等三角形综合问题
1．（1）证明：∵平分，，
∴，
又∵，
∴，
∴，．
（2）
（3），证明
延长交于点，
同（1）法可得：，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
2．[模型呈现]；[模型应用]；[深入探究][模型呈现]解：，
．
故答案为：．
[模型应用]解：如图2中，
由“字”模型可知，，，
，，，，
，
图中实线所围成的图形的面积梯形的面积的面积的面积的面积的面积
．
故答案为：50．
[深入探究]证明：如图3，过作于，过作于，
由“字”模型得：，
，
同理：，
，
，，
，
在与中
，
，
即点是的中点．．
3．（1）证明：点为的中点，
，
，，
，
，
在和中，，
；
（2）解：，
理由如下：
，，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
；
（3）解：，
理由如下：
是的外角，
，
，
，
，，
，
在和中，，
，
，，
，
.
4．（1）； （2）；；
5．（1）证明：，，，
，，
，
∴，
在和中，
，
；
（2）证明：，，，
，
，，，
，
在和中，
，
；
（3）与的面积之和等于
题型02 动点综合问题（分类讨论求全等时刻）
难度层级：压轴 | 知识点：全等三角形综合问题
1．D
2．4或6
3．（1）①②，证明如下：
，
，
，
又，
，
，，
；
（2），或，
4．（1）①；②当时，与全等，
理由：如图，
当时，
，，
∴，
∵于点D，于点E，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）或4或16
5．（1）证明：设长为，
根据题意可得，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，，
在与中，
，
∴．
（2）； （3）或．
题型03 倍长中线构造全等
难度层级：压轴 | 知识点：其他模型 / 线段和差 / 综合
1．（1），证明：延长至点E，使，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：；
（2）证明：延长至G，使得，连接
在和中，
，
∴，
∴，
∵在和中
∴，
∴，
在中，两边之和大于第三边，
∴
又∵，
∴
（3），证明：
①点E在点A右侧时
延长到F，使，连接，
，
在和中，
，
∴，
∴
∵为三边，
∴，
∴，
∴，
∴
即
②点E在点A左侧时，延长到F，使，连接，
，
在和中，
，
∴，
∴
∵为三边，
∴，
∴，
∴，
∴
即
综上，
2．（1）， （2） （3），，理由见解析
3．（1）见解析；（2）
4．（1）相等 （2）是的中线
证明：在和中
∴，
∴，即是的中线．
题型04 角平分线综合（性质+判定+构造）
难度层级：压轴 | 知识点：角平分线的性质 / 判定 / 实际应用
1．D
2．①②③
3．（1）证明：如图，延长交于点D，
在中，①，
在中，②，
得：，
∴，
即；
（2）
解：小民的发现正确，理由如下：
过点P作于点D,于点E,于点F,
∵是的平分线，，，
∴，
同理∵是的平分线，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线；
（3）同意小兴，
4．（1）证明：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
平分，，，
，
平分，，，
，
，
平分；
（2） （3）点到射线的距离为．
5．（1）=，= （2）证明：作于点E，于点F，则
∵点P在的平分线上，
∴
∵，
∴
∴
∴；
（3），理由如下：在上取点M，使，连接，
∵点P在的平分线上，
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∵
∴．
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