专题02 坐标与图形变换、综合应用（专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

专题02 坐标与图形变换、综合应用 常考题型·精准突破 【题型 1】坐标系内点的平移，平移前后坐标变化规律 【题型 2】坐标平面内求几何图形面积（割补法） 【题型 3】坐标与图形轴对称综合作图 【题型 4】坐标系中点运动规律探究（坐标递推、循环规律） 【题型 5】坐标背景下的几何简单计算、分类讨论题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆【题型・1】坐标系内点的平移，平移前后坐标变化规律 1．已知过，两点的直线平行于y轴，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．2 2．在平面直角坐标系中，已知点，，直线与x轴平行，则a为（   ） A．1 B．－1 C．0 D．2 3．在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位，再向下平移3个单位到点，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 4．如图，正方形中顶点，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2024次变换后，正方形的顶点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，则点的坐标为__________． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移至线段的位置，其中点的对应点为点，点的对应点为点若点的坐标为，则点的坐标为________． ◆【题型・2】坐标平面内求几何图形面积（割补法） 7．如图，在平面直角坐标系中，将线段向右平移得到线段，则线段在平移过程中扫过的面积是（   ） A． B． C． D． 8．已知点、、、，那么四边形的面积等于______． 9．已知点，点A在x轴上，且三角形的面积是3，则点A的坐标是________ 10．如图，在平面直角坐标系中，已知，将线段平移到，D，E分别在x轴和线段上．当三角形是三角形面积的3倍时，点D的坐标为__________． 11．在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，，在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，则点的坐标为____________． 12．如图，在平面直角坐标系中，是x轴负半轴上一点，C是y轴负半轴上的一点，轴并交y轴负半轴于，且，点B在第三象限，且． (1)求点A、B、C的坐标； (2)求 (3)如图2，点P从A出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，点Q从O出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度移动，在点P、Q移动的过程中，连接、，使的面积是面积的5倍，求出点P的坐标； ◆【题型・3】坐标与图形轴对称综合作图 13．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的顶点坐标分别是，，． (1)在图中画出关于y轴对称的图形； (2)内有一点，在内的对称点的坐标为_______. (3)的面积为______． 14．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，， (1)求三个顶点关于x轴对称的点的坐标； (2)作出关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）的对称图形； (3)直接写出点关于直线轴对称的点的坐标____． 15．安徽省黄山市黟县塔川村红叶景观被誉为“中国四大秋色之一”，每年深秋时节吸引着大量的游客和摄影爱好者前往．如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，一片枫叶的顶点均在格点上，点A的坐标是． (1)将枫叶沿y轴正方向平移6个单位长度，画出平移后的图形，并写出点B的对应点的坐标； (2)画出（1）中平移后的枫叶关于y轴对称的枫叶，并写出点的对应点的坐标． ◆【题型・4】坐标系中点运动规律探究（坐标递推、循环规律） 16．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的同行点，已知点的同行点为点，点的同行点为点，点的同行点为点，，这样依次得到点，，，，，若点的坐标为，则点坐标是（     ） A． B． C． D． 17．如图，在平面直角坐标系中，点第1次向右跳动1个单位至点，紧接着第2次向上跳动1个单位至点，第3次向左跳动2个单位至点，第4次向上跳动1个单位至点，第5次又向右跳动3个单位至点，第6次向上跳动1个单位至点，…照此规律的坐标是（     ）． A． B． C． D． 18．如图，在平面直角坐标系中，，，，是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点，依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点落在点的位置，第2次滚动使点落在点的位置，…，按此规律滚动下去，则第2026次滚动后，顶点的坐标是（     ） A． B． C． D． 19．正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿的路线运动，当运动秒时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 20．如图，在平面直角坐标系中，动点P按图中箭头所示方向从原点出发，第1次运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点…，按这样的运动规律，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 21．如图，动点P按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，则第2026次运动到点（     ） A． B． C． D． 22．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿箭头所示方向，每次移动个单位长度，依次得到点，，，，，，，，，…，则的坐标为（     ） A． B． C． D． ◆【题型・5】坐标背景下的几何简单计算、分类讨论题 23．在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段平移得线段．点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)如图1，直接写出、、、四个点的坐标； (2)如图2，、分别平分、，求的度数； (3)如图3，连接交轴于点，在坐标轴上是否存在点，使得三角形的面积是三角形的面积的，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 24．如图，已知点，且满足．将线段先向上平移4个单位，再向右平移1个单位后得到线段，连接，． (1)直接写出__________；__________； (2)点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向上运动．设运动时间为秒，当为多少时，四边形的面积等于10？ (3)点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向上运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴向左运动，直线交轴于点．在运动过程中，和的面积之差是否会发生变化？