6.5二次函数与一元二次方程（分层作业，17大题型）数学新教材苏科版九年级下册

分层作业 6.5 二次函数与一元二次方程 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 求抛物线与x轴的交点坐标 题型02 判断抛物线与x轴的交点情况 题型03 由二次函数图象确定相应方程根的情况 题型04 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 题型05 已知二次函数的函数值求自变量值 B组 能力进阶 题型01 求抛物线与y轴的交点坐标 题型02 根据抛物线与x轴的交点个数求参 题型03 根据一元二次方程的根的情况求参 题型04 确定x轴与抛物线的截线长 题型05 利用不等式求自变量或函数值的范围 题型06 抛物线与直线的交点问题 C组 思维拔高 题型01 抛物线与x轴交点上的四点问题 题型02 图象法解一元二次不等式 题型03 根据抛物线与斜直线解一元二次不等式 题型04 由抛物线与线段的交点个数问题求字母取值范围 题型05 由几何变换后交点个数确定字母的取值范围 题型06 二次函数与一元二次方程综合辨析题 求抛物线与x轴的交点坐标题型01 1．抛物线与x轴的交点坐标为（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过解方程即可得到抛物线的与x轴交点的坐标． 【详解】解：当y=0时，， 解得x1=-1，x2=3， 所以抛物线的与x轴交点的坐标是（-1，0），（3，0）． 故选C． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 2．（2025·河北保定·二模）已知抛物线与x轴交于点A和B，则的值为（    ） A．－5 B．－1 C．3 D．7 【答案】A 【分析】根据韦达定理可知，，然后将其代入所求的代数式求值即可． 本题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题时，充分利用了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的根与系数的关系，难度不大． 【详解】解： 由抛物线与x轴交于点A和B， 知，． ∴． 故选：A． 3．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B，点C在抛物线上，其坐标为，若，则点B的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与轴交点的性质，根与系数的关系（韦达定理）以及两点间距离公式的应用和解一元二次方程． 先将点的坐标代入得到关于，的关系式，再利用根与系数的关系得到，然后将代入求出，的值，从而得出抛物线表达式，最后令得到一元二次方程，解方程便可得到抛物线与轴的交点坐标即可． 【详解】解：将点代入抛物线，得：， 化简得：，即， 设抛物线与x轴交点，，则： ，， ， ，即， ， ， 将代入得：， 化简得：，解得， ， ， 令，得，整理得：， 解得：，， 抛物线与轴的交点坐标为，． 故选： D． 4．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，对称性，求出二次函数的对称轴，根据对称性求出另一个交点的坐标即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线为， ∵抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为； 故答案为：． 5．求二次函数与轴、轴的交点坐标. 【答案】、、 【分析】本题考查了抛物线与x轴，y轴的交点坐标的计算，分别令，列式计算即可. 【详解】∵， 令，得， 解得， ∴二次函数与轴交点坐标为、； 令，得， ∴二次函数与轴交点坐标为. 判断抛物线与x轴的交点情况题型02 1．（25-26九年级·期中）抛物线与轴交点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．以上都不对 【答案】C 【分析】令抛物线函数值为0，得到对应一元二次方程，通过根的判别式判断方程实数根个数，即可确定抛物线与x轴交点的个数． 【详解】解：当时， ， ∴该方程有2个不相等的实数根， ∴抛物线与x轴交点的个数为2． 2．（25-26九年级上·浙江·月考）抛物线与坐标轴的交点个数为（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】考查知识点为二次函数与坐标轴的交点问题、一元二次方程判别式的应用．解题思想与方法：利用“函数与坐标轴的交点，即分别令、”的方法，结合一元二次方程判别式判断与x轴的交点情况，体现了代数与几何结合的思想．解题关键：准确计算判别式的值，以判断抛物线与x轴的交点个数；同时牢记与y轴交点的求法．易错点：容易忽略与y轴的交点，或在计算判别式时出错，导致交点个数判断错误． 首先求与y轴的交点：令，代入抛物线解析式计算y的值，得到与y轴的交点．接着求与x轴的交点：令，得到一元二次方程，通过计算判别式的值，判断方程的解的个数，即可． 【详解】与y轴交点：令，得，即，1个交点． 与x轴交点：令，方程的判别式，无交点． 所以交点个数为． 故选：C． 3．（25-26九年级上·湖北应城·期中）二次函数的图象与坐标轴交点的情况是（    ） A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．有三个交点 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点，分别求出抛物线与坐标轴的交点坐标即可得出结论． 【详解】解：当时，， 解得， 故图象与轴的交点为； 当时，， 故图象与轴的交点为， ∴图象与坐标轴的交点为和，共两个交点， 故选：C． 4．直线经过第一、三、四象限，则抛物线与轴的交点个数为（      ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【答案】A 【分析】由直线y=x+2m经过第一，三、四象限可得，2m＜0，再由△=22-4（1-m）=4m＜0，可判断抛物线与x轴无交点． 【详解】解：∵直线y=x+2m经过第一，三、四象限， ∴2m＜0， 又由抛物线y=x2+2x+1-m的解析式可知，△=22-4（1-m）=4m＜0， ∴抛物线与x轴无交点． 故选：A． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，二次函数图象与x轴交点的个数问题；熟记一次函数过象限时k，b的正负，并了解如何判断抛物线与x轴交点个数是解题基础． 5．（25-26九年级上·福建厦门·月考）二次函数的函数值与自变量的四组对应值如下表所示： 6.15 6.18 6.21 6.24 0.02 0.02 0.11 则方程有___________个根（填“0”，“1”或“2”） 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、方程与函数的关系；用到的思想是函数与方程思想；方法是利用二次函数的连续性判断函数值的正负变化来确定方程根的个数；解题关键是根据表格中函数值的正负变化，结合二次函数图像是抛物线（最多有两个不同的x值使来判断；易错点是忽略二次函数的连续性以及抛物线的特征，错误判断根的个数． 首先观察表格里x对应的y值，发现当x在不同区间时，y值从负数变为正数，因为二次函数是连续的，所以在这些区间内必然存在使的x值．又因为二次函数的图像是抛物线，最多有两个不同的x值能让，所以可以得出方程有2个根． 【详解】由表格可知，当时，； 当时，，y从正数变为负数． 当时， 当时，y从负数变正数． 由于二次函数图像是抛物线，最多有两个不同的x值使， 所以方程有2个根． 故答案为：2． 由二次函数图象确定相应方程根的情况题型03 1．在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图像如图所示，则方程的根的情况是(    ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】B 【分析】直接根据抛物线与轴的交点情况即可得出答案． 【详解】解：二次函数的图像与轴有两个交点， 方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的联系，正确利用数形结合的方法是解题关键． 2．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，若的部分图像如图所示，则关于的方程的另一个解为（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的了二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键利用数形结合的思想分析问题．首先根据二次函数的对称性，通过对称轴得出二次函数与轴的交点坐标，结合二次函数与轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，即可获得答案． 【详解】解：∵根据图像知，抛物线与轴的一个交点是，且对称轴为， ∴根据对称性，抛物线与轴的另一交点为， ∴令，即， ∴方程的解是，， 即方程的另一解为． 故选：D． 3．已知二次函数的图象经过与两点，关于的方程有两个根，其中一个根是3．则关于的方程有两个整数根，这两个整数根是（  ） A．或0 B．或2 C．或3 D．或4 【答案】B 【分析】由题意可得方程的两个根是﹣3，1，方程在y的基础上加m，可以理解为二次函数的图象沿着y轴平移m个单位,由此判断加m后的两个根,即可判断选项． 【详解】二次函数的图象经过与两点，即方程的两个根是﹣3和1， 可以看成二次函数y的图象沿着y轴平移m个单位,得到一个根3， 由1到3移动2个单位，可得另一个根为﹣5.由于0＜n＜m， 可知方程的两根范围在﹣5~﹣3和1~3， 由此判断B符合该范围． 故选B． 【点睛】本题考查二次函数图象与一元二次方程的综合,关键在于方程加减任意数值可理解为在图像上进行平移． 4．抛物线图象如图所示，求解一元二次方程．    （1）方程的根为 ___； （2）方程的根为 ___； （3）方程的根为 ___； 【答案】 ， ， 【分析】（1）根据图象，利用抛物线与x轴交点的横坐标是方程的根求解即可； （2）根据图象，利用抛物线与直线交点的横坐标是方程的根求解即可； （3）根据图象，利用抛物线与直线交点的横坐标是方程的根求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得：抛物线与x轴的两个交点为， ∴方程的根为，， 故答案为：，； （2）解：由图象可得：抛物线与直线的两个交点为， ∴方程的根为，， 故答案为：，； （3）解：由图象可得：抛物线与直线的一个交点为， ∴方程的根为， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用图象法求一元二次方程的根，熟练掌握方程的根为抛物线与x轴交点的横坐标，方程的根为抛物线与直线交点的横坐标是解题的关键． 5．