6.5 二次函数与一元二次方程（分层作业·练题型）数学新教材苏科版九年级下册
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内容正文：
分层作业
6.5 二次函数与一元二次方程
目 录
A组 巩固过关
题型01 抛物线与x轴交点问题
题型02 根据二次函数图像确定相应方程根的情况
题型03 图象法确定一元二次方程近似根
题型04 抛物线与坐标轴的交点问题
题型05 图象法解一元二次不等式
题型06 由交点确定不等式的解集
B组 能力进阶
C组 思维拔高
D组 链接中考
抛物线与x轴交点问题题型01
1．（2026·江苏南京·二模）函数（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【答案】D
【详解】当函数图象与x轴相交时，，可得一元二次方程，
，，，
，
任意实数的平方都大于等于0，
，
当时，，方程有1个相等的实数根，图象与x轴有1个公共点；
当时，，方程有2个不相等的实数根，图象与x轴有2个公共点；
因此函数图象与x轴公共点的个数是1或2，
故选：D．
2．（2026九年级·江苏·专题练习）如图为二次函数的图象，该图象与x轴的两个交点分别为，B．①对称轴为直线；②当时，y随x的增大而增大；③；④．其中说法正确的是_________（写出所有正确结果的序号）．
【答案】①③④
【详解】解：∵二次函数，
∴对称轴为直线，故①正确．
∵二次函数开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，故②错误；
∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，即，故③正确；
对于说法④：∵该二次函数图象与x轴的两个交点分别为，B，
∴点与点B关于对称轴对称，
∵该二次函数的对称轴为直线，
∴点，
将点代入二次函数中，得，
即，故④正确．
综上，说法正确的是①③④．
3．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）已知二次函数．
(1)若该二次函数图象与轴有两个交点，求的取值范围；
(2)若图象与轴相交于、两点，且，求的值；
(3)在（2）的条件下，若方程有实数解，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）解：在中，令，则，
∵该二次函数图象与轴有两个交点，
∴，
解得；
（2）解：在中，令，则，
∵二次函数图象与轴相交于、两点，
∴设点的横坐标为，点的横坐标为，则，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得；
（3）解：将代入方程得，
∴，
∵方程有实数解，
∴，
解得．
4．（2026·江苏连云港·二模）已知关于的函数（是实数）．
(1)当时，直接写出对称轴及与轴的交点坐标；
(2)若对于任意实数，总有，求实数的取值范围；
(3)设函数的图象与轴交点为，，若，求实数的取值范围．
【答案】(1)对称轴，交点坐标；(2)；(3)
【详解】（1）解：当时，则，
，
抛物线的对称轴为直线，
当时，，
抛物线与轴的交点为；
（2）解：若对于任意实数，总有，
当时，，不满足题意，
当时，函数为二次函数，
抛物线开口向上，与轴没有交点，
，且，
，
整理得，
解得，
实数的取值范围是；
（3）解：函数的图象与轴交点为，且，
当时，，不满足题意，
当时，函数为二次函数，且时的函数的值与异号，
时，，
，或，
解得．
根据二次函数图像确定相应方程根的情况题型02
1．（九年级上·江苏扬州·期末）已知抛物线如图所示，则关于x的方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】D
【详解】解：∵的图象顶点纵坐标为8，
∴的最大值是8
∴
∴关于x的方程没有实数根．
故选：D．
2．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________．
【答案】
【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，该抛物线与x轴的一个交点为，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
∴由图像可知，方程的解是．
3．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，，将线段向下平移个单位长度后与抛物线有1个交点，则k的取值范围是______．
【答案】或
【详解】解：，
将线段向下平移个单位长度，即为将抛物线向上平移个单位长度，
平移后抛物线的解析式为，
当抛物线顶点恰好平移到线段上，此时，，可得；
当抛物线经过点时，此时，可得，
此时关于对称轴对称的点，在线段上，不符合题意；
当抛物线经过点时，此时，可得，
此时关于对称轴对称的点，不在线段上，符合题意；
结合图形可知，平移后的抛物线与线段仅有一个交点时，或；
故答案为：或．
4．（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．