请说明理由． 25．如图1，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且，满足．现同时将点、分别向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点、的对应点，．连接、、． (1)请分别写出、，，四点的坐标______，______，______，______； (2)如图2，是线段的中点，是直线上的一个动点，连接，．当点在线段两点之间运动时（点不与点、重合），请猜想，，三个角之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)在（2）的条件下，若点在，两点外侧运动（与点，不重合），请直接写出，，之间的数量关系是______． 26．在平面直角坐标系中，点、分别在y轴、x轴的正半轴上，且实数a，b满足等式：，点是第四象限内的点． (1)求点A、B的坐标；求m的取值范围； (2)若点C到y轴的距离是到x轴距离的倍，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，将线段沿x轴正方向平移2个单位长度，得到线段．在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且的面积为12．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 综合攻坚·知能拔高 1．建立适当的平面直角坐标系，使点M，点N的坐标分别为，，则线段的中点坐标为（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，若点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．已知点在第二象限，且到两坐标轴的距离相等，则a的值为（     ） A．4 B． C．1 D． 4．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是经过2026次变换后所得的点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．若点与点关于原点对称，则的值为（     ） A． B．2 C．3 D．5 6．如图，在平面直角坐标系中，从点，…，依次扩展下去，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．已知点与点关于轴对称，则的值为______． 8．如图，小红设置了一个击球小程序，在点处第一次击球到点，第二次击球到点，第三次击球到点，第四次击球到点．按此规律，第次击球到点，则点的坐标为_________． 9．如图①，小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为轴，对称轴为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取，则图②中转折点的坐标是________． 10．已知：如图，平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为、． (1)若点坐标为，求三角形的面积； (2)直线经过点，且平行于轴，问直线上是否存在一点，使三角形的面积为6，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 11．在平面直角坐标系中，已知，且、满足，点为轴上一点，点为轴上一点． (1)直接写出点的坐标； (2)如图1，若点，，连接、、，求的度数； (3)如图2，若，点与点关于轴对称，点在第四象限，且为等边三角形，连接，直线与直线交于点，与轴交于点，请找出线段、、之间数量关系并证明你的结论． 12．如图①，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴正方向平移，平移后的图形为三角形，点的坐标为，且． (1)________，________； (2)如图②，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒，回答下列问题： ①当________时，点的横坐标与纵坐标相等； ②当点在上运动时，点的坐标为________；（用含的式子表示） ③当时，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． ④当直线将四边形的面积分成两部分时，直接写出的值． 13．在平面直角坐标系中，已知长方形，其中点，点． (1)填空：点的坐标为______，点的坐标为______； (2)若点是轴上的动点，连接． ①如图1，当点在轴正半轴时，线段与线段相交于点，用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系，并说明理由； ②当将四边形分成面积相等的两部分时，求点的坐标． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 坐标与图形变换、综合应用 常考题型·精准突破 ◆【题型・1】坐标系内点的平移，平移前后坐标变化规律 1． 【答案】B 【分析】本题考查了平行于坐标轴的直线的性质，掌握“平行于 y 轴的直线上的点横坐标相同”是关键． 根据平行于 y 轴的直线上点的横坐标相等，即可求解． 【详解】∵ 过，两点的直线平行于 y 轴， ∴ A、B两点的横坐标相等，即． 故选B． 2． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形的性质。当两个点的纵坐标相等时，它们的连线与x轴平行，据此列出方程求解即可． 【详解】解：∵直线与轴平行， ∴， ∴， 故选：C． 3． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律，平移规律为：左右平移改变横坐标，右移加、左移减；上下平移改变纵坐标，上移加、下移减，按照规律计算即可得到结果． 【详解】解：∵点向右平移个单位，横坐标加，再向下平移个单位，纵坐标减 ∴的横坐标为，的纵坐标为 ， ∴点的坐标为． 4． 【答案】B 【分析】本题主要考查坐标系上点的翻折，平移后点的坐标，依据要求正确求出变化后点的坐标是解题关键． 依次按要求变化后写出坐标，得出坐标与变化次数n的关系即可． 【详解】解：∵点，轴，且边长为2， ∴点的坐标为， 第1次变换后， 第2次变换后， 第3次变换后， 第4次变换后， …… 从而找到规律：当为奇数时，；当为偶数时，． ∴当时，． 故选B． 5． 【答案】 【分析】根据点平移的坐标变化规律，向右平移横坐标增加，向下平移纵坐标减少，计算即可得到答案． 【详解】解：∵点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 6． 【答案】 【分析】根据点A和点C的坐标可判断出平移方式，再根据平移方式可得点D的坐标． 【详解】解：∵将线段平移至线段的位置，其中点的对应点为点，点的对应点为点，， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴点的坐标为，即． ◆【题型・2】坐标平面内求几何图形面积（割补法） 7． 【答案】A 【分析】根据平移的性质，线段平移扫过的图形是平行四边形，其面积等于平移距离乘以线段在垂直于平移方向上的高度，由图读出关键点坐标计算即可． 【详解】解：由图可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∵线段向右平移得到线段， ∴点平移到点，点平移到点， ∴平移距离为， ∴线段在平移过程中扫过的图形是平行四边形，其底边长为平移距离3，高为点到轴的距离1， ∴扫过的面积． 8． 【答案】 【分析】根据四个点的坐标特征，判断出，可知四边形为梯形，再根据坐标计算梯形的上底、下底和高，代入梯形面积公式求解即可． 【详解】解：点，的纵坐标相等， 轴，， 点，的纵坐标相等， 轴，， ，四边形是梯形，梯形的高， ∴． 