设二次函数（a，b是常数，），部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … (1)试判断该函数图象的开口方向． (2)根据你的解题经验，直接写出的解． (3)当时，求函数y的值． 【答案】(1)向上 (2) (3)5 【分析】（1）根据表格中数据即可直接判断该函数图象的开口方向向上； （2）由表格可求出该抛物线的对称轴为直线，从而可求出该抛物线与x轴的另一个交点坐标，进而可得出的解； （3）由抛物线的对称性可知当时，y的值与当时，y的值相等，进而得出答案． 【详解】（1）∵当时，；当时，；当时，， ∴该函数图象的开口方向向上； （2）∵当时，；当时，， ∴该抛物线的对称轴为直线． 又∵当时，， ∴当时，， ∴的解为：； （3）∵该抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y的值与当时，y的值相等． ∵当时，， ∴当时，函数y的值为5． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．由表格求出该二次函数的对称轴是解题关键． 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解题型04 1．已知二次函数的变量x，y的部分对应值如下表： x … 0 1 … y … 1 2 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用表格可知随着x的增大，的值逐渐增大，在和时函数值由负数变为正数，即可得到方程的一个近似解的范围． 【详解】解：观察表格可知，随着x的增大，的值逐渐增大，在和时函数值由负数变为正数， ∴一元二次方程的一个近似解在和之间，即． 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2．（25-26九年级上·江苏常州·月考）二次函数部分x和y的值如表：则方程的较大的根范围是（   ） x y 0.61 0.24 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、利用表格确定一元二次方程的近似根等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，最后根据二次函数图象的对称性即可解答． 【详解】解：依题意，函数的对称轴为直线， 由表格数据可得： 当时，；当时，， ∴的较小的根的范围为， 设较小根为，较大根为， ∵函数的对称轴为直线， ∴， 当时，； 当时，， ∴的较大的根的范围是． 故选：C． 3．抛物线如图所示，利用图象可得方程的近似解为________（精确到0.1）． 【答案】 或1.7 【分析】抛物线与x轴的两个交点，就是方程的两个根． 【详解】解：∵抛物线与x轴的两个交点分别是、， 又∵抛物线与x轴的两个交点，就是方程的两个根， ∴方程的两个近似根是 或1.7． 故答案为： 或1.7 【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程，在解答过程中，注意二次函数与一元二次方程之间的联系，并从中择取有用信息解题． 4．在探究关于x的二次三项式的值时，小明计算了如下四组值： 小明说，他通过这四组值能得到方程的一个近似根，这个近似根的个位是______，十分位是______． 【答案】 1 1 【分析】根据表格可得，则方程的一个近似根取值范围为：，即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得：， ∴方程的一个近似根取值范围为：， ∴这个近似根的个位是1，十分为是1， 故答案为：1，1． 【点睛】本题主要考查了求一元二次方程的近似根，解题的关键是掌握正确理解表格中的数据，根据表格得出近似根的取值范围． 5．利用二次函数的图象求一元二次方程的实数根．（精确到0.1） 【答案】 【分析】首先画出二次函数的图象，然后利用图象求解即可． 【详解】解：方程的根是函数的图象与轴的公共点的横坐标． 作出二次函数的图象（如图）．    由图象可知方程有两个根，一个根在和0之间，另一个根在2和3之间．先求和0之间的根． 当时，； 当时，． 因此，是方程的一个近似根． 同理，2.4是方程的另一个近似根． 综上，方程的实数根为（根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1均可）． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，函数图象与x轴交点的横坐标是相应方程的解． 已知二次函数的函数值求自变量值题型05 1．已知二次函数，当y＝0时，x的值是（　　） A．2或 B．或6 C．或1 D．或 【答案】B 【分析】此题考查了抛物线与轴的交点，列出关于的方程是解本题的关键．令得到关于的一元二次方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：令，得到， 即， 解得：或6． 故选：B 2．（25-26九年级上·河南南阳·质检）根据下表中二次函数的取值情况，可知方程的根是（   ） … 0 1 2 3 4 … … 15 8 3 0 0 3 8 … A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程解的关系． 将方程转化为，方程的根即为二次函数中函数值为3时对应的值，通过表格查找对应即可求解． 【详解】解：∵方程可变形为， ∴该方程的根是二次函数的函数值为3时对应的值， 由表格数据可知，当时，；当时，， ∴方程的根是，． 故选：B． 3．已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：则关于x的方程的解是_______． x … 0 3 8 … y … 2 2 … 【答案】或5 【分析】本题主要考查求二次函数的性质，二次函数与一元二次方程等知识点，从列表中获取信息是解题的关键． 根据列表可知抛物线经过和对称轴，进而求得c，则，即，当时对应的x值，然后根据列表即可解答． 【详解】解：根据列表可知：当时，；当时，；当时，， ∴二次函数的解析式为，对称轴为， ∵， ∴， 由列表可得：当时，． ∵抛物线的对称轴为， ∴当时，． ∴关于x的方程的解是或5． 故答案为：或5． 4．已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点在该函数图象上，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为； (2)B点坐标为或． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将点代入求解即可． 【详解】（1）设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 抛物线解析式为； （2）把代入得， 解得，， 点坐标为或． 5．已知抛物线：经过点． (1)用含的代数式表示； (2)若抛物线与轴交于两点，（点在点左侧），且，求点的坐标； (3)当时，自变量x的取值范围是：或，若点在抛物线上，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据题意，将点代入解析式即可求解； （2）根据（1）的结论得出，令，即，根据一元二次方程根与系数的关键，结合题意，得出关于的一元二次方程，解方程得出或，然后分类讨论，即可求解； （3）根据已知条件得出对称轴为直线，则，得出抛物线解析式为，得出抛物线与轴交点坐标为，；根据与有2个不等实数根求得，进而令求得当在抛物线上时的的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线：经过点． ∴ ∴； （2）解：∵ ∴， 令，即 ∴ ∵抛物线与轴交于两点，（点在点左侧），且，即① ∴ 解得：或 当，即② 由①②得， ∴ 当，即③ 由①③得 ∴ 综上所述，或 （3）解：∵当时，自变量x的取值范围是：或 ∴当时，的两个根为或，且， 对称轴为直线 ∴ 即 ∴抛物线解析式为 令，即 解得：，则抛物线与轴交点坐标为，； ∵时，， ∴，又， 解得：； 当时，解析式为 ∵在抛物线上， ∴ 解得：或     ∵，抛物线开口随着的绝对值的增大开口越小， ∴或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 求抛物线与y轴的交点坐标题型01 1．抛物线与轴的交点坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求图象与y轴的交点坐标，令x＝0，求y即可． 【详解】当x＝0时，y＝-4， 所以y轴的交点坐标是（0，-4）． 故选：C． 【点睛】主要考查了二次函数图象与y轴的交点坐标特点，解题的关键是熟知函数图像的特点． 2．（25-26上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知抛物线，则该抛物线与轴交点的纵坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数与y轴的交点坐标，求出时的函数值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴该抛物线与轴交点的纵坐标为， 故答案为：． 3．已知函数． (1)将此函数配方为顶点式； (2)函数图象的对称轴___________； (3)函数图象与x轴的交点坐标为___________，与y轴的交点坐标为___________； (4)画出函数图象示意图． 【答案】(1)； (2)直线； (3)； (4)见解析 【分析】（1）即二次函数配方成顶点式即可； （2）由二次函数顶点式直接得出该二次函数图像的对称轴； （3）分别令中的及，即可求出该二次函数图像与x轴及y轴的交点坐标； （4）直接画出二次函数图像即可． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）由（1）知，函数的对称轴为直线， 故答案为直线； （3）令，解得：或3，令，则， 故答案为； （4）画出图象示意图如下： 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是要非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 4．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，已知二次函数的图象与轴分别交于点和点，与轴交于点． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及二次函数图象与轴交点坐标求法、平面直角坐标系中三角形面积求法等知识，熟记二次函数相关问题解法是解决问题的关键． （1）根据二次函数图象与轴交点坐标求法求解即可得到答案； （2）根据平面直角坐标系中三角形面积求法求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在二次函数中， 当时，， 即， 则， 解得或， ∴，， ∴； （2）解：在二次函数中， 当时，则， ∴点，即， ∴． 5．已知二次函数（，a，b均为常数）过点． (1)求该二次函数图象的对称轴； (2)若函数y的最大值为5，求该二次函数图象与y轴的交点坐标． 