第12章全等三角形（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材华东师大版八年级上册

第12章全等三角形 （高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列不属于命题的是（     ） A．垂线段最短 B．过点C作直线的垂线 C．取任何数时的值都是正数 D．如果，那么 2．如图，与关于直线对称，若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D．以上都不对 3．如图是三角形按边分类的关系图，则图中的表示（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 4．如图①所示是我国古代建筑中常见的凉亭示意图，其顶部可看作如图②所示的，，点在上，．若的长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．如图，作一个角的平分线，其尺规作图的原理是（     ） A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 6．如图，两把相同的直尺的一边分别与射线，重合，另一边相交于点，则平分的依据是（     ） A．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C．角平分线是对称轴 D．以上均不正确 7．如图，在中，线段垂直平分边，过点D作，垂足为F，且．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图所示的“画图仪”由两根有轨道槽的木条，组成，两根木条在点Q处相连并可绕点Q转动，另有长度与相等的两根木条，，其中木条的一端S固定在木条上的相应位置，木条可绕点S转动，分别调整点M和点T在相应轨道槽中的位置可改变的大小．若小华同学借助“画图仪”画图，摆出的位置恰好满足时，下列判断正确的是（　　） A． B．平分 C． D． 9．如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转到的位置，使刚好落在上，B、C旋转后的对应点分别是和，连接，则度数是（       ） A． B． C． D． 10．如图，中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（     ） A．4， B．2， C．1， D．3， 11．如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线，D为的中点，M为直线上任意一点．若面积为40，且长度的最小值为10，则长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 12．如图，在中，P为上一点，，垂足为R，，垂足为S，，，下面的结论：①；②；③．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．如图，将一个等边三角形剪去一个角后，________． 14．如图，，，，则的度数__________． 15．如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点．若，，则的长为___． 16．如图，是等边三角形，、分别是、中点，连接且，在上找一点，则的最小值为______． 17．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是______． 18．如图，已知在中，，，．点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点以每秒个单位长度的速度运动．设运动时间为秒，若以点，，为顶点的三角形和以点，，为顶点的三角形全等，且和是对应角，则的值为_____． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出它们的条件和结论： (1)全等三角形的对应边相等； (2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． 20．如图，，且，，求证：． 21．如图，在和中，点A、B、C、D在一条直线上，已知，，，若用“”证明，需添加什么条件？写出来并证明． 22．如图，在中，，是边的中点，点，分别在线段，上，且． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，点在线段的垂直平分线上，求的度数． 23．只用无刻度的直尺，利用网格作图，正方形网格边长为1．（保留作图痕迹） (1)在图①中找一点，使点到和距离相等且； (2)在图②中，，在上找一点，使得平分． 24．阅读内容，完成解答． 背景 某校八年级学生到野外活动，为测量一不规则池塘两端，的距离，甲、乙两位同学分别设计出如图所示的两种方案． 测量示意图 测量 甲： ①过点作射线． ②过点作于点． ③在的延长线上截取，使得__________．（只添加一个条件） ④测量的长即可． 乙： ①在水池外过点作的垂线，在上取点、，使得． ②过作的垂线，使点、、在同一条直线上． ③测量的长即可． (1)甲的方案中，横线上的内容是__________，涉及到的全等判定依据是__________（用字母表示）； (2)判断乙方案是否可行． 25．在边长为的等边三角形中，点Q是上一点，点P是上一动点，以每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． (1)如图1，若，则t的值为___________ ； (2)如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形． (3)如图3，将“边长为的等边三角形”变换为“为腰，为底的等腰三角形，且，”，点P在从A向B运动到中点时静止，此时点M，N同时分别在上运动，点M以每秒的速度从点B向C运动，同时点N以每秒的速度从点C向A运动（各点均不再返回），当以B、P、M三点构成的三角形与全等时，求a的值． 