如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若直线（不平行对称轴所在直线）与抛物线只有一个交点时，求的取值．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）解：将，代入，得
解得，，故抛物线表达式为．
（2）解：联立，得，
因直线与抛物线只有一个交点，故，
整理得，
解得．
图象法确定一元二次方程近似根题型03
1．根据下列表格对应值：
x
判断关于x的方程的一个解x的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵当时，，
当时，，
∴关于的方程的一个解的范围是．
故选：B．
2．（九年级上·江苏常州·期中）根据下列表格的对应值：
x
0.59
0.60
0.61
0.62
0.63
0.0044
0.0269
判断方程一个解x的取值范围为 _____．
【答案】
【详解】解：由表中数据可知：当时，；当时，，
∴当时，在与之间，
∴方程一个解x的取值范围为，
故答案为：．
3．抛物线如图所示，利用图象可得方程的近似解为________（精确到0.1）．
【答案】 或1.7
【详解】解：∵抛物线与x轴的两个交点分别是、，
又∵抛物线与x轴的两个交点，就是方程的两个根，
∴方程的两个近似根是 或1.7．
故答案为： 或1.7
抛物线与坐标轴的交点问题题型04
1．（九年级上·江苏连云港·期末）若函数的图象与坐标轴只有两个交点，则b的值是____．
【答案】或
【详解】解：是二次函数，当时，，
函数图象与轴恒有一个交点，
函数图象与坐标轴只有两个交点，分两种情况讨论：
情况1：抛物线与轴只有一个交点，且交点不是原点，
此时根的判别式，且，即，
解得，
情况2：抛物线与轴有两个不同交点，且其中一个交点为原点，此时原点为抛物线与坐标轴的公共交点，总交点数为，
将代入函数解析式得，
检验：当时，，抛物线与轴有两个不同交点，符合题意；
综上，的值为或．
2．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知抛物线与轴的一个交点为．
(1)求的值；
(2)求此抛物线与轴另一个交点的横坐标．
【答案】(1)；2)
【详解】（1）解：抛物线过点，
将代入解析式：
，
，
，
，
．
（2）解：把代入抛物线解析式：
，
令，则，
因式分解:，
解得：，
已知一个交点横坐标是，
抛物线与轴另一个交点的横坐标为．
3．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）已知抛物线（m为常数）．
(1)若抛物线与x轴的一个交点为，则抛物线与x轴的另一个交点坐标是 ；
(2)求证：不论m取何实数，抛物线与x轴总有公共点．
【答案】(1)；2)证明略
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴的一个交点为
∴，
解得，
∴，
∴对称轴为直线，即对称轴为轴．
∵抛物线与x轴的一个交点为，
则抛物线与x轴的另一个交点坐标是．
（2）证明：∵
∴，
∵对于所有实数m，，
∴，
∴抛物线与x轴总有公共点，
即不论m取何实数，抛物线与x轴总有公共点．
4．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)求抛物线与坐标轴的交点坐标；
(3)将二次函数的图象向左平移个单位后恰好经过坐标原点，求m的值．
【答案】(1)（或）；2)与轴交点坐标为、，与轴交点坐标为；（3）的值为或
【详解】（1）解：设二次函数解析式为，
∵函数图象过点，
∴，
解得，
∴该二次函数的解析式为．
（2）令，得，
∴抛物线与轴的交点坐标为；
令，得，
解得，，
∴抛物线与轴的交点坐标为、．
（3）将二次函数图象向左平移个单位后，所得函数解析式为，
∵平移后的图象经过坐标原点，
∴把代入解析式得，
解得，，
∵，
∴的值为或．
图象法解一元二次不等式题型05
1．如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【详解】解：由函数图象得：二次函数的对称轴为直线，
∴点关于直线的对称点的坐标为，
∴关于x的不等式的解集是
故选：C．
2．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为________．
【答案】/
【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，
∴对称轴为直线，
又∵该函数的图像与轴交于点，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：，
由图象可知：当时，，
∴不等式的解集为，
故答案为：．
3．如图，二次函数与一次函数为的图象相交于A，B两点，则不等式的解为______．
【答案】/
【详解】解：由图象可知，与图象的交点的横坐标为和3，
∵当时，的图象在的图象的下方，
∴不等式的解为：，
不等式的解为：．
故答案为：．
4．（江苏南京·二模）（1）解方程：．
（2）直接写出二次函数的图像与x轴交点的坐标．
（3）直接写出不等式的解集．
【答案】（1），；（2）（，0），（，0）；（3）x＜或x＞
【详解】解：（1）x2+x1=0
x2+x=1，
x2+x+=1+，
（x+）2=，
x1=，x2=．
（2）令x2+x-1=0，
解得x1=，x2=．
∴抛物线y=x2+x-1与x轴交点坐标为（，0），（，0）．
（3）∵抛物线开口向上，
∴x＜或x＞．
由交点确定不等式的解集题型06
1．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【详解】解：，
去括号得：，
移项得：，
即，
由函数图象可知，当时，
二次函数的图象在一次函数的图象上边，
不等式的解集为．
故选：C．
2．（2026·江苏·一模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_________．
【答案】
【详解】解：联立得，即，
∵抛物线与直线交于，两点，
∴，，
∴；
联立得，即，
设方程的两个实数根分别为，
∴，，
∴m、n可以看作是关于x的一元二次方程的两个实数根，
解方程得或，
∴关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，
∴抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，，
∴不等式的解集为，
∴不等式的解集是．
3．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，则不等式的解集是_____．
【答案】
【详解】解：∵，
即二次函数值小于一次函数值，
抛物线与直线交点为，，
当时，一次函数的图象在二次函数的图象上方，此时二次函数值小于一次函数值，
即的解集为，
故答案为：．
4．如图，平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，抛物线经过点A，B．
(1)求A，B两点坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)根据图象，直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，；(2)；(3)．
【详解】（1）解：令，代入得，
解得，
∴，
令，代入得，
∴；
（2）解：∵抛物线经过、，
将代入得，
∴，
将、代入得，
解得，
∴抛物线解析式为；
（3）解：∵直线与坐标轴交于、，
∴由图象可知，不等式的解集是．
1．（江苏无锡·二模）已知m，n（）是关于x的方程的两根，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设二次函数，
由于二次项系数为，且，
则抛物线开口向上，与轴交于，两点，
原方程的两根，就是抛物线与直线交点的横坐标，
由于，则抛物线开口向上，
如图：
则较小的根在的右侧，较大的根在的左侧，
即得到．
2．根据下列表格，判断一元二次方程（，、为常数）的一个解的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：当时，，
当时，，
当时，的值会从负变为正，即存在使得，
方程的一个解的取值范围是．
故选：．
3．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根与（），则实数a的取值范围是________．
【答案】且
【详解】解：∵方程是一元二次方程，
∴，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴根的判别式，
计算判别式：
，
由得：
整理得：
解方程，由求根公式得：
，
∵二次函数开口向上，不等式的解集为两根之间，
∴，
结合，可得的取值范围是且．
4．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则______．
【答案】
【详解】解：将二次函数的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为，即，
令，则，解得，，
∴抛物线与轴的两个交点的横坐标分别为2018和2020，
∴．
5．（2026·江苏徐州·二模）如图为二次函数的图象，该图象与x轴的两个交点分别为，B．下列说法正确的是_________（写出所有正确结果的序号）．
①对称轴为直线；②当时，y随x的增大而增大；③；④．
【答案】①③④
【详解】解：对于说法①：∵二次函数，
∴对称轴为直线，
∴①正确，符合题意；
对于说法②：∵二次函数开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，
∴②错误，不符合题意；
对于说法③：∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴，
∵二次函数，
∴，
∴即，
∴③正确，符合题意；
对于说法④：∵该二次函数图象与x轴的两个交点分别为，B，
∴点与点B关于对称轴对称，
∵该二次函数的对称轴为直线，
∴点，
将点代入二次函数中，得：，
即，
∴④正确，符合题意．
综上，说法正确的是：①③④．
6．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴相交于点，与轴相交于，两点（点在点的左侧）．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求点的坐标；
(3)连结，，求四边形的面积．
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）解：已知顶点，设顶点式．
把代入：
，
，
，
抛物线解析式为．
（2）解：令，则
解得，．
∵在左侧，
，．
（3）解：如图所示，连接，把四边形分割为和：
，
，
．
7．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G．
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标．
(2)当时，y的取值范围是 ．
(3)当时，若图象G与平行于x轴的直线有且只有一个公共点，求出m的取值范围．
【答案】(1)；；(2)；(3)或
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于、两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为，
在中，当时，，
∴点C的坐标为；
（2）解：∵抛物线解析式为，
∴对称轴为直线，顶点坐标为，且抛物线开口向下，
∴离对称轴越远，函数值越小；
∵，
∴在中，当时，，
∴当时，函数的最小值为，最大值为9，即；
（3）解：当直线恰好经过点C时，
则，
解得，
此时图象与直线有且只有一个公共点，如图：
当直线恰好经过点P时，
则，
解得或（舍去），
此时图象与直线有且只有两个公共点，如图：
当直线恰好经过抛物线的顶点时，
则，
解得，
此时图象与直线有且只有一个公共点；
当时，若直线与线段有交点（不包括端点），此时满足图象与直线有且只有一个公共点，
∴，
解得（舍去），
当时，若直线与线段有交点（不包括端点），此时满足图象与直线有且只有一个公共点，
∴，
解得；
综上所述：当或时，图象与直线有且只有一个公共点．
1．（九年级下·江苏常州·开学考试）对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，随的增大而增大是随机事件．其中结论正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】解：①由图象可知：，
∵对称轴为直线：，
∴，
∴，故①错误；
②∵抛物线与轴有两个交点，
即有两个不相同的根，
∴，
∴，故②正确；
③∵对称轴为直线，则与的函数值相等，
∴当时，，故③错误；
④当时，，
∴，故④正确；
⑤当时，取到最小值，此时，，
而当时，，
所以，
故，即，故⑤正确，
⑥当时，y随的增大而减小，当时，y随的增大而增大，
所以当时，随的增大而增大是随机事件，故⑥正确，
故结论正确的是②④⑤⑥.
2．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）已知函数（k是常数，），（a是常数，），则函数与x轴的交点坐标为______；若在同一平面直角坐标系中，无论k为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围是______．
【答案】 或
【详解】解：∵，
∴函数(是常数，)的图象过定点
∵，
∴函数是常数，与轴的交点为，
当时，无论为何值，函数和的图象总有公共点，
∴满足题意；
当时，
∵无论为何值，函数和的图象总有公共点，
∴时，，即，
解得，
∴满足题意；
∴无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围是或．
3．（25-26九年级下·江苏镇江·阶段检测）已知一次函数与二次函数 （）的图像交于点，且直线与抛物线只有一个公共点，二次函数的对称轴为直线，给出以下五个结论：
① ；②；③ 点 P是抛物线的顶点；④ 当 时，；⑤ 若点 在抛物线上，点 在直线上，则 的最小值为 0，其中正确结论的序号是_________．
【答案】
【详解】解：∵ 点在一次函数上，
∴ 将代入得，
解得，故②正确．
∵ 二次函数的对称轴为，
∴ ，得．
∵ 点在抛物线上，
∴ ，
将代入得．
联立一次函数与二次函数得，
整理得：，
∵ 直线与抛物线只有一个交点，
∴ 该方程判别式，
解得，故①错误．
∴，，
将抛物线配方得，
∴ 抛物线顶点坐标为，不是，故③错误．
对任意，，
即，仅当时等号成立．
∵当时，，
∴，故④错误．
∵在抛物线上，在直线上，
∴ ，
该式的最大值为，不存在最小值，故⑤错误．
综上，正确结论的序号是②．
4．（2026·江苏南京·模拟预测）已知二次函数（为常数）．
(1)若该函数图象与轴只有一个公共点，求的值；
(2)将该函数图象沿过其顶点且平行于轴的直线翻折，得到新函数图象．
①则新函数的表达式为__________，并证明新函数图象始终经过一个定点；
②已知点、，若新函数图象与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)；(2)①；②的取值范围为或或
【详解】（1）解：令，则，
当时，即，
解得，，
即函数图象与轴只有一个公共点时，的值为．
（2）解：① ，
顶点坐标为，
将该函数图象沿过其顶点且平行于轴的直线翻折，得到新函数图象的顶点坐标不变，开口相反，
新函数的表达式为；
证明： ，
令含项的系数为，即，
解得，，
当时，，该点与的取值无关，
新函数图象始终经过定点；
②设线段所在直线的解析式为，
将，分别代入解析式得，，
解得，，
线段所在直线的解析式为，（），
根据题意联立得，
，
整理得，，
，
解得，，，
当时，即，此时只有一个交点，满足题意；
新函数图象与线段（）只有一个公共点，即交点为，
或，
解得，或；
综上，的取值范围为或或．
5．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）已知二次函数（为常数，且）．
(1)若点在该函数图象上，求的值；
(2)判断该二次函数的图象与轴是否存在一固定的公共点？若存在，求出这个点的坐标；若不存在，说明理由；
(3)已知一次函数．
①若对于任意的，都有，求的值；
②当时，，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)存在，；(3)①；②且
【详解】（1）解：将点代入，
得，
解得．
（2）解：二次函数的图象与x轴存在一固定的公共点，
令
即
∴
解得：或
∴当时，恒成立，
这个固定的公共点的坐标为
（3）解：①∵，
∴
∴
设
∵，抛物线开口向上，，
∴
∴
∴
②∵，即，
由①可得当时，
∵，抛物线开口向上，
当时
即，
∴
解得
要使当时，，
即，
∴
解得：
∵，又为一次函数一次项系数，
∴且
∴且
6．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，连接、．点为轴上方的抛物线上的一个动点，连接、，设点的横坐标为，的面积为．
(1)求的面积；
(2)若点在第一象限的抛物线上，求的最大值；
(3)若点在轴上方的抛物线上，请根据的取值或范围讨论点的个数情况（如：当时，点的个数为0个；……）．
【答案】(1)；(2)16；(3)当时，点的个数为0个；当或时，点的个数为1个；当时，点的个数为2个；当时，点的个数为3个．
（3）先求出，然后画出函数图象分析即可．
【详解】（1）解：对于，当，则
解得，
当，则，
∴，
∴
∴．
（2）解：设直线对应的函数关系式为，
代入点，则
解得
∴．
如图，过作，垂足为，交直线于点．
设，则．
当时，，
，
∵
当时，的最大值为16．
（3）解：由（2）可得，当时，；
如图，过作轴的垂线，交直线于点．
设，则．
当时，，
∴对称轴为直线，
∵此时抛物线开口向上，
∴当，随着的增大而减小，
∴当，随着的增大而减小，
∴当时，，时，，
∴当时，；
∴当
画出函数图象如下：
由图象可得：当时，点的个数为0个；
当或时，点的个数为1个；
当时，点的个数为2个；
当时，点的个数为3个．
7．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）已知如图1，二次函数（a、b是常数，）的图像与x轴相交于点、．
(1)二次函数的对称轴是直线______；（用含m的代数式表示）
(2)求证：；
(3)若直线与二次函数的图像交于点A、C．
①求二次函数的表达式；
②若直线上方的抛物线上存在一点P，使得，求点P的坐标；
③如图2，将原抛物线沿直线方向平移得到新的抛物线，新抛物线与直线交于M、N两点（点M在点N的左侧）．在抛物线平移过程中，线段的长度是否发生变化？如果变化，请说明理由．如果不变，请你写出此定值并说明理由．
【答案】(1)；(2)证明略；(3)①；②或；③．
【详解】（1）解：根据二次函数图像轴对称的性质，的对称轴为．
（2）证明：∵二次函数与x轴交于A、B两点，
∴和是一元二次方程的两个根．
由根与系数的关系可得：，，
两式联立可得：，
∴，
∵，
∴，
整理得．
（3）解：①∵点在直线上．
∴，则．
由（2）可得．
故二次函数表达式为：．
②联立直线和二次函数可得：．
解得：或2，
∴，
设点P坐标为．
∴．
整理得：．
解得：或1．
∴点P的坐标或．
③原抛物线沿直线方向平移等同于先沿着x轴向右平移p个单位长度，再沿着y轴向上平移p个单位长度．
对于二次函数：，其顶点式为：．
∴根据平移的性质新的抛物线解析式为，
联立直线可得：，
整理得：．
设，，则，，
由根与系数的关系可得：，．
∴．
∴．
∴
，
∴．
∴在抛物线平移过程中，线段的长度为定值．
8．（2026·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和．
(1)求抛物线的函数表达式，并写出它的顶点坐标．
(2)抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为m，n（），记抛物线在M，N之间的部分（包括M，N两点）为图象G．过图象G的左右两端M，N分别作x轴的垂线，过图象G的最高点和最低点分别作y轴的垂线，四条直线围成的矩形记为矩形R．
①若，矩形R的垂直高度，则矩形R的水平宽度p的取值范围是_______；
②若矩形R的水平宽度，则矩形R的垂直高度h的取值范围是_______；
③若矩形R为正方形且边长为3，求点M的坐标．
【答案】(1)抛物线的函数表达式为，顶点坐标为；(2)① ② ③点M的坐标为或
【详解】（1）解：将点和分别代入，得
，解得，
∴抛物线的函数表达式为，
∵，
∴它的顶点坐标为；
（2）①解：根据题意知点，
当时，，
∴，
当点N在点M上方的抛物线上时，
∵矩形R的垂直高度，
∴，
∴点N的纵坐标为2，即，此时，矩形宽度的最小值为；
当点N在点M下方的抛物线上时，
∵矩形R的垂直高度，
∴，
当时，，解得(舍去)或，
∴，此时，矩形宽度的最大值为．
综上，矩形R的水平宽度p的取值范围是 ；
②解：根据题意知，矩形R的垂直高度h取最小值时，点关于抛物线对称轴直线对称，
∵矩形R的水平宽度，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴矩形R的垂直高度h的取值范围是；
③解：根据题意设，则，
第一种情况：当，即时，，
∴(舍去)；
第二种情况：当，即时，，
∴或(舍去)，
当时，，
∴；
第三种情况：当，即时，，
∴或(舍去)，
当时，，
∴；
第四种情况：当时，，
∴(舍去)；
综上，点M的坐标为或．
1．（2026·江苏南通·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】解：二次函数的对称轴为直线，
，
当时，随的增大而增大，
当时，，
当时，，
结合选项可知的值可以是．
2．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】C
【详解】解：对于二次函数，令，则，
∴二次函数的图象与y轴的交点为，
∵对于一次函数，令，则，
∴一次函数的图象与y轴的交点为，
∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上，
．
则不等式可变形为，
即，
∴由图象可得，它的解集是．
3．（2026·辽宁·中考真题）如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________．
【答案】
【详解】解：设点，，，的纵坐标是其中，
则有，
解得：，，
点的坐标是，点的坐标是，
两条曲线关于轴对称，
点的坐标是，点的坐标是，
，，，
，
，
解得：，
，
，
．
4．（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）．
(1)若点在该函数图像上，则 ；
(2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点；
(3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围．
【答案】(1)2；(2)证明见解析；(3)或
【详解】（1）解：将代入，得：，
解得，
故答案为：2；
（2）解：，
，
，
，
该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点；
（3）解：的对称轴为直线，
二次项系数，
二次函数图像开口向上，
，
点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
，
即，
或．
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分层作业
6.5二次函数与一元二次方程
目录
A组巩固过送
题型01抛物线与X轴交点问题
题型02根据二次函数图像确定相应方程根的情况
题型03图象法确定一元二次方程近似根
题型04抛物线与坐标轴的交，点问题
题型05图象法解一元二次不等式
题型06由交点确定不等式的解集
B组能力进阶
C组思维拔高
D组链接中考
A组
巩固过关
颗型01
抛物线与x轴交点问题
1.D
2.①③④
3.1)k<4:(2)k=3:3)m≥-1
4)对称轴x=1,交点坐标0,112a>
气：3)2
<a<0
颗型02
根据二次函数图像确定相应方程根的情况
1.D
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2.x1=-1,X2=5
3.k=3或7<k≤19
4.(1y=x2-2x-3:(2k=-4±2/5
颗型03
图象法确定一元二次方程近似根
1.B
2.0.61<x<0.62
3.0.3或1.7
题型04
抛物线与坐标轴的交点问题
1.0或4
2.(1m=-1;2)1
3.(1)-1,0:2)证明略
4.(1)y=x-32-4(或y=x2-6x+5):2)与x轴交点坐标为1,0、5,0，与y轴交点坐标为0,5：(3)
m的值为1或5
题型05
图象法解一元二次不等式
1.C
2.-1<x<33>x>-1
3.-1≤x≤33≥x≥-1
1.5
-15
1V5
,1V5
1V5
4.1x=2+2,X,=22(2)2+2,0),22,0)3)x22或x
1+
>22
题型06
由交点确定不等式的解集
1.C
2.-1<x<3
3.-2<x<3
4.1)A(-2,0,B(0,2):(2y=-x2-x+2:3)-2<x<0.
214
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B组
能力进阶
1.C
2.B
1-236<a<1+26
3.
23
23
且Q≠0
4.2
5.①③④
、15
6.4y=-(x-12+4,2B(3,0:6)2
7.(1)y=-x2-4x+5;0,5;(2)-7≤y≤9：3)m=-3或-只3-1<m≤-1
C组
思维拔高
1.B
2.（-5,0),（1,0）
a<0或a
2-5
3.②
或ms1
4或m>
4.(1)m=±1：(Q)①y=-X+2mx-1:②m的取值范围为m<
5.①m=-1,②存在，1,0：80m=克：@m≤号且m0
6.1)20;(2)16:(3)当S≥20时，点P的个数为0个；当16<S<20或S=0时，点P的个数为1个；当
S=16时，点P的个数为2个；当0<S<16时，点P的个数为3个.(3)先求出S=乙，然后画出函数图象
分析即可.
7.(1)x=m:(2)证明略；(3)①y=-x2+2x+3:②0,3或1,4：③3V2.
314
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8Q抛物线的丽数表达式为y=-父+2x+1,厦点坐标为12：QO35ps6@h≥9
③点M的坐
标为1-3，-1或-2+V3,6V3-10
拓展
链接中考
1.D
2.C
3.3
4.(1)2:(2)证明见解析：(3)p>1或p<-1
414
分层作业
6.5 二次函数与一元二次方程
目 录
A组 巩固过关
题型01 抛物线与x轴交点问题
题型02 根据二次函数图像确定相应方程根的情况
题型03 图象法确定一元二次方程近似根
题型04 抛物线与坐标轴的交点问题
题型05 图象法解一元二次不等式
题型06 由交点确定不等式的解集
B组 能力进阶
C组 思维拔高
D组 链接中考
抛物线与x轴交点问题题型01
1．（2026·江苏南京·二模）函数（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
2．（2026九年级·江苏·专题练习）如图为二次函数的图象，该图象与x轴的两个交点分别为，B．①对称轴为直线；②当时，y随x的增大而增大；③；④．其中说法正确的是_________（写出所有正确结果的序号）．
3．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）已知二次函数．
(1)若该二次函数图象与轴有两个交点，求的取值范围；
(2)若图象与轴相交于、两点，且，求的值；
(3)在（2）的条件下，若方程有实数解，求的取值范围．
4．（2026·江苏连云港·二模）已知关于的函数（是实数）．
(1)当时，直接写出对称轴及与轴的交点坐标；
(2)若对于任意实数，总有，求实数的取值范围；
(3)设函数的图象与轴交点为，，若，求实数的取值范围．
根据二次函数图像确定相应方程根的情况题型02
1．（九年级上·江苏扬州·期末）已知抛物线如图所示，则关于x的方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
2．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________．
3．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，，将线段向下平移个单位长度后与抛物线有1个交点，则k的取值范围是______．
4．（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．
如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若直线（不平行对称轴所在直线）与抛物线只有一个交点时，求的取值．
图象法确定一元二次方程近似根题型03
1．根据下列表格对应值：
x
判断关于x的方程的一个解x的范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（九年级上·江苏常州·期中）根据下列表格的对应值：
x
0.59
0.60
0.61
0.62
0.63
0.0044
0.0269
判断方程一个解x的取值范围为 _____．
3．抛物线如图所示，利用图象可得方程的近似解为________（精确到0.1）．
抛物线与坐标轴的交点问题题型04
1．（九年级上·江苏连云港·期末）若函数的图象与坐标轴只有两个交点，则b的值是____．
2．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知抛物线与轴的一个交点为．
(1)求的值；
(2)求此抛物线与轴另一个交点的横坐标．
3．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）已知抛物线（m为常数）．
(1)若抛物线与x轴的一个交点为，则抛物线与x轴的另一个交点坐标是 ；
(2)求证：不论m取何实数，抛物线与x轴总有公共点．
4．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)求抛物线与坐标轴的交点坐标；
(3)将二次函数的图象向左平移个单位后恰好经过坐标原点，求m的值．
图象法解一元二次不等式题型05
1．如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
2．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为________．
3．如图，二次函数与一次函数为的图象相交于A，B两点，则不等式的解为______．
4．（江苏南京·二模）（1）解方程：．
（2）直接写出二次函数的图像与x轴交点的坐标．
（3）直接写出不等式的解集．
由交点确定不等式的解集题型06
1．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．或
2．（2026·江苏·一模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_________．
3．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，则不等式的解集是_____．
4．如图，平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，抛物线经过点A，B．
(1)求A，B两点坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)根据图象，直接写出不等式的解集．
1．（江苏无锡·二模）已知m，n（）是关于x的方程的两根，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．根据下列表格，判断一元二次方程（，、为常数）的一个解的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根与（），则实数a的取值范围是________．
4．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则______．
5．（2026·江苏徐州·二模）如图为二次函数的图象，该图象与x轴的两个交点分别为，B．下列说法正确的是_________（写出所有正确结果的序号）．
①对称轴为直线；②当时，y随x的增大而增大；③；④．
6．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴相交于点，与轴相交于，两点（点在点的左侧）．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求点的坐标；
(3)连结，，求四边形的面积．
7．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G．
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标．
(2)当时，y的取值范围是 ．
(3)当时，若图象G与平行于x轴的直线有且只有一个公共点，求出m的取值范围．
1．（九年级下·江苏常州·开学考试）对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，随的增大而增大是随机事件．其中结论正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）已知函数（k是常数，），（a是常数，），则函数与x轴的交点坐标为______；若在同一平面直角坐标系中，无论k为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围是______．
3．（25-26九年级下·江苏镇江·阶段检测）已知一次函数与二次函数 （）的图像交于点，且直线与抛物线只有一个公共点，二次函数的对称轴为直线，给出以下五个结论：
① ；②；③ 点 P是抛物线的顶点；④ 当 时，；⑤ 若点 在抛物线上，点 在直线上，则 的最小值为 0，其中正确结论的序号是_________．
4．（2026·江苏南京·模拟预测）已知二次函数（为常数）．
(1)若该函数图象与轴只有一个公共点，求的值；
(2)将该函数图象沿过其顶点且平行于轴的直线翻折，得到新函数图象．
①则新函数的表达式为__________，并证明新函数图象始终经过一个定点；
②已知点、，若新函数图象与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围．
5．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）已知二次函数（为常数，且）．
(1)若点在该函数图象上，求的值；
(2)判断该二次函数的图象与轴是否存在一固定的公共点？若存在，求出这个点的坐标；若不存在，说明理由；
(3)已知一次函数．
①若对于任意的，都有，求的值；
②当时，，求的取值范围．
6．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，连接、．点为轴上方的抛物线上的一个动点，连接、，设点的横坐标为，的面积为．
(1)求的面积；
(2)若点在第一象限的抛物线上，求的最大值；
(3)若点在轴上方的抛物线上，请根据的取值或范围讨论点的个数情况（如：当时，点的个数为0个；……）．
7．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）已知如图1，二次函数（a、b是常数，）的图像与x轴相交于点、．
(1)二次函数的对称轴是直线______；（用含m的代数式表示）
(2)求证：；
(3)若直线与二次函数的图像交于点A、C．
①求二次函数的表达式；
②若直线上方的抛物线上存在一点P，使得，求点P的坐标；
③如图2，将原抛物线沿直线方向平移得到新的抛物线，新抛物线与直线交于M、N两点（点M在点N的左侧）．在抛物线平移过程中，线段的长度是否发生变化？如果变化，请说明理由．如果不变，请你写出此定值并说明理由．
8．（2026·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和．
(1)求抛物线的函数表达式，并写出它的顶点坐标．
(2)抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为m，n（），记抛物线在M，N之间的部分（包括M，N两点）为图象G．过图象G的左右两端M，N分别作x轴的垂线，过图象G的最高点和最低点分别作y轴的垂线，四条直线围成的矩形记为矩形R．
①若，矩形R的垂直高度，则矩形R的水平宽度p的取值范围是_______；
②若矩形R的水平宽度，则矩形R的垂直高度h的取值范围是_______；
③若矩形R为正方形且边长为3，求点M的坐标．
1．（2026·江苏南通·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C． D．
3．（2026·辽宁·中考真题）如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________．
4．（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）．
(1)若点在该函数图像上，则 ；
(2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点；
(3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围．
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