第十四章 全等三角形章节核心题型突破（提升篇，3大题型，专项训练）数学新教材人教版八年级上册

第十四章 全等三角形章节核心题型突破（提升篇） 目 录 题型01 多结论问题（判断正确结论个数） 题型02 旋转型全等（手拉手／共顶点等线段） 题型03 截长补短构造全等（线段和差） 题型01　多结论问题（判断正确结论个数） 难度层级：拓展　|　知识点：全等三角形综合问题 1．D 2．B 3．ABD 4．D 5．B 6．（1）证明见解析；（2）①②③；（3）证明见解析． 题型02　旋转型全等（手拉手／共顶点等线段） 难度层级：拓展　|　知识点：旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 1．（1）AAS；（2）50； （3）8； （4）如图4中， ∵，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． （5）5 2．（1）45° （2）见解析 （3）4 3．（1）答案见试题解析；（2）①答案见试题解析；②不成立，2CM-BE=AE． 4．（1）60°；（2）180°-α，理由见解析；（3）140° 5．（1）证明见解析；（2）PE=PF，证明见解析． 题型03　截长补短构造全等（线段和差） 难度层级：拓展　|　知识点：证一条线段等于两条线段和差(全等三角形的辅助线问题) 1．；；；；；；变式应用：．理由如下： 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（1）见解析 （2） （3）见解析 3．（1）证明：由题意可得，∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2），理由如下：由（1）可得， ∴，， ∴； （3）解：，理由如下：由题意可得， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴, ∴，， ∴． 4．（1）5.8；（2）4.3 5．（1）①证明：∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°， ∴∠BAD＝∠ABC＝45°，∴AD＝BD， ∵∠BEC＝90°， ∴∠CBE+∠C＝90° 又∵∠DAC+∠C＝90°， ∴∠CBE＝∠DAC， ∵∠FDB＝∠CDA＝90°， ∴△FDB≌△CDA（ASA） ②∵FDB≌△CDA， ∴DF＝DC； ∵GFBC， ∴∠AGF＝∠ABC＝45°， ∴∠AGF＝∠BAD， ∴FA＝FG， ∴FG+DC＝FA+DF＝AD． （2）FG＝DC+AD，理由：∵∠ABC＝135°， ∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形， ∴BD＝AD，FG＝AF＝AD+DF， ∵∠FAE+∠DFB＝∠FAE+∠DCA＝90°， ∴∠DFB＝∠DCA， 又∵∠FDB＝∠CDA＝90°，BD＝AD， ∴△BDF≌△ADC（AAS）， ∴DF＝DC， ∴FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十四章全等三角形章节核心题型突破（提升篇） 目录 题型01多结论问题（判断正确结论个数） 题型02旋转型全等（手拉手/共顶点等线段） 题型03截长补短构造全等（线段和差） 题型01多结论问题（判断正确结论个数） 难度层级：拓展「知识点：全等三角形综合问题 1.如图，AB=AC,BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别为E,F,CF与BE交于点D,有下列结论：① △ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE:③点D在∠BAC的平分线上：④AB=AF+EC.其中所有 正确结论的序号是() A.①② C.①②③ B.②③ D.①②③④ 2.如图，在等边△ABC中，点D为线段BC上一点（不含端点），AP平分∠BAD交BC于点E,PC与AD 的延长线交于点F,连接EF,且∠PEF=∠AED,以下结论： ①EB=EF; ②△ABE≌△CPE; ③△AFC是等腰三角形； ④连结PB,∠BPF=120°： ⑤AP=PF+PC.其中正确的有() 1/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.①③④ C.①④⑤ B.①③④⑤ D.①②③④ 3.如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N,且A、C、B在同一 直线上，有如下结论：其中正确的结论有() E ①△ACE2△DCB;②CM=CN;③AC=DN;④∠APD=60° A.① C.③ B.② D.④ 4.如图，点E是AC上的一点，若Rt△ABC≌Rt△DEA,给出以下结论：①AB=AD:②∠BAD=90°： ③BC+CE=AD:④BC‖DE.其中正确的是()· A.①② C.②④ B.③④ D.②③ 5.如图，△ABC中，BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E.给出下面四个结论： 2/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B ①AB·CE=AC·BD:②∠A=∠OBC+∠OCB; ③若AE=CD,则△AEC≌△CDB:④若BD=CE,则∠BCE=号∠BAC. 上述结论中，所有正确结论的序号是() A.①②③ C.①③④ B.①②④ D.②③④ 6.(1)如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、CD三点共线，连接AD、BE相交于点P,求证： AD=BE (2)如图2，在△BCD中，∠BCD<120°，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边△ABC、等边 △CDE和等边△BDF,连接AD、BE和CF交于点P,下列结论中正确的是 (只填序号即可) ①AD=BE=CF:②∠BEC=∠ADC;③∠DPE=LEPC=∠CPA=60o; (3)如图2，在(2)的条件下，求证：PB+PC+PD=BE. 题型02旋转型全等（手拉手/共顶点等线段） 难度层级：拓展「知识点：旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 1.综合与实践 (1)观察理解：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线过点C,点A、B在直线l同侧， BD⊥I,AE⊥I,垂足分别为D、E,由此可得：∠AEC=∠CDB=90°，所以 ∠CAE+∠ACE=90°，又因为∠ACB=90°，所以∠BCD+∠ACE=90°；所以∠CAE=∠BCD, 又因为AC=BC,所以△AEC兰△CDB();(请填写全等判定的方法) 3/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)理解应用：如图2，AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,利用(1)中结论，请按照图中 所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S=一： (3)类比探究：如图3，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至 AB,连接BC,求△ABC的面积 (4)拓展提升：如图4，点B,C在∠MAN的边AM,AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上， ∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角，已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC,求证：CF+EF=BE (5)拓展应用：如图5，在△ABC中，AB=AC,AB>BC,点D在边BC上，CD=2BD,点E、F 在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC,若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为· D 61 14 31 C G 图1 图2 B M B 2 F D 2 B 图3 图4 图5 2.己知点A0,4、B-4,0分别为平面直角坐标中y、x轴上一点，将线段OA绕O点顺时针旋转至OC,连 接AC、BC. B 图1 4/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D C 图2 E 图3 (1)如图1，求∠ACB的度数： (2)若∠AOC=60°，∠AOB的平分线OD交BC于D,如图2，求证：OD+BD=CD; (3)若∠AOC-30°，过A作AE⊥AC交BC于E,如图3，求BE的长为. 3.(I)如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE.求证：AD=BE. C B (2)如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°， 点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE边DE上的高，连接BE.①求证：2CM+BE=AE;②若将图2 中的△DCE绕点C旋转至图3所示位置，①中的结论还成立吗？若不成立，写出它们之间的数量关系. M M D B 图2 图3 4.己知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE,且CA=CD,CB =CE,∠ACD=∠BCE,直线AE与BD交于点F 5/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图2 (1)如图1，若∠ACD=60°，则∠AFD= (2)如图2，若∠ACD=,则∠AFB= (用含α的式子表示)，并说明理由。 (3)将图1中的△ACD绕点C顺时针旋转如图3，连接AE、AB、BD,∠ABD=80°，求∠EAB的度数： 5.已知：∠AOB=90°，OC平分∠AOB,点P在OC上. (1)如图①，把三角尺的直角顶点放在点P处，三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F. 求证：PE=PF; (2)若将三角尺绕点P按逆时针方向旋转至如图②所示的位置，三角尺的两条直角边分别与OA的反向 延长线、OB相交于点E、F.试问PE与P℉是否仍然相等？若相等，给出证明：若不相等，说明理由. 619 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ① ② 题型03截长补短构造全等 (线段和差) 难度层级：拓展「知识点：证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 1.阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠B=2∠C.求证： AB+BD=AC. 李老师给出了如下简要分析：要证AB+BD=AC就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法'，如图2， 在AC上截取AE=AB,连接DE,只要证BD= 即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线 段相等问题，只要证出△ 2△ 得出∠B=∠AED及BD= ， 再证出 进而得出ED=EC,则结论成立 B B D D (图1) (图2) 请仿照上题方法解决以下问题： 变式应用：如图，△ABC和△BDC是等腰三角形，且AB=AC,BD=DC,∠BAC=70°， ∠BDC=110°，以A为顶点作一个35°角，角的两边分别交边CD,DB延长线于点E、F,连接EF, 则BE,EF,FC之间存在什么样的关系？并说明理由， 7/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A E B D F 2.如图，C是线段AB上一点，且△ACD和△BCE都是等边三角形，连接AE,BD相交于点O,AE,BD分别 交CD,CE于M,N,连接MN,OC, (1)求证：△ACE≌△DCB (2)求：∠EOB的度数 (3)求证：OE+OC=OB 3.已知，△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°，一直线过顶点C,过A,B分别作其垂线，垂足分别为E, F. 图1 图2 (1)如图1，证明△ACE≌△CBF (2)如图1，请写出EF,AE,BF之间的数量关系并说明理由： (3)其他条件不变的前提下如图2，写出EF,AE,BF之间的数量关系并说明理由. 8/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.阅读下面材料： 【原题呈现】如图1，在△ABC中，∠A=2∠B,CD平分∠ACB,AD=2.2,AC=3.6,求BC的长. 【思考引导】因为CD平分∠ACB,所以可在BC边上取点E,使EC=AC,连接DE.这样很容易得到△ DEC≌△DAC,经过推理能使问题得到解决（如图2）· 【问题解答】(1)参考提示的方法，解答原题呈现中的问题： (2)拓展提升：如图3，已知△ABC中，AB=AC,∠A=20°，BD平分∠ABC,BD=2.3,BC=2.求 AD的长. D B 图1 图2 图3 5.己知△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F,过点F作FG‖BC,交直线AB于点G. B (1)如图，若△ABC为锐角三角形，∠ABC=45°， 求证：①△BDF≌△ADC,②FG+DC=AD (2)如图，当∠ABC为135时，写出FG,DC,AD之间的等量关系，说明相应理由. 9/9可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十四章全等三角形章节核心题型突破（提升篇） 目录 题型01多结论问题（判断正确结论个数） 题型02旋转型全等（手拉手/共顶点等线段） 题型03截长补短构造全等（线段和差） 题型01多结论问题（判断正确结论个数） 难度层级：拓展「知识点：全等三角形综合问题 1.如图，AB=AC,BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别为E,F,CF与BE交于点D,有下列结论：① △ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE:③点D在∠BAC的平分线上：④AB=AF+EC.其中所有 正确结论的序号是() A.①② C.①②③ B.②③ D.①②③④ 【答案】D 【分析】根据垂直的定义得到∠AFC=∠AEB=90°，根据三角形的内角和得到∠B=∠C,由全等三 角形的判定定理得到△ABE≌△ACF ASA,故①选项正确，由AE=AF,AC=AB,得BF=CE, 于是得到AB=AF+BF=AF+CE,选项④正确；同时可证明△BDF≌△CDE ASA,选项②正确， 根据全等三角形的性质得到AE=AF,AC=AB,BF=CE 则AB=AF+BF=AF+CE,选项④正确连接AD,证得Rt△AFD≌Rt△AED HL,根据全等三角 形的性质得到∠DAF=∠DAE,即点D在∠BAC的平分线上，选项③正确， 【详解】解：：AB=AC,BE⊥AC,CF⊥AB, ∴.∠AFC=∠AEB=90°， 在Rt△AEB中，∠B=90°-∠A,在Rt△AFC中∠C=90°-∠A, 1/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .B=∠C 在△ABE和△ACF中， ∠A=∠A AB=AC, ∠B=∠C ∴△ABE≌△ACF ASA,故①选项正确： .∴.AE=AF, .AC=AB, 得BF=CE, ,∴.AB=AF+BF=AF+CE,选项④正确： 在△BDF和△CDE中， ∠BFD=∠CED=90° BF=CE ∠B=∠C ∴·△BDF≌△CDE AS A,选项②正确： 连接AD, 在Rt△AFD和Rt△AED中， AE-AF AD=AD ∴.Rt△AFD≌Rt△AED|HL, .∴.∠DAF=∠DAE,即点D在∠BAC的平分线上，选项③正确： 故正确的为①②③④. 2.如图，在等边△ABC中，点D为线段BC上一点（不含端点），AP平分∠BAD交BC于点E,PC与AD 的延长线交于点F,连接EF,且∠PEF=∠AED,以下结论： ①EB=EF; ②△ABE≌△CPE; ③△AFC是等腰三角形： ④连结PB,∠BPF=120°： 2/29 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ⑤AP=PF+PC.其中正确的有() D A.①③④ C.①④⑤ B.①③④⑤ D.①②③④ 【答案】B 【分析】通过证明△BAE2△FAEASA,即可判断①：根据等边三角形的性质可得∠ACE=60°， ∠CAE≠60°，则AE≠CE,即可判断②：根据△BAE2△FAE ASA可得AB=AF,再根据等边三 角形的性质可得AB=AC,即可判断③；设∠BAE=∠FAE=X,则∠FAC=60°-2X,根据等腰三角 形的性质可得∠AFC=∠ACF=1180°-60°-2x=60©+x,根据三角形外角定理可得 ∠AFC=∠APF+∠FAE=∠APF+X,求出x,即可判断④；延长CP到点M,使PM=PF,连接 BM,通过证明△ABP≌△CBM SAS即可判断⑤. 【详解】解：①：∠PEF=∠AED, ∴，∠PEF+∠DEF=∠AED+∠DEF,即∠PED=∠AEF, ,∠PED=∠AEB, .∠AEF=∠AEB, :AP平分∠BAD, ∠BAE=∠FAE, 在△BAE和△FAE中， ∠AEF=∠AEB AE=AE, ∠BAE=∠FAE ∴.△BAE≌△FAE ASA ∴EB=EF, 故①正确： ②，△ABC为等边三角形， .∠ACE=60°， ,∠CAE≠60°， .AE≠CE, 3/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△ABE和△CPE不全等， 故②不正确： ③由①可得△BAE≌△FAE, ∴.AB=AF, ,△ABC为等边三角形， ..AB=AC, ∴AF=AC .△AFC是等腰三角形： 故③正确： ④设∠BAE=∠FAE=X,则∠FAC=60°-2X, 由③可得△AFC是等腰三角形： ÷∠AFC=∠ACF=号|180-60-2x=60+x, ,∠AFC=∠APF+∠FAE=∠APF+X, ∴.∠APF+X=60°+X,则∠APF=60°， 在△APB和△APF中， AP=AP ∠BAP=∠FAP, AB=AF .△APB≌△APFSAS, ∴∠BPA=∠APF=60°， .∠BPF=120°， 故④正确： ⑤延长CP到点M,使PM=PF,连接BM, :△APB≌△APF, .PF=PB, ..PM=PB, ,∠BPF=120°， ∴.∠BPM=60°， 4/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△BPM是等边三角形， ∴.BP=BM,∠CBM=∠CBP+∠MBP=∠CBP+60°， ,∠ABP=∠CBP+∠ABC=∠CBP+60°， ∴.∠ABP=∠CBM, 在△ABP和△CBM中， AB=BC ∠ABP=∠CBM, BP=BM .△ABP≌△CBM SAS, .AP=CM=PM+CP=PF+CP, 故⑤正确： 综上：正确的有：①③④⑤， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形全等的性质和判定，解 题的关键是熟练掌握相关知识并灵活运用，通过三角形的全等得出对应角相等，对应边相等。 3.如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N,且A、C、B在同一 直线上，有如下结论：其中正确的结论有() ①△ACE≌△DCB:②CM=CN;③AC=DN;④∠APD=60° A.① C.③ B.② D.④ 【答案】ABD 5/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，根据等边 三角形的性质得到∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC,EC=BC,再证明∠ACE=∠DCB=120°， 即可证明△ACE≌△DCB SAS,据此可判断①：由全等三角形的性质得到∠CAM=∠CDN,进而 证明△ACM≌△DCN ASA,得到CM=CN,DN=AM,据此可判断②③：由全等三角形的性质得 到∠AEC=∠DBC,由三角形外角的性质得到∠EAC+∠AEC=∠ECB=60°， ∠APD=∠PAC+∠ABP=∠EAC+∠AEC=60°，据此可判断④. 【详解】解：，'△DAC和△EBC均是等边三角形， .∴.∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC,EC=BC, .∴.∠ACE=∠DCB=180°-60°=120°， 在△ACE和△DCB中， AC=DC ∠ACE=∠DCB, CB=CE ∴△ACE≌△DCB SAS,故①正确： ∴.∠CAM=∠CDN, 在△ACM和△DCN中， ∠CAM=∠CDN AC=DC ∠ACM=∠DCN=60° .∴.△ACM≌△DCN ASA, .∴.CM=CN,DN=AM,故②正确： 在△AMC中，AC>AM, .∴.AC≠DN=AM,故③错误： ,△ACE≌△DCB, .∴.∠AEC=∠DBC, ,∠ECB=60°， .∴.∠EAC+∠AEC=∠ECB=60°， .∴.∠APD=∠PAC+∠ABP=∠EAC+∠AEC=60°，故④正确. 6/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：ABD, 4.如图，点E是AC上的一点，若Rt△ABC≌Rt△DEA,给出以下结论：①AB=AD:②∠BAD=90°； ③BC+CE=AD;④BCDE.其中正确的是()· A.①② C.②④ B.③④ D.②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、平行线的判定，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键. 根据全等三角形的性质逐一判断即可， 【详解】解：.'Rt△ABC≌Rt△DEA, ∴.AB=DE,故①错误；BC=EA,AC=AD,∠ABC=∠DEA=90°，∠BAC=∠EDA, ∠C=∠EAD, ∴.∠BAD=∠BAC+∠EAD=90°，故②正确： 又.AE+CE=AC, .∴.BC+CE=AD,故③正确： .∠ABC=∠DEA=∠DEC=90°， ∴.∠C<∠ABC ∴.∠C≠∠DEC,即内错角不相等， .∴.BC与DE不平行，故④错误： 故选：D 5.如图，△ABC中，BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E.给出下面四个结论： ①AB·CE=AC·BD:②∠A=∠OBC+∠OCB: 7/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③若AE=CD,则△AEC≌△CDB;④若BD=CE,则∠BCE= 1∠BAC. 上述结论中，所有正确结论的序号是() A.①②③ C.①③④ B.①②④ D.②③④ 【答案】B 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的定义，根据题意，利用三角形等面积法 判断①：根据三角形外角的定义判断②：根据全等三角形的判定和性质判断是哪；根据三角形外角的定 义判断④，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键. 【详解】解：①，BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E 5号AB:GE=号AC~BD,即AB-CE=AG~BD.枚①正确： ②，BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E ∴.∠A+∠ACE=90°，∠COD+∠ACE=90°， ∴.∠A=∠COD, ,∠OCD=∠OBC+∠OCB, ∴.∠A=∠OBC+∠OCB,故②正确： ③AE=CD,∠AEC=∠CDB=90°，只有两个条件，无法证明△AEC≌△CDB,故③错误： ④：BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E. ∴.∠BEC=∠CDB=90°， BD=CE,BC=CB, ∴△BCE≌△CBD(HL), ∴.∠OBC=∠OCB, 由②得：∠A=∠OBC+∠OCB, :∠BCE=号∠BAC,故④正确， 综上可得：①②④正确， 故选：B. 6.(I)如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、CD三点共线，连接AD、BE相交于点P,求证： AD=BE (2)如图2，在△BCD中，∠BCD<120·,分别以BCCD和BD为边在△BCD外部作等边△ABC、等边 △CDE和等边△BDF,连接AD、BE和CF交于点P,下列结论中正确的是 (只填序号即可) ①AD=BE=CF:②LBEC=∠ADC;③∠DPE=LEPC=∠CPA=60; 8/29 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图2，在(2)的条件下，求证：PB+PC+PD=BE. 【答案】(1)证明见解析；(2)①②③；(3)证明见解析. 【详解】试题分析：(1)根据等边三角形的性质得出BC-AC,CE-CD,∠ACB=∠DCE60°，求出 ∠BCE=∠ACD,证出△BCE≌△ACD即可；(2)求出BC=AC,CE-CD,∠ACB=∠DCE-60°， ∠BCE=∠ACD,证△BCE≌△ACD,推出BE=AD,∠BEC=∠ADC,同理△FDC≌△BDE,推出 BE=CF,BE=AD=CF,根据△BCE≌△ACD∠CEP=∠CDA,求出 ∠DEP+∠CEP=∠CED=60=∠CDP+∠DEP,即可求出∠DPE=60°，同理求出∠EPC=∠CPA=60°； (3)在PE上截取PM=PC,连接CM,求出∠1=∠2，求出△CPM是等边三角形，推出CP=CM, ∠PMC=60°，证△CPD≌△CME,推出PD=ME即可. 试题解析：(1)，△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴.BC=AC,CE=CD,∠ACB=∠DCE-60°， ∴∠BCE=∠ACD, 在△BCE和△ACD中 BC=AC {∠BCE=∠ACD.∴△BCE≌△ACD(SAS) CE=CD ∴BE=AD: (2)①②③都正确， 理由是：，'△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴.BC=AC,CE=CD,∠ACB=∠DCE=60°， .∠BCE=∠ACD, 在△BCE和△ACD中 BC=AC {∠BCE=∠ACD.∴△BCE≌△ACD(SAS) CE=CD .∴BE=AD,∠BEC=∠ADC,∴.②正确： 同理△FDC≌△BDE, .'.BE=CF, ∴BE=AD=CF,∴，①正确： .△BCE≌△ACD, 9/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠CEP=∠CDA, .∠CED=∠CDE-60°， ∴.∠DEP+∠CEP=∠CED=6O=∠CDP+∠DEP, ∴.∠DPE=180°-60°-60°=60°， 同理∠EPC∠CPA=60°，即∠DPE=∠EPC∠CPA=60°，∴.③正确： (3)在PE上截取PM=PC,连接CM, 由(1)可知，△BCE≌△ACD(SAS) .∴.∠1=∠2 设CD与BE交于点G,在△CGE和△PGD中， ,∠1=∠2，∠CGE=LPGD, ∴.∠DPG=∠ECG=60°， 同理∠CPE-60°， ∴.△CPM是等边三角形， ∴.CP-CM,∠PMC-=60° ∴.∠CPD=∠CME=120°. :∠1=∠2， ∴.△CPD≌△CME(AAS), ∴PD=ME, ..BE-PB+PM+ME-PB+PC+PD, 即PB+PC+PD=BE. 考点：1.全等三角形的判定与性质；2.等边三角形的性质. 题型02 旋转型全等（手拉手/共顶点等线段） 难度层级：拓展「知识，点：旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 1.综合与实践 (1)观察理解：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线l过点C,点A、B在直线l同侧， BD⊥l,AE⊥l,垂足分别为D、E,由此可得：∠AEC=∠CDB=90°，所以 ∠CAE+∠ACE=90°，又因为∠ACB=90°，所以∠BCD+∠ACE=90°：所以∠CAE=∠BCD, 10/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又因为AC=BC,所以△AEC≈△CDB();(请填写全等判定的方法) (2)理解应用：如图2，AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,利用(1)中结论，请按照图 中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S=: (3)类比探究：如图3，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至 AB,连接BC,求△ABC的面积 (4)拓展提升：如图4，点B,C在∠MAN的边AM,AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上， ∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角，己知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC,求证：CF+EF=BE (5)拓展应用：如图5，在△ABC中，AB=AC,AB>BC,点D在边BC上，CD=2BD,点E、F 在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC,若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为 9么 【答案】(1)AAS;(2)50: (3)8: (4)如图4中， B D ,∠1=∠2=∠BAC,∠1=∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF, ∠2=∠FCA+∠CAF, ∴.∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠FCA, 在△ABE和△CAF中， ∠ABE=∠CAF AB=AC ∠BAE=∠ACF ∴.△ABE≌△CAF ASA, .∴.BE=AF,CF=AE ∴.CF+EF=AE+EF=AF=BE (5)5 11/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)根据AAS证明△AEC≌△CDB: (2)利用(1)中的结论，△EFA≌△AGB,△BGC≌△CHD,利用面积差求S的值： (3)如图3，过B作BE⊥AC于E,证明△AEB'≌△BCA,得AC-BE-4,根据面积公式可得结论： (4)根据ASA证明△ABE兰△CAF,即可解答： (5)根据△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和，即可解答. 【详解】解：(1)如图1中， ,AE⊥DE,BD⊥DE ∴.∠AEC=∠CDB=90°， ∴.∠CAE+∠ACE=90°， 又，∠ACB=90°， ∴.∠BCD+∠ACE=90°， ,∠CAE=∠BCD, 在△AEC和△CDB中， ∠CAE=∠BCD AEC=ㄥCDB.∴.△AEC≌△CDBAAS AC=CB 故答案为：AAS. (2)如图2中， ,AE=AB,∠EAB=90°，BC=CD,∠BCD=90°， 由(1)得：△EFA≌△AGB,△BGC≌△CHD, ..AG=EF=6,AF=BG=3,CG=DH=4,CH=BG=3, .S=S带形EFHD-2S△AEr-2S△CHD -=4+6j×16-2××6×3-2××4×3=80-18-12=50散答案为50 12/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图3，过点B作BE⊥AC于E, 由旋转得：AB=AB, ,'∠BAB=90°， 由(1)可知△AEB≌△BCA, ..AC=B E=4, S。6AC-BE=×4×4=8 (4)略 (5)如图5中， E D 6 B 31 F A G ,△ABC的面积为15，CD=2BD, △ABD的面积是： *15=5. 由图4中证出△ABE≌△CAF, ∴.△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和， 即△ABD等于的面积是5， 【点睛】此题考查了旋转的性质，三角形全等的性质和判定，解题关键在于熟练掌握判定定理，证明三 角形全等. 2.己知点A0,4、B-4,0分别为平面直角坐标中y、x轴上一点，将线段OA绕O点顺时针旋转至OC,连 接AC、BC. 13/29 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 0 图1 XN C 图2 E 3 (1)如图1，求∠ACB的度数； (2)若∠AOC=60°，∠AOB的平分线OD交BC于D,如图2，求证：OD+BD=CD: (3)若∠AOC=30°，过A作AE⊥AC交BC于E,如图3，求BE的长为. 【答案】(1)45°(2)见解析(3)4 【分析】(1)由旋转的性质得出CO=OB=OA,设∠AOC=2a,由等腰三角形的性质得出∠OAC= ∠OCA=90°-u,可得出答案： (2)在BC上取点H,使∠COH=45°，证明△DOH为等边三角形，由等边三角形的性质得出OD=OH =DH,证明△BOD≌△COH(SAS),由全等三角形的性质得出BD=CH,则可得出结论： (3)过点C作CN⊥AO于点N,过点E作EMLAO于点M,连接OE,证明△AEM≌△CAN(AAS), 由全等三角形的性质得出AM=CN,由等腰三角形的性质证出∠BOE=∠BEO,则可得出答案. 【小问详解】(1)小问详解：解：，A(0,4)、B(-4,0), ∴.0A=OB=4, ',将线段OA绕O点顺时针旋转至OC, ∴.CO=OB=OA, 设∠A0C=2a, ,∠B0C=90°+2a, 14/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠OBC=∠OCB=45°-u, ∠A0C=2a, ∴.∠OAC=∠OCA=90°-a, ∴.∠ACB=∠OCA-∠OCB=45°： 【小问详解】(2)小问详解：如图2，在BC上取点H,使∠C0H=45°， A D H B 0 ,OD∠ AOB,∠AOB=90°， .∴.∠BOD=∠AOD=45°， :∠AOC=60°， .∴.∠B0C=150°， .OB=OC, ∴.∠OBC=∠0CB=15°， ∴.∠D0H=∠B0C-∠B0D-∠C0H=150°-45-45°=60°， ∠ODH=∠CB0∠BOD=15°+45°=60°， ∴∠DH0=60°， ∴，△DOH为等边三角形， ∴OD=OH=DH, ∴.△BOD≌△COH(SAS), ∴BD=CH, '.OD十BD=DH+CH=CD: 【小问详解】(3)小问详解：过点C作CN⊥AO于点N,过点E作EM⊥AO于点M,连接OE, E 由(1)得∠ACB=45°， ,AE⊥AC, ∴△AEC为等腰直角三角形， ..AC=AE, 15/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠ACN+∠NAC=∠EAM+∠NAC=90°， ∴.∠ACN=∠EAM, ,∠ANC=∠AME=90°， ∴.△AEM≌△CAN(AAS), ∴AM=CN, .OB=OA=OC=4,∠A0C=30°， 1 CN=200=2, ∴.AM=2, ∴M为OA的中点， ,EM⊥AO, .∴.AE=E0, ∠AOB=90°，∠A0C=30°， .∴.∠B0C=120°， ∴.∠CB0=∠OCB=30°， ∴.∠OAC=∠OCA=75°， ∴.∠EAO=∠E0A=15°， .∴.∠B0E=75°， ∴.∠BE0=180°-∠CB0-∠B0E=180°-30°-75°=75°， .∴∠BOE=∠BEO, ∴BE=B0=4. 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定与性质，角平分线的性质，旋转的性质，等 腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练 掌握等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键， 3.(1)如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE.求证：AD=BE. (2)如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM 为△DCE边DE上的高，连接BE. ①求证：2CM+BE=AE: 16/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②若将图2中的△DCE绕点C旋转至图3所示位置，①中的结论还成立吗？若不成立，写出它们之间的数量 关系。 图2 图3 【答案】(1)答案见试题解析；(2)①答案见试题解析：②不成立，2CMBE=AE, 【分析】(1)由全等三角形的判定方法，判断出△CAD≌△CBE,即可判断出ADBE (2)①由△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，得到CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°，从而有 ∠ACD=∠BCE,得到△ACD≌△BCE,有AD=BE,由CD=CE,CM⊥DE,得到DM=ME.由 ∠DCE=90°，得到DM=ME-CM,故DE=2CM,从而得到结论； ②由“SAS”可证△ACD≌△BCE,得出AD=BE,由等腰三角形的性质可得DM=ME-CM,由线段的数量 关系可得结论， 【详解】解：(1)证明：，∠ACB=∠DCE-90°， ∴.∠ACD=∠BCE, △ACB和△DCE均为等边三角形三角形， ∴，AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACD=∠BCE, 在△CAD和△CBE中， ,AC-BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE, ∴.△CAD≌△CBE, ∴AD=BE (2)①证明：，'△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， ∴.CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE-90°， ∴.∠ACD=∠BCE,在△ACD和△BCE中， '.'CA=CB,∠ACD=∠BCE,CD=CE, ∴.△ACD≌△BCE, ∴ADBE, 'CD=CE,CM⊥DE, ..DM=ME ∠DCE=90°， .∴.DM=ME=CM, 17/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.DE=2CM, 点A,D,E在同一直线上， ∴DE+AD=AE, .∴.2CM+BE=AE: ②结论不成立，AE-2CM-BE, 理由如下：，'△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， ∴.CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE-90° ∴.∠ACD=∠BCE.且CA=CB,CD=CE, ∴.△ACD≌△BCE(SAS). ∴.ADBE, ',CD=CE,CM⊥DE,∠DCE-90°， ..DM-ME-CM ∴.AE=DE-AD=2CM-BE. 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质和等腰三角形的判定与性质以及等腰 三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键。 4.己知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE,且CA=CD,CB =CE,∠ACD=∠BCE,直线AE与BD交于点F 图 (I)如图1，若∠ACD=60°，则∠AFD= (2)如图2，若∠ACD=a,则∠AFB= (用含α的式子表示)，并说明理由。 18/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)将图1中的△ACD绕点C顺时针旋转如图3，连接AE、AB、BD,∠ABD=80°，求∠EAB的度数. 【答案】(1)60°；(2)180°-u,理由见解析：(3)140° 【分析】(1)求出∠ACE=∠DCB,证出△ACE≌△DCB,根据全等性质得出∠EAC=∠BDC,再根据三角 形内角和定理求出即可；(2)证出△ACE≌△DCB,根据全等性质得出∠EAC∠BDC,再根据三角形内 角和定理求出∠AFD=α，再由补角性质求出∠AFB的度数；(3)由四边形内角和定理得出 ∠CAB+∠CDB=220°，再证出△ACE≌△DCB,根据全等三角形的性质得出∠CAE=∠CDB,再由周角性质 求解 【详解】解：(1)∠AFD=60°，理由如下：如图1，设CD与AE交于点O, ','CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE, ∴.∠ACE=∠DCB, ∴.△ACE≌△DCB ∴.∠EAC=∠BDC, .∠DOF=∠AOC,∠DOF+∠BDC+∠AFD=∠AOC+∠EAC+∠ACD, ∴.∠AFD=∠ACD=60°， 即∠AFD=60°： (2)∠AFB=180°-a,理由如下： 如图2，设CD与AE交于点O, '.CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE=O, ∴.∠ACE=∠DCB, ∴.△ACE≌△DCB ∴.∠EAC=∠BDC, ,'∠DOF=∠AOC,∠DOF+∠BDC+∠AFD=∠AOC+∠EAC+∠ACD ∴.AFD=∠ACD=O, 即∠AFD=: ∴.∠AFB=180°-u 19/29 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3),△ACD是等边三角形， ∴.∠ACD=60°， ∠ABD=80°， ∴.∠CAB+∠CDB=360°-60°-80°=220°， ,∠ACD=∠BCE, ∴∠ACE=∠BCD .CE=BC,AC=CD, ∴.△ACE≌△DCB, ∴.∠CAE=∠CDB ∴.∠CAB+∠CAE=220°， ∴.∠EAB=140° 【点睛】本题考查等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质的综合应用，掌握全等的模型图是解答 此题的关键 5.己知：∠AOB=90°，OC平分∠AOB,点P在OC上. (1)如图①，把三角尺的直角顶点放在点P处，三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F, 求证：PE=PF; (2)若将三角尺绕点P按逆时针方向旋转至如图②所示的位置，三角尺的两条直角边分别与OA的反向 延长线、OB相交于点E、F.试问PE与P℉是否仍然相等？若相等，给出证明；若不相等，说明理由， 【答案】(1)证明见解析：(2)PE=PF,证明见解析. 【分析】(1)过点P作PM⊥OA于M,PN⊥OB于N,用“ASA”证明△MPE≌△NPF,即可得到结论： (2)作和(1)一样的辅助线，证明△MPE≌△NPF,即可证明PE-P℉. 【详解】解：(I)如图，过点P作PMLOA于M,PN⊥OB于N, 20/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .OC平分∠AOB, ∴PM=PN, ,:∠PMO=∠PNO=∠PNB=∠AOB=90°， ∴.∠MPN=∠EPF=90°， ∴.∠MPE∠NPF, 在△MPE和△NPF中， ∠PMO=∠PNB PM=PN, ∠MPE=∠NPF ∴.△MPE≌△NPF(ASA), ∴PE-PF; (2)如图，过点P作PM⊥OA于M,PN⊥OB于N, 在△MPE和△NPF中， ∠PMO=∠PNB PM=PN , ∠MPE=∠NPF ∴.△MPE≌△NPF(ASA), ∴PE-P℉ 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是做辅助线构造全等三角形进行证明. 题型03截长补短构造全等（线段和差） 难度层级：拓展「知识点：证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 21/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠B=2∠C.求证： AB+BD=AC”. 李老师给出了如下简要分析：要证AB+BD=AC就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法'，如图2， 在AC上截取AE=AB,连接DE,只要证BD= 即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线 段相等问题，只要证出△ 2△ 得出∠B=∠AED及BD= ，再证出 进而得出ED=EC,则结论成立. B D (图1) (图2) 请仿照上题方法解决以下问题： 变式应用：如图，△ABC和△BDC是等腰三角形，且AB=AC,BD=DC,∠BAC=70°， ∠BDC=110°，以A为顶点作一个35°角，角的两边分别交边CD,DB延长线于点E、F,连接EF, 则BE,EF,FC之间存在什么样的关系？并说明理由. 【答案】CE;ABD:AED:DE;EDC:C;变式应用：BE+EF=FC.理由如下： 在CF上截取CG=BE,连接AG, AB=AC,∠BAC=70°， 5ABC=∠ACB=180°-701=55， 22/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,BD=DC,∠BDC=110, :∠DBC=∠DCB=号180°-110=35°， ∴.∠ABD=∠ACD=90°， ∴.∠ABE=90°， .∴.△ABE≌△ACGSAS, ∴.∠EAB=∠GAC,AE=AG, ,∠EAB+∠BAF=35°=∠GAC+∠BAF, ∴.∠FAG=∠BAC-∠GAC+∠BAF=35°， ∴.∠FAG=∠AE, ∴.△FAG≌△FAESAS, ∴.EF=FG, .GF+GC=CF, ∴BE+EF=FC. 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线.按照题干的要求填空即可；变 式应用：在CF上截取CG=BE,连接AG,求得∠ABD=∠ACD=90°，证明 △ABE≌△ACGSAS,得到∠EAB=∠GAC,AE=AG,得到∠FAG=∠FAE,证明 △FAG≌△FAE SAS,得到EF=FG,据此求解即可. 【详解】解：如图2，在AC上截取AE=AB,连接DE, B D (图2) 只要证BD=CE即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出△ABD≌△AED, 得出∠B=∠AED及BD=DE,再证出∠EDC=∠C,进而得出ED=EC,则结论成立. 故答案为：CE:ABD:AED:DE:EDC;C: 变式应用：略 2.如图，C是线段AB上一点，且△ACD和△BCE都是等边三角形，连接AE,BD相交于点O,AE,BD分别 交CD,CE于M,N,连接MN,OC, 23/29 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：△ACE≌△DCB (2)求：∠EOB的度数 (3)求证：OE+OC=OB 【答案】(1)见解析(2)60°(3)见解析 【分析】(1)根据等边三角形的性质得到AC=CD,CE=CB,∠ACD=∠ECB=60°，进而得到 ∠ACE=∠DCB,证明△ACE≌△DCB即可： (2)根据全等三角形的性质得到∠AEC=∠DBC,根据三角形内角和定理计算，得到答案： (3)在线段BO上截取OM=OE,连接EM,证明△BEM≌△CEO(SAS),根据全等三角形的性质 证明结论 【小问详解】(1)小问详解：解：证明：，'△ACD和△BCE都是等边三角形， .∴AC=CD,CE=CB,∠ACD=ㄥECB=60°， .∴.∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE,即∠ACE=∠DCB, 在△ACE和△DCB中， AC=CD ∠ACE=∠DCB, CE=CB .∴.△ACE≌△DCB(SAS): 【小问详解】(2)小问详解：解：'△ACE≌△DCB, .∴.∠AEC=∠DBC, '.'∠EOB+∠ONE+∠OEN=∠BCE+∠BNC+∠CBN=I80°，∠ONE=∠BNC, ∴.∠EOB=∠BCE=60°： 【小问详解】(3)小问详解：解：在线段BO上截取OF=OE,连接EF, 24/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∵OF=OE,∠BOE=60°， .△EOF为等边三角形， ∴.EF=EO,∠FEO=60°， .△BCE是等边三角形， ∴.∠BEC=60°，BE=EC, ∴.∠BEF+∠FEC=∠FEC+∠CEO=60°， ∴.∠BEF=∠CEO, 在△BEF和△CEO中， BE=CE ∠BEF=∠CEO, EF=EO .∴.△BEF≌△CEO SAS, .∴.BF=OC, .OB=BF+MO, .∴.OB=OC+OE. 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性 质定理是解题的关键， 3.已知，△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°，一直线过顶点C,过A,B分别作其垂线，垂足分别为E, F. 图1 图2 (1)如图1，证明△ACE≌△CBF (2)如图1，请写出EF,AE,BF之间的数量关系并说明理由： (3)其他条件不变的前提下如图2，写出EF,AE,BF之间的数量关系并说明理由. 【答案】(1)证明：由题意可得∠AEC=∠CFB=90°，，∠ACB=90°， ∴.∠ACE+∠CAE=∠ACE+∠BCF=90°， ∴.∠CAE=∠BCF, 在△ACE和△CBF中， 25/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠AEC=ㄥCFB=90° ∠CAE=∠BCF, AC=CB ∴△ACE≌△CBF AAS: (2)EF=AE+BF,理由如下：由(1)可得△ACE≌△CBF, ∴.AE=CF,CE=BF, ∴.EF=CE+CF=AE+BF: (3)解：EF=BF-AE,理由如下：由题意可得∠AEC=∠CFB=90°， :∠ACB=90°， .∴.∠CAE+∠ECA=∠ACE+∠BCF=90°， ∴.∠CAE=∠BCF, 在△ACE和△CBF中， ∠AEC=∠CFB=90 ∠CAE=∠BCF, AC=CB ∴△ACE≌△CBFAAS, ∴AE=CF,CE=BF, ∴EF=CE-CF=BF-AE. 【分析】(1)由同角的余角相等可得∠CAE=∠BCF,再利用AAS即可证明△ACE≌△CBF; (2)由全等三角形的性质可得AE=CF,CE=BF,从而即可得解： (3)由同角的余角相等可得∠CAE=∠BCF,再利用AAS即可证明△ACE≌△CBF,从而可得 AE=CF,CE=BF,即可得解 【小问详解】（①）小问详解：略： 【小问详解】(2)小问详解：略： 【小问详解】3)小问详解：略. 4.阅读下面材料： 【原题呈现】如图1，在△ABC中，∠A=2∠B,CD平分∠ACB,AD=2.2,AC=3.6,求BC的长， 【思考引导】因为CD平分∠ACB,所以可在BC边上取点E,使EC=AC,连接DE.这样很容易得到△ DEC2△DAC,经过推理能使问题得到解决（如图2）· 【问题解答】(1)参考提示的方法，解答原题呈现中的问题： (2)拓展提升：如图3，己知△ABC中，AB=AC,∠A=20°，BD平分∠ABC,BD=2.3,BC=2.求 AD的长. 26/29 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图3 【答案】(1)5.8：(2)4.3 【分析】(1)由已知条件和辅助线的作法，证得△ACD≌△ECD,得到AD=DE,∠A=∠DEC,由于 ∠A=2∠B,推出∠DEC=2∠B,等量代换得到∠B=∠EDB,得到△BDE是等腰三角形，得出AC=CE =3.6,DE=BE=2.2,相加可得BC的长： (2)在BA边上取点E,使BE=BC=2,连接DE,得到△DEB≌△DBC(SAS),在DA边上取点F, 使DF=DB,连接FE,得到△BDE≌△FDE,即可推出结论. 【详解】解：(1)如图2，在BC边上取点E,使EC=AC,连接DE. 在△ACD与△ECD中， AC=CE ∠ACD=∠ECD, CD=CD .∴.△ACD≌△ECD(SAS), ∴.AD=DE,∠A=∠DEC, .∠A=2∠B, ∴∠DEC=2∠B, ∴.∠B=∠EDB, ∴△BDE是等腰三角形： ..BE=DE=AD=2.2,AC=EC=3.6, ∴BC的长为5.8 (2),'△ABC中，AB=AC,∠A=20°， .∠ABC=∠C=80°， BD平分∠B, ∴.∠1=∠2=40°，∠BDC=60°， 在BA边上取点E,使BE=BC=2,连接DE, 图3 在△DEB和△DBC中， 27/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE=BC ∠1=∠2， BD=BD ∴△DEB≌△DBC(SAS), ∴.∠BED=∠C=80°， .∠4=60°， .∴.∠3=60°， 在DA边上取点F,使DF=DB,连接FE, 同理可得△BDE≌△FDE, ∴.∠5=∠1=40°，BE=EF=2, ,∠A=20°， ∴.∠6=20°， ∴.AF=EF=2, BD=DF=2.3, ∴AD=BD+BC=4.3. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟悉这些定理是解决本题的关键. 5.己知△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F,过点F作FGBC,交直线AB于点G. D (1)如图，若△ABC为锐角三角形，∠ABC=45°. 求证：①△BDF≌△ADC,②FG+DC=AD (2)如图，当∠ABC为135时，写出FG,DC,AD之间的等量关系，说明相应理由， D 28/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)①证明：，∠ADB=90°，∠ABC=45°， ∴.∠BAD=∠ABC=45°，.AD=BD, ∠BEC=90°， ∴.∠CBE+∠C=90° ∠DAC+∠C=90°， ∴.∠CBE=∠DAC, ,∠FDB=∠CDA=90°， ∴.△FDB≌△CDA(ASA) ②.FDB≌△CDA, ..DF=DC; .'GF BC, ∴.∠AGF=∠ABC=45°， ∴∠AGF=∠BAD, .∴FA=FG, ∴.FG+DC=FA+DF=AD. (2)FG=DC+AD,理由：，∠ABC=135°， ∴·∠ABD=45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形， ..BD=AD,FG=AF=AD+DF, ,'∠FAE+∠DFB=∠FAE+∠DCA=90°， ∴.∠DFB=∠DCA, 又，'∠FDB=∠CDA=90°，BD=AD, .∴.△BDF≌△ADC(AAS), ∴DF=DC ∴.FG、DC、AD之间的数量关系为：FG=DC+AD. 【分析】(1)①可以证明△ABD为等腰直角三角形，得到AD=BD,再利用ASA判定三角形全等即 可： ②由上一小问中三角形全等可知DF=DC,再去证明FA=FG,则FG+DC=FA+DF=AD: (2)易知△ABD、△AGF为等腰直角三角形，BD=AD,FG=AF=AD+DF,再证明△BDF2△ADC, 得到DF=DC,则得到FG=DC+AD. 【小问详解】(1)小问详解：略 【小问详解】（②）小问详解：略 【点睛】本题综合考查了三角形全等的判定和性质，利用三角形全等证明线段相等是经常使用的重要方 法，注意熟练掌握. 29/29