高一数学上学期期中模拟卷（沪教版必修第一册第1章～第4章：集合与逻辑+等式与不等式+幂指对函数，高效培优·提升卷）

第5章 函数的概念、性质及应用（高效培优单元自测·强化卷） 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 2. 3. 4. 5. 4 6. 7. 且 8 . 9. 10 . 15 11. 或 12. 7 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 B C B D 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1）； .……（7分） （2）因为正实数满足，所以， 所以， ..……（14分） 18．（14分） 【详解】（1）由得， 解得，即， 由得或， 即或， 所以或， ；.……（8分） （2）由Venn图可知：阴影部分为， 又或， 所以或， 即阴影部分表示的集合为或，.……（14分） 19．（14分） 【详解】（1）根据题意可知，剪去的“正十字形”部分面积可表示为， 可得， 由宽小于长可得，解得； 因此.……（6分） （2）若所用圆形纸片面积最小，可知圆的半径最小即可； 设圆的半径为，则圆的面积为 ； 当且仅当，即时，等号成立； 此时圆形纸片面积的最小值为（平方分米）..……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）解：因为不等式的解集为， 则不等式对任意的实数恒成立， 当时，即当时，原不等式即为，解得，不合乎题意； 所以，，由题意可得，解得， 因此，实数的取值范围是..……（9分） （2）解：因为不等式对一切实数恒成立， 由（1）可知，，则，解得， 所以，实数的取值范围是..……（18分） 21．（18分） 【详解】(1)取，，但， 所以不满足对于任意的，，有， 所以区间不是加法封闭的；.……（6分） （2）因为区间是加法封闭的，对于任意的，，都有， 所以， 所以满足题意的实数的取值范围是；.……（12分） （3）要使函数有意义， 则， 所以函数的定义域为集合， 因为是乘法封闭的， 所以对于任意的，，有， 所以， 所以满足题意的实数的取值范围是..……（18分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 A4考试版 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第一册第1章~第4章集合与逻辑+等式与不等式+幂指对函数。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知全集，集合，则__________. 2．已知，，则用，表示______ 3．若实数、满足：，则的最小值为__________. 4．已知，化简式子：__________. 5．已知幂函数的图像经过点，则实数的值为______． 6．若不等式对于任意的实数恒成立，则实数的取值范围为___________ 7．已知x，y是实数，要用反证法证明“若，则或”这个命题，首先要假设结论不成立，也就是假设____________________. 8．已知函数为指数函数，则函数的图像过一定点，该定点的坐标是________． 9．不等式的解集是______. 10．已知非空集合，且若，则，满足题设条件的集合共有__________.个 11．已知关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为__________. 12．若，则，就称为“影子关系”集合，在集合的所有非空子集中，“影子关系”集合的个数为__________. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．已知上海市评选市级三好学生时，申报条件之一为：申报者须获得区级三好学生资格.若甲同学是松江区的一名高中生，则“甲是上海市级三好学生”是“甲是松江区级三好学生”的（   ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 14．已知实数，，满足，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 15．下列表达式正确的是（    ）． A． B．，，， C． D． 16．已知为非零实数，则在同一坐标系内，幂函数和一次函数的图像关系可能是（   ） A．   B．   C．   D．   三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）（1）已知，求和的值； （2）正实数满足，求和的值． 18．（14分）已知全集，集合，.    (1)求集合和； (2)求图中阴影部分所表示的集合. 19．（14分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一；规定：两个全等的矩形中心重合，且对应边互相垂直，所形成的图形称为“正十字形”；如图所示，窗花是由一张圆形纸片剪去一个“正十字形”剩下的部分，其中“正十字形”的顶点都在圆周上；已知两个矩形的宽和长都分别为（单位：分米）且宽小于长，若剪去的“正十字形”部分面积为4平方分米；    (1)请用表示，并写出的取值范围； (2)现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小；当取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值；（结果精确到0.01）； 20．（18分）已知，关于的不等式． (1)若不等式解集为，求实数的取值范围； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 21．（18分）设是一个非空集合，如果对于任意的，，有，则称是加法封闭的；而如果对于任意的，，有，则称是乘法封闭的． (1)证明：区间不是加法封闭的； (2)若区间是加法封闭的，求实数的取值范围； (3)设，集合是函数的定义域，若是乘法封闭的，求实数的取值范围． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第一册第1章~第4章集合与逻辑+等式与不等式+幂指对函数。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知全集，集合，则__________. 【答案】 【详解】因为全集，集合， 所以， 故答案为： 2．已知，，则用，表示______ 【答案】 【详解】由，，可得， 又由. 故答案为：. 3．若实数、满足：，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】由有：，， 所以， 当且仅当时，等号成立， 故答案为：. 4．已知，化简式子：__________. 【答案】 【详解】, 故答案为： 5．已知幂函数的图像经过点，则实数的值为______． 【答案】4 【详解】因为幂函数的图像经过点，所以，解得. 故答案为：4. 6．若不等式对于任意的实数恒成立，则实数的取值范围为___________ 【答案】 【详解】因为，当且仅当，即时取等号， 又不等式对于任意的实数恒成立， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为： 7．已知x，y是实数，要用反证法证明“若，则或”这个命题，首先要假设结论不成立，也就是假设____________________. 【答案】且 【详解】由题意，应假设且， 故答案为：且 8．已知函数为指数函数，则函数的图像过一定点，该定点的坐标是________． 【答案】 【详解】因为为指数函数，所以， 且底数，，求解可得：， ，根据对数函数恒有， 所以令，求解得， 所以， 因此的图像经过定点． 9．不等式的解集是______. 【答案】 【详解】由题意可得，解得或，且， 因为 ， 若或1或3，原不等式显然成立； 若，则 ， ， ， ， 可得 ，解得或，则； 综上所述：不等式的解集为. 10．已知非空集合，且若，则，满足题设条件的集合共有__________.个 【答案】15 【详解】依题意，1和64同时属于或不属于集合，2和32同时属于或不属于集合， 4和16同时属于或不属于集合，又8也可以属于或不属于集合， 因此满足题意的集合的个数为， 故答案为：15 11．已知关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】或 【详解】当时，或， 时不等式为，不满足题意；时不等式为，符合题意； 当时，即时，不等式恒成立需满足， 解得或； 综上，实数的取值范围为或. 故答案为：或 12．若，则，就称为“影子关系”集合，在集合的所有非空子集中，“影子关系”集合的个数为__________. 【答案】7 【详解】由“影子关系”集合定义可知，集合的所有非空子集中， 为影子关系的集合有 . 故答案为：7 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．已知上海市评选市级三好学生时，申报条件之一为：申报者须获得区级三好学生资格.若甲同学是松江区的一名高中生，则“甲是上海市级三好学生”是“甲是松江区级三好学生”的（   ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【详解】根据评选规则：若同学甲是市级三好学生，则同学甲必须是区级三好学生， 但是同学甲是区级三好学生不一定能评上市级三好学生， 所以“甲是上海市级三好学生”是“甲是松江区级三好学生”的充分非必要条件. 故选：B 14．已知实数，，满足，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A： 因为，比如，那么此时，所以A错误； 对于B： 因为，比如，那么此时，所以B错误； 对于C： 因为，不等式两边同除以一个正数，符号不变，所以C正确； 对于D： 因为，若，则，所以D错误. 故选：C. 15．下列表达式正确的是（    ）． A． B．，，， C． D． 【答案】B 【详解】A.为有理数，，A选项错误； B. ,由对数运算法则可知正确； C. 为整数集，，C选项错误； D．可知D选项错误. 故答案为：B 16．已知为非零实数，则在同一坐标系内，幂函数和一次函数的图像关系可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】对于A：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过一、三象限可以判断出.矛盾.故A错误； 对于B：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过二、四象限可以判断出，矛盾.故B错误； 对于C：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过二、三、四象限可以判断出，且，矛盾.故C错误； 对于D：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过一、三、四象限可以判断出，可以同时成立，故D正确. 故选：D 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）（1）已知，求和的值； （2）正实数满足，求和的值． 【详解】（1）； .……（7分） （2）因为正实数满足，所以， 所以， ..……（14分） 18．（14分）已知全集，集合，.    (1)求集合和； (2)求图中阴影部分所表示的集合. 【详解】（1）由得， 解得，即， 由得或， 即或， 所以或， ；.……（8分） （2）由Venn图可知：阴影部分为， 又或， 所以或， 即阴影部分表示的集合为或，.……（14分） 19．（14分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一；规定：两个全等的矩形中心重合，且对应边互相垂直，所形成的图形称为“正十字形”；如图所示，窗花是由一张圆形纸片剪去一个“正十字形”剩下的部分，其中“正十字形”的顶点都在圆周上；已知两个矩形的宽和长都分别为（单位：分米）且宽小于长，若剪去的“正十字形”部分面积为4平方分米；    (1)请用表示，并写出的取值范围； (2)现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小；当取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值；（结果精确到0.01）； 【详解】（1）根据题意可知，剪去的“正十字形”部分面积可表示为， 可得， 由宽小于长可得，解得； 因此.……（6分） （2）若所用圆形纸片面积最小，可知圆的半径最小即可； 设圆的半径为，则圆的面积为 ； 当且仅当，即时，等号成立； 此时圆形纸片面积的最小值为（平方分米）..……（14分） 20．（18分）已知，关于的不等式． (1)若不等式解集为，求实数的取值范围； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）解：因为不等式的解集为， 则不等式对任意的实数恒成立， 当时，即当时，原不等式即为，解得，不合乎题意； 所以，，由题意可得，解得， 因此，实数的取值范围是..……（9分） （2）解：因为不等式对一切实数恒成立， 由（1）可知，，则，解得， 所以，实数的取值范围是..……（18分） 21．（18分）设是一个非空集合，如果对于任意的，，有，则称是加法封闭的；而如果对于任意的，，有，则称是乘法封闭的． (1)证明：区间不是加法封闭的； (2)若区间是加法封闭的，求实数的取值范围； (3)设，集合是函数的定义域，若是乘法封闭的，求实数的取值范围． 【详解】(1)取，，但， 所以不满足对于任意的，，有， 所以区间不是加法封闭的；.……（6分） （2）因为区间是加法封闭的，对于任意的，，都有， 所以， 所以满足题意的实数的取值范围是；.……（12分） （3）要使函数有意义， 则， 所以函数的定义域为集合， 因为是乘法封闭的， 所以对于任意的，，有， 所以， 所以满足题意的实数的取值范围是..……（18分） 1 / 8 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