9． 【答案】或 【分析】根据x轴上点的坐标特征确定点A的纵坐标为0，将看作的底边，得到三角形的高为点B纵坐标的绝对值，结合三角形面积公式求出的长度，分情况得到点A的坐标，即可解题． 【详解】解：设点的坐标为，则， ，点在轴上， 中，边上的高为点的纵坐标的绝对值，即高为， 三角形的面积是3， ， 解得或， 点的坐标为或． 10. 【答案】或 【分析】设，线段上的点到x轴距离都相等，设为，则，，根据三角形是三角形面积的3倍，列方程求解． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∵将线段平移到， ∴线段上的点到x轴距离都相等，设为， ∵三角形是三角形面积的3倍， ∴， ∴， 解得或， ∴点D的坐标为或． 11． 【答案】或 【分析】作轴于点，作轴于点，把四边形分成两个直角三角形和一个直角梯形，分别计算面积，相加得到四边形的面积，据此求出点的纵坐标． 【详解】解：如图，作轴于点，作轴于点，则四边形被分成了直角三角形，直角三角形，直角梯形， ， ， ， ， 或， 点的坐标为或． 12． 【答案】(1) (2)36 (3)或 【分析】（1）非负性求出的值，即可得出结果； （2）根据梯形的面积公式进行求解即可； （3）根据三角形的面积公式以及两个三角形的面积公式列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴，且， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴； （3）解：设的移动时间为，则由题意，得， ∴，， ∵的面积是面积的5倍， ∴， 解得或， ∴或， ∴或. ◆【题型・3】坐标与图形轴对称综合作图 13． 【答案】(1)如图所示，即为所求； (2) (3) 【分析】（1）根据关于轴对称的点的坐标特征来确定、、的坐标，再进行绘制即可． （2）根据关于轴对称的点的坐标特征求解即可． （3）使用割补法，通过构造一个包含的长方形，然后用长方形的面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到的面积． 【详解】（1）略 （2）解：因为点， 所以其关于轴对称的点的坐标为． （3）解：构造一个以、、三点为顶点的长方形， 该长方形的四个顶点坐标分别为、、、， 可得长方形的面积为， 则的面积为长方形的面积减去周围三个直角三角形的面积， 即 ． 14． 【答案】(1) (2)画图见解析 (3) 【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特点可得答案． （2）分别确定关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称的对称点，再顺次连接即可． （3）根据对称的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵三个顶点的坐标分别为，，， ∴三个顶点关于x轴对称的点的坐标为：，，． （2）解：如图，即为所求． （3）解：点关于直线的对称点的坐标为． 15． 【答案】(1)画图见解析；点的坐标为； (2)画图见解析；点的坐标为． 【详解】（1）解：如图所示，位于第二象限的枫叶即为所求， 点的坐标为； （2）解：如图所示，位于第一象限的枫叶即为所求， 点的坐标为． ◆【题型・4】坐标系中点运动规律探究（坐标递推、循环规律） 16． 【答案】C 【分析】先根据“同行点”的定义计算出前几个点的坐标，找出循环周期，再利用周期性计算的坐标即可． 【详解】解：∵点的坐标为，根据同行点定义可得：的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， ∴坐标每个为一个循环周期， ∵，余数为， ∴的坐标与周期中第个点的坐标相同，为． 17． 【答案】A 【分析】先求出前几个点的坐标，找出规律，再根据规律解答． 【详解】解：观察发现： ， ， ， ， ， ， ， ， ……， ∴ ， ， ， （为自然数）， ， ∴对应的形式，其中， ∴ ，即． 18． 【答案】A 【分析】列举几次滚动后的点坐标，找到滚动次数与点坐标之间的规律，进而求出第2026次滚动后顶点的坐标． 【详解】解：第1次滚动点的坐标为， 第2次滚动点的坐标为， 第3次滚动点的坐标为， 第4次滚动点的坐标为， 第5次滚动点的坐标为， …， 每滚动4次一个循环， ，，，， ， ， 即． 19． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质以及点的坐标得出，，，结合运动速度得出走一圈花费时间为秒，根据即可得出点坐标． 【详解】解：∵四边形是正方形，点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿的路线运动， ∴运动一周花费的时间为（秒）， ∵， ∴秒时，点运动了周后，再运动秒， ∴点的坐标为． 20． 【答案】C 【分析】根据图中给出的已知点的坐标分别找出这些点的横坐标规律和纵坐标规律，再得出答案即可． 【详解】解：由图象得：，，，，… ∴第n个点的横坐标为n， ∴点的横坐标为26， 第1个点，第5个点，第9个点，第个点的纵坐标为， 第2个点，第6个点，第10个点，第个点的纵坐标为， 第3个点，第7个点，第11个点，第个点的纵坐标为， 第4个点，第8个点，第12个点，第个点的纵坐标为， ∵， ∴点的纵坐标为2， 即． 21． 【答案】D 【详解】解：观察可知，第次运动到点的横坐标为，纵坐标以1，0，2，0四个数为一组进行循环， ∵， ∴第2026次运动到点的横坐标为2026，纵坐标为0，即. 22． 【答案】B 【详解】解：观察图形，第8个点一个循环周期， 余1， ∴点在第一象限， 再观察图形，，，，， ∵，，， ∴到达的编号是， 当时，， 当时，， ∴， ∴． ◆【题型・5】坐标背景下的几何简单计算、分类讨论题 23． 【答案】(1)，，， (2) (3)存在，点坐标为或或或 【分析】（1）利用绝对值以及二次根式的非负性可得的值，从而确定、的坐标，根据平移后对应点的坐标特点可得平移规则从而确定、的坐标； （2）根据平移的性质可得，作利用平行线的性质可得的和为，再作将拆分为的和，结合角平分线即可解答； （3）先通过分割法求得三角形的面积，从而确定三角形的面积，再对点的位置分类讨论，当点在轴上时，以为公共底边用分割法表示三角形的面积列方程求解，当点在轴上时，以为底，以点的纵坐标为高列方程求解即可． 【详解】（1）解：，且，， ，所以点坐标为，点坐标为， 线段平移得线段，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上， 平移方式为向左平移5个单位，再向下平移5个单位， 点的坐标为，点的坐标为． （2）解：过点作， ， ， ， ， 过点作， ， ， ， ， 、分别平分、， ， ， ． （3）解：由已知，交轴于点，且点的坐标为， ， 过点作轴， ， 由点的坐标为可知， ， ， 若点在轴上，设点， 所以， ， 解得或， 所以点坐标为或， 若点在轴上，设点， 所以， ， 解得或， 所以点坐标为或， 综上所述，点坐标为或或或． 24． 【答案】(1) (2) (3)的值不会变化， 理由：如图1，当点N在线段上时， ∵， ∴； 如图2，当点N在x轴的负半轴时， ∵， ∴， 综上所述：是定值8． 【分析】（1）本题考查绝对值的非负性，完全平方的非负性，利用非负性可求a，b的值，即可得到答案； （2）本题考查平移的性质，由平移的性质可得点，点，，，，，由面积关系可求解； （3）分点N在线段上，当点N在x轴的负半轴上两种情况讨论，由面积和差关系可求解； 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴点，点； （2）解：∵将线段先向上平移4个单位，再向右平移1个单位后得到线段，，点， ∴点，点，，， ∴，， ∴四边形的面积， ∵四边形的面积等于， ∴点M在点C下方， ∴四边形的面积四边形的面积， ∴； （3）略 25． 