26．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： (1)①由已知和作图能得到，依据是（     ） A．      B．      C．      D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ． 【解后反思】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． (2)如图，已知与，，，，，分别为中边上的中线与高，且，，求的面积； (3)拓展延伸：如图，在（2）的条件下，延长交于点，请直接写出的长度． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12章全等三角形 （高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列不属于命题的是（     ） A．垂线段最短 B．过点C作直线的垂线 C．取任何数时的值都是正数 D．如果，那么 【答案】B 【分析】命题是可以判断真假的陈述句，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：A. 垂线段最短，是可以判断真假的陈述句，是命题，故A不符合题意； B. 过点作直线的垂线，是作图指令，不是陈述句，无法判断真假，不属于命题，故B符合题意； C. 取任何数时的值都是正数，是可以判断真假的陈述句，是命题，故C不符合题意； D. 如果，，那么，是可以判断真假的陈述句，是命题，故D不符合题意． 2．如图，与关于直线对称，若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】根据轴对称得出，即可得出的度数． 【详解】解：与关于直线对称， ， ． 3．如图是三角形按边分类的关系图，则图中的表示（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【详解】解：初中数学中，三角形按边的相等关系分类，可分为两类：三边都不相等的三角形，和至少有两边相等的等腰三角形；而等边三角形是特殊的等腰三角形，满足三边都相等，属于等腰三角形的子集，对应图里嵌套在等腰三角形内部的Q，因此Q表示等边三角形． 4．如图①所示是我国古代建筑中常见的凉亭示意图，其顶部可看作如图②所示的，，点在上，．若的长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 5．如图，作一个角的平分线，其尺规作图的原理是（     ） A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 【答案】A 【分析】利用角平分线的尺规作图和三角形全等的判定定理即可求解． 【详解】解：如图， 以点为圆心，为半径作弧，交、于点、，分别以点、为圆心，以为半径作弧，交于点，连接，即为的平分线． 在和中， ∴， ∴，即为的平分线． 6．如图，两把相同的直尺的一边分别与射线，重合，另一边相交于点，则平分的依据是（     ） A．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C．角平分线是对称轴 D．以上均不正确 【答案】A 【详解】解：∵两把相同的直尺宽度相同， ∴点到，的距离相等， ∴平分的依据是：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 7．如图，在中，线段垂直平分边，过点D作，垂足为F，且．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂直平分线的性质得到，则，．即可证明平分，则，得到，再由三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵线段垂直平分边， ∴， ∴， ∵，． ∴平分， ∴， ∴， ∴． 8．如图所示的“画图仪”由两根有轨道槽的木条，组成，两根木条在点Q处相连并可绕点Q转动，另有长度与相等的两根木条，，其中木条的一端S固定在木条上的相应位置，木条可绕点S转动，分别调整点M和点T在相应轨道槽中的位置可改变的大小．若小华同学借助“画图仪”画图，摆出的位置恰好满足时，下列判断正确的是（　　） A． B．平分 C． D． 【答案】D 【分析】由题意，，先由等边对等角得，再由外角得，结合推出，进而得，最终推出，即可验证得D选项正确． 【详解】解：由题意得，，， ， ， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故A选项错误； ∵，，两角不相等， ∴不平分，故B选项错误； ∵，且， ∴，故C选项错误； ，且， ∴，故D选项正确． 9．如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转到的位置，使刚好落在上，B、C旋转后的对应点分别是和，连接，则度数是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，再根据旋转的性质可得，，，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由旋转的性质得：，，， ∴， ∴． 10．如图，中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（     ） A．4， B．2， C．1， D．3， 【答案】D 【分析】本题考查平移的性质、旋转的性质、等边三角形的判定；由旋转的性质和平移的性质可得，，可证是等边三角形，可得，即可求解． 【详解】∵将沿射线的方向平移，得到， ， ∵将绕点逆时针旋转后，点恰好与点重合， ， 是等边三角形， ∴，， ∴， ∴平移的距离为． 11．如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线，D为的中点，M为直线上任意一点．若面积为40，且长度的最小值为10，则长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】连接，，根据线段垂直平分线的性质和两点之间线段最短得出的最小值为的长度，则，再根据等腰三角形的三线合一性质得到,然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，， 由作图过程知垂直平分， ∴， ∴，当点A、M、D共线时取等号， ∴的最小值为的长度， ∵长度的最小值为10， ∴， ∵在中，，D为的中点， ∴, ∵面积为40， ∴，解 得． 12．如图，在中，P为上一点，，垂足为R，，垂足为S，，，下面的结论：①；②；③．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】利用角平分线的判定定理可证平分，通过等量代换得出，即可证明，推出②正确；利用证明，可得，推出①正确；仅一组对边相等，一组对角相等不足以证明，推出③错误． 【详解】解：∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 在和中， ， ， ，故①正确； ∵和中，仅一组对边相等，一组对角相等， ∴现有条件不能够证明，故③错误； 综上，正确的是①②． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．如图，将一个等边三角形剪去一个角后，________． 【答案】 【分析】利用等边三角形的性质与邻补角的性质求解即可． 【详解】解：如图： ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．如图，，，，则的度数__________． 【答案】 【分析】利用三角形的内角和定理与全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∵， ∴． 15．如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点．若，，则的长为___． 【答案】8 【分析】证明，得到，，然后利用垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 16．如图，是等边三角形，、分别是、中点，连接且，在上找一点，则的最小值为______． 【答案】6 【分析】由等边三角形得到点D关于的对称点E在上，连接，，则，那么当三点共线时，有最小值，再由等边三角形的两条边上的高相等得到． 【详解】解：∵是等边三角形，D、M分别是、中点， ∴是的对称轴，， ∴如图，点D关于的对称点E在上，连接， ∵关于对称， ∴， ∴点E是的中点， 如图，连接、，则， ∴， ∴当三点共线时，有最小值， ∵等边，点E是的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为6． 17．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是______． 【答案】 【详解】解：如图，分别过点与点作、垂直于地面，与地面的交点为点、， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵与地面垂直，即， ， 爸爸与妈妈站立时与地面垂直，即， ∴四边形与四边形都是矩形， ∴，， 又∵妈妈在距地面高的处接住小丽，即， ∴， ∴， ∴， 即爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度为． 18．如图，已知在中，，，．点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点以每秒个单位长度的速度运动．设运动时间为秒，若以点，，为顶点的三角形和以点，，为顶点的三角形全等，且和是对应角，则的值为_____． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，分情况讨论是解题的关键．根据题意可得：，，， 从而可得，再利用等腰三角形的性质可得，然后分两种情况：当时；当时；从而利用全等三角形的对应边相等列方程求解即可得解． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， ， ， ， 和是对应角， 分两种情况：和， 当时， ，， 即，，解得，； 当时， ，， 即，，解得，； 综上所述：的值为或． 故答案为：或． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出它们的条件和结论： (1)全等三角形的对应边相等； (2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． 【答案】(1)改写：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应边相等． 条件：两个三角形是全等三角形． 结论：它们的对应边相等． (2)改写：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． 条件：在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线． 结论：这两条直线互相平行． 【分析】分清每一个命题的题设和结论，然后将其改写成“如果……那么……”的形式即可，注意语句要通顺，意思要表达清楚即可． 【详解】（1）解：原命题描述的是全等三角形具备的性质： 当两个三角形是全等三角形时，会有对应边相等的特点， 其中前提条件是两个三角形全等，推导得到的结论是它们的对应边相等， 因此改写为“如果……，那么……”的形式为： 如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应边相等． （2）解：原命题有前置限定“在同一平面内”，描述的是两条直线满足特定位置关系时的结论： 当同一平面内的两条直线都垂直于同一条直线时，这两条直线互相平行， 其中前提条件是在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线， 推导得到的结论是这两条直线互相平行． 因此改写为“如果……，那么……”的形式为： 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． 20．如图，，且，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即． 又∵， ∴， ∴． 【分析】首先得到，，然后证明，即可得到． 【详解】略 21．如图，在和中，点A、B、C、D在一条直线上，已知，，，若用“”证明，需添加什么条件？写出来并证明． 【答案】解：条件是，证明如下： ，， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ． 【分析】根据判断出添加条件，进而证明即可． 【详解】略． 22．如图，在中，，是边的中点，点，分别在线段，上，且． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，点在线段的垂直平分线上，求的度数． 【答案】(1)平行，理由如下： ∵是边的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； (2) 【分析】（1）先证明，再结合等腰三角形的定义进行等量代换证明平行； （2）先根据平行线的性质得到，然后由线段垂直平分线的性质得到，再由等腰三角形的定义以及三角形内角和定理求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∵点在线段的垂直平分线上， ∴ ∴ ∴ 23．只用无刻度的直尺，利用网格作图，正方形网格边长为1．（保留作图痕迹） (1)在图①中找一点，使点到和距离相等且； (2)在图②中，，在上找一点，使得平分． 【答案】(1)如图，点即为所求； (2)如图，点即为所求． 【分析】（1）由题意可知，需要构造的角平分线与的垂直平分线，取格点、，的中点，作直线与直线，交点即为点； （2）取格点，连接，取的中点，连接与的交点即为点． 【详解】（1）解：如图， 由网格可知，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即平分， ∴点到和距离相等， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点为的中点 ∴垂直平分， ∴； （2）解：由图可知，， ∵点是的中点， ∴，即平分． 24．阅读内容，完成解答． 背景 某校八年级学生到野外活动，为测量一不规则池塘两端，的距离，甲、乙两位同学分别设计出如图所示的两种方案． 测量示意图 测量 甲： ①过点作射线． ②过点作于点． ③在的延长线上截取，使得__________．（只添加一个条件） ④测量的长即可． 乙： ①在水池外过点作的垂线，在上取点、，使得． ②过作的垂线，使点、、在同一条直线上． ③测量的长即可． (1)甲的方案中，横线上的内容是__________，涉及到的全等判定依据是__________（用字母表示）； (2)判断乙方案是否可行． 【答案】(1)；（答案不唯一） (2)乙的方案可行 【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，结合已知条件添加即可； （2）由，，得，然后通过“”证明即可． 【详解】（1）解：添加，理由， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴测量的长即可； 或添加，理由， 在和中， ， ∴， ∴， ∴测量的长即可； 或添加，理由， 在和中， ， ∴， ∴， ∴测量的长即可． （2）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 因此测量出的长度，即可得出池塘两端、的距离． 故乙的方案可行． 25．在边长为的等边三角形中，点Q是上一点，点P是上一动点，以每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． (1)如图1，若，则t的值为___________ ； (2)如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形． (3)如图3，将“边长为的等边三角形”变换为“为腰，为底的等腰三角形，且，”，点P在从A向B运动到中点时静止，此时点M，N同时分别在上运动，点M以每秒的速度从点B向C运动，同时点N以每秒的速度从点C向A运动（各点均不再返回），当以B、P、M三点构成的三角形与全等时，求a的值． 【答案】(1)3 (2) (3)当全等时，a的值为或 【分析】（1）由平行线的性质得，从而得出是等边三角形，列方程求解即可； （2）根据点Q所在的位置不同，分类讨论是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可； （3）由全等可得或两种情况，再根据不同的情况分别得到等量关系，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵边长为的等边三角形， ∴， 如图1，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点P是上一动点，以每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒， ∴，则， ∴， 解得：， ∴当t的值为3时，， 故答案为：3； （2）解：①当点Q在边上时，如图2.1， 此时不可能为等边三角形； ②当点Q在边上时，如图2.2， 若为等边三角形，则， 由题意可知，， ∴， 即：， 解得：， ∴当时，为等边三角形； （3）解：，点P是上一动点，以每秒的速度从点A向点B移动，点从A向B运动到中点时静止， ∴，点运动的时间为， ∵，点M以每秒的速度从点B向C运动， ∴点的运动时间为； 由题意可知：， ∴， 若，则， ∴， 解得，，此时点在线段的中点处，处于静止， ∴， ∴， 解得：， 若，则， ∴， 解得，，此时点在未到线段的中点出，处于运动， ， 解得：， 综上所述：当全等时，a的值为或． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了等边三角形、等腰三角形、以及全等三角形的综合运用，以动点问题为背景，根据等边三角形、等腰三角形以及全等三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解，能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键． 26．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： (1)①由已知和作图能得到，依据是（     ） A．      B．      C．      D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ． 【解后反思】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． (2)如图，已知与，，，，，分别为中边上的中线与高，且，，求的面积； (3)拓展延伸：如图，在（2）的条件下，延长交于点，请直接写出的长度． 【答案】(1)①A；② (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件即可判断；根据三角形的三边关系即可求得； （2）如小问2详解图，延长中线到，使，先证出，再证出，然后根据，可得，进而求得答案； （3）如小问3详解图，分别过点作，由已知条件证出，再证出，最后可得，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ． （2） 解：如图，延长中线到，使，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ∵， ， ， ， ． （3） 解：分别过点作， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可证：， ， ， ，， ， ， ，， ， ． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第12章全等三角形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1 3 4 6 个 8 10 11 12 B B D C A A A D A D D A 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分.） 13.240° 14.30° 15.8 16.6 17.1.5 183明 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.【答案】(1)改写：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应边相等。 条件：两个三角形是全等三角形. 结论：它们的对应边相等 (2)改写：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行. 条件：在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线 结论：这两条直线互相平行. 【解析】(1)解：原命题描述的是全等三角形具备的性质： 当两个三角形是全等三角形时，会有对应边相等的特点， 其中前提条件是两个三角形全等，推导得到的结论是它们的对应边相等， 因此改写为“如果…，那么…”的形式为： 如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应边相等 (2)解：原命题有前置限定“在同一平面内”，描述的是两条直线满足特定位置关系时的结论： 当同一平面内的两条直线都垂直于同一条直线时，这两条直线互相平行， 其中前提条件是在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线， 1/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 推导得到的结论是这两条直线互相平行， 因此改写为“如果…，那么…”的形式为： 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行. 20.【答案】详见解析 【解析】证明：，AB‖DE, .∠A=∠D, .AF=CD. .AF-CF=CD-CF,AC=DF. 又，∠B=∠E, ∴△ABC≌△AAS, .BC=EF 21.【答案】详见解析 【解析】解：条件是EC=FB,证明如下： .'EA⊥AC,FD⊥BD, ∴.∠EAC=∠FDB=90°， .△AEC和△DFB是直角三角形， 在Rt△AEC和Rt△DFB中， C-FB AE=DF ∴.Rt△AEC≌Rt△DFB(HL). 22.【答案】(1)详见解析 (2)30° 【解析】(1)平行，理由如下： D是边BC的中点， ∴.BD=CD .'AB=AC,AD=AD ∴.△ADB≌△ADCSSS ∴.∠DAB=∠DAC .AM=MN ∴.∠MAN=∠MNA .∠MNA=∠DAC 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .MN‖AC: (2)解：：∠BAC=40°，MN‖AC, ∴.∠BMN=∠BAC=40° .△ADB≌△ADC :∠ABC=∠ACB=180°-∠BAC=70 2 ,点N在线段BM的垂直平分线上， ∴.NM=NB ∴.∠NBM=ㄥNMB=40° ∴.∠DBN=∠ABC-∠NBM=30° 23.【答案】（1)详见解析 (2)如图，点D即为所求. B 【解析】(1)解：如图， B 由网格可知，CN=FJ=AJ=DM=1,DN=BM=5, ∴△AFJ是等腰直角三角形， ∴.∠BAF=45°， .∠BAC=90°， 3/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·∠BAF= 2 ∠BAC,即AF平分∠BAC, ∴.点P到AB和AC距离相等， 在△BDM和△DCN中， BM=DN BMD=∠DNC DM=CN ∴.△BDM≌△DCN SAS, .'BD=CD. :点E为BC的中点 ∴.DE垂直平分BC, ∴.PB=PC: (2)解：由图可知，AB=BE=5, ,点F是AE的中点， .∠ABF=∠EBF,即BD平分∠ABC 24.【答案】(1)AD=CD;SAS(答案不唯一) (2)乙的方案可行 【解析】(1)解：添加AD=CD,理由， .BD⊥AC, .∠ADB=∠CDB=90°， 在△ADB和△CDB中， AD=CD ∠ADB=∠CDB=90° BD=BD ∴.△ADB≌△CDBSAS, .'.AB=BC, ∴测量BC的长即可； 或添加∠DAB=∠DCB,理由， 在△ADB和△CDB中， ∠DAB=∠DCB ∠ADB=∠CDB=90 BD=BD 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴△ADB≌△CDB AAS, ..AB=BC, ∴测量BC的长即可； 或添加∠ABD=∠CBD,理由， 在△ADB和△CDB中， ∠ABD=∠CBD BD=BD ∠ADB=∠CDB=90° ∴.△ADB≌△CDB ASA, .'.AB=BC, ∴测量BC的长即可. (2)解：AB⊥BD,DE⊥BD, ∴.∠ABC=∠EDC=90, 在△ABC和△EDC中， ∠ABC=∠EDC BC=CD ∠ACB=∠ECD ,△ABC≌△EDC ASA, ..AB=DE, 因此测量出ED的长度，即可得出池塘两端A、B的距离 故乙的方案可行. 25.【答案】(1)3 (2)6s 3)肖ABPM,△CNM全等时，a的值为或 【解析】(1)解：，边长为9cm的等边三角形ABC, .∠A=∠B=∠C=60°，AB=9cm, 如图1，PQ‖AC, 5/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 .∠B=∠BQP=∠BPQ=60°， △BPQ是等边三角形， .'BP=BQ, ,点P是AB上一动点，以每秒1C的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒， ∴.AP=tcm,则BP=9-tcm, .9-t=6, 解得：t=3, ∴.当t的值为3时，PQ‖AC, 故答案为：3： (2)解：①当点Q在边BC上时，如图2.1， 图2.1 此时△APQ不可能为等边三角形： ②当点Q在边AC上时，如图2.2， 图2.2 若△APQ为等边三角形，则AP=AQ, 由题意可知，AP=tcm,BC+CQ=2tcm, ..AQ=BC+AC-BC+CQ=9+9-2t=18-2tcm, 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即：18-2t=t, 解得：t=6, .当t=6时，△APQ为等边三角形： (3)解：AB=AC=10cm,点P是AB上一动点，以每秒1cm的速度从点A向点B移动，点P从A向B 运动到AB中点时静止， ∴AP=AB=5cm,点P运动的时间为t≤5s, ,BC=8cm,点M以每秒0.5cm的速度从点B向C运动， ∴.点M的运动时间为8÷0.5=16s: 1 由题意可知：BM=2tcm,CN=atcm, BP=10-t cm, CM=BC-BM=8-tcm 1 若△PBM≌△NCM,则PB=NC,BM=CM, 解得，t=8>5,此时点P在线段AB的中点处，处于静止， :.AP-BP->AB-5cm, 2 .5=8a, 解得：a= 8 若△PBM≌△MCN,则PB=MC,BM=CN, 10-t=8-2t, 2 解得，t=4<5,此时点P在未到线段AB的中点出，处于运动， 合44a 解得：a= 2 昏上：当△BPM,△CNM,a的值为或号 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了等边三角形、等腰三角形、以及全等三角形的综合运用，以 7/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 动点问题为背景，根据等边三角形、等腰三角形以及全等三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解，能 根据题目要求进行分类讨论是解题的关键。 26.【答案】(1)①A;②1<AD<9 (220 (3)AP=5 【解析】(1)解：.'AD=DE,BD=DC,∠ADB=∠EDC, ∴.△ADB≌△EDC SAS, .∴.CE=AB=8, .AC=10, .10-8<AE<10+8, ∴.2<2AD<18, .∴.1<AD<9 (2) B 解：如图，延长中线AD到F,使AD=DF,连接BF, .'AD=DF,BD=DC,∠ADC=∠FDB, ∴.△ADC≌△FDBSAS, ∴.AC=BF,∠F=∠CAF, ∴.BF‖AC, ∴.∠ABF+∠BAC=180°， ,∠BAN=∠CAM=90, .∠MAN+∠BAC=180°， ∴.∠MAN=∠ABF, .AC=AM, ∴.BF=AM 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..AB=AN, ∴.△AMN≌△BFA SAS, .SAAMN=S△BFA, :S△ABC=SAABD+S△ADC=S△ABD+SABDF=S△ABF, SAn=5c=CAE=×10×4=20. 2 (3) H-M <----G B ED 解：分别过点M,N作MH⊥AP,NG⊥AP, 则∠NAG+∠ANG=90°， .∠BAN=90°， ∴.∠BAE+∠NAG=90°， .∴.∠BAE=∠ANG, .AE⊥BC, ∴.∠AED=90°=∠NGA, .AN=AB, ∴.△ANG≌△BAE AAS, ∴.AE=NG,AG=BE, 同理可证：△AMH≌△CAE, ∴.AE=HM,EC=AH, ∴.MH=NG, .∠NGP=∠MHG=90°，∠HPM=∠NPG, ∴.△MHP≌△NGPAAS, ∴.PH=PG, 'BE=AG=AP-PG,EC=AH=AP+PH, 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BC=BE+EC=AP-PG+AP+PH=2AP=10, .∴.AP=5. 10/10