【答案】(1)直线； (2) 【分析】（1）将点代入解析式，得出，进而根据对称轴公式，即可求解； （2）根据（1）的结论结合已知得出该二次函数图象的顶点坐标为，进而求得解析式，令，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入， 得， ， ， ∴该二次函数图象的对称轴为直线； （2）解：将代入，得， ∵函数y的最大值为5， ∴该二次函数图象的顶点坐标为． 将点代入，得， 解得， ∴二次函数的解析式为． 当时，， ∴该二次函数图象与y轴的交点坐标为． 根据抛物线与x轴的交点个数求参题型02 1．若二次函数y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．k＞﹣1 B．k≤1且k≠0 C．k＜﹣1 D．k≥﹣1且k≠0 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义得到；根据一元二次方程的根的判别式的符号列出不等式，通过解不等式即可求得k的取值范围． 【详解】解：∵二次函数与x轴有交点， 方程有根的判别式为： ∴且， 解得且， 故选：D． 【点睛】题目二次函数与一元二次方程的关系，理解二者交点与根的关系是解题关键． 2．若二次函数（为常数）的图象在的部分与轴有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据题意二次函数的图像在的部分与x轴要有两个公共点，所以只需把x= 和x=5代入二次函数解析式中，使得它们对应的函数值大于或等于零即可，最后构建不等式组求解即可． 【详解】 二次函数的图像在的部分与x轴有两个交点 当 x=和x=5时，得 解得 此不等式的解集为 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像，关键是根据题意得到在自变量所对应的函数图像是在x轴的上方还是下方，也可以试着画函数图像来分析问题，进而构建不等式组来求解． 3．二次函数 的图象与x轴有唯一交点，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题． 二次函数图象与x轴有唯一交点，判别式为零． 【详解】解：方程的判别式为． ∵二次函数的图象与x轴有唯一交点， ∴令， 得， 解得． 故答案为：． 4．已知函数的图象与x轴只有一个交点，则这个交点的坐标为________． 【答案】或 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系．正确记忆二次函数的性质是解题关键．分与两种情况考虑，对于时，函数是二次函数，由一元二次方程根的判别式即可求得k，再解一元二次方程即可求得交点坐标． 【详解】解：①当时，函数是一次函数； 令，则， 解得：， 即交点为， ②当时，函数是二次函数， ∵函数图象与x轴只有一个交点， ∴， 即， 令，则， 解得：， 即交点为． 综上，函数与x轴的这个交点为或． 故答案为：或． 5．（24-25九年级上·甘肃天水·期末）已知抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，令，由题意可得，，进而可得答案． 【详解】解：令， 由题意可得，， 解得． ∴k的取值范围为． 根据一元二次方程的根的情况求参题型03 1．对于一个函数，如果自变量取时，函数值也等于，那么我们称为这个函数的不动点．如果二次函数有两个相异的不动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，理解并掌握不动点的概念是解题的关键， 由函数的不动点概念得出是方程的两个实数根，由可得且当时，据此列不等式组求解即可. 【详解】解：由题意知是方程的两个实数根且， 整理得:， ∵有两个不相等的实数根且， ∴①， 令，画出该二次函数的草图如下:    ∵， ∴当时，即②， ①②联立解得：． 故选：A． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）二次函数（，为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，利用图象判断一元二次方程的解．直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：由图可知，当时，与有交点， 所以若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是． 故答案为：． 3．已知抛物线与轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求出抛物线与x轴交点的横坐标，然后根据抛物线与轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，列不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴当y=0时，， 解得， ∵抛物线与轴的一个交点的横坐标大于1且小于2， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线与x轴交点区间求参数范围，掌握先求抛物线与x轴交点，列不等式，解不等式是解题关键． 4．（2026·福建漳州·模拟），为方程的两个实数根，则k的取值范围为_____． 【答案】且 【分析】方程有两个实数根，说明该方程为一元二次方程，二次项系数不为，且根的判别式大于等于，再利用图象法解不等式即可． 【详解】解：，为方程的两个实数根， 该方程为一元二次方程，可得， 这里，，， ． 方程有两个实数根， ，即， 整理得，， 故令，其函数图象如下图所示： 当时，即， ，即，， 由图象可知，当时，即， 此时，， 综上，的取值范围是且． 5．已知二次函数． (1)求顶点坐标和对称轴，并画出函数图像． (2)当时方程有解，请根据图像直接写出t的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标是，对称轴是直线，函数图像如图所示：    (2) 【分析】（1）利用配方法得到，则根据二次函数的性质得到二次函数图像的顶点坐标和对称轴，然后利用描点法画出二次函数的图像； （2）方程有解理解为抛物线与直线有交点，从而根据图像得到t的取值范围． 【详解】（1） ∴顶点坐标是，对称轴是直线． 列表： x … … －2 －1 0 1 2 3 4 … … y … … －4 －2 －4 … … 根据上表描点、连线，即可画出函数图像； （2）解：由图像可知，当抛物线与直线有交点时，． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 确定x轴与抛物线的截线长题型04 1．若方程的两根为，3，则抛物线与轴的两个交点间的距离是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点．求二次函数（，，是常数，）与轴的交点坐标，令，即，解关于的一元二次方程即可求得交点横坐标．根据抛物线与轴两交点横坐标为，3，利用两根关系求的值． 【详解】解：方程的两个根分别为，3， 抛物线与轴的两个交点的横坐标为，3， 抛物线与轴两个交点间距离为， 故选：C． 2．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得函数图象与轴的两个交点之间的距离为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出抛物线平移后的解析式可得抛物线与轴的交点坐标，进而求解． 【详解】解：将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后所得的函数解析式为，即为， 此抛物线与轴的两个交点坐标为，， 则此抛物线与轴的两个交点之间的距离为， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律和二次函数的交点式是解题关键． 3．（25-26九年级上·天津·月考）如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题． 直接根据图像作答即可． 【详解】解：由图可知抛物线与x轴交点间的距离为． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知抛物线，与x轴的交点A，B（点A在点B的左侧）． (1)若时，求点A，B的坐标． (2)若，求m的值及抛物线的对称轴． 【答案】(1) (2)，直线 【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，求二次函数的对称轴，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）求出函数值为0时x的值即可得到答案； （2）令函数值为0得到，则，，根据得到，则可得方程，解方程求出m的值，进而求出对称轴即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线解析式为， 在中，当时，， 解得或， ∴； （2）解：在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴抛物线的对称轴为直线． 5．（26-27九年级上·安徽六安·月考）已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … … … … (1)下列关于该二次函数的说法中，正确的是__________（填序号）： ①；②；③当时，的最小值为；④当时，的值随值的增大而增大． (2)若将该二次函数的图象沿轴向下平移个单位长度，交轴于，两点，求的长． 【答案】(1)①②③ (2) 【分析】（1）①利用对称点和的值相等，得到对称轴为，结合顶点坐标，判断开口方向，验证的符号；②由于图象过点，结合对称性可知，另一交点为，因此图象与轴存在两个不同交点，判别式大于；③开口向上的二次函数，在顶点处取得最小值，对应，；④二次函数的增减性以对称轴为分界点，对称轴右侧随的增大而增大，左侧随的增大而减小，因此时并非全部递增； （2）已知二次函数的顶点坐标，故优先使用顶点式设解析式，代入表格内的已知点求出参数，得到原函数解析式，由于图象沿轴向下平移个单位长度，故直接在解析式的常数项处减去，得到平移后的新函数，令新函数得到一元二次方程，利用直接开平方法解得两根，两根作差即可求得轴上，两点的距离． 【详解】（1）解：当和时的值都为，得到对称轴为，结合顶点坐标可判断二次函数开口向上，因此，①正确； 二次函数图象与轴有交点，结合对称性可得，另一个交点为，故存在两个不同的交点，因此，②正确； 二次函数的对称轴为，开口向上，因此当时，取得最小值，③正确； 由于二次函数的对称轴是，因此当时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，④错误． 综上所述，说法正确的是①②③． （2）解：设二次函数的解析式为， 将点代入得，解得． 抛物线的解析式为． 二次函数的图象沿轴向下平移个单位长度， ，即为． 令，则， 解得，． 与轴的交点为，． ． 利用不等式求自变量或函数值的范围题型05 1．