【答案】(1)，，， (2)，证明如下： 过点作交轴于点，如图， 根据平移可知：， ∴， ∴，， ∵， ∴； (3)或 【分析】（1）根据非负性的性质，求解与的值，由此可得点、的坐标，根据平移的性质即可求解点，； （2）添加辅助线，过点作交轴于点，根据平移的性质可得，利用平行线的性质得到角度的关系，由此可证； （3）分类讨论点在下方时，与点在上方时，两种情况，添加辅助线构造平行线，结合平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，满足， ∴，， 解得，， ∴点，， ∵同时将点、分别向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度， 得到点、的对应点，． ∴点，即；点，即； 综上，点，，，； （2）略 （3）解：当点在下方时，过点作交轴于点，如图， 根据平移可知：， ∴， ∴，， ∵， ∴； 当点在上方时，过点作交轴于点，如图， 根据平移可知：， ∴， ∴，， ∵， ∴； 综上，，，之间的数量关系是或． 26． 【答案】(1)，；； (2) (3) 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性质得出a，b的值，即可得出点A和点B的坐标，再根据点坐标在第四象限列出关于m的一元一次不等式组，求解即可得出m的取值范围． （2）根据点到坐标轴的距离列出关于m的一元一次方程，求解进而可得出点C的坐标． （3）根据平移的性质得出，，表示出和的面积，由面积相等可得出y的值，再由的面积得出x的值即可． 【详解】（1）解：，，且两者和为0， ， 解得：，， ，． 点在第四象限， ，解得：． 的取值范围为． （2）解：点到y轴的距离为，到x轴的距离为． 根据题意列方程得：， 解得； ，， 点C的坐标为． （3）解：∵沿x轴正方向平移2个单位，得到线段， ∴，， ∴，中边上的高为， 故； 同理，中边上的高为， 故． ∵与的面积相等， ∴， 解得； ∴， 如图，过点C作轴于点D， ∵，，， ∴，， ∴， ∴点P在右边， 当点P的坐标为时，如图， ∴， ∴， ∴点P的横坐标，如图，过点A作轴，过点C作轴，过点P作轴， ∴，，，， ∴， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为． 综合攻坚·知能拔高 1． 【答案】D 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴线段的中点坐标为． 2． 【答案】D 【分析】关于对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同． 【详解】解：∵点与点关于轴对称，点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标为． 3． 【答案】D 【分析】根据点M在第二象限得出，，再根据点M到两坐标轴的距离相等得出，再化简绝对值即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴， 解得． 4． 【答案】C 【分析】观察图形可知每四次变换为一个循环组依次循环，用除以，根据余数确定变换后的点所在的象限及坐标． 【详解】解：由图可知变换规律如下： 第1次关于轴对称，点变为； 第2次关于轴对称，点变为； 第3次关于轴对称，点变为； 第4次关于轴对称，点变为，回到初始位置； 每4次变换为一个循环组； ； 第2026次变换后的位置与第2次变换后的位置相同； 点的坐标为． 5． 【答案】A 【分析】先根据关于原点对称的点的坐标特点，得到，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， 解得， ∴． 6． 【答案】B 【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，点在第二象限，再根据第二象限点的规律即可得出结论． 【详解】解：由题意可得规律坐标四个一循环，下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限， ， 点在第二象限， 点，点，点， 故可知位于第二象限的点， 点，即． 7． 【答案】 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ． 8． 【答案】 【分析】根据题意观察坐标变化，找到坐标变化规律即可． 【详解】解：点处第一次击球到点， 第二次击球到点， 第三次击球到点， 第四次击球到点， 观察发现，横坐标每次增加， ∴横坐标的变化规律为，其中为击球次数， 观察纵坐标变化规律，发现击球次数为偶数时，纵坐标为，击球次数为奇数时，纵坐标为， ∴第次击球时，横坐标为， 为偶数， ∴纵坐标为， ∴第次击球到点，的坐标为． 9． 【答案】 【分析】先求得点P的横坐标，结合图形中相关线段的和差关系求得点P的纵坐标． 【详解】如图，过点C作轴于D， ∴，，， ∴． 10． 【答案】(1)15 (2)点的坐标为或． 【详解】（1）解：∵、， ∴， ∵点坐标为， ∴三角形的面积； （2）解：根据题意设点的坐标为， ∵， ∴， ∴，即， ∴点的坐标为或． 11． 【答案】(1) (2) (3)解：， 证明：为等边三角形， ，， 又点与点关于轴对称， ， ， ， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 在上取点P关于y轴的对称点G，连接，则， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可知，从而可以求出，即可得到点的坐标； （2）作点关于轴的对称点，过点A作轴于D，得到，证明，得是等腰直角三角形，得，由此求出； （3）由为等边三角形，及点与点关于轴对称，推出，，设，则，得到，即，在上取点P关于y轴的对称点G，连接，则，证是等边三角形，得，，进而证明，得，由此得到结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 点的坐标为； （2）解：如下图所示，作点关于轴的对称点，过点A作轴于D， 则， ， 点，，， 点的坐标为，， ∴，， ∴， ， ， ∴， 是等腰直角三角形， ， ； （3）略 12． 【答案】(1)， (2) ； ； ，理由： 当时，点在上运动，则过作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴， 或． 【分析】（1）由非负数的性质得出，； （2）由点在上运动，，则的纵坐标为，根据点的横坐标与纵坐标相等，得出，求出的值即可； 当点在上运动，则点的横坐标为，由（1）得，，进而可得，，最后列代数式即可； 当时，点在上运动，则过作，则有，然后根据平行线的性质即可求解； 由（1）得，，进而求得四边形的面积为，直线将四边形的面积分成两部分，然后分当在上时和当在上时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， （2）解：∵点在上运动，， ∴点的纵坐标为， ∵点的横坐标与纵坐标相等， ∴，解得： ； 由平移性质可知，， ∵点在上运动， ∴点的横坐标为， ∵，， ∴，，， 由平移性质可知，，， ∴，即点的纵坐标为， ∴点的坐标为； 略 ∵，， ∴，， 由平移性质可知，，，，， ∴四边形的面积 ， ∵直线将四边形的面积分成两部分 ∴当在上时，， ∴，解得：； ∴当在上时，， ∴， ∴； ∴， ∴， ∴当直线将四边形的面积分成两部分时，的值为或． 13． 【答案】(1)， (2)①，理由见解析；② 【分析】（1）根据长方形的性质，结合坐标系，即可求解； （2）①先求出，再用三角形的面积公式得出，，即可得出结论； ②当将四边形分成面积相等的两部分时，经过点，则重合，连接并延长交轴于点，连接，延长交轴于点，则，根据①得出，则，设，则，得出，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵已知长方形，其中点，点． ∴ ∴，； （2）①，理由如下： 如图1，过点作于， 由平移知，轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴，即：； ②如图，∵四边形是长方形， ∴当将四边形分成面积相等的两部分时，经过点，则重合， 连接并延长交轴于点，连接，延长交轴于点，则， ∵ 设 ∴ 由①可得 ∴ ∴即 解得： ∴ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 坐标与图形变换、综合应用 常考题型·精准突破 【题型 1】坐标系内点的平移，平移前后坐标变化规律 【题型 2】坐标平面内求几何图形面积（割补法） 【题型 3】坐标与图形轴对称综合作图 【题型 4】坐标系中点运动规律探究（坐标递推、循环规律） 【题型 5】坐标背景下的几何简单计算、分类讨论题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆【题型・1】坐标系内点的平移，平移前后坐标变化规律 1．已知过，两点的直线平行于y轴，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了平行于坐标轴的直线的性质，掌握“平行于 y 轴的直线上的点横坐标相同”是关键． 根据平行于 y 轴的直线上点的横坐标相等，即可求解． 【详解】∵ 过，两点的直线平行于 y 轴， ∴ A、B两点的横坐标相等，即． 故选B． 2．在平面直角坐标系中，已知点，，直线与x轴平行，则a为（   ） A．1 B．－1 C．0 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形的性质。当两个点的纵坐标相等时，它们的连线与x轴平行，据此列出方程求解即可． 【详解】解：∵直线与轴平行， ∴， ∴， 故选：C． 3．在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位，再向下平移3个单位到点，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律，平移规律为：左右平移改变横坐标，右移加、左移减；上下平移改变纵坐标，上移加、下移减，按照规律计算即可得到结果． 【详解】解：∵点向右平移个单位，横坐标加，再向下平移个单位，纵坐标减 ∴的横坐标为，的纵坐标为 ， ∴点的坐标为． 4．如图，正方形中顶点，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2024次变换后，正方形的顶点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查坐标系上点的翻折，平移后点的坐标，依据要求正确求出变化后点的坐标是解题关键． 依次按要求变化后写出坐标，得出坐标与变化次数n的关系即可． 【详解】解：∵点，轴，且边长为2， ∴点的坐标为， 第1次变换后， 第2次变换后， 第3次变换后， 第4次变换后， …… 从而找到规律：当为奇数时，；当为偶数时，． ∴当时，． 故选B． 5．在平面直角坐标系中，将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】根据点平移的坐标变化规律，向右平移横坐标增加，向下平移纵坐标减少，计算即可得到答案． 【详解】解：∵点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移至线段的位置，其中点的对应点为点，点的对应点为点若点的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据点A和点C的坐标可判断出平移方式，再根据平移方式可得点D的坐标． 【详解】解：∵将线段平移至线段的位置，其中点的对应点为点，点的对应点为点，， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴点的坐标为，即． ◆【题型・2】坐标平面内求几何图形面积（割补法） 7．如图，在平面直角坐标系中，将线段向右平移得到线段，则线段在平移过程中扫过的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的性质，线段平移扫过的图形是平行四边形，其面积等于平移距离乘以线段在垂直于平移方向上的高度，由图读出关键点坐标计算即可． 【详解】解：由图可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∵线段向右平移得到线段， ∴点平移到点，点平移到点， ∴平移距离为， ∴线段在平移过程中扫过的图形是平行四边形，其底边长为平移距离3，高为点到轴的距离1， ∴扫过的面积． 8．已知点、、、，那么四边形的面积等于______． 【答案】 【分析】根据四个点的坐标特征，判断出，可知四边形为梯形，再根据坐标计算梯形的上底、下底和高，代入梯形面积公式求解即可． 【详解】解：点，的纵坐标相等， 轴，， 点，的纵坐标相等， 轴，， ，四边形是梯形，梯形的高， ∴． 9．已知点，点A在x轴上，且三角形的面积是3，则点A的坐标是________ 【答案】或 【分析】根据x轴上点的坐标特征确定点A的纵坐标为0，将看作的底边，得到三角形的高为点B纵坐标的绝对值，结合三角形面积公式求出的长度，分情况得到点A的坐标，即可解题． 【详解】解：设点的坐标为，则， ，点在轴上， 中，边上的高为点的纵坐标的绝对值，即高为， 三角形的面积是3， ， 解得或， 点的坐标为或． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知，将线段平移到，D，E分别在x轴和线段上．当三角形是三角形面积的3倍时，点D的坐标为__________． 【答案】或 【分析】设，线段上的点到x轴距离都相等，设为，则，，根据三角形是三角形面积的3倍，列方程求解． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∵将线段平移到， ∴线段上的点到x轴距离都相等，设为， ∵三角形是三角形面积的3倍， ∴， ∴， 解得或， ∴点D的坐标为或． 11．在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，，在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，则点的坐标为____________． 【答案】或 【分析】作轴于点，作轴于点，把四边形分成两个直角三角形和一个直角梯形，分别计算面积，相加得到四边形的面积，据此求出点的纵坐标． 【详解】解：如图，作轴于点，作轴于点，则四边形被分成了直角三角形，直角三角形，直角梯形， ， ， ， ， 或， 点的坐标为或． 12．如图，在平面直角坐标系中，是x轴负半轴上一点，C是y轴负半轴上的一点，轴并交y轴负半轴于，且，点B在第三象限，且． (1)求点A、B、C的坐标； (2)求 (3)如图2，点P从A出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，点Q从O出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度移动，在点P、Q移动的过程中，连接、，使的面积是面积的5倍，求出点P的坐标； 【答案】(1) (2)36 (3)或 【分析】（1）非负性求出的值，即可得出结果； （2）根据梯形的面积公式进行求解即可； （3）根据三角形的面积公式以及两个三角形的面积公式列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴，且， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴； （3）解：设的移动时间为，则由题意，得， ∴，， ∵的面积是面积的5倍， ∴， 解得或， ∴或， ∴或. ◆【题型・3】坐标与图形轴对称综合作图 13．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的顶点坐标分别是，，． (1)在图中画出关于y轴对称的图形； (2)内有一点，在内的对称点的坐标为_______. (3)的面积为______． 【答案】(1)如图所示，即为所求； (2) (3) 【分析】（1）根据关于轴对称的点的坐标特征来确定、、的坐标，再进行绘制即可． （2）根据关于轴对称的点的坐标特征求解即可． （3）使用割补法，通过构造一个包含的长方形，然后用长方形的面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到的面积． 【详解】（1）略 （2）解：因为点， 所以其关于轴对称的点的坐标为． （3）解：构造一个以、、三点为顶点的长方形， 该长方形的四个顶点坐标分别为、、、， 可得长方形的面积为， 则的面积为长方形的面积减去周围三个直角三角形的面积， 即 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，， (1)求三个顶点关于x轴对称的点的坐标； (2)作出关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）的对称图形； (3)直接写出点关于直线轴对称的点的坐标____． 【答案】(1) (2)画图见解析 (3) 【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特点可得答案． （2）分别确定关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称的对称点，再顺次连接即可． （3）根据对称的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵三个顶点的坐标分别为，，， ∴三个顶点关于x轴对称的点的坐标为：，，． （2）解：如图，即为所求． （3）解：点关于直线的对称点的坐标为． 15．安徽省黄山市黟县塔川村红叶景观被誉为“中国四大秋色之一”，每年深秋时节吸引着大量的游客和摄影爱好者前往．如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，一片枫叶的顶点均在格点上，点A的坐标是． (1)将枫叶沿y轴正方向平移6个单位长度，画出平移后的图形，并写出点B的对应点的坐标； (2)画出（1）中平移后的枫叶关于y轴对称的枫叶，并写出点的对应点的坐标． 【答案】(1)画图见解析；点的坐标为； (2)画图见解析；点的坐标为． 【详解】（1）解：如图所示，位于第二象限的枫叶即为所求， 点的坐标为； （2）解：如图所示，位于第一象限的枫叶即为所求， 点的坐标为． ◆【题型・4】坐标系中点运动规律探究（坐标递推、循环规律） 16．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的同行点，已知点的同行点为点，点的同行点为点，点的同行点为点，，这样依次得到点，，，，，若点的坐标为，则点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据“同行点”的定义计算出前几个点的坐标，找出循环周期，再利用周期性计算的坐标即可． 【详解】解：∵点的坐标为，根据同行点定义可得：的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， ∴坐标每个为一个循环周期， ∵，余数为， ∴的坐标与周期中第个点的坐标相同，为． 17．如图，在平面直角坐标系中，点第1次向右跳动1个单位至点，紧接着第2次向上跳动1个单位至点，第3次向左跳动2个单位至点，第4次向上跳动1个单位至点，第5次又向右跳动3个单位至点，第6次向上跳动1个单位至点，…照此规律的坐标是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出前几个点的坐标，找出规律，再根据规律解答． 【详解】解：观察发现： ， ， ， ， ， ， ， ， ……， ∴ ， ， ， （为自然数）， ， ∴对应的形式，其中， ∴ ，即． 18．如图，在平面直角坐标系中，，，，是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点，依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点落在点的位置，第2次滚动使点落在点的位置，…，按此规律滚动下去，则第2026次滚动后，顶点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列举几次滚动后的点坐标，找到滚动次数与点坐标之间的规律，进而求出第2026次滚动后顶点的坐标． 【详解】解：第1次滚动点的坐标为， 第2次滚动点的坐标为， 第3次滚动点的坐标为， 第4次滚动点的坐标为， 第5次滚动点的坐标为， …， 每滚动4次一个循环， ，，，， ， ， 即． 19．正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿的路线运动，当运动秒时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质以及点的坐标得出，，，结合运动速度得出走一圈花费时间为秒，根据即可得出点坐标． 【详解】解：∵四边形是正方形，点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿的路线运动， ∴运动一周花费的时间为（秒）， ∵， ∴秒时，点运动了周后，再运动秒， ∴点的坐标为． 20．如图，在平面直角坐标系中，动点P按图中箭头所示方向从原点出发，第1次运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点…，按这样的运动规律，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图中给出的已知点的坐标分别找出这些点的横坐标规律和纵坐标规律，再得出答案即可． 【详解】解：由图象得：，，，，… ∴第n个点的横坐标为n， ∴点的横坐标为26， 第1个点，第5个点，第9个点，第个点的纵坐标为， 第2个点，第6个点，第10个点，第个点的纵坐标为， 第3个点，第7个点，第11个点，第个点的纵坐标为， 第4个点，第8个点，第12个点，第个点的纵坐标为， ∵， ∴点的纵坐标为2， 即． 21．如图，动点P按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，则第2026次运动到点（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：观察可知，第次运动到点的横坐标为，纵坐标以1，0，2，0四个数为一组进行循环， ∵， ∴第2026次运动到点的横坐标为2026，纵坐标为0，即. 22．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿箭头所示方向，每次移动个单位长度，依次得到点，，，，，，，，，…，则的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：观察图形，第8个点一个循环周期， 余1， ∴点在第一象限， 再观察图形，，，，， ∵，，， ∴到达的编号是， 当时，， 当时，， ∴， ∴． ◆【题型・5】坐标背景下的几何简单计算、分类讨论题 23．在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段平移得线段．点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)如图1，直接写出、、、四个点的坐标； (2)如图2，、分别平分、，求的度数； (3)如图3，连接交轴于点，在坐标轴上是否存在点，使得三角形的面积是三角形的面积的，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2) (3)存在，点坐标为或或或 【分析】（1）利用绝对值以及二次根式的非负性可得的值，从而确定、的坐标，根据平移后对应点的坐标特点可得平移规则从而确定、的坐标； （2）根据平移的性质可得，作利用平行线的性质可得的和为，再作将拆分为的和，结合角平分线即可解答； （3）先通过分割法求得三角形的面积，从而确定三角形的面积，再对点的位置分类讨论，当点在轴上时，以为公共底边用分割法表示三角形的面积列方程求解，当点在轴上时，以为底，以点的纵坐标为高列方程求解即可． 【详解】（1）解：，且，， ，所以点坐标为，点坐标为， 线段平移得线段，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上， 平移方式为向左平移5个单位，再向下平移5个单位， 点的坐标为，点的坐标为． （2）解：过点作， ， ， ， ， 过点作， ， ， ， ， 、分别平分、， ， ， ． （3）解：由已知，交轴于点，且点的坐标为， ， 过点作轴， ， 由点的坐标为可知， ， ， 若点在轴上，设点， 所以， ， 解得或， 所以点坐标为或， 若点在轴上，设点， 所以， ， 解得或， 所以点坐标为或， 综上所述，点坐标为或或或． 24．如图，已知点，且满足．将线段先向上平移4个单位，再向右平移1个单位后得到线段，连接，． (1)直接写出__________；__________； (2)点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向上运动．设运动时间为秒，当为多少时，四边形的面积等于10？ (3)点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向上运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴向左运动，直线交轴于点．在运动过程中，和的面积之差是否会发生变化？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的值不会变化， 理由：如图1，当点N在线段上时， ∵， ∴； 如图2，当点N在x轴的负半轴时， ∵， ∴， 综上所述：是定值8． 【分析】（1）本题考查绝对值的非负性，完全平方的非负性，利用非负性可求a，b的值，即可得到答案； （2）本题考查平移的性质，由平移的性质可得点，点，，，，，由面积关系可求解； （3）分点N在线段上，当点N在x轴的负半轴上两种情况讨论，由面积和差关系可求解； 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴点，点； （2）解：∵将线段先向上平移4个单位，再向右平移1个单位后得到线段，，点， ∴点，点，，， ∴，， ∴四边形的面积， ∵四边形的面积等于， ∴点M在点C下方， ∴四边形的面积四边形的面积， ∴； （3）略 25．如图1，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且，满足．现同时将点、分别向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点、的对应点，．连接、、． (1)请分别写出、，，四点的坐标______，______，______，______； (2)如图2，是线段的中点，是直线上的一个动点，连接，．当点在线段两点之间运动时（点不与点、重合），请猜想，，三个角之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)在（2）的条件下，若点在，两点外侧运动（与点，不重合），请直接写出，，之间的数量关系是______． 【答案】(1)，，， (2)，证明如下： 过点作交轴于点，如图， 根据平移可知：， ∴， ∴，， ∵， ∴； (3)或 【分析】（1）根据非负性的性质，求解与的值，由此可得点、的坐标，根据平移的性质即可求解点，； （2）添加辅助线，过点作交轴于点，根据平移的性质可得，利用平行线的性质得到角度的关系，由此可证； （3）分类讨论点在下方时，与点在上方时，两种情况，添加辅助线构造平行线，结合平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，满足， ∴，， 解得，， ∴点，， ∵同时将点、分别向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度， 得到点、的对应点，． ∴点，即；点，即； 综上，点，，，； （2）略 （3）解：当点在下方时，过点作交轴于点，如图， 根据平移可知：， ∴， ∴，， ∵， ∴； 当点在上方时，过点作交轴于点，如图， 根据平移可知：， ∴， ∴，， ∵， ∴； 综上，，，之间的数量关系是或． 26．在平面直角坐标系中，点、分别在y轴、x轴的正半轴上，且实数a，b满足等式：，点是第四象限内的点． (1)求点A、B的坐标；求m的取值范围； (2)若点C到y轴的距离是到x轴距离的倍，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，将线段沿x轴正方向平移2个单位长度，得到线段．在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且的面积为12．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，；； (2) (3) 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性质得出a，b的值，即可得出点A和点B的坐标，再根据点坐标在第四象限列出关于m的一元一次不等式组，求解即可得出m的取值范围． （2）根据点到坐标轴的距离列出关于m的一元一次方程，求解进而可得出点C的坐标． （3）根据平移的性质得出，，表示出和的面积，由面积相等可得出y的值，再由的面积得出x的值即可． 【详解】（1）解：，，且两者和为0， ， 解得：，， ，． 点在第四象限， ，解得：． 的取值范围为． （2）解：点到y轴的距离为，到x轴的距离为． 根据题意列方程得：， 解得； ，， 点C的坐标为． （3）解：∵沿x轴正方向平移2个单位，得到线段， ∴，， ∴，中边上的高为， 故； 同理，中边上的高为， 故． ∵与的面积相等， ∴， 解得； ∴， 如图，过点C作轴于点D， ∵，，， ∴，， ∴， ∴点P在右边， 当点P的坐标为时，如图， ∴， ∴， ∴点P的横坐标，如图，过点A作轴，过点C作轴，过点P作轴， ∴，，，， ∴， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为． 综合攻坚·知能拔高 1．建立适当的平面直角坐标系，使点M，点N的坐标分别为，，则线段的中点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴线段的中点坐标为． 2．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，若点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】关于对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同． 【详解】解：∵点与点关于轴对称，点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标为． 3．已知点在第二象限，且到两坐标轴的距离相等，则a的值为（     ） A．4 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据点M在第二象限得出，，再根据点M到两坐标轴的距离相等得出，再化简绝对值即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴， 解得． 4．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是经过2026次变换后所得的点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察图形可知每四次变换为一个循环组依次循环，用除以，根据余数确定变换后的点所在的象限及坐标． 【详解】解：由图可知变换规律如下： 第1次关于轴对称，点变为； 第2次关于轴对称，点变为； 第3次关于轴对称，点变为； 第4次关于轴对称，点变为，回到初始位置； 每4次变换为一个循环组； ； 第2026次变换后的位置与第2次变换后的位置相同； 点的坐标为． 5．若点与点关于原点对称，则的值为（     ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】先根据关于原点对称的点的坐标特点，得到，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， 解得， ∴． 6．如图，在平面直角坐标系中，从点，…，依次扩展下去，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，点在第二象限，再根据第二象限点的规律即可得出结论． 【详解】解：由题意可得规律坐标四个一循环，下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限， ， 点在第二象限， 点，点，点， 故可知位于第二象限的点， 点，即． 7．已知点与点关于轴对称，则的值为______． 【答案】 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ． 8．如图，小红设置了一个击球小程序，在点处第一次击球到点，第二次击球到点，第三次击球到点，第四次击球到点．按此规律，第次击球到点，则点的坐标为_________． 【答案】 【分析】根据题意观察坐标变化，找到坐标变化规律即可． 【详解】解：点处第一次击球到点， 第二次击球到点， 第三次击球到点， 第四次击球到点， 观察发现，横坐标每次增加， ∴横坐标的变化规律为，其中为击球次数， 观察纵坐标变化规律，发现击球次数为偶数时，纵坐标为，击球次数为奇数时，纵坐标为， ∴第次击球时，横坐标为， 为偶数， ∴纵坐标为， ∴第次击球到点，的坐标为． 9．如图①，小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为轴，对称轴为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取，则图②中转折点的坐标是________． 【答案】 【分析】先求得点P的横坐标，结合图形中相关线段的和差关系求得点P的纵坐标． 【详解】如图，过点C作轴于D， ∴，，， ∴． 10．已知：如图，平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为、． (1)若点坐标为，求三角形的面积； (2)直线经过点，且平行于轴，问直线上是否存在一点，使三角形的面积为6，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)15 (2)点的坐标为或． 【详解】（1）解：∵、， ∴， ∵点坐标为， ∴三角形的面积； （2）解：根据题意设点的坐标为， ∵， ∴， ∴，即， ∴点的坐标为或． 11．在平面直角坐标系中，已知，且、满足，点为轴上一点，点为轴上一点． (1)直接写出点的坐标； (2)如图1，若点，，连接、、，求的度数； (3)如图2，若，点与点关于轴对称，点在第四象限，且为等边三角形，连接，直线与直线交于点，与轴交于点，请找出线段、、之间数量关系并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)解：， 证明：为等边三角形， ，， 又点与点关于轴对称， ， ， ， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 在上取点P关于y轴的对称点G，连接，则， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可知，从而可以求出，即可得到点的坐标； （2）作点关于轴的对称点，过点A作轴于D，得到，证明，得是等腰直角三角形，得，由此求出； （3）由为等边三角形，及点与点关于轴对称，推出，，设，则，得到，即，在上取点P关于y轴的对称点G，连接，则，证是等边三角形，得，，进而证明，得，由此得到结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 点的坐标为； （2）解：如下图所示，作点关于轴的对称点，过点A作轴于D， 则， ， 点，，， 点的坐标为，， ∴，， ∴， ， ， ∴， 是等腰直角三角形， ， ； （3）略 12．如图①，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴正方向平移，平移后的图形为三角形，点的坐标为，且． (1)________，________； (2)如图②，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒，回答下列问题： ①当________时，点的横坐标与纵坐标相等； ②当点在上运动时，点的坐标为________；（用含的式子表示） ③当时，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． ④当直线将四边形的面积分成两部分时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2) ； ； ，理由： 当时，点在上运动，则过作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴， 或． 【分析】（1）由非负数的性质得出，； （2）由点在上运动，，则的纵坐标为，根据点的横坐标与纵坐标相等，得出，求出的值即可； 当点在上运动，则点的横坐标为，由（1）得，，进而可得，，最后列代数式即可； 当时，点在上运动，则过作，则有，然后根据平行线的性质即可求解； 由（1）得，，进而求得四边形的面积为，直线将四边形的面积分成两部分，然后分当在上时和当在上时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， （2）解：∵点在上运动，， ∴点的纵坐标为， ∵点的横坐标与纵坐标相等， ∴，解得： ； 由平移性质可知，， ∵点在上运动， ∴点的横坐标为， ∵，， ∴，，， 由平移性质可知，，， ∴，即点的纵坐标为， ∴点的坐标为； 略 ∵，， ∴，， 由平移性质可知，，，，， ∴四边形的面积 ， ∵直线将四边形的面积分成两部分 ∴当在上时，， ∴，解得：； ∴当在上时，， ∴， ∴； ∴， ∴， ∴当直线将四边形的面积分成两部分时，的值为或． 13．在平面直角坐标系中，已知长方形，其中点，点． (1)填空：点的坐标为______，点的坐标为______； (2)若点是轴上的动点，连接． ①如图1，当点在轴正半轴时，线段与线段相交于点，用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系，并说明理由； ②当将四边形分成面积相等的两部分时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)①，理由见解析；② 【分析】（1）根据长方形的性质，结合坐标系，即可求解； （2）①先求出，再用三角形的面积公式得出，，即可得出结论； ②当将四边形分成面积相等的两部分时，经过点，则重合，连接并延长交轴于点，连接，延长交轴于点，则，根据①得出，则，设，则，得出，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵已知长方形，其中点，点． ∴ ∴，； （2）①，理由如下： 如图1，过点作于， 由平移知，轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴，即：； ②如图，∵四边形是长方形， ∴当将四边形分成面积相等的两部分时，经过点，则重合， 连接并延长交轴于点，连接，延长交轴于点，则， ∵ 设 ∴ 由①可得 ∴ ∴即 解得： ∴ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $