第十四章 全等三角形 强化训练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十四章全等三角形 一、单选题 1．如图所示，若图中的两个三角形全等，则 度数是（　　）． A．50° B．58° C．60° D．72° 2．如图，与相交于点E，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．已知图中的两个三角形全等，则等于（　　） A． B． C． D． 4．如图，沿所在直线向右平移得到，则下列结论中，不一定正确的是(　　) A． B． C． D． 5．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 6．如图，在中，分别延长，边上的中线，到，，使，，则下列说法：①；②；③；④四边形的面积是面积的倍．其中正确的个数是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在△ABC中，AC⊥BC，AE为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB=7cm，AC=3cm，则BD等于 （　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 8．如图，在 ， 上分别截取 ， ，使 ，再分别以点 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ，作射线 ， 就是 的角平分线．这是因为连结 ， ，可得到 ，根据全等三角形对应角相等，可得 ．在这个过程中，得到 的条件是（　　） A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS 9．如图，是的外角的平分线，交的延长线于点E，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 10．如图，、分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（　　） A．①③ B．①②③ C．②④ D．①②③④ 11．如图，直线，垂足为，点是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点是射线上的一个动点（不与点重合），连接，作的两个外角平分线交于点，在点在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为（　　） A． B． C． D． 12．已知△ABC，(1)如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°＋∠A；(2)如图②，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A；(3)如图③，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A.上述说法正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 13．如图，任意画一个的，再分别作的两角的角平分线和，、相交于点P，连接，有以下结论：①；②平分；③；④；⑤，其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 14．如图，在中，，平分，，，则点D到的距离为　 　． 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，一条线段PQ＝AB＝5，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，若以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC全等，则AP＝　 　． 16．如图，已知AB∥CF，点E为DF的中点，若AB＝9 cm，CF＝5 cm，则BD＝　 　cm. 17．如图，在中，平分，于点E，且，，，则的面积是　 　． 18．如图，已知，，点为平面内一点，于，过点作于点，点、点在上，连接、、，平分，平分，若，，则的度数为　 　． 19．如图，，于点，于点，点在线段上，若，，则的度数为，的长度为． 20．已知如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于M、N两点，∠BMF和∠DME的角平分线交点P，则MP与NP的位置关系是　 　． 21．如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，延长BA到点D，使AD=AO，连接DO，若BD=BC，∠ABC=54°，则∠BCA的度数为　 　°． 22．如图， ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的是　 　. ①CP平分∠ACF；②∠ABC＋2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP＋S△NCP. 23．如图，，E是上的点，过点E作，若，平分，，，则　 　． 24．如图所示，平分，，于点，，，那么的长度为　 　． 25．如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论①；②；③；④；⑤，正确的序号是　 　． 26．如图，∠DAB=∠EAC=65°，AB=AD，AC=AE，BE和CD相交于点O，AB和CD相交于P，AC和BE相交于F，则∠DOE的度数是　 　. 三、解答题 27．如图，，点在上，点在上，连接，平分，交于点H，过作，交于G点，若，求的度数． 28．如图，已知△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，求证△ABD≌△ACD 29．如图，点在同一条直线上，，，，说明的理由． 30．如图，在 中， 平分 交于 边的中点 ，过点 作 ， ，垂足分别为 ， .若 ，求 的长. 31．如图①，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F． （1）图①中∠AFE的度数为 　 　°． （2）如图②，在△ABC中，如果∠ACB是钝角，其余条件不变，试判断线段AE、CD装与AC之间的数量关系并说明理由． 32．如图，在中，，垂足为点，点在上，为的中点，连接并延长至点，使得，连接．请判断线段与线段的关系，并说明理由． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解： 两个三角形全等， ． 故答案为：A． 【分析】利用全等三角形的性质对应角相等，可以求出答案。 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】D 7．【答案】D 【解析】【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE=DE，再利用“HL”证明Rt△ACE和Rt△ADE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=AC，然后利用BD=AB-AD代入数据进行计算即可得解． 【解答】∵AC⊥BC，AE为∠BAC的平分线，DE⊥AB， ∴CE=DE， 在Rt△ACE和Rt△ADE中， AE＝AE CE＝DE ∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL)， ∴AC=AD， ∵AB=7cm，AC=3cm， ∴BD=AB-AD=AB-AC=7-3=4cm． 故选D． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图是解题的关键 8．【答案】D 【解析】【解答】解：由作图可知，OE=OD，CE=CD，OC=OC， ∴△COD≌△COE（SSS）， 故答案为：D． 【分析】由作图可知，OE=OD，CE=CD，OC=OC，再利用“SSS”即可证明三角形全等。 9．【答案】D 10．【答案】B 11．【答案】B 12．【答案】C 【解析】【解答】①.∵点P为∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，∴∠P=180°-（∠PBC+∠ACB）=∠A+90°，选项正确，符合题意； ②.当△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°时，结论不成立。 ③若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（180°+∠A）=90°-∠A，选项成立。 故答案为：C。 【分析】根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理进行证明得到答案即可。 13．【答案】C 14．【答案】 【解析】【解答】解：如图，过点作于， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴点到的距离为， 故答案为：． 【分析】过点作于，根据角平分线的定义可得，再根据边之间的关系即可求出答案. 15．【答案】3或4 16．【答案】4 【解析】【解答】解：∵AB∥CF， ∴∠A=∠ACF， 在△AED和△CEF中 ， ∴△AED≌△CEF（AAS）， ∴FC=AD=5cm， ∴BD=AB-AD=9-5=4（cm）. 故答案为：4. 【分析】根据二直线平行，内错角相等得出∠A=∠ACF，从而利用AAS判断出△AED≌△CEF，根据全等三角形的对应边相等得出FC=AD=5cm，从而根据BD=AB-AD即可算出答案. 17．【答案】18 18．【答案】 19．【答案】, 20．【答案】MP⊥NP 【解析】【解答】 解：∵AB∥CD， ∴∠BMN+∠DNM=180°， 又∵∠BMF和∠DME的角平分线交点P， ∴∠PMN=12∠BMN，∠PNM=12∠DNM， ∴∠PMN+∠PNM=90°， ∴∠P=90°，即PM⊥PN 故正确答案是：PM⊥PN 【分析】 根据平行线的性质以及角平分线的性质，即可得到∠P=90°，即可得到PM⊥PN. 21．【答案】42 【解析】【解答】解：∵△ABC三个内角的平分线交于点O， ∴∠ABO=∠CBO，∠BAO=∠CAO，∠BCO=∠ACO， ∵AD=A0， ∴∠D=∠AOD， ∴∠BAO=2∠D， 设∠D=α， 则∠BAO=2α，∠BAC=4α， 在△DBO与△CBO中， ∴△DBO≌△CBO， ∴∠BCO=∠D=α， ∴∠BCA=2α， ∴54+4α+2α=180， ∴α=21， ∴∠BCA=42°， 故答案为：42． 【分析】由△ABC三个内角的平分线得到角相等，关键等腰三角形的性质得到∠D=∠AOD，由外角的性质得到∠BAC=4∠D，由△DBO≌△CBO，得到∠BOC=∠D=α， ∠BCA=2α，根据三角形的内角和列方程求得． 22．【答案】①②③④ 【解析】【解答】解：①过点 作 于 ， 平分 ， ， ， ， ∵ 平分 ， ， ， ∴ ， ， 又∵ ， ， CP平分∠ACF，故①正确； ②∵ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ， ， 同理： ， ， ， ， ， ， ， ，②正确； ③∵ ， ， ∴ ， ， 平分 ， 平分 ， ， ， ， 即 ，③正确； ④由②可知 ， ， ， ， ，故④正确. 故答案为：①②③④. 【分析】过点P作PD⊥AC于D，由角平分线上的点到角两边的距离相等得PM=PN，PM=PD，推出PN=PD，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上判断出 CP平分∠ACF ，据此判断①；证△PAM≌△PAD，△PCD≌△PCN，得到∠APM=∠APD，∠CPD=∠CPN，推出∠MPN=2∠APC，利用四边形内角和为360°求出∠ABC+∠MPN的度数，据此判断②；由三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠MAP=∠ABP+∠APB，由角平分线的概念可得∠CAE=2∠PAM，∠ABC=2∠ABP，据此判断③；由全等三角形的面积相等得S△APD=S△APM，S△CPD=S△CPN，据此判断④. 23．【答案】 24．【答案】3 【解析】【解答】证明：如图，过C作的延长线于点F， ∵平分，∴， ∵，∴， 在和中， ， ∴（），∴， ∵，∴， ∴，∴， ∴， ∵cm，cm，∴，∴cm， ∴cm． 故答案为：3. 【分析】过C作，证得，得到，再由，根据全等的性质，得到，进而得到答案. 25．【答案】①②④⑤ 26．【答案】115° 【解析】【解答】∵∠DAB=∠EAC=65°， ∴∠DAB+∠BAC=∠BAC+∠EAC， ∴∠DAC=∠EAB， 在△ADC和△AEB中， ， ∴△ADC≌△AEB(SAS)， ∴∠E=∠ACD， 又∵∠AFE=∠OFC， ∴∠EAF=∠COF=65°， ∴∠DOE=115°. 故答案为：115°. 【分析】先利用"SAS"证出三角形全等，再利用全等三角形的性质：对应角相等进行转换即可。 27．【答案】 28．答案】 证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD（SAS）. 【解析】【分析】因为AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD为公用，则利用边角边定理即可证明△ABD≌△ACD. 29．【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴即， 在和中， ， ∴． 【解析】【分析】先求出，再利用“AAS”证明即可。 30．【答案】解：∵ 平分 ， ， ， ∴ ， . ∵点 为 的中点，∴ ， 在 和 中， ， ∴ . ∴ 【解析】【分析】根据题意，可利用中点的性质，利用直角三角形的HL定理判断出两个直角三角形全等， 得出CF的长度。 31．【答案】（1）120 （2）解：结论：AC＝AE+CD． 理由：如图②，在AC上截取AG＝AE， 在△EAF和△GAF中， ， △EAF≌△GAF（SAS）， ∴∠EFA＝∠GFA． 又∵∠FAC＝ ∠BAC，∠FCA＝ ∠ACB， ∴∠FAC+∠FCA＝ （∠BAC+∠ACB）＝ （180°-∠B）＝60°， ∴∠AFC＝180°-（∠FAC+∠FCA）＝120°， ∴∠EFA＝∠GFA＝180°-120°＝60°＝∠DFC， ∴∠CFG＝∠CFD＝60°， 同理可证△FDC≌△FGC（ASA）， ∴CD＝CG， ∴AC＝AG+CG＝AE+CD． 【解析】【解答】解：（1）因为∠ACB=90°，∠B=60°，所以∠BAC=30°， 因为AD和CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线， 所以∠FAC=15°，∠FCA=45° 所以∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）=180°-60°=120°； （2）结论：AC＝AE+CD． 理由：如图②，在AC上截取AG＝AE， 在△EAF和△GAF中， ， △EAF≌△GAF（SAS）， ∴∠EFA＝∠GFA． 又∵∠FAC＝ ∠BAC，∠FCA＝ ∠ACB， ∴∠FAC+∠FCA＝ （∠BAC+∠ACB）＝ （180°-∠B）＝60°， ∴∠AFC＝180°-（∠FAC+∠FCA）＝120°， ∴∠EFA＝∠GFA＝180°-120°＝60°＝∠DFC， ∴∠CFG＝∠CFD＝60°， 同理可证△FDC≌△FGC（ASA）， ∴CD＝CG， ∴AC＝AG+CG＝AE+CD． 【分析】（1）根据角平分线的性质，求出∠FAC=∠FAE即可； （2）在AC上截取AG=AE，根据全等三角形的判定定理证 △EAF≌△GAF ，继而得到 ∠EFA＝∠GFA ，最后证明 △FDC≌△FGC ，得到CD=CG即可。 32．【答案】解：且，理由如下： ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ∵为中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴且． 【解析】【分析】利用全等三角形的判定与性质证明即可。 学科网（北京）股份有限公司 $