（24-25九年级上·江苏无锡·月考）已知，当时，y的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题是二次函数图象上的点的坐标特征，主要从图象上看到关键的信息，解本题的关键是自变量的范围内包括对称轴，要特别注意．根据和时的函数值，再确定出抛物线的最低点的函数值，即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 而抛物线的对称轴为时，， 故选：C． 2．已知二次函数，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以计算出当时，函数值的取值范围． 【详解】 ∴该函数图象开口向上，对称轴是直线，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大 ∴当时，；当时， ∴当时，自变量的取值范围是或 故答案选C 3．（25-26九年级上·山东德州·期中）已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表：则当时，的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据表格数据，利用二次函数的对称性确定对称轴，再根据开口方向判断函数值小于时自变量的取值范围． 【详解】解：由表可知，当和时，， 二次函数的对称轴为直线， 当时，， 由对称性可知，当时，， 由表可知，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 二次函数开口向上， 当时，的取值范围为． 故答案为：． 4．已知二次函数． (1)求此函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)画出此函数的图像（不需要列表）； (3)若点和都在此函数的图像上，且，结合函数图像，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为； (2) 函数图像如下图所示： (3)或． 【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式求解即可； （2）先列表，然后描点、连线即可； （3）由函数图像过点和，根据函数图像求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：略． （3）解：∵函数图像过点和， ∴由函数图像可知，当时，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，画二次函数图像，图像法求自变量的取值范围，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向下平移4个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】(1) (2)或2 (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质． （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【详解】（1）解：由对称轴为直线， 则可设二次函数的解析式为， 把代入得， 解得． ∴； （2）解：点两次平移后坐标为，即， 由（1）可知． 两次平移后落在的图象上， ． 解得，． （3）解：由（1）可知． 当时， 最大值与最小值的差为， 解得：不符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为， 解得，（不符合题意，舍去）； 综上，n的取值范围为． 抛物线与直线的交点问题题型06 1．一元二次方程的近似根可以看做是下列哪两个函数图象交点的横坐标（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】变形原方程得到即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴一元二次方程的近似根可以看做是函数和图象交点的横坐标， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，正确变形是关键． 2．抛物线与直线只有一个公共点，则c的值是（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了函数与方程的关系，一元二次方程根的判别式．根据抛物线与直线只有一个公共点，得到方程有两个相等的实数根，即可求出． 【详解】解：当时 ，， ∴， ∵抛物线与直线只有一个公共点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 故选：D 3．（25-26九年级·期末）已知二次函数（为常数，且）的图象与一次函数（，为常数，）的图像相交于点，则关于的方程的解为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，方程的解即为二次函数与一次函数的图象的交点的横坐标，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ∵二次函数与一次函数的图象相交于点和， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 4．（2025·山东·模拟）对于任意函数，定义当时，若函数值，称为此函数的不动点．例如函数，当时，则点为此函数的不动点．则二次函数的不动点为_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查二次函数与方程的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念． 根据题意得出，代入函数求解即可． 【详解】解：根据题意得：当时，若函数值，称为此函数的不动点， 即， ∴ ，整理得：， 解得：或， ∴二次函数的不动点为或， 故答案为：或． 5．在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，，与x轴交于点A、B两点（点A在点B左侧）． (1)求该二次函数的解析式； (2)在二次函数的图象上有一个点C，若满足，求C点的坐标． (3)若一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为a和b，且，则一次函数恒过定点 ，m的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)或或或 (3)， 【分析】（1）将点，代入二次函数的解析式即可得； （2）先求出点的坐标，再根据建立方程，解方程即可得； （3）根据一次函数的解析式求出时，的值即可出定点的坐标；联立两个函数的解析式、结合求出的值，再根据建立不等式，解不等式即可得． 【详解】（1）解：将点，代入得：， 解得， 则该二次函数的解析式为． （2）解：令，则， 解得或， ， 由题意，设点的坐标为， ， ，即或， 解得或或或， 则点的坐标为或或或． （3）解：对于一次函数， 当时，， 则一次函数恒过定点， 联立，得， 解得或， 两函数图象的交点的横坐标分别为和，且， ， ， 解得， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数与一元二次方程的联系、二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 抛物线与x轴交点上的四点问题题型01 1．抛物线与轴的两个交点的横坐标分别为和，且，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依照题意画出二次函数及的大致图象，观察图象即可得出结论． 【详解】解：二次函数与x轴交点的横坐标为，将其图象往上平移2个单位长度可得出二次函数的图象． 观察图象，可知：． 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的图象，依照题意画出图象，利用数形结合解决问题是解题的关键． 2．已知抛物线的图象与x轴的两交点的横坐标分别，，而的两根为，则、、M、N的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，依题意画出函数和的图象草图，根据二次函数的图象可直接求解． 【详解】解：依题意，画出函的图象，如图所示． 函数图象为抛物线，开口向下，与x轴两个交点的横坐标分别为， 方程的两根是抛物线与直线的两个交点． 由，可知对称轴左侧交点横坐标为M，右侧为N． 由图象可知，， 故选：C． 3．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）“数形结合”是一种重要的数学思想方法，它是将抽象的数量关系与直观的几何图形相结合，通过“以形助数”和“以数解形”实现问题解决．示例：若，（）是关于的一元二次方程的两个根，且，则，，，的大小关系是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的关系；利用函数图像，将方程转化为抛物线与直线的交点问题，通过抛物线的开口方向和与轴的交点位置，判断根的分布范围． 【详解】解：如图 设，， ，是与轴的交点，且抛物线开口向上， 当或时，；当时，． 方程即求与抛物线的交点， ， 交点位于和． 又、为方程两根，且， ． 故选：C． 4．已知m，n()是一元二次方程的两个实数解，则a，b，m，n的大小关系可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过构造二次函数，结合图象判断方程的解与a、b的位置关系． 【详解】解：设，其图象是开口向上的抛物线，与轴交点为、， 原方程可化为，即抛物线与直线的交点横坐标为、， ∵ 抛物线开口向上，当在、之间时，， ∴抛物线与直线的两个交点分别在、的外侧，即两个交点的横坐标中，一个小于，另一个大于， ∴，故选项A符合题意． 5．（24-25九年级上·云南昭通·期末）已知抛物线与轴交于两点A，B（在的左侧），抛物线与轴交于两点在的左侧），且． (1)若抛物线经过点，求实数的值； (2)求与的交点坐标； (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3) 证明：当时，， 解得：， ； 当时，，解得：， ， ， ， 即， ， 则有：， ， ． 【分析】该题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与轴的交点等知识点，解题的关键是掌握二次函数与轴的交点求解方法． （1）将点代入即可求解． （2）联立和，结合，解出，即可解答． （3）分别求出，结合即可证明． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得：． （2）解：由题意得， ， ， ∴解得：． 当时，， 与的交点坐标为． （3）略 图象法解一元二次不等式题型02 1．如图，由二次函数的图象可知，不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】由求不等式的解集即求二次函数的图象在x轴上方时x的取值范围，再结合图象即可得出答案． 【详解】解：∵求不等式的解集即求二次函数的图象在x轴上方时x的取值范围， 又∵当时，二次函数的图象在x轴上方， ∴不等式的解集为． 故选：A． 【点睛】本题考查图象法解一元二次不等式．利用数形结合的思想是解题关键． 2．（24-25九年级上·河北保定·月考）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 先确定，再由根与系数的关系得到，继而设，则，则不等式化为，再由二次函数与不等式的关系即可求解． 【详解】解：关于的不等式的解集为， 令 ∴由图象得 ∴和是方程的两个根， ∴， ∴设， ∴， ∴不等式化为：， ∴， 令，当时，则， 解得：， ∵开口向上， ∴当时，， ∴解析为：， 故选：C． 3．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图是二次函数的图象的一部分，其对称轴是直线，与x轴的一个交点是，则不等式的解集是______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象求不等式的解集，根据二次函数图象的对称性求出抛物线与轴的另一个交点的坐标，图象法求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， 由图象可知：不等式的解集为； 故答案为：． 4．二次函数图象上部分点的坐标满足下表： … 0 1 2 3 4 … … 2 … 观察表格，的值为________，不等式的解集为________． 【答案】 【分析】利用二次函数的对称性先求出对称轴，再根据对称点的函数值相等求，结合开口方向求解不等式． 【详解】解：由表格可知，在二次函数图象上，点与点的纵坐标相等， ∴两点关于抛物线的对称轴对称，可得抛物线的对称轴为直线， ∵与关于直线对称， ∴与的函数值相等， ∵时， ∴； ∵顶点坐标为，顶点是二次函数的最高点，离对称轴越远函数值越小， ∴抛物线开口向下， ∵函数值对应的自变量为和， ∴不等式的解集为． 5．（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，抛物线与轴交于和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)观察图象，写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把点，点，代入抛物线，然后利用待定系数法确定解析式即可． （2）求得方程的两个根，利用数形结合思想解答即可． 本题考查了待定系数法，抛物线与方程的根，不等式的解集确定，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：把点，点，代入抛物线， 得， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：根据题意，得， 解得， 故不等式的解集为或． 根据抛物线与斜直线解一元二次不等式题型03 1．如图，一次函数与二次函数的图象交于和两点，当时，x的取值范围是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，由图象中抛物线在直线上方时x的取值范围求解．解题关键是掌握二次函数与不等式的关系． 【详解】解：由图象可得在点D，B之间时，二次函数图象在一次函数的上方， ∵， ∴当时，则， 故选：C 2．已知直线y=mx+n和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，且抛物线与x轴交于点（-1, 0）、（2,0），抛物线与直线交点的横坐标为1和，那么不等式mx+n ＜ax2+bx+c ＜0的解集是(     ) A．1＜x＜2 B．x＜或x＞1 C．＜x＜2 D．-1＜x＜2 【答案】A 【分析】直接根据二次函数的图象与一次函数的交点即可得出结论． 【详解】解：∵由函数图象可知，当时， ∴不等式的解集是1＜x＜2． 故选A． 【点睛】本题考查的是二次函数与不等式组，能根据函数图象求出不等式组的解集是解答此题的关键． 3．（25-26九年级下·浙江杭州·月考）已知二次函数的顶点在一次函数上，且当时，都有，的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】先对二次函数配方得到顶点坐标，将顶点代入一次函数得到a与b的关系，再根据整理得到关于x的不等式，利用开口向上二次函数的性质，只需区间端点处函数值即可满足区间内不等式恒成立，解不等式后取交集得到a的取值范围． 【详解】解：∵， ∴的顶点坐标为， ∵顶点在上， ∴将顶点坐标代入得：， 整理得， 即， 即， 将代入化简得， 对于二次函数， ∵二次项系数为，抛物线开口向上， 要使时恒成立，即恒成立，结合函数图象可知只需端点处函数值， 当时，， 整理得， 对于二次函数， 二次项系数为，抛物线开口向上， 当时，解得或2， ∴满足的a为， 当时，， 整理得， 对于二次函数， 二次项系数为，抛物线开口向上， 当时，解得或3， ∴满足的a为， 综上，a的取值范围是． 4．（25-26九年级上·江苏宜兴·月考）如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了利用函数图象求不等式的解集，根据图象可知在点的左侧和点的右侧不等式成立，再根据点、的横坐标写出不等式的解集． 【详解】解：由图象可知，在点的左侧和点的右侧不等式成立， 点的坐标是，点的坐标是， 不等式的解集是或． 故答案为：或． 5．已知：如图直线与抛物线交于A、B两点，C是抛物线顶点． (1)求A、B、C点的坐标； (2)求的面积； (3)直接写出的解集． 【答案】(1)点A、B、C的坐标分别为：、、 (2)15 (3) 【分析】（1）对于，当时，，则点，联立，解得：或，即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）对于，当时，，则点， 联立，解得：或， 即点A、B、C的坐标分别为：、、； （2）设直线交y轴于点， 则的面积； （3）观察函数图象知，的解集为． 【点睛】本题考查的是抛物线和x轴的交点，涉及到三角形的面积、解不等式等，有一定的综合性，难度适中． 由抛物线与线段的交点个数问题求字母取值范围题型04 1．已知抛物线，点，点，若抛物线与线段有且只有一个交点，则的取值范围为（   ） A．4或 B．4或 C．4或 D．4或 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，根据直线解析式为，根据选项令和，结合抛物线与线段有且只有一个交点利用排除法判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线顶点坐标，与轴交点坐标，， ∵点，点， ∴直线解析式为， 当时，点，点，此时点即为抛物线与线段唯一交点，符合题意，故排除选项C、D； 当时，点，点， 联立，解得或，则抛物线与线段有两个交点和，不合题意，故排除选项B； 故选：A． 2．二次函数的图象与一次函数的图象有且仅有一个交点，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】二次函数与一次函数只有一个交点，则方程只有一个实数根，由此求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与一次函数的图象有且仅有一个交点， ∴方程只有一个实数根， ∴只有一个实数根， 当时， ∴， ∴， 解得， 当时，，即，不符合题意； 当时，，即，符合题意； 当时， 令，当时，，当时，， ∵方程只有一个实数根， ∴二次函数在时与x轴只有一个交点， ∴， ∴， 当时，或，满足题意； 当时，或，不满足题意； 综上所述，或； 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是将问题转化为在上只有一个解，根据二次函数的性质即可求出答案． 3．已知二次函数． （1）当函数值时，的值为________ （2）当时，二次函数对应图象与直线有公共点，则的取值范围是________． 【答案】 或 或 【分析】(1) 将代入二次函数解析式求解一元二次方程即可得到的值； (2) 根据与二次函数的交点横坐标，要求交点落在区间内，分两种情况解不等式得到的取值范围． 【详解】解：(1) 把代入，得， 整理得， 因式分解得， 解得或； (2) 由(1)得，二次函数与直线的交点横坐标为和， ∵当时，二次函数对应图象与直线有公共点， ∴至少有一个交点的横坐标落在内，分两种情况讨论： 情况1： 解不等式得. 情况2： 解不等式得. 综上，的取值范围是或． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·联考）如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，，将线段向下平移个单位长度后与抛物线有1个交点，则k的取值范围是______．    【答案】或 【分析】本题考查二次函数的性质及图象的平移，由题意可知，将线段向下平移个单位长度，即为将抛物线向上平移个单位长度，平移后抛物线的解析式为，结合图形，找到临界点：当抛物线顶点恰好平移到线段上，当抛物线经过点时，求出对应的值，结合图形即可求解． 【详解】解：， 将线段向下平移个单位长度，即为将抛物线向上平移个单位长度， 平移后抛物线的解析式为，     当抛物线顶点恰好平移到线段上，此时，，可得； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，在线段上，不符合题意； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，不在线段上，符合题意； 结合图形可知，平移后的抛物线与线段仅有一个交点时，或； 故答案为：或． 5．如图，矩形中，，，抛物线顶点为M． (1)若抛物线对称轴左侧部分图象交y轴于点． ①求此时抛物线的表达式； ②设直线的解析式为，求当时x的取值范围． (2)若矩形的边与抛物线恰好有2个交点，直接写出此时m的取值范围． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】（1）把代入解方程即可； （2）先求直线表达式，再与二次函数解析式联立，求出交点坐标，再根据函数图像确定的解集； （3）找到两个临界状态，经过点C时，代入点C坐标，求出此时的m值，随着m的增大，当经过点B时，代入点B坐标，求出此时的m值即可． 【详解】（1）解：①把代入得：， 解得：或， 由题意得，对称轴在y轴右侧， ∴，即， ∴， ∴抛物线的表达式为； ②将，代入 得：， 解得：， ∴直线表达式为：， 联立，可得， 解得：， ∴的解集为：或； （2）解：， ∴抛物线开口方向不变，且顶点在直线上运动， 而对称轴为直线，随着m的增大，当抛物线经过点C时， 代入点得：， 解得：或（舍），此时， ∴此时抛物线与边有两个交点， 当抛物线经过点B时，代入点得：， 解得：或（舍）， ∴当时，矩形的边与抛物线恰好有2个交点． 【点睛】本题是一道二次函数综合题，待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，根据函数图像求不等式的解集，矩形的性质，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 由几何变换后交点个数确定字母的取值范围题型05 1．对于二次函数，定义函数是它的相关函数，若一次函数与二次函数的相关函数的图象恰好有两个公共点，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，二次函数的图象和性质，分两种情况解答：一次函数分别与，相交一点；一次函数与有两个交点，与不相交 ；求出的取值范围，即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：当时，二次函数的相关函数为 当时，二次函数的相关函数为， ∴二次函数的相关函数为， 二次函数的图象开口向上，与轴的交点为，对称轴为直线, 当时，随的增大而减小，当 时，随的增大而增大； 二次函数的图象开口向下，与轴的交点为，对称轴为直线，当时，随的增大而减小； 一次函数与轴的交点为 一次函数与二次函数的相关函数的图象恰好两个公共点可分为两种情况： 一次函数分别与，相交一点， 则有， 解得； 一次函数与有两个交点，与不相交 ， 则有， 解得， 且， 即有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴； 综上所述，或， ∴的值可能是， 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）把二次函数向上平移个单位长度（），如果平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，那么应满足条件________． 【答案】且 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换．先写出平移后的抛物线解析式为，根据题意平移后所得抛物线与x轴有两个公共点，且不经过原点，则根据根的判别式的意义得到且，然后解不等式组得到k的取值范围． 【详解】解：∵二次函数向上平移k个单位长度， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点， ∴平移后所得抛物线与x轴有两个公共点，且不经过原点， ∴且， 解得且， ∴k的取值范围为且． 故答案为：且． 3．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，过点作直线轴，将直线l下方的抛物线沿直线l向上翻折，其余部分不变，得到新图象，若直线和新图象恰好有3个交点，则的值为________． 【答案】（或0.5） 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 求出点，可得直线为，再求出抛物线的顶点坐标为，可得点关于直线的对称点为，再根据直线和新图象恰好有3个交点，可得直线过点，即可求解． 【详解】解：当时，， ∴点， ∵过点作直线轴， ∴直线为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵将直线l下方的抛物线沿直线l向上翻折，其余部分不变， ∴点关于直线的对称点为， ∵直线和新图象恰好有3个交点， ∴直线过点， ∴， 解得． 故答案为：． 4．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、 (1)求抛物线的表达式； (2)若将该抛物线向上平移个单位长度，使得平移后的抛物线与轴只有一个公共点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数的平移，解决本题的关键是掌握待定系数法求解析式和函数的图象特征及平移规律． （1）直接将点、代入，解得b、c的值即可求得表达式； （2）求得抛物线的顶点，再判断顶点经过怎样的平移能到x轴上即可． 【详解】（1）解：将点、代入， 得解得 抛物线的表达式． （2）解：， 该抛物线的顶点为． 要使抛物线与x轴只有一个公共点，即要求顶点在x轴上， 顶点纵坐标应为0． 将该抛物线向上平移5个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点． 的值是5． 5．（2025·湖北十堰·二模）抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C． (1)若点，求m的值； (2)如图，在（1）的条件下，点是抛物线上一点，点M为直线下方抛物线上一动点，求四边形的面积为S最大值及此时点M的坐标； (3)若点P是抛物线对称轴上一点，且点P的纵坐标为，作直线，将直线向下平移个单位长度得到直线，若直线与抛物线有且仅有一个交点． ①直接写出n关于m的函数关系式； ②直接写出当时m的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)①，②或 【分析】本题考查了二次函数与面积问题、待定系数法求函数解析式、求抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）代入到抛物线的解析式即可求解； （2）利用二次函数的性质求出的坐标，利用三角形的面积公式求出，过点作轴交直线于点，设，则，表示出，利用二次函数的性质即可求解； （3）①利用待定系数法求出直线的解析式为，根据函数平移得出直线的解析式为，结合直线与抛物线有且仅有一个交点，利用判别式即可求解；②利用图象法求不等式的解集即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∴． （2）解：由（1）得，， ∴抛物线解析式为， 令，则， ∴， 令，则， ∴， 令，则， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为， 代入和，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴， 过点作轴交直线于点， ∵，， ∴同理可得，直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴当时，S有最大值为，此时． （3）解：①的对称轴为直线， ∴， 设直线的解析式为， 代入和得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴平移后的直线的解析式为， 联立，整理得， ∵直线与抛物线有且仅有一个交点， ∴， ∴； ②令，则， 解得：，； 令，则， 解得：，； ∴当时，m的取值范围为或． 二次函数与一元二次方程综合辨析题题型06 1．如图是二次函数的部分图象，由图象可知下列说法错误的是（    ） A．， B．不等式的解集是 C． D．方程的解是， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的应用；能够根据二次函数图象特点求出函数与x轴的两个交点，数形结合是解题的关键．由图象判断，，对称轴是，再判断出，与x轴一个交点是，则另一个交点，结合函数图象即可求解． 【详解】解：由图象得：，，对称轴是， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∵对称轴是，函数图象与x轴一个交点是， ∴另一个交点， ∴不等式的解集是，故B错误，符合题意； ∵函数图象与x轴有两个不同的交点， ∴，故C正确，不符合题意； ∵函数图象与x轴的两个交点为和， ∴方程的解是，，故D正确，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）已知抛物线的位置如图所示．甲、乙、丙三人关于的一元二次方程的根的情况判断如下，其中正确的有（   ） 甲：当时，该方程有两个相等实数根； 乙：当时，该方程没有实数根； 丙：当时，该方程有两个不相等实数根． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查由函数图象交点个数判断一元二次方程的根的情况，根据题意，将关于的一元二次方程的根的情况转化为函数与的交点个数，分类作图讨论即可得到答案，熟练掌握由函数图象交点个数判断一元二次方程的根的情况的方法是解决问题的关键． 【详解】解：求关于的一元二次方程根的情况可转化为函数与的交点个数， 甲：当时，，如图所示： 函数与没有交点，即方程无解，甲错误； 乙：当时，，如图所示： 函数与有2个交点，即方程有两个不相等实数根，乙错误； 丙：当时，，如图所示： 函数与有2个交点，即方程有两个不相等实数根，丙正确； 综上所述，甲、乙、丙三人说法正确的只有丙1人， 故选：B． 3．函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，轴下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（    ） ①； ②； ③； ④； ⑤将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． A．①②③ B．①④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据图象判断出对称轴的位置，再利用二次函数的对称轴公式，即可得到，故①正确；由图象可判断二次函数与y轴的交点为，即，故②错误；根据图象判断，，结合，可知，故③正确；当时，，结合可判断④正确；求出原二次函数的表达式，即可判断函数顶点的坐标，可以得到将图象向上平移1个单位后，函数顶点的坐标为，继而得出直线与平移后的函数图象有3个交点，故⑤正确． 【详解】解：图象经过，， 抛物线的对称轴为直线， ， ，即，故①正确； ， 抛物线与轴交点在轴下方， ，故②错误； ， ， ，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 即，故④正确； ∵将点和代入， ∴，解得， ∴二次函数的表达式为：， ∵当时，， ∴图象上当时，函数顶点的坐标为， ∴将图象向上平移1个单位后，函数顶点的坐标为，如图所示：    故⑤正确； 综上：正确的有①③④⑤， 故选：D 4．（2025·四川广元·模拟）二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④若m为任意实数且，则；⑤若是抛物线上的两点，则，其中结论正确的有________．（填序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的相关性质并能结合图象进行分析判断． 通过分析二次函数图象的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点等，结合二次函数的性质，对每个结论进行逐一判断． 【详解】解：①由图象可知，抛物线开口向下，所以；对称轴为直线，根据对称轴公式，得，即，因为，所以；抛物线与轴的交点在轴正半轴，所以．那么，故①正确； ②由①得，即，故②正确； ③因为当时，，且对称轴为直线，所以当时，，故③不正确； ④因为对称轴为直线，且抛物线开口向下，所以当时，取得最大值，最大值为．对于任意实数，都有，两边同时减去，得，故④正确； ⑤点关于直线的对称点为． 因为抛物线开口向下，在对称轴右侧随的增大而减小， 又，所以，故⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 5．对于函数，若存在实数，使得，即一个函数图象上存在横坐标与纵坐标相等的点，则称该点是函数的“不动点”．例如，点是函数图象的“不动点”． (1)分别判断函数，的图象上是否存在“不动点”？如果存在，求出“不动点”的坐标；如果不存在，说明理由． (2)设函数，的图象的“不动点”分别为点A，B，过B作轴，垂足为C．当为等腰直角三角形时，求a，b的关系式； (3)若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，此时的解析式为，当，两部分组成的图象上恰有2个“不动点”时，求m的取值范围． 【答案】(1)函数图象上的“不动点”坐标为和； 函数的图象上不存在“不动点”， 在中，令得，方程无解， 函数的图象上不存在“不动点”； (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用， （1）在中，令求解即可判断函数图象上的“不动点”坐标；在中，令得，故函数的图象上不存在“不动点”； （2）求出的坐标，进而勾股定理求得，分三种情况讨论，①当为斜边时；②为斜边时；③为斜边，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． （3），两部分组成的图象上恰有个“不动点”，即是，两部分组成的图象与直线恰有个交点；求出函数的图象上的“不动点”坐标为和；画出图形可得当时，，两部分组成的图象与直线恰有个交点，即，两部分组成的图象上恰有个“不动点”；当抛物线与直线只有一个交点时可得，画出图形可得当时，，两部分组成的图象上恰有2个“不动点”． 【详解】（1）解：在中，令得， 解得或， 函数图象上的“不动点”坐标为和； （2）在中，令得， 解得或， ∵， ∴， 在中，令得， 解得， ∴； ∵过作轴，垂足为， ∴， ∴，，； ①当为斜边时，，且， ∴， ∴（不合题意，舍去）； ②为斜边时， ∴， 整理得， ∵，， ∴这种情况不存在； ③为斜边． ∴， ∴； 综上所述，，b的关系式为； （3）两部分组成的图象上恰有2个“不动点”，即是两部分组成的图象与直线恰有个交点； 在中，令得， 解得或， ∴函数的图象上的“不动点”坐标为和； 如图： 由图可知，当时，两部分组成的图象与直线恰有个交点，即两部分组成的图象上恰有2个“不动点”； 当抛物线与直线只有一个交点时，方程有两个相等实数根， ∴的，即， 解得， 如图： 由图可知，当时，两部分组成的图象与直线恰有个交点，即部分组成的图象上恰有个“不动点”； 综上所述，当或时两部分组成的图象上恰有个“不动点”． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 6.5 二次函数与一元二次方程 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 求抛物线与x轴的交点坐标 题型02 判断抛物线与x轴的交点情况 题型03 由二次函数图象确定相应方程根的情况 题型04 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 题型05 已知二次函数的函数值求自变量值 B组 能力进阶 题型01 求抛物线与y轴的交点坐标 题型02 根据抛物线与x轴的交点个数求参 题型03 根据一元二次方程的根的情况求参 题型04 确定x轴与抛物线的截线长 题型05 利用不等式求自变量或函数值的范围 题型06 抛物线与直线的交点问题 C组 思维拔高 题型01 抛物线与x轴交点上的四点问题 题型02 图象法解一元二次不等式 题型03 根据抛物线与斜直线解一元二次不等式 题型04 由抛物线与线段的交点个数问题求字母取值范围 题型05 由几何变换后交点个数确定字母的取值范围 题型06 二次函数与一元二次方程综合辨析题 求抛物线与x轴的交点坐标题型01 1．抛物线与x轴的交点坐标为（　　　） A． B． C． D． 2．（2025·河北保定·二模）已知抛物线与x轴交于点A和B，则的值为（    ） A．－5 B．－1 C．3 D．7 3．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B，点C在抛物线上，其坐标为，若，则点B的坐标为（  ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为______． 5．求二次函数与轴、轴的交点坐标. 判断抛物线与x轴的交点情况题型02 1．（25-26九年级·期中）抛物线与轴交点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．以上都不对 2．（25-26九年级上·浙江·月考）抛物线与坐标轴的交点个数为（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3．（25-26九年级上·湖北应城·期中）二次函数的图象与坐标轴交点的情况是（    ） A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．有三个交点 4．直线经过第一、三、四象限，则抛物线与轴的交点个数为（      ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 5．（25-26九年级上·福建厦门·月考）二次函数的函数值与自变量的四组对应值如下表所示： 6.15 6.18 6.21 6.24 0.02 0.02 0.11 则方程有___________个根（填“0”，“1”或“2”） 由二次函数图象确定相应方程根的情况题型03 1．在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图像如图所示，则方程的根的情况是(    ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 2．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，若的部分图像如图所示，则关于的方程的另一个解为（   ） A．1 B．0 C． D． 3．已知二次函数的图象经过与两点，关于的方程有两个根，其中一个根是3．则关于的方程有两个整数根，这两个整数根是（  ） A．或0 B．或2 C．或3 D．或4 4．抛物线图象如图所示，求解一元二次方程．    （1）方程的根为 ___； （2）方程的根为 ___； （3）方程的根为 ___； 5．设二次函数（a，b是常数，），部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … (1)试判断该函数图象的开口方向． (2)根据你的解题经验，直接写出的解． (3)当时，求函数y的值． 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解题型04 1．已知二次函数的变量x，y的部分对应值如下表： x … 0 1 … y … 1 2 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏常州·月考）二次函数部分x和y的值如表：则方程的较大的根范围是（   ） x y 0.61 0.24 A． B． C． D． 3．抛物线如图所示，利用图象可得方程的近似解为________（精确到0.1）． 4．在探究关于x的二次三项式的值时，小明计算了如下四组值： 小明说，他通过这四组值能得到方程的一个近似根，这个近似根的个位是______，十分位是______． 5．利用二次函数的图象求一元二次方程的实数根．（精确到0.1） 已知二次函数的函数值求自变量值题型05 1．已知二次函数，当y＝0时，x的值是（　　） A．2或 B．或6 C．或1 D．或 2．（25-26九年级上·河南南阳·质检）根据下表中二次函数的取值情况，可知方程的根是（   ） … 0 1 2 3 4 … … 15 8 3 0 0 3 8 … A．， B．， C．， D．， 3．已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：则关于x的方程的解是_______． x … 0 3 8 … y … 2 2 … 4．已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点在该函数图象上，求点的坐标． 5．已知抛物线：经过点． (1)用含的代数式表示； (2)若抛物线与轴交于两点，（点在点左侧），且，求点的坐标； (3)当时，自变量x的取值范围是：或，若点在抛物线上，求的取值范围． 求抛物线与y轴的交点坐标题型01 1．抛物线与轴的交点坐标为（  ） A． B． C． D． 2．（25-26上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知抛物线，则该抛物线与轴交点的纵坐标为___________． 3．已知函数． (1)将此函数配方为顶点式； (2)函数图象的对称轴___________； (3)函数图象与x轴的交点坐标为___________，与y轴的交点坐标为___________； (4)画出函数图象示意图． 4．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，已知二次函数的图象与轴分别交于点和点，与轴交于点． (1)求的长； (2)求的面积． 5．已知二次函数（，a，b均为常数）过点． (1)求该二次函数图象的对称轴； (2)若函数y的最大值为5，求该二次函数图象与y轴的交点坐标． 根据抛物线与x轴的交点个数求参题型02 1．若二次函数y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．k＞﹣1 B．k≤1且k≠0 C．k＜﹣1 D．k≥﹣1且k≠0 2．若二次函数（为常数）的图象在的部分与轴有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 3．二次函数 的图象与x轴有唯一交点，则_______． 4．已知函数的图象与x轴只有一个交点，则这个交点的坐标为________． 5．（24-25九年级上·甘肃天水·期末）已知抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围． 根据一元二次方程的根的情况求参题型03 1．对于一个函数，如果自变量取时，函数值也等于，那么我们称为这个函数的不动点．如果二次函数有两个相异的不动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）二次函数（，为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 3．已知抛物线与轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m的取值范围是________． 4．（2026·福建漳州·模拟），为方程的两个实数根，则k的取值范围为_____． 5．已知二次函数． (1)求顶点坐标和对称轴，并画出函数图像． (2)当时方程有解，请根据图像直接写出t的取值范围． 确定x轴与抛物线的截线长题型04 1．若方程的两根为，3，则抛物线与轴的两个交点间的距离是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得函数图象与轴的两个交点之间的距离为（      ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·天津·月考）如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________． 4．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知抛物线，与x轴的交点A，B（点A在点B的左侧）． (1)若时，求点A，B的坐标． (2)若，求m的值及抛物线的对称轴． 5．（26-27九年级上·安徽六安·月考）已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … … … … (1)下列关于该二次函数的说法中，正确的是__________（填序号）： ①；②；③当时，的最小值为；④当时，的值随值的增大而增大． (2)若将该二次函数的图象沿轴向下平移个单位长度，交轴于，两点，求的长． 利用不等式求自变量或函数值的范围题型05 1．（24-25九年级上·江苏无锡·月考）已知，当时，y的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知二次函数，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26九年级上·山东德州·期中）已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表：则当时，的取值范围是________． 4．已知二次函数． (1)求此函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)画出此函数的图像（不需要列表）； (3)若点和都在此函数的图像上，且，结合函数图像，直接写出m的取值范围． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向下平移4个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 抛物线与直线的交点问题题型06 1．一元二次方程的近似根可以看做是下列哪两个函数图象交点的横坐标（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 2．抛物线与直线只有一个公共点，则c的值是（    ） A． B．2 C． D．1 3．（25-26九年级·期末）已知二次函数（为常数，且）的图象与一次函数（，为常数，）的图像相交于点，则关于的方程的解为__________． 4．（2025·山东·模拟）对于任意函数，定义当时，若函数值，称为此函数的不动点．例如函数，当时，则点为此函数的不动点．则二次函数的不动点为_____． 5．在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，，与x轴交于点A、B两点（点A在点B左侧）． (1)求该二次函数的解析式； (2)在二次函数的图象上有一个点C，若满足，求C点的坐标． (3)若一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为a和b，且，则一次函数恒过定点 ，m的取值范围是 ． 抛物线与x轴交点上的四点问题题型01 1．抛物线与轴的两个交点的横坐标分别为和，且，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的图象与x轴的两交点的横坐标分别，，而的两根为，则、、M、N的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）“数形结合”是一种重要的数学思想方法，它是将抽象的数量关系与直观的几何图形相结合，通过“以形助数”和“以数解形”实现问题解决．示例：若，（）是关于的一元二次方程的两个根，且，则，，，的大小关系是（        ） A． B． C． D． 4．已知m，n()是一元二次方程的两个实数解，则a，b，m，n的大小关系可能为（     ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·云南昭通·期末）已知抛物线与轴交于两点A，B（在的左侧），抛物线与轴交于两点在的左侧），且． (1)若抛物线经过点，求实数的值； (2)求与的交点坐标； (3)求证：． 图象法解一元二次不等式题型02 1．如图，由二次函数的图象可知，不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D． 2．（24-25九年级上·河北保定·月考）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图是二次函数的图象的一部分，其对称轴是直线，与x轴的一个交点是，则不等式的解集是______． 4．二次函数图象上部分点的坐标满足下表： … 0 1 2 3 4 … … 2 … 观察表格，的值为________，不等式的解集为________． 5．（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，抛物线与轴交于和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)观察图象，写出不等式的解集． 根据抛物线与斜直线解一元二次不等式题型03 1．如图，一次函数与二次函数的图象交于和两点，当时，x的取值范围是（　　）    A． B． C． D． 2．已知直线y=mx+n和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，且抛物线与x轴交于点（-1, 0）、（2,0），抛物线与直线交点的横坐标为1和，那么不等式mx+n ＜ax2+bx+c ＜0的解集是(     ) A．1＜x＜2 B．x＜或x＞1 C．＜x＜2 D．-1＜x＜2 3．（25-26九年级下·浙江杭州·月考）已知二次函数的顶点在一次函数上，且当时，都有，的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 4．（25-26九年级上·江苏宜兴·月考）如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是________． 5．已知：如图直线与抛物线交于A、B两点，C是抛物线顶点． (1)求A、B、C点的坐标； (2)求的面积； (3)直接写出的解集． 由抛物线与线段的交点个数问题求字母取值范围题型04 1．已知抛物线，点，点，若抛物线与线段有且只有一个交点，则的取值范围为（   ） A．4或 B．4或 C．4或 D．4或 2．二次函数的图象与一次函数的图象有且仅有一个交点，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C．或 D．或 3．已知二次函数． （1）当函数值时，的值为________ （2）当时，二次函数对应图象与直线有公共点，则的取值范围是________． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·联考）如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，，将线段向下平移个单位长度后与抛物线有1个交点，则k的取值范围是______．    5．如图，矩形中，，，抛物线顶点为M． (1)若抛物线对称轴左侧部分图象交y轴于点． ①求此时抛物线的表达式； ②设直线的解析式为，求当时x的取值范围． (2)若矩形的边与抛物线恰好有2个交点，直接写出此时m的取值范围． 由几何变换后交点个数确定字母的取值范围题型05 1．对于二次函数，定义函数是它的相关函数，若一次函数与二次函数的相关函数的图象恰好有两个公共点，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）把二次函数向上平移个单位长度（），如果平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，那么应满足条件________． 3．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，过点作直线轴，将直线l下方的抛物线沿直线l向上翻折，其余部分不变，得到新图象，若直线和新图象恰好有3个交点，则的值为________． 4．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、 (1)求抛物线的表达式； (2)若将该抛物线向上平移个单位长度，使得平移后的抛物线与轴只有一个公共点，求的值． 5．（2025·湖北十堰·二模）抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C． (1)若点，求m的值； (2)如图，在（1）的条件下，点是抛物线上一点，点M为直线下方抛物线上一动点，求四边形的面积为S最大值及此时点M的坐标； (3)若点P是抛物线对称轴上一点，且点P的纵坐标为，作直线，将直线向下平移个单位长度得到直线，若直线与抛物线有且仅有一个交点． ①直接写出n关于m的函数关系式； ②直接写出当时m的取值范围． 二次函数与一元二次方程综合辨析题题型06 1．如图是二次函数的部分图象，由图象可知下列说法错误的是（    ） A．， B．不等式的解集是 C． D．方程的解是， 2．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）已知抛物线的位置如图所示．甲、乙、丙三人关于的一元二次方程的根的情况判断如下，其中正确的有（   ） 甲：当时，该方程有两个相等实数根； 乙：当时，该方程没有实数根； 丙：当时，该方程有两个不相等实数根． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，轴下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（    ） ①； ②； ③； ④； ⑤将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． A．①②③ B．①④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 4．（2025·四川广元·模拟）二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④若m为任意实数且，则；⑤若是抛物线上的两点，则，其中结论正确的有________．（填序号） 5．对于函数，若存在实数，使得，即一个函数图象上存在横坐标与纵坐标相等的点，则称该点是函数的“不动点”．例如，点是函数图象的“不动点”． (1)分别判断函数，的图象上是否存在“不动点”？如果存在，求出“不动点”的坐标；如果不存在，说明理由． (2)设函数，的图象的“不动点”分别为点A，B，过B作轴，垂足为C．当为等腰直角三角形时，求a，b的关系式； (3)若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，此时的解析式为，当，两部分组成的图象上恰有2个“不动点”时，求m的